第二单元 函数的概念与基本性质
高二数学知识点：函数基本性质总结
高二数学知识点：函数基本性质总结知识点概述关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌握.一函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.2.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 .3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数y=fx,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y y= fx , x∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
初中数学知识归纳函数的基本概念与性质
初中数学知识归纳函数的基本概念与性质函数在初中数学中是一个重要的概念，它是数学中的一种关系，可以描述一个事物或变量与另一个事物或变量之间的对应关系。
了解函数的基本概念和性质对于学好数学是至关重要的。
本文将对初中数学中函数的基本概念和性质进行归纳总结，并对相关知识点进行讲解。
一、函数的基本概念函数是数学中的一种关系，它可以用来描述一个事物或变量与另一个事物或变量之间的对应关系。
在函数中，我们通常将自变量表示为x，因变量表示为y或f(x)。
函数的基本概念包括自变量、函数值、定义域和值域等几个方面。
自变量：自变量是指函数中可以独立取值的变量，通常用x表示。
自变量的取值范围可以是实数集、自然数集或整数集等等，取决于具体情况。
函数值：函数值是指在给定自变量的取值下，函数所对应的因变量的取值。
函数值通常用y表示，也可以用f(x)表示。
定义域：定义域是函数中自变量的取值范围，也就是函数的取值范围。
定义域可以是实数集、自然数集或整数集等等，取决于具体情况。
值域：值域是函数中函数值的取值范围，也就是函数的输出范围。
值域通常由函数的定义、定义域和函数的性质来确定。
二、函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质对于我们研究和计算函数具有重要的指导作用。
下面将介绍一些常见的函数性质。
1. 单调性：函数的单调性是指函数在其定义域上的取值随自变量的增大或减小而单调变化的趋势。
函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减的。
2. 奇偶性：奇偶性是指函数的对称性。
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
3. 周期性：周期性是函数在一定范围内具有相同的性质或规律重复出现的特点。
如果函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为常数，则称该函数具有周期性。
4. 上下界：函数的上界是指函数值在定义域中的最大值，下界是指函数值在定义域中的最小值。
上下界可以帮助我们确定函数的范围和变化趋势。
高一数学教案复习函数的基本概念与性质
高一数学教案复习函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在数理科学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。
高一学生正处于数学基础知识的学习和掌握阶段，因此对于函数的基本概念与性质的复习显得尤为重要。
本篇教案将细致地介绍函数的基本概念和常见的性质，以帮助学生加深对该知识点的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是指两个集合之间的一种特殊关系，其中每个元素（自变量）在定义域内只对应一个元素（因变量）。
为了确定一个函数，我们需要明确以下几个要素：1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。
需要注意的是，函数的定义域可以是实数集、整数集或自然数集等不同数集。
1.2 关系式或图表函数可以通过关系式或图表的形式来表示。
关系式是指将自变量和因变量之间的关系用式子表示出来，如y = 2x + 3；图表则是将自变量和因变量的对应关系用表格或图像呈现出来。
1.3 函数的特性函数可以通过一些特性来描述和判断，比如奇偶性、单调性、周期性等。
这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
二、函数的性质与图像除了基本概念之外，函数还具有一些常见的性质。
下面我们将介绍一些关于函数性质的重要内容，并通过图像来进一步说明。
2.1 奇偶性一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2.2 单调性单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。
如果函数在某一区间上递增，那么它是递增函数；如果函数在某一区间上递减，那么它是递减函数。
2.3 周期性周期函数是指在一定区间内，函数的值按照一定规律重复出现。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
周期可以通过函数的图像来观察和确定。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学上，函数可以用于解决各种数学问题，如方程的求解、不等式的证明等。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
数学高中教案：函数的基本概念与性质
数学高中教案：函数的基本概念与性质一、引言函数是高中数学中的重要概念之一。
它是描述不同数值之间的关系的工具，被广泛应用于各个领域。
本教案将介绍函数的基本概念与性质，帮助学生对函数有更深入的理解。
二、函数的定义1. 函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的表示方法：函数可以用方程、图像、表格和函数式等多种方式进行表示。
3. 函数的记法：通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围，表示为D(f)。
2. 值域：函数的因变量的取值范围，表示为R(f)。
3. 奇偶性：函数奇偶性根据f(-x)=±f(x)来判断，若成立则为偶函数，否则为奇函数。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，可以分为递增和递减两种。
5. 周期性：函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
四、基本函数的图像与性质1. 线性函数：f(x) = kx + b，k为斜率，b为截距。
线性函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 幂函数：f(x) = ax^k，a为常数，k为指数。
幂函数的图像形状因a和k的取值不同而改变。
3. 指数函数：f(x) = a^x，a为常数，a>0且a≠1。
指数函数的图像是递增的曲线。
4. 对数函数：f(x) = loga(x)，a为常数，a>0且a≠1。
对数函数的图像是递增的曲线。
五、函数的运算1. 函数的加法运算：(f+g)(x) = f(x) + g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相加。
2. 函数的减法运算：(f-g)(x) = f(x) - g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相减。
3. 函数的乘法运算：(f*g)(x) = f(x) * g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相乘。
4. 函数的除法运算：(f/g)(x) = f(x) / g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相除。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
函数的概念及性质
函数的概念及性质函数是数学中的重要概念之一，它在数学领域和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的概念是描述一个变量与另一个变量之间关系的数学工具。
本文将对函数的概念及其基本性质进行探讨，从而帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
例如，我们可以定义一个函数f(x)=2x，其中x是实数集合中的任意一个数，f(x)表示x的两倍。
这个函数可以描述一个数与它的两倍之间的关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
函数的定义域和值域取决于函数的性质和条件。
例如，对于函数f(x)=2x，定义域是实数集合，值域也是实数集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
例如，函数f(x)=2x 是递增函数，而函数g(x)=2-x是递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴（x=0）的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
例如，函数f(x)=x^2是偶函数，函数g(x)=x^3是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在定义域内以一定的间隔重复的特性。
如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期为2π的函数。
5. 反函数：如果存在一个函数g，使得对于定义域内的任意x，有g(f(x))=x，且f(g(x))=x，则g称为f的反函数。
反函数可以将函数的输入与输出进行互换。
例如，函数f(x)=2x的反函数为g(x)=x/2。
三、函数的应用函数在数学、物理、经济学等学科中都有着重要的应用。
函数的概念及两大基本性质
o
x
o
1
x
例：试画出函数f(x)=x2+1的图象，并 根据图象回答下列问题：
(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小； (2)若0＜x1＜x2，试比较f(x1)，f(x2) 的大小.
