1-2复变函数的极限解析
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
在复变函数中，求极限是一个基本且重要的问题，它可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将就复变函数求极限的一些方法进行浅谈，希望能够帮助读者更好地理解这个问题。
1. 利用极限的定义在求解复变函数的极限时，我们可以直接运用极限的定义。
设f(z)是一个复变函数，z0是一个复数，则当z趋向z0时，如果对于任意的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|z-z0|<δ时，有|f(z)-A|<ε成立，那么我们就称A是f(z)当z趋向z0时的极限，记作lim(z→z0)f(z)=A。
这种方法直接运用极限的定义来求解复变函数的极限，可以帮助我们理解极限的概念和性质。
2. 利用复变函数的性质复变函数在求解极限时，通常会利用其性质进行变换和简化。
比如利用复变函数的加法和乘法的性质，可以将复变函数进行分解和合并；利用复变函数的倒数性质，可以将复变函数进行倒数运算，从而简化计算。
这些性质可以帮助我们更好地理解和处理复变函数的极限问题。
4. 利用洛必达法则洛必达法则是求解极限问题的一个重要工具，它也适用于复变函数的极限问题。
当复变函数的极限存在，并且是无穷大或者无穷小的形式时，可以利用洛必达法则对极限进行运算。
具体来说，当被求极限的函数以及其极限为0或无穷时，可以对其进行求导，然后再求极限，从而简化极限的计算。
这种方法在处理复杂的复变函数极限问题时非常有用。
5. 利用泰勒展开对于复变函数，我们还可以利用泰勒展开来求解其极限。
泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数的形式，可以将一个复变函数表示为一系列幂函数的和。
利用泰勒展开，可以帮助我们更好地理解复变函数的性质和行为，从而求解其极限。
复变函数求极限是一个重要且基础的问题，对于复变函数的理解和应用都有着重要的意义。
在求解复变函数的极限时，可以运用极限的定义、复变函数的性质、极限的性质、洛必达法则和泰勒展开等方法，从而更好地理解和处理复变函数的极限问题。
复变函数的极限
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
复变函数项级数
特殊函数
复变函数项级数可以用于定义和 计算一些特殊函数，例如贝塞尔 函数、傅里叶级数等。
在物理和工程中的应用
波动方程
在物理中，波动方程是一个非常重要的方程，而复变函数项级数 可以用于求解波动方程，例如在声学和电磁学等领域的应用。
量子力学
在量子力学中，波函数通常是通过复变函数项级数来定义 的，因此复变函数项级数在量子力学中有重要的应用。
对未来研究的展望
1
深入研究复变函数项级数的性质和变化 规律，进一步拓展其在各个领域的应用 范围。例如，在数学领域，可以研究复 变函数项级数的收敛性、可积性等性质 ，以及其在复分析、微分方程等领域的 应用。在工程领域，可以研究复变函数 项级数在信号处理、图像处理、控制系 统等领域的应用，并尝试将其应用于其 他领域。
控制工程
在控制工程中，系统传递函数通常可以通过复变函数项级数来 表示，因此复变函数项级数在控制工程中有广泛的应用。
05
结论
复变函数项级数的意义与价值
意义
复变函数项级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决复杂问题提供了有效的工具和方法。通 过研究复变函数项级数，可以深入了解函数的性质和变化规律，进一步推动相关领域的发展。
2
探索复变函数项级数的扩展和改进。例 如，可以尝试将复变函数项级数的概念 和方法应用于实数域或高维空间，或者 将其与其他数学工具和方法相结合，以 解决更复杂的问题。此外，也可以尝试 改进复变函数项级数的收敛速度和精度 ，以提高其实用性和可靠性。
3
加强复变函数项级数与其他数学分支的 交叉研究。例如，可以探索复变函数项 级数与调和分析、泛函分析、代数几何 等数学分支的交叉点，以及它们之间的 相互影响和应用。这样的交叉研究有助 于发现新的数学思想和理论，推动数学 的发展。
1-2复变函数
(不包括端点i ),
不是区域.
