1-2复变函数的极限解析

复
变 函
函数，记作w f (z).
数
与 积
其中z 称为自变量，w称为因变量，点集G 称为
分 变
函数的定义域 .
换
单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之
对应，称此函数为单值函数。
定义一个复变函数w f (z), 相当于定义两个
哈 二元实函数u u(x, y),v v(x, y)
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈 尔
邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆:
滨 工 程
|z z0 | ( 0),所确定的平面点集，
大 学
尔
滨
工 程
z rei —关于实轴对称的一个映射
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)

y

y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
z
(w) G*
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
分
变
换
以下不再区分函数与映射（变换）。
尔
滨
工 程
Fra Baidu bibliotek
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
哈
尔 滨
把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：
尔 滨
是点集E的内点。
工
程 大
开集: 若E内的所有点都是
外点
学
它的内点，则称E是
z0 内点 P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包,
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
哈 尔
记为D.
滨
工 程
孤立点：若z0属于点集E ,
但存在z0的某个去心邻
大 学
域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
复
变 函
聚点 :
若点P的任意邻域U ( P )内都包含有E
数
与 积
中的无限个点，则称 P为 E的聚点.
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任

y2

0
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函数w f (z)在几何上，可以看成
尔
滨 工
z G ( z平面) w f (z) w G*(w平面)的映射.
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w称为z的象, z称为w的原象.
变
函y
(z)
数
与
v w=f(z)
积
分
变 换
G w=f(z)
尔 滨 工
例3
考察函数w z2
程 大
w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
学
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
复
变 函
例4
将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
u

x
2x 2
y
2
，v

x2
y
y2 ，x2
哈 实变量的实函数的性质往往可以通过它们
尔
滨 工
的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，
程
大 学
就不容易找出方便的图形，这是因为z和w
复 变
在一个平面上，而不是一条直线上,
函
数 与
因此，分别在两个平面上画出它们。
积
分
变
换
例5 研究w z 所构成的映射 .
哈 解 设z r(cos i sin ) rei
变
函
数
与 积
单连通域
多连通域
分
变
换
例如 |z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的。
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数z x iy，按着某一确定的法则 f，总
程 大
有确定的一个或几个复数w u iv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
哈
任意两点均可用完全属于D的连线连起
尔 滨
来，称 D是一个区域。
工
程
大 学
闭区域
区域D与它的边界一起构成闭区域,
复
记为D.
变
函 数
有界区域与无界区域
与
积 分 变
若存在R 0,使区域D内每一点z0都满足
换
| z0 | R，则称D为有界区域；
否则为无界区域.
区域的例子:
哈 例1 圆盘U(a, r) 有界开区域
工
程 大
一个是有界区域，称为C的内部；
学
复 一个是无界区域，称为C的外部.
变
函 数
C是它们的公共边界。
与
积
分 变
外部
换
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
哈 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单
尔 滨
闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；
工 程
非单连通域称为多连通域。
大
学
复
数 与
则称该曲线为光滑的.
积
分 变
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的
换
复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。