画下列函数图象：
（1）y = 2x + 1
x ∈{ 1，2，3 }
x1 x2 x3
解:
y
3 y 5 7
y
o
x
2、二次函数的图象 一条抛物线 是 __________________
如 y = x 2 + 2x o x
y
3、反比例函数的图象 双曲线 是 __________________
如 y=
1 x
o
x
函数图象
(1)将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的 函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上 的一个点(x0，f(x0))；
= －2x －4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6 当 x ＞1 时， y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4 －5 o 1 x 6
（4）y = | x 2 + 2x －8 |
解：当 x2 + 2x －8 ≥ 0 即 x ≤ －4 或 x ≥ 2 时 y = x 2 + 2x －8 = ( x + 1) 2 －9 当 x 2 + 2x －8 ＜ 0 即 －4＜ x ＜ 2 时 y = －( x 2 + 2x －8 ) = － ( x + 1) 2 + 9 －4 o 2 x
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。
具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。
通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。
例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。
而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。
2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。
若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。
若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。
3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。
若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。
4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。
复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。
5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质在数学的广袤天地中，函数犹如一座坚固的桥梁，连接着各种数量关系和变化规律。
它不仅是数学研究的重要对象，更是解决实际问题的有力工具。
让我们一同走进函数的世界，深入了解函数的概念与基本性质。
首先，什么是函数？简单来说，函数就是一种特殊的对应关系。
想象有两个集合，一个集合中的每个元素，按照某种规则，都能在另一个集合中找到唯一对应的元素，这种对应关系就是函数。
打个比方，我们把班级里的学生看作一个集合，把他们的考试成绩看作另一个集合。
如果每个学生都有唯一确定的考试成绩与之对应，那么就可以说学生和成绩之间构成了一个函数关系。
函数通常用符号 f(x) 来表示，其中 x 被称为自变量，f(x) 被称为因变量。
自变量 x 的取值范围叫做函数的定义域，因变量 f(x) 的取值范围叫做函数的值域。
比如说，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 中，x 可以取任意实数，那么这个函数的定义域就是实数集 R。
而通过计算可以知道，f(x) 的取值也可以是任意实数，所以值域也是 R。
函数的概念理解起来可能有点抽象，但它在生活中的应用却无处不在。
比如，我们计算电费时，电费的多少与用电量之间就存在函数关系。
再比如，汽车行驶的路程与时间之间也构成函数关系。
接下来，让我们看看函数的一些基本性质。
单调性是函数的一个重要性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1 和 x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么就说函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果都有 f(x1) ＞ f(x2)，则函数在这个区间上是单调递减的。
举个例子，函数 f(x) ＝ x²在区间0, ＋∞）上是单调递增的，在区间（∞， 0 上是单调递减的。
奇偶性也是函数常见的性质之一。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就是偶函数；如果都有 f(x)＝ f(x)，那么函数 f(x) 就是奇函数。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它在数学推理和问题解决中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将介绍函数的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的基本概念在数学中，函数是用来描述两个集合之间的关系的工具。
我们可以将函数视为一个“输入-输出”的机器，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
这里的集合可以是实数集、自然数集、复数集等等。
具体来说，设有集合A和集合B，函数f是从集合A到集合B的映射，即f:A→B。
我们用f(x)表示函数f在元素x上的取值。
其中，x是A中的元素，f(x)是B中的元素。
函数的输入可以有一个或多个自变量，而输出则是函数的值。
通常，我们将自变量放在函数表达式的括号中，例如f(x)或f(x,y)。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，下面我们将讨论其中的几个。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能的输入的集合，而值域是指所有可能的输出的集合。
对于函数f:A→B，A就是其定义域，B 就是其值域。
2. 单射和满射：如果一个函数的每一个自变量对应唯一的函数值，那么这个函数就是单射。
如果一个函数的值域等于其目标集合B，那么这个函数就是满射。
3. 一一对应：如果一个函数既是单射又是满射，那么它就是一一对应的，也就是说，每一个自变量都对应着唯一的函数值，而且函数值覆盖了整个目标集合B。
4. 反函数：对于一一对应的函数，我们可以定义它的反函数。
如果函数f:A→B是一一对应的，那么它的反函数f^(-1):B→A满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y对于所有合理的输入x和y成立。
5. 复合函数：对于两个函数f:A→B和g:B→C，我们可以定义它们的复合函数h(x)=g(f(x))，其中x是A中的元素。
复合函数将一个集合中的元素通过两个函数的映射关系转换到另一个集合中。
三、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用领域。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于不同领域的数学和科学研究中。
在本文中，我们将探讨函数的基本概念以及其相关的性质。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它建立起自变量和因变量之间的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
具体而言，一个函数将每一个自变量值映射到唯一的因变量值上。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
通过定义域和值域，我们可以确定函数的范围和可行域。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性用来描述函数在定义域内的变化趋势。
如果函数随着自变量的增加而增加，则称其为递增函数；如果函数随着自变量的增加而减小，则称其为递减函数。
如果函数在定义域内递增和递减交替出现，则称其为摆动函数。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x 值，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x值，f(-x) =f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数通常关于原点对称，偶函数通常关于y轴对称。
3. 周期性：周期函数是指在一定范围内满足f(x + T) = f(x)，其中T为最小正周期。
常见的周期函数包括正弦函数和余弦函数，它们在数学建模和信号处理等领域有着广泛的应用。
4. 极值：函数的极值包括最大值和最小值，它们表示函数在特定区间内取得的最大和最小的因变量值。
通过导数可以求得函数的极值点，这对于优化问题的求解非常有用。
5. 零点：函数的零点是指满足f(x) = 0的自变量值。
通过求解方程f(x) = 0，可以确定函数的零点。
零点在许多应用领域中具有重要的意义，比如方程的根、函数的交点等。
三、函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
函数的图像有助于我们分析函数的特征，比如在哪些区间内函数递增或递减，是否具有对称性等。
高中数学教案：函数的概念与基本性质
高中数学教案：函数的概念与基本性质一、函数的概念函数是数学中一种重要的概念，在高中数学中占据着重要的地位。
函数的概念来源于实际生活中的对应关系，它描述了两个集合之间的一种关联规则，是一种量与量之间的依赖关系。
在函数中，一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。
函数将定义域中的每个元素与一个唯一的值域中的元素对应起来。
例如，一个餐厅的销售额与每天的顾客人数之间存在关联，可以用一个函数来描述这个关系。
在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的集合。
通过函数的定义域和值域，我们可以确定它们的范围和取值的特点。
二、函数的基本性质函数的基本性质包括可定义性、唯一性、有界性、奇偶性和单调性等。
1. 可定义性函数的可定义性是指函数在定义域内是否有确定的取值。
在定义域内的每个元素都要对应一个值域中的元素。
如果函数在定义域内的某些点无法找到对应的值，则称函数在该点不可定义。
2. 唯一性函数的唯一性是指函数的每个自变量都有唯一的函数值。
即使是函数的定义域中有相同的自变量，对应的函数值也必须是相同的。
相反，如果函数的自变量有不同的函数值，那么这个函数就是多值函数。
3. 有界性有界性是指函数在定义域内是否有上界和下界。
上界是指函数值不能超过某个特定的值，下界是指函数值不能小于某个特定的值。