18
复变函数
1.设 D 为复平面 C 上的点集，如果有一个法则
f
，
f D z 使得 内任意一点 ，按对应法则 ，都有复数 w 同它对应，则称 f 为定义在点集 D 的一个复变
函数，简称为复变函数，记为 w f ( z ) 。 注解 1：同样可以定义函数的定义域与值域； 注解 2：此定义与传统的定义不同，没有明确指出 是否只有一个
6
课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
7
二、单连通域与多连通域
注意:
定义中 z z0 的方式是任意的 .
24
2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 , 那末 lim f ( z ) A 的充要条件是
z z0 x x0 y y0
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线).
10
如果简单曲线C 的起点和终点重合 ,即 z(a ) z(b) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集.
y
边界
内部 外部
o
x
11
，试求它把 z -平面上的
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
复变函数-工科复变1-2
|z-z1|－ |z-z2|＝2a或－2a (|z1-z2|>2|a|)表示以 z1和z2为焦点，以a为实半轴的双曲线，其 中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表 另一分支。
P15,6(1) |z+2|+|z-2|=6
-2
23
8
(3)用含复数辐角的不等式表示
从点z0出发，与实轴夹角θ 0的射线
z1的任一邻域内于 既 E的 含点 有， 属又含有不 于E的点 , 那末 z1称为 E的边界 . 点
21
进一步地，设 D是一个平面区域, 点 P 不属
于D, 但 P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区
域 D 的边界点.
D的所有边界点组成D的边界.
注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
13
（2） Jordan曲线
设 C:zz(t)(atb)为一条连 , 续曲 z(a)与z(b)分别C 称 的为 起点.和终点
当 t1t2而z(t有 1)z(t2)时 ,点 z(t1)称为曲 线 C 的.重点
除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为 简单曲线.
起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.
（1） 邻域
平面 z0为 上中 ,以 (任 心意)为 的半 正径 数 的圆内部 zz0 点 称 的 z0 为 的 集 邻合 .域
注意
设R0, 满足 zR的所有点 (包的 括集 无合 穷 远点自),身 称在 为内 无穷远 . 点的邻域
18
(2) 去心邻域
称由不 0z等 z0式 所确定的点
x(t) t2
y(t)
t
表示抛物线y2=x
10
设复平面上曲线 C 的参数方程
复变函数课件-2[1]1解析函数的概念与柯西——黎曼条件-PPT文档资料
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某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之， 在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个 区域的一个更大的区域上解析； 注解5、解析性区域；
四则运算法则
如果 f ( z ) 和 g ( z ) 在区域 D 上解析 , 则
f( z ) f( z ) g ( z ) 、 f( z ) g ( z ) 、 ( g ( z ) 0 ) 在区 g ( z ) 域 D 上解析，并且有
( f ( z ) g ( z ))' f ' ( z ) g ' ( z ) [ f ( z ) g ( z )]' f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z )
'
f ( z ) g ( z )
f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z ) 2 [ g ( z )]
1、导数与微分
设函数 w f (z) 在点 z 的某邻域内有定义 0
的单值函数， z z 是邻域内任意一点，对 于 0
w f (z0 z) f (z0) ，如果极限 f (z0 z) f (z0) w lim lim z 0 0 z z z 存在（为有限的复数） A ，
u ( x x , y y ) u ( x , y ) a x b y o (| z |) ； 因此， u ( x ,y ) 及 v ( x ,y ) 在 ( x ,y ) 处可微，并有 C R 方 程成立： u v u v x y y x
则称函数 f( z ) 在 z 处可导， A 称为函数 f( z ) 0 dw 的导数，记为 f'( z ) ，或 , 即 0 dz z z 0
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。
本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。
1. 极限的定义对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。
2. 极限存在的条件与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。
即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。
3. 极限计算方法3.1 用直接代入法计算极限当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。
计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。
