第二单元 函数的概念与基本性质

第二单元 函数的概念与基本性质

考点一 函数的概念

1.(2015年浙江卷)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ).

A.f (sin2x )=sin x

B.f (sin2x )=x 2

+x

C.f (x 2

+1)=|x+1| D .f (x 2

+2x )=|x+1|

【解析】选项A 中,x 分别取0,π

2

,可得f (0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误; 选项B 中,x 分别取0,π,可得f (0)对应的值为0,π2

+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B 错误;

选项C 中,x 分别取1,-1,可得f (2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C 错误; 选项D 中,取f (x )=√x +1,则对于任意x ∈R 都有f (x 2

+2x )=√x 2+2x +1=|x+1|,所以选项D 正确.

综上可知,本题选D . 【答案】D

2.(2014年上海卷)设f (x )={

(x -a)2,x ≤0,

x +1

x

+a,x >0,

若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( ). A .[-1,2] B .[-1,0] C .[1,2] D .[0,2]

【解析】∵当x ≤0时,f (x )=(x-a )2

,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.

当x>0时,f (x )=x+1x

+a ≥2+a ,当且仅当x=1时等号成立.

要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2

,即a 2

-a-2≤0,解得-1≤a ≤2.

∴a 的取值范围为[0,2].故选D .

【答案】D

3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,

2x -1,x ≥1,

则f (-2)+f (log 212)=( ).

A.3

B.6

C.9

D.12

【解析】∵-2<1,

∴f (-2)=1+log 2(2+2)=1+log 24=1+2=3. ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212−1=12

2=6. ∴f (-2)+f (log 212)=3+6=9.故选C .

【答案】C

4.(2016年江苏卷)函数y=√3−2x -x 2的定义域是 .

【解析】要使函数有意义,需3-2x-x 2

≥0,即x 2

+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x ≤1,故所求函数的定义

域是[-3,1].

【答案】[-3,1]

考点二 函数的奇偶性

5.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( ).

A .f (x )g (x )是偶函数

B .|f (x )|g (x )是奇函数

C .f (x )|g (x )|是奇函数

D .|f (x )g (x )|是奇函数

【解析】令h 1(x )=f (x )g (x ),则h 1(-x )=f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-h 1(x ),∴h 1(x )是奇函数,A 错误. 令h 2(x )=|f (x )|g (x ),则h 2(-x )=|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x )=h 2(x ),∴h 2(x )是偶函数,B 错误. 令h 3(x )=f (x )|g (x )|,则h 3(-x )=f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|=-h 3(x ),∴h 3(x )是奇函数,C 正确.

令h 4(x )=|f (x )g (x )|,则h 4(-x )=|f (-x )g (-x )|=|-f (x )g (x )|=|f (x )g (x )|=h 4(x ),∴h 4(x )是偶函数,D 错误. 【答案】C

6.(2015年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).

A.y=√1+x 2

B.y=x+1x

C.y=2x

+12

x D.y=x+e x

【解析】A 选项中的函数的定义域为R ,因为√1+(−x)2=√1+x 2,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数的定义域为{x|x ≠0},因为-x-1x

=-(x +1x

),所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为R ,因为

2-x

+

1

2

-x =1

2x +2

x

,所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为R ,因为-x+e -x

=1e

x -x ,所以该函数是非奇非偶函

数.

【答案】D

7.(2017年北京卷)已知函数f (x )=3x

-(13

)x ,则f (x )( ).

A.是奇函数,且在R 上是增函数

B.是偶函数,且在R 上是增函数

C.是奇函数,且在R 上是减函数

D.是偶函数,且在R 上是减函数 【解析】∵函数f (x )的定义域为R ,

f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x

-3x =-f (x ), ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y=(13)x

在R 上是减函数,

∴函数y=-(13)x 在R 上是增函数.

又∵y=3x

在R 上是增函数,

∴函数f (x )=3x -(13)x

在R 上是增函数.

故选A . 【答案】A

8.(2015年全国Ⅰ卷)若函数f (x )=x ln (x+√a +x 2)为偶函数,则a= .

【解析】∵f (x )为偶函数,∴f (-x )-f (x )=0恒成立,

∴-x ln (-x+√a +x 2)-x ln (x+√a +x 2)=0恒成立, ∴x ln a=0恒成立, ∴ln a=0,即a=1.

【答案】1