如果一个函数存在上界和下界，那么它是有界函数；如果一个函数不存在上界或下界，那么它是无界函数。
4. 奇偶性奇偶性是指函数在对称轴上的对应关系。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数。
奇函数关于坐标原点对称，而偶函数则关于y轴对称。
5. 单调性单调性是指函数在定义域上的增减特性。
如果函数的函数值随着自变量的增大而增大，那么它是增函数；如果函数的函数值随着自变量的增大而减小，那么它是减函数。
数学中的函数和微积分基础知识
数学中的函数和微积分基础知识一、函数的概念与性质1.1 函数的定义：函数是一种数学关系，将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。
1.2 函数的性质：（1）单调性：函数在定义域内可能是单调递增或单调递减的。
（2）奇偶性：函数关于原点对称，即f(-x) = f(x)为偶函数；函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)为奇函数。
（3）周期性：函数具有周期性，即对于任意实数x，有f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。
1.3 常见函数类型：（1）线性函数：f(x) = ax + b，其中a、b为常数。
（2）二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a为正常数。
（4）对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
二、微积分的基本概念2.1 导数的概念：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即函数图像上某点切线的斜率。
2.2 导数的计算法则：（1）常数倍法则：若f(x) = c g(x)，其中c为常数，则f’(x) = c g’(x)。
（2）和差法则：若f(x) = g(x) + h(x)，则f’(x) = g’(x) + h’(x)。
（3）积法则：若f(x) = g(x)h(x)，则f’(x) = g(x)h’(x) + g’(x)*h(x)。
（4）商的导数法则：若f(x) = g(x)/h(x)，则f’(x) = (g’(x)h(x) -g(x)h’(x))/[h(x)]^2。
2.3 微分的基本概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴的夹角的正切值，即导数的几何意义。
2.4 不定积分与定积分的概念：（1）不定积分：表示函数在某一区间内的面积，即定积分的上限为无穷大或下限为无穷小的积分。
（2）定积分：表示函数在某一区间内的面积，即定积分的上下限均为有限值的积分。
2.5 微积分基本定理：若f(x)为连续函数，则f(x)的不定积分存在，且f(x)的不定积分与f(x)的原函数在积分区间上的差值为定积分。
一轮复习错题搜集：第二单元--函数的概念及其性质
第二章 函数的概念及其性质1．下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方． 其中是A 到B 的映射的是_______2．已知函数f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，则f (x )的定义域为________． 3．已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为________．4．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．5．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是________．6．函数f (x )＝x 1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数7．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3x －1，则f (9)＝_____.8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是_______.9．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则( )A ．f (m )<f (1)B ．f (m )>f (1)C ．f (m )＝f (1)D ．f (m )与f (1)大小不能确定10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝______.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________. 12．下列几个命题正确的是___________.(1)若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正根，一个负根，则a <0；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2是偶函数，但不是奇函数；(3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，则f (x 2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R )的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1.13．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 14．f (x )＝a si n x －b log 3(x 2＋1－x )＋1(a ，b ∈R )，若f (lg(log 310))＝5，则f (lg(lg 3))＝________.15．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7，若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为________．16．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．17．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 18．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象． 19．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．20．已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为___________.21.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.22.已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．23．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.24．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根， 则a 的取值范围为________.25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是_______. 26．设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝_____.27．已知函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．28．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)29．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________； ②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．30．水库的储水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50，0<t ≤9，4(t －9)(3t －41)＋50，9<t ≤12.(1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大储水量．(取21的值为4.6计算，e 3的值为20计算)31．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为_______.32．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，则k 的取值范围为________.33．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝l n x －xD ．y ＝e x －x34．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a35．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c36．函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立， 则实数a 的取值范围为____________．37.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝_______.38.若f (x )＝l n (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.39.(2018·烟台模拟)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝{ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 40．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 41．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围为________．42．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)43．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln (1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数44．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c45．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是____.46．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是_____. 47．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)=_. 48．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．49．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 50．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对于任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，均有f (x 2)－f (x 1)x 1－x 2>0.若f ⎝⎛⎭⎫－13＝12，2f ⎝⎛⎭⎫log 18x <1，则x 的取值范围为________． 51．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围____． 52．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.53．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．(用作差法证明)54．已知奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2.给出下列命题：①D ＝[－1,1]；②对∀x ∈D ，|f (x )|≤2；③∃x 0∈D ，使得f (x 0)＝0；④∃x 1∈D ，使得f (x 1)＝1.其中所有正确命题是________.55．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______.。