3.2 用极坐标法计算极限对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。
利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。
计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。
再利用欧拉公式化简即可。
3.3 用洛必达法则计算极限当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。
洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。
计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。
3.4 用级数展开法计算极限级数展开法是一种常用的计算复变函数极限的方法，特别适用于计算指数函数和三角函数类型的复变函数。
复变函数第二章 1-2
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈【摘要】复变函数是数学中重要的研究对象，求解复变函数的极限是其中一个重要的问题。
本文首先介绍了复数和复变函数的基本概念，然后深入讨论了复变函数的收敛性和极限。
接着介绍了极限存在的判定方法，包括利用epsilon-delta定义和夹逼定理等方法。
对于复变函数极限的计算方法，本文主要涉及了无穷小和无穷大的概念，以及使用极坐标表示法求解的方法。
通过实际例子展示了复变函数极限在物理、工程等领域的应用，让读者更好地理解其重要性。
文章通过对复变函数求极限的方法进行深入探讨，旨在帮助读者掌握相关知识，提高数学分析能力。
【关键词】复数、复变函数、收敛性、极限、存在的判定方法、计算方法、应用、总结。
1. 引言1.1 引言在数学分析中，复变函数是指定义域和值域是复数集合的函数。
与实变函数不同的是，复变函数具有更为丰富的性质和特点。
复数可以写成实部和虚部的形式，这使得复变函数的运算更加灵活和复杂。
复数是由实数和虚数构成的，其中实数可以看作是复数的特殊情况。
复数在平面坐标系中对应于二维空间中的一个点，这样就可以用复数表示平面内的点。
复数的加法和乘法满足交换律和结合律，这使得复变函数的运算更加方便。
复数的共轭和模也为复变函数的计算提供了便利。
复变函数在分析学中的应用十分广泛，它可以描述许多物理、工程和经济现象。
在实际问题中，经常需要求解复变函数的极限。
复变函数的极限求解方法和实变函数有所不同，需要结合复数的性质和收敛性来进行推导和计算。
在接下来的内容中，我们将详细介绍复变函数的定义和性质，以及如何求解复变函数的极限。
通过深入理解复变函数的极限性质，我们可以更好地应用于实际问题的求解和分析中。
2. 正文2.1 复数和复变函数简介复数是由实数和虚数组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a 为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数形式为a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部。
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
1_2复变函数的极限(复变函数)
（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数; （2）连续函数的复合函数是连续函数.
数学学院
例6 试证 argz在原点与负实轴上不连续.
arg
z
arctan
2
arctan
y x
y
x
x0
0, y
x 0,
0
y
0
x x 0, y 0
数学学院
复变函数的连续性
设 f (z)在z0的邻域内有定义, 且 则称f(z)在z0处连续.
lim
z z0
f (z)
f (z0 )
若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
定理1.2 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x) 在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x, y), v( x, y) 都在 ( x0 , y0 ) 点连续.
方法1. 沿 y kx,
kx 2
lim
x0
x2
k2
x2
k
1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=
1 2
k
1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=-
1 2
方法2. 沿不同射线 arg z
1
k k2
.
y
0 | z |
0
x
o
注：复变函数无穷小也是指极限为0的变量。
定理1.1（极限计算）
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
数学物理方法复变函数解析
=r 1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg( z1z2)=Arg z1+Arg z2
几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Arg z2，再将其伸缩到 |z2|倍。
y
(z)
z1z2
?2
z2
z1
?2 ?1
解: z1 ? 5 ? 5i ? (5 ? 5i)(? 3 ? 4i ) z2 ? 3 ? 4i (? 3 ? 4i)(? 3 ? 4i)
? ? 35 ? 5i ? ? 7 ? i
25
5
例2 : 求
?? 1 ? i ??4 ?1? i ?
Q 1 ? i ? (1 ? i)(1 ? i) ? i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i)
3 1 ? cos 0 ? 2k? ? i sin 0 ? 2k? , (k ? 0,1,2).
3
3
即?
0
?
1, ?
1
?
?
1 2
?
3 2
i,?
2
?
?
1 2
?
3 i.