函数的基本概念与性质教案
函数的基本概念与性质教案函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在数学分析中起着重要作用。
了解函数的基本概念与性质，对于学习数学具有重要意义。
本文将介绍函数的基本概念与性质，并提供一份针对初学者的教案。
一、函数的基本概念函数是两个集合之间的对应关系。
常用的记法是"f: A→B"，表示一个函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素上。
其中，集合A 称为定义域，集合B称为值域。
对于集合A中的每个元素a，函数f将其映射到值域B中的唯一元素f(a)。
二、函数的性质1. 定义域与值域函数的定义域是指所有可能参与映射的元素的集合，通常使用符号表示。
而函数的值域则是函数所有可能映射到的元素的集合。
2. 单射、满射与双射函数可以分为单射、满射和双射三种类型。
单射指的是不同的定义域元素映射到不同的值域元素，满射指的是每个值域元素都有对应的定义域元素映射，双射则同时满足单射和满射的性质。
3. 奇偶性函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
4. 周期性函数可以是周期函数，即存在一个正数T，使得对于任意定义域元素x，都有f(x+T) = f(x)。
三、函数的教案教学目标：通过本课的学习，学生能够理解函数的基本概念与性质，掌握函数的定义与表示方法。
教学重点：函数的定义与表示方法。
教学难点：函数的性质与应用。
教学过程：1. 导入新知识通过提问学生已学过的数学概念，如方程、集合等，引导学生思考数学中的对应关系。
2. 引入函数的概念根据学生已有的数学基础，简洁明了地解释函数的概念和记法，并引导学生理解函数的定义域和值域的概念。
3. 函数的表示方法介绍函数的表示方法，包括显式表示法、隐式表示法和图像表示法，并通过具体例子进行讲解和示范。
4. 函数的性质依次介绍函数的单射、满射、双射性质，以及奇偶性和周期性，讲解时用简单的图像和实例进行说明，加深学生的理解。
函数与导数的基本概念与性质知识点总结
函数与导数的基本概念与性质知识点总结函数和导数是数学中常见且重要的概念，它们在数学分析、物理学、经济学等领域都有着广泛的应用。
了解函数与导数的基本概念和性质，对于理解和应用这些知识是非常重要的。
本文将对函数和导数的基本概念和性质进行总结，帮助读者对其有一个清晰的认识。
一、函数的基本概念函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
我们将一个集合中的元素称为自变量，另一个集合中的元素称为因变量。
函数可以用符号表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
在函数中，根据自变量的取值，可以确定唯一的因变量的取值。
函数的定义域和值域是函数的两个重要概念。
函数的定义域是自变量的取值范围，在实际问题中可能存在一些限制条件。
函数的值域是因变量的取值范围，它取决于定义域和函数的性质。
二、函数的性质1. 奇偶性：函数f(x)是奇函数，当且仅当对于任意x，有f(-x)=-f(x)；函数f(x)是偶函数，当且仅当对于任意x，有f(-x)=f(x)。
奇函数关于坐标原点具有对称性，而偶函数关于y轴具有对称性。
2. 单调性：函数f(x)在区间I上是单调递增的，当且仅当对于任意x1、x2∈I，且x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)；函数f(x)在区间I上是单调递减的，当且仅当对于任意x1、x2∈I，且x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)。
3. 极值：函数f(x)在点x0处取得极大值，当且仅当存在一个邻域，使得对于该邻域内的x，有f(x) ≤ f(x0)；函数f(x)在点x0处取得极小值，当且仅当存在一个邻域，使得对于该邻域内的x，有f(x) ≥ f(x0)。
三、导数的基本概念导数是函数微分学中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率，它可以帮助我们研究函数的变化规律。
导数的定义是函数f(x)在点x处的极限值，可以表示为f'(x)或者dy/dx。
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第二单元 函数的概念与基本性质考点一 函数的概念1.(2015年浙江卷)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ).A.f (sin2x )=sin xB.f (sin2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x+1| D .f (x 2+2x )=|x+1|【解析】选项A 中,x 分别取0,π2,可得f (0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误; 选项B 中,x 分别取0,π,可得f (0)对应的值为0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B 错误;选项C 中,x 分别取1,-1,可得f (2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C 错误; 选项D 中,取f (x )=√x +1,则对于任意x ∈R 都有f (x 2+2x )=√x 2+2x +1=|x+1|,所以选项D 正确.综上可知,本题选D . 【答案】D2.(2014年上海卷)设f (x )={(x -a)2,x ≤0,x +1x+a,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( ). A .[-1,2] B .[-1,0] C .[1,2] D .[0,2]【解析】∵当x ≤0时,f (x )=(x-a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x>0时,f (x )=x+1x+a ≥2+a ,当且仅当x=1时等号成立.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a-2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围为[0,2].故选D .【答案】D3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( ).A.3B.6C.9D.12【解析】∵-2<1,∴f (-2)=1+log 2(2+2)=1+log 24=1+2=3. ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212−1=122=6. ∴f (-2)+f (log 212)=3+6=9.故选C .【答案】C4.(2016年江苏卷)函数y=√3−2x -x 2的定义域是 .【解析】要使函数有意义,需3-2x-x 2≥0,即x 2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x ≤1,故所求函数的定义域是[-3,1].【答案】[-3,1]考点二 函数的奇偶性5.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( ).A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数【解析】令h 1(x )=f (x )g (x ),则h 1(-x )=f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-h 1(x ),∴h 1(x )是奇函数,A 错误. 令h 2(x )=|f (x )|g (x ),则h 2(-x )=|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x )=h 2(x ),∴h 2(x )是偶函数,B 错误. 令h 3(x )=f (x )|g (x )|,则h 3(-x )=f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|=-h 3(x ),∴h 3(x )是奇函数,C 正确.令h 4(x )=|f (x )g (x )|,则h 4(-x )=|f (-x )g (-x )|=|-f (x )g (x )|=|f (x )g (x )|=h 4(x ),∴h 4(x )是偶函数,D 错误. 【答案】C6.(2015年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A.y=√1+x 2B.y=x+1xC.y=2x+12x D.y=x+e x【解析】A 选项中的函数的定义域为R ,因为√1+(−x)2=√1+x 2,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数的定义域为{x|x ≠0},因为-x-1x=-(x +1x),所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为R ,因为2-x+12-x =12x +2x,所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为R ,因为-x+e -x=1ex -x ,所以该函数是非奇非偶函数.【答案】D7.(2017年北京卷)已知函数f (x )=3x-(13)x ,则f (x )( ).A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数 【解析】∵函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x-3x =-f (x ), ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y=(13)x在R 上是减函数,∴函数y=-(13)x 在R 上是增函数.又∵y=3x在R 上是增函数,∴函数f (x )=3x -(13)x在R 上是增函数.故选A . 【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)若函数f (x )=x ln (x+√a +x 2)为偶函数,则a= .【解析】∵f (x )为偶函数,∴f (-x )-f (x )=0恒成立,∴-x ln (-x+√a +x 2)-x ln (x+√a +x 2)=0恒成立, ∴x ln a=0恒成立, ∴ln a=0,即a=1.【答案】1考点三 函数的单调性及其综合应用9.(2017年全国Ⅰ卷)函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是( ).A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 【解析】∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∵f (1)=-1,∴f (-1)=-f (1)=1.由-1≤f (x-2)≤1,得f (1)≤f (x-2)≤f (-1).又∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x ≤3.故选D .【答案】D10.(2016年天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是 .【解析】∵f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,f (-√2)=f (√2), ∴f (2|a-1|)>f (√2),∴2|a-1|<√2=212,∴|a -1|<12,即-12<a-1<12,即12<a<32.【答案】(12,32)11.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 .【解析】由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x>12三段讨论.当x ≤0时,原不等式为x+1+x+12>1,解得x>-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x+x+12>1,显然成立.当x>1时,原不等式为2x+2x-12>1,显然成立.2综上可知,x>-1.4【答案】(-1,+∞)4高频考点:求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大.2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.§2.1函数的概念及其表示一函数的概念给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都存在确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的,记作.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.二函数的表示法函数的表示法:、、.三分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫作.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.与g(x)=x是同一个函数.()(1)f(x)=x2x是同一个函数.()(2)f(x)=|x|与g(x)={x,x≥0,-x,x<0(3)函数f(x)=√x2+3+1的值域是{y|y≥1}.()(4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3}.()知识清单一、任何唯一函数f:A→B,或y=f(x),x∈A定义域值域二、解析法列表法图象法三、分段函数基础训练【解析】(1)错误,因为f(x)=x2x的定义域是{x|x≠0},而g(x)=x的定义域是R,所以它们的定义域不相同,因此它们不是同一个函数.(2)正确,因为f(x)=|x|与g(x)={x,x≥0,-x,x<0的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一个函数.(3)错误,因为x2≥0,所以x2+3≥3,所以函数f(x)=√x2+3+1的值域是{y|y≥√3+1}.(4)错误,因为f(x)的定义域为{x|1≤x<3},所以1≤2x-1<3,解得1≤x<2,故函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<2}.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×题型一求函数的定义域【例1】(1)y=√x-12x-log2(4-x2)的定义域是().A.(-2,0)∪(1,2)B.(-2,0]∪(1,2)C.(-2,0)∪[1,2)D.[-2,0]∪[1,2](2)若函数y=f(x)的定义域是[1,20],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是.【解析】(1)要使函数有意义,必须有{x-12x≥0,x≠0,4−x2>0,∴x∈(-2,0)∪[1,2),故选C.(2)由已知函数f(x)的定义域为[1,20],可知1≤x+1≤20,解得0≤x≤19,故函数f(x+1)的定义域为[0,19].∴使函数g(x)有意义的条件是{0≤x≤19,x-1≠0,解得0≤x<1或1<x≤19.【答案】(1)C(2)[0,1)∪(1,19]【变式训练1】(1)函数f(x)=√x+3+log2(6-x)的定义域是.(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为().A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg2]【解析】(1)要使函数有意义,应满足{x+3≥0,6−x>0,解得-3≤x<6.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以f(x)的定义域为[1,2],所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].【答案】(1)[-3,6)(2)C题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f(2x+1)=lg x,则f(x)=.(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+2,则f(x)的解析式为.【解析】(1)令t=2x +1(t>1),则x=2t-1,∴f(t)=lg2t-1,即f(x)=lg2x-1(x>1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f'(x )=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f (x )=x 2+2x+c.又∵方程f (x )=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c=0,得c=1.故f (x )=x 2+2x+1.【答案】(1)lg 2x -1(x>1) (2)f (x )=x 2+2x+1【变式训练2】(1)已知f (√x +1)=x+2√x ,则f (x )= .(2)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f (1x )·√x -1,则f (x )= .【解析】(1)设√x +1=t (t ≥1),则√x =t-1,所以f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1(t ≥1),所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)在f (x )=2f (1x )·√x -1中,用1x 代替x ,得f (1x )=2f (x )·1√x-1,将f (1x )=2f(x)x-1代入f (x )=2f (1x )·√x -1中,可求得f (x )=23√x +13.【答案】(1)x 2-1(x ≥1) (2)23√x +13题型三 分段函数问题【例3】(1)函数f (x )={sin(πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0满足f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为().A .1或-√22B .-√22C .1D .1或√22 (2)已知f (x )={(1-2a)x +3a,x <1,lnx,x ≥1的值域为R ,则a 的取值范围是 .【解析】(1)∵f (1)=e 1-1=1且f (1)+f (a )=2,∴f (a )=1.当-1<a<0时,f (a )=sin (πa 2)=1,∵0<a 2<1,∴0<πa 2<π,∴πa 2=π2⇒a=-√22;当a ≥0时,f (a )=e a-1=1⇒a=1.综上可得a=-√22或a=1,故选A .(2)要使函数f (x )的值域为R ,应满足{1−2a >0,ln1≤1−2a +3a,即{a <12,a ≥−1,∴-1≤a<12,故a 的取值范围是[-1,12).【答案】(1)A (2)[-1,12)【变式训练3】(1)已知函数f (x )={sinπx,x ≤0,f(x -1),x >0,则f (23)的值为( ).A .-12 B .-√32C .12D .√32(2)设函数f (x )={3x -b,x <1,2x ,x ≥1,若f (f (56))=4,则b= .【解析】(1)由函数的解析式可得f (23)=f (23-1)=f (-13)=sin [π·(-13)]=-√32,故选B .(2)f (56)=3×56-b=52-b ,若52-b<1,即b>32,则3×(52-b)-b=152-4b=4,解得b=78,不满足条件,舍去;若52-b ≥1,即b ≤32,则252-b =4,解得b=12,满足条件.【答案】(1)B (2)12方法一 分类讨论思想的应用分类讨论思想在函数中应用广泛,如求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后通过分类讨论求解.【突破训练1】已知函数f (x )={2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值为( ).A .-3B .-1C .1D .3【解析】当a>0时,由f (a )+f (1)=0得2a+2=0,故不存在实数a 满足条件;当a ≤0时,由f (a )+f (1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.故选A .【答案】A方法二 待定系数法的应用若已知函数类型求解析式,可用待定系数法求解,先设出f (x ),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.