2
当k=0 ，1，…，n -1 时，可得 n 个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
几何上，n z 的n个值是 以原点为中心， n r 为半
解 设 z ? x ? iy
y (z)
? i z ? i ( x ? iy )
? y ? ix
Re(iz) ? 3
? Re( i z ) ? y
O
x
2 (0, -1)
? y? 3 故 Re( i z ) ? 3 图 形 为
复变函数第四章 1-2(2)
比值审敛法（达朗贝尔判别法） 设 n ∈ N, un ≥ 0, 且 lim n→∞
∞
∑v
n=1
∞
n
收敛 , 则
∞ n=1
∑u
n=1
n
也收敛 .
① 当 ρ <1 时 ,
∑u
n=1
∞
un +1 = ρ, un
则
n
收敛 ;
② 若 l > 0 或 l = +∞ , 且 极限审敛法
∑ vn 发散 , 则
∑ un 也发散 .
∞
∑ c n z n 在 z = z0
z > z0 y
它在 D1 = { z
z1
}
Case 1： z ∈ C ,
内发散 .
D1
∑c z
n=0 n
∞
n
收敛 ;
Case 2： z ∈ C , z ≠ 0 ,
∑c z
n=0 n
∞
n
发散 ;
D z
z0
Case 3： 在 C 上既有收敛的点 , 也有发散的点 ,
u ( x , y ) , v ( x , y ) 在 D 内是调和函数 . ux = v y v x = uy
z0
柯西积分公式： 高阶导数公式： f 常用作：
f ( z0 ) =
(n)
1 2π i
∫
∫
C
f ( z) dz . z z0 f ( z) ( z z0 )
n +1
注：若 u , v 是调和函数, 且满足 C-R 条件：
复
D
C
习
f ( z ) 在区域 D 内解析 , C 是 D 内一条简单闭曲 线 , 内部含于 D , z0 ∈ C 的内部 .
复变函数 课件1-2
单连通域
多连通域
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
临沂师范学院数学系
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
一 复平面点集的几个基本概念
4 有界集和无界集 有界集和无界集:
如果点集 E 可以被包含在一个以原点为中心 的圆里面, 即存在 M > 0, 使区域的每一个点都满 足 z < M , 则 称 E 为 有 界集 , 否则 称为 无界集.
二 区域与Jordan曲线
判断下列曲线是否为简单曲线?闭曲线 闭曲线? 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线 闭曲线 临沂师范学院数学系
答 案
简 单 闭
简 单 不 闭
不 简 单 闭
不 简 单 不 闭
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二 区域与Jordan曲线
简单闭曲线的性质
定理1.1（Jordan定理） 定理1.1（Jordan定理）任意 1.1 定理 临沂师范学院数学系 一条简单闭曲线 C 将复平面 唯一地分成C,I(C),E(C) 三个 互不相交的点集. 互不相交的点集.满足：
边界
y
I(C)
. . .
E(C)
o
x
（1）I(C) 是一个有界区域 ） （称为C的内部）. 称为C的内部） 是一个无界区域（称为C的外部） （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. ） （3）C是I(C)，E(C) 的公共边界. ） 是 （4）若简单折线 的一个端点属于I(C)，另一个 ）若简单折线P的一个端点属于 必与C相交 端点属于E(C) ，则P必与 相交. 必与 相交.