【突破训练2】若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ).A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x【解析】设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且g (x )的图象过原点,∴{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =−2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x ,故选B .【答案】B1.(2017广西南宁质检)下图中可作为函数y=f (x )的图象的是( ).【解析】选项D 是“多对一”,而选项A 、B 、C 均为“一对多”,由函数的定义知选D . 【答案】D2.(2014年江西卷)已知函数f (x )=5|x|,g (x )=ax 2-x (a ∈R ).若f (g (1))=1,则a=( ).A.1B.2C.3D.-1 【解析】∵g (x )=ax 2-x ,∴g (1)=a-1.∵f (x )=5|x|,∴f (g (1))=f (a-1)=5|a-1|=1, ∴|a -1|=0,∴a=1.【答案】A3.(2017山东淄博月考)函数f (x )=√2−xlnx 的定义域是( ).A .(0,2)B .(0,1)∪(1,2)C .(0,2]D .(0,1)∪(1,2]【解析】要使函数有意义,则有{2−x ≥0,x >0,lnx ≠0,即{x ≤2,x >0,x ≠1,所以0<x ≤2且x ≠1,所以函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,2],故选D . 【答案】D4.(2017安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数,且f (f (x ))=x+2,则f (x )=( ).A .x+1B .2x-1C .-x+1D .x+1或-x-1【解析】设f (x )=kx+b (k ≠0),则由f (f (x ))=x+2,可得k (kx+b )+b=x+2,即k 2x+kb+b=x+2,∴k 2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f (x )=x+1.故选A .【答案】A5.(2016河南八市高三质检)已知函数f (x )={x 2-x,x ≥0,g(x),x <0是奇函数,则g (f (-2))的值为( ).A .0B .2C .-2D .-4【解析】因为函数f (x )={x 2-x,x ≥0,g(x),x <0是奇函数,所以f (-2)=-f (2)=-(4-2)=-2,所以g (f (-2))=g (-2)=f (-2)=-f (2)=-2,故选C .【答案】C6.(2017江西金溪高三上期中)设函数f (x )={1+log 6x,x ≥4,f(x 2),x <4,则f (3)+f (4)=.【解析】f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64, 故f (3)+f (4)=1+log 69+1+log 64=2+log 6(9×4)=4. 【答案】47.(2017徐州沛县高三上第一次质检)函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是 .【解析】由题意可得{3x +1>0,2−x ≠0,解得x>-13且x ≠2,故函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是{x |x >−13且x ≠2}.【答案】{x |x >−13且x ≠2}8.(2017山东青岛一中检测)奇函数f (x )在(0,+∞)上的表达式为f (x )=x+√x ,则在(-∞,0)上f (x )的表达式为f (x )= .【解析】设x<0,则-x>0,∴f (-x )=-x+√-x .又∵f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x )=x-√-x ,即当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x-√-x .【答案】x-√-x9.(2017山东省烟台市高三上期中)设函数f (x )={12x -1(x ≥0),1x(x <0),若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .【解析】当a ≥0时,f (a )=12a-1>a ,解得a<-2,无解; 当a<0时,f (a )=1a >a ,解得a<-1或a>1(舍去).综上可得,a<-1. 【答案】(-∞,-1)10.(2017四川遂宁零诊)设函数f (x )=√x -1,则f (x 2)+f (4x )的定义域为( ).A .[12,4]B .[2,4]C .(1,+∞)D .[12,2]【解析】函数f (x )=√x -1的定义域为[1,+∞),则{x2≥1,4x≥1,解得2≤x ≤4,故所求函数的定义域为[2,4]. 【答案】B11.(2017湖北武汉四月调考)已知函数f (x )满足f (1x )+1xf (-x )=2x (x ≠0),则f (-2)=( ).A .-72B .92C .72D .-92【解析】已知函数f (x )满足f (1x )+1x f (-x )=2x (x ≠0),令x=2,可得f (12)+12f (-2)=4; ①令x=-12,可得f (-2)-2f (12)=-1. ②联立①②可得f (-2)=72.【答案】C12.(2017山东烟台高三上期中)已知函数f (x )=lg (1-x )的值域为(-∞,0),则函数f (x )的定义域为( ).A .[0,+∞)B .(0,1)C .[-9,+∞)D .[-9,1)【解析】∵函数f (x )=lg (1-x )的值域为(-∞,0),∴lg (1-x )<0,∴0<1-x<1,解得0<x<1,则函数f (x )的定义域为(0,1). 【答案】B13.(2017河北衡水武邑中学高三上二调)已知函数f (x )={sin πx3,x <1,-log 2x,x ≥1,且f (a )=-3,则f (6-a )等于( ).A .12 B .-12 C .√32 D .-√32 【解析】∵f (x )={sinπx3,x <1,-log 2x,x ≥1,且f (a )=-3,∴当a<1时,f (a )=sin aπ3=-3,不成立;当a ≥1时,f (a )=-log 2a=-3,解得a=8.∴f (6-a )=f (-2)=sin (-2π3)=-√32.【答案】D14.(2017铁岭市协作体第一次联考)设函数f (x )={ln(−x),x <0,-lnx,x >0,若f (m )>f (-m ),则实数m 的取值范围是 .【解析】已知函数f (x )={ln(−x),x <0,-lnx,x >0,当m>0时,f (m )>f (-m ),即为-ln m>ln m ,则ln m<0,解得0<m<1;当m<0时,f (m )>f (-m ),即为ln (-m )>-ln (-m ),则ln (-m )>0,解得m<-1. 综上可得,m<-1或0<m<1.【答案】(-∞,-1)∪(0,1)§2.2函数的单调性与最值一函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.二函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作y=f(x)的单调区间.三函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有;(2)存在x0∈I,使得.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则该函数的单调递增区间是[1,+∞).()的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).()(3)函数y=1x(4)所有的单调函数都有最值.()已知函数f(x)=2,x∈[2,6],则f(x)的最大值为,最小值为.x-1知识清单一、f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)二、增函数减函数区间D三、(1)f(x)≤M(或f(x)≥M)(2)f(x0)=M基础训练1.【解析】(1)错误,不符合函数单调性的定义.(2)错误,函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,只能说明[1,+∞)属于单调递增区间.(3)错误,有多个单调区间的情况,只能用“,”隔开或写成“和”,不能写成并集、“或”的形式.(4)错误,如函数y=x就没有最值.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2.【解析】函数f (x )=2x -1在区间[2,6]上单调递减,所以f (x )max =f (2)=22−1=2,f (x )min =f (6)=26−1=25.【答案】2 25题型一 函数单调性的证明【例1】已知函数f (x )=√x 2+1-ax ,其中a>0.证明:当a ≥1时,f (x )在区间[0,+∞)上为减函数. 【解析】任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=√x 12+1-ax 1-√x 22+1+ax 2 =√x 12+1-√x 22+1-a (x 1-x 2)=1222x 1+1+x 2+1-a (x 1-x 2)=(x 1-x 2)(12√x 1+1+√x 2+1a).∵0≤x 1<√x 12+1,0<x 2<√x 22+1,∴0<x 1+x 2√x 1+1+√x 2+1<1.又∵a ≥1,∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x )在区间[0,+∞)上为减函数.【变式训练1】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1)=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.x2(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为减函数.【解析】(1)令x1=x2>0,则f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则x1>1.x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),∵当x>1时,f(x)<0,∴f(x1x2∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.题型二确定函数的单调区间(x2-4)的单调递增区间是().【例2】(1)函数f(x)=lo g12A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间为.【解析】(1)因为y=lo g1t(t>0)在定义域上是减函数,所以要求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-42的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).(2)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.画出该函数的图象,如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1]和[0,1]上是增函数.【答案】(1)D(2)(-∞,-1]和[0,1]【变式训练2】函数f (x )=√x 2-2x -3的单调递增区间为 .【解析】由x 2-2x-3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,故该函数的单调递增区间为[3,+∞).【答案】[3,+∞)题型三 单调性的应用【例3】(1)已知函数f (x )的图象关于直线x=1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a=f (-12),b=f (2),c=f (e ),则a ,b ,c 的大小关系为( ).A .c>a>bB .c>b>aC .a>c>bD .b>a>c(2)设定义在(0,+∞)上的增函数f (x )对任意的x ∈(0,+∞)都有f (f (x )-log 3x )=4,则不等式f (a 2+2a )>4的解集为( ).A .{a|a<-3或a>1}B .{a|a>1}C .{a|-3<a<1}D .{a|a<-3}【解析】(1)因为f (x )的图象关于直线x=1对称,所以f (-12)=f (52).由x 2>x 1>1,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52<e ,所以f (2)>f (52)>f (e ),所以b>a>c.(2)设f (b )=4,则对任意的x ∈(0,+∞),有f (x )-log 3x=b 恒成立,再将x=b ,f (b )=4代入前式,得log 3b+b=4,可求得b=3,则f (x )=3+log 3x ,f (3)=4.又f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,所以f (a 2+2a )>4的解集为不等式a 2+2a>3的解集,即为{a|a<-3或a>1},故选A .【答案】(1)D (2)A【变式训练3】已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则关于x 的不等式f (2x-1)<f (13)的解集是 .【解析】由题意知{2x -1≥0,2x -1<13,解得12≤x<23. 【答案】[12,23)题型四 求函数的最值(值域)【例4】已知函数f (x )=2x-ax 的定义域为(0,1](a 为实数).(1)当a=1时,求函数y=f (x )的值域;(2)求函数y=f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f (x )取得最值时x 的值. 【解析】(1)当a=1时,f (x )=2x-1x,任取1≥x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2)=2(x 1-x 2)-(1x 1-1x 2)=(x 1-x 2)(2+1x1x 2). ∵1≥x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0.∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时,f (x )取得最大值1, 当x →0,且x>0时,f (0)→-∞,∴f (x )的值域为(-∞,1].(2)若a ≥0,则y=f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时,f (x )取得最大值2-a.若a<0,则f (x )=2x+-a x ,当√-a 2≥1,即a ∈(-∞,-2]时,y=f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时,f (x )取得最小值2-a ;当√-a 2<1,即a ∈(-2,0)时,y=f (x )在(0,√-a 2]上单调递减,在[√-a 2,1]上单调递增,因此,f (x )无最大值,当x=√-a2时,f (x )取得最小值2√-2a .【变式训练4】函数f (x )={1x,x≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .【解析】当x ≥1时,函数f (x )=1x为减函数,所以f (x )在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=1;当x<1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x=0处取得最大值,最大值为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.【答案】2方法一 巧用化归转化思想解题(1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时,应根据所给抽象关系式的特点,对x 1或x 2进行适当变形,进而比较出f (x 1)与f (x 2)的大小.(2)求解含“f ”的不等式问题时,应先利用已知条件将不等式转化为f (x 1)>f (x 2)的形式,然后根据其单调性脱掉“f ”,转化为关于x 1与x 2的不等式问题求解.【突破训练1】 已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x+y )=f (x )+f (y )+1;②当x>0时,f (x )>-1.(1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 【解析】(1)令x=y=0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,即f (x 1-x 2)>-1.又f (x 1)=f ((x 1-x 2)+x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以f (x )在R 上是增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4,得f (x 2+x+1)>f (3).又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x+1>3,解得x<-2或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.方法二 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用使用函数的单调性求参数范围时,常常需要讨论,把要研究的问题根据题目的特点和要求,转化成若干个小问题来解决,即先按不同情况分类,然后逐一解决.【突破训练2】若函数f (x )=ax 2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是 .【解析】当a=0时,f (x )=2x-3,它在定义域R 上是单调递增的,故f (x )在(-∞,4)上单调递增; 当a ≠0时,二次函数f (x )图象的对称轴为直线x=-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-1a ≥4,解得-14≤a<0.综上所述,实数a 的取值范围是[-14,0].【答案】[-14,0]1.(遵义四中2018届月考)下列函数中,在定义域内单调且是奇函数的是( ).A .y=1xB .y=|ln x|C .y=ln |x|D .y=√x 33【解析】A 选项中的函数在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在定义域内不单调;B 选项中的函数是非奇非偶函数;C 选项中的函数是偶函数;D 选项满足题意.【答案】D2.(2017长春质检)已知函数f (x )=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,1]B .(-∞,-1]C .[-1,+∞)D .[1,+∞)【解析】因为函数f (x )在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a ≥-1,解得a ≤1. 【答案】A3.(山东临沂一中2018届第二次月考)定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b=a 2;当a<b 时,a ⊕b=b 2.函数f (x )=(1⊕x )x-12(2⊕x )在区间[-2,2]上的最大值为( ).A .-1B .1C .6D .12【解析】由已知得,当-2≤x ≤1时,f (x )=x-2;当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.∵f (x )=x-2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数, ∴在区间[-2,2]上,f (x )的最大值为f (2)=23-2=6.【答案】C4.(2017衡水调研)已知函数f (x )={x 2+2x,x ≥0,x 2-2x,x <0.若f (-a )+f (a )≤2f (1),则a 的取值范围是( ).A .[-1,0)B .[0,1]C .[-1,1]D .[-2,2]【解析】由题意知函数f (x )是偶函数,所以f (-a )=f (a ),故原不等式等价于f (a )≤f (1),即f (|a|)≤f (1),而函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,故|a|≤1,解得-1≤a ≤1.【答案】C5.(2017湖南师大附中高三月考)已知f (x )={a x ,x >1,(4−a 2)x +2,x ≤1是定义在R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( ).A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)【解析】由已知可得{a >1,4−a2>0,a ≥(4−a2)+2,解得4≤a<8.【答案】B6.(2017郑州模拟)设函数f (x )={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x-1),则函数g (x )的单调递减区间是 .【解析】由题意知函数g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,其图象是如图所示的实线部分,由图象可得g (x )的单调递减区间是[0,1).【答案】[0,1)7.(山东临沭一中2018届月考)对于任意实数a ,b ,定义min {a ,b }={a,a ≤b,b,a >b.设函数f (x )=-x+3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min {f (x ),g (x )}的最大值是 .【解析】依题意,h (x )={log 2x,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x>2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x=2时取得最大值,最大值是h (2)=1.【答案】18.