复变函数的级数展开和解析延拓
复变函数的级数展开和解析延拓复变函数是数学中的一个重要概念，它在实数域上的连续性和可微性不能直接应用于复数域。
复数函数的级数展开和解析延拓是研究复变函数性质的重要方法。
本文将介绍复变函数级数展开和解析延拓的基本概念、方法和应用。
一、级数展开的基本概念复变函数的级数展开是指通过无限项的级数来表示一个复变函数。
常用的级数展开方法有泰勒级数和洛朗级数。
1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个复变函数在某点z₀处展开成幂级数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] [f^(n)(z₀)/n!] × (z-z₀)^n其中，f(z)是复变函数，f^(n)(z₀)表示函数f(z)在点z₀处的n阶导数。
2. 洛朗级数展开洛朗级数展开是将一个复变函数在其奇点z₀的一个环域内展开成幂级数和幂函数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] a_n × (z-z₀)^n + ∑[n=1,∞] b_n × (z-z₀)^(-n)其中，a_n和b_n为展开系数，可通过计算获得。
二、解析延拓的基本概念解析延拓是指将一个复变函数在定义域外继续解析成一个更大的域内的函数。
解析延拓的基本方法是通过级数展开和幂函数来延拓函数定义。
1. 极限解析延拓对于某个定义在开集D上的函数f(z)，若存在开集G，使得开集D 包含在G中，且在开集G上存在一个函数F(z)，满足：F(z) = f(z)，z∈D则称F(z)是f(z)的解析延拓。
在实际操作中，可以通过级数展开或利用幂函数的性质来进行解析延拓。
2. 常用的解析延拓方法（1）洛朗展开法：根据洛朗级数展开的形式，将函数在解析延拓域内进行展开，得到解析延拓函数。
（2）泛函方程法：通过泛函方程求解得到解析延拓函数。
（3）全纯延拓法：将局部解析延拓到整个域内。
（4）反复延拓法：在已知的定义域上反复延拓，直到无法再延拓为止。
三、级数展开和解析延拓的应用级数展开和解析延拓在数学和物理学等领域具有广泛应用。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
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称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
哈
尔 滨
把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：
尔
滨
工 程
z rei —关于实轴对称的一个映射
工
程 大
一个是有界区域，称为C的内部；
学
复 一个是无界区域，称为C的外部.
变
函 数
C是它们的公共边界。
与
积
分 变
外部
换
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
哈 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单
尔 滨
闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；
工 程
非单连通域称为多连通域。
大
学
复
哈
任意两点均可用完全属于D的连线连起
尔 滨
来，称 D是一个区域。
工
程
大 学
闭区域
区域D与它的边界一起构成闭区域,
复
记为D.
变
函 数
有界区域与无界区域
与
积 分 变
若存在R 0,使区域D内每一点z0都满足
换
| z0 | R，则称D为有界区域；
否则为无界区域.
区域的例子:
哈 例1 圆盘U(a, r) 有界开区域
哈 实变量的实函数的性质往往可以通过它们
尔
滨 工
的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，
程
大 学
就不容易找出方便的图形，这是因为z和w
复 变
在一个平面上，而不是一条直线上,
函
数 与
因此，分别在两个平面上画出它们。
积
分
变
换
例5 研究w z 所构成的映射 .
哈 解 设z r(cos i sin ) rei
哈 尔
记为D.
滨
工 程
孤立点：若z0属于点集E ,
但存在z0的某个去心邻
大 学
域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
复
变 函
聚点 :
若点P的任意邻域U ( P )内都包含有E
数
与 积
中的无限个点，则称 P为 E的聚点.
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任
数 与
则称该曲线为光滑的.
积
分 变
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的
换
复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。 Nhomakorabea变
函
数
与 积
单连通域
多连通域
分
变
换
例如 |z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的。
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数z x iy，按着某一确定的法则 f，总
程 大
有确定的一个或几个复数w u iv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈 尔
邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆:
滨 工 程
|z z0 | ( 0),所确定的平面点集，
大 学
尔 滨
是点集E的内点。
工
程 大
开集: 若E内的所有点都是
外点
学
它的内点，则称E是
z0 内点 P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包,
复
变 函
函数，记作w f (z).
数
与 积
其中z 称为自变量，w称为因变量，点集G 称为
分 变
函数的定义域 .
换
单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之
对应，称此函数为单值函数。
定义一个复变函数w f (z), 相当于定义两个
哈 二元实函数u u(x, y),v v(x, y)
z
(w) G*
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
分
变
换
以下不再区分函数与映射（变换）。
尔 滨 工
例3
考察函数w z2
程 大
w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
学
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
复
变 函
例4
将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
u
x
2x 2
y
2
，v
x2
y
y2 ，x2
y2
0
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函数w f (z)在几何上，可以看成
尔
滨 工
z G ( z平面) w f (z) w G*(w平面)的映射.
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w称为z的象, z称为w的原象.
变
函y
(z)
数
与
v w=f(z)
积
分
变 换
G w=f(z)