(2017石家庄调研)函数f (x )=(13)x -log 2(x+2)在[-1,1]上的最大值为 .【解析】因为y=(13)x 在R 上单调递减,y=log 2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.【答案】39.(河北馆陶一中2018届月考)函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f (0)=0,则f (x+1)>0的解集为 .【解析】由f (x )的图象关于直线x=1对称,f (0)=0,可得f (2)=f (0)=0.当x+1≥1,即x ≥0时,f (x+1)>0,即为f (x+1)>f (2), 由f (x )在[1,+∞)上单调递减,可得x+1<2,解得x<1, 即有0≤x<1. ①当x+1<1,即x<0时,f (x+1)>0,即为f (x+1)>f (0), 由f (x )在(-∞,1)上单调递增,可得x+1>0,解得x>-1, 即有-1<x<0. ②由①②可得所求不等式的解集为{x|-1<x<1}. 【答案】{x|-1<x<1}10.(遵义四中2018届月考)已知函数f (x )={(a -2)x,x ≥2,(12)x -1,x <2满足对任意实数x 1,x 2且x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( ).A .(-∞,2)B .(-∞,138] C .(-∞,138) D .[138,2) 【解析】由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)得f (x )为减函数,所以{a -2<0,2(a -2)≤(12)2-1,解得a ≤138,故选B .【答案】B11.(巢湖市2018届第一次月考)若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m ],值域为[-254,-4],则m 的取值范围是( ).A .(0,4]B .[32,4] C .[32,3] D .[32,+∞)【解析】y=x 2-3x-4=(x -32)2-254,所以定义域必须包括该函数图象顶点的横坐标.当y=-4时,解得x=0或x=3,故m 的取值范围为[32,3].【答案】C12.(2017枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x-3,若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则实数b 的取值范围为( ).A .[0,3]B .(1,3)C .[2-√2,2+√2]D .(2-√2,2+√2)【解析】由题意可知f (x )=e x-1>-1,g (x )=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则g (b )∈(-1,1],所以-b 2+4b-3>-1,即b 2-4b+2<0,解得2-√2<b<2+√2,所以实数b 的取值范围为(2-√2,2+√2). 【答案】D13.(2017郑州质检)若函数f (x )=a x(a>0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m )√x 在[0,+∞)上是增函数,则a=( ).A .4B .2C .12D .14【解析】当a>1时,f (x )=a x 是增函数,有a 2=4,a -1=m ,解得a=2,m=12,此时g (x )=-√x 在[0,+∞)上是减函数,不合题意.当0<a<1时,f (x )=a x是减函数,有a -1=4,a 2=m ,解得a=14,m=116,此时g (x )=34√x 在[0,+∞)上是增函数.故a=14.【答案】D14.(2017年山东潍坊模拟)设函数f (x )={-x 2+4x,x ≤4,log 2x,x >4,若函数y=f (x )在区间(a ,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 .【解析】作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a+1)上单调递增,需满足a+1≤2或a ≥4,即a ≤1或a ≥4.【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)15.(甘肃天水一中2018届月考)已知函数f(x)=[x]+|sinπx2|,x∈[-1,1],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.(1)试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)求函数f(x)的值域.【解析】(1)∵f(-1)=-1+1=0,f(1)=1+1=2,∴f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(x)=[x]+|sinπx2|={-1-sinπx2,-1≤x<0,sinπx2,0≤x<1,2,x=1,当x∈[-1,0)时,f(0)<f(x)≤f(-1),即-1<f(x)≤0;当x∈[0,1)时,f(0)≤f(x)<f(1),即0≤f(x)<1;当x=1时,f(x)=2.综上可得,函数f(x)的值域为(-1,1)∪{2}.§2.3函数的奇偶性与周期性一函数的奇偶性1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫作偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫作奇函数.奇函数的图象关于原点对称.二 函数的周期性1.周期函数:对于函数y=f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.2.最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫作f (x )的最小正周期.☞ 左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (2)若函数y=f (x+a )是偶函数,则函数y=f (x )的图象关于直线x=a 对称. ( ) (3)若函数y=f (x+b )是奇函数,则函数y=f (x )的图象关于点(b ,0)对称. ( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )={-4x 2+2,−1≤x <0,x,0≤x <1,则f (1.5)= .如果f (x )=ax 2+bx 是定义在[a-1,2a ]上的偶函数,那么a+b 的值是 .知识清单一、1.f (-x )=f (x ) 2.f (-x )=-f (x ) 二、1.f (x+T )=f (x ) 2.最小 最小正数 基础训练1.【解析】(1)错误.偶函数的图象不一定过原点,正确,如y=x 2+1;奇函数的图象一定过原点,错误,如y=1x. (2)正确,因为y=f (x+a )是偶函数,所以f (-x+a )=f (x+a ),所以函数y=f (x )的图象关于直线x=a 对称. (3)正确,因为y=f (x+b )是奇函数,所以f (-x+b )+f (x+b )=0,所以函数y=f (x )的图象关于点(b ,0)对称.(4)正确,若函数具有奇偶性,则其定义域必关于原点对称,反之不成立. 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.【解析】∵函数f (x )的周期是2,∴f (1.5)=f (-0.5)=-4×(-0.5)2+2=1. 【答案】13.【解析】因为f (x )=ax 2+bx 在[a-1,2a ]上是偶函数, 所以{b =0,a -1+2a =0,解得{b =0,a =13,所以a+b=13.【答案】13题型一 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性.①f (x )=x lg (x+√x 2+1);②f (x )=(1-x )√1+x1−x ;③f (x )={x 2+2x +3,x <0,-x 2+2x -3,x >0;④f (x )=√4−x 2|x+3|−3.【解析】①∵√x 2+1>|x|≥0,∴函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称. 又∵f (-x )=-x lg (-x+√x 2+1)=x lg (√x 2+1+x )=f (x ),∴f (x )是偶函数.②当且仅当1+x1−x ≥0时函数有意义,∴-1≤x<1.∵定义域不关于原点对称,∴函数f (x )是非奇非偶函数. ③函数f (x )的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},关于原点对称.当x<0时,-x>0,∴f (-x )=-(-x )2+2(-x )-3=-(x 2+2x+3)=-f (x );当x>0时,-x<0,∴f (-x )=(-x )2+2(-x )+3=-(-x 2+2x-3)=-f (x ).综上可知,f (-x )=-f (x ),故函数f (x )是奇函数.④由题意知{4−x 2≥0,|x +3|≠3,∴-2≤x ≤2且x ≠0,∴该函数的定义域关于原点对称.∴f (x )=√4−x 2x+3−3=√4−x 2x.又∵f (-x )=√4−x 2-x=-f (x ),∴函数f (x )是奇函数.【变式训练1】判断函数f (x )=√3−x 2+√x 2-3的奇偶性.【解析】由{3−x 2≥0,x 2-3≥0,得x 2=3,∴x=±√3,即函数f (x )的定义域为{-√3,√3},从而f (x )=√3−x 2+√x 2-3=0. 因此f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.题型二 函数周期性的应用【例2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,且g (x )=f (x-1),则f (2017)+f (2019)的值为( ).A .-1B .1C .0D .无法计算 【解析】由题意得g (-x )=f (-x-1),∵f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数, ∴g (-x )=-g (x ),f (-x )=f (x ), ∴f (x-1)=-f (x+1),∴f (x )=-f (x+2),∴f (x )=f (x+4),∴f(x)的周期为4.∴f(2017)=f(1),f(2019)=f(3)=f(-1).又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2017)+f(2019)=0.【答案】Cf x+T=f x T.【变式训练2】已知f(x)是定义在R上且最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)在[0,6]上的图象与x轴的交点个数为().A.6B.7C.8D.9【解析】函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点,先在[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1(x=-1舍去).又函数f(x)在R上是以2为周期的周期函数,所以当x=2,x=4,x=6或x=3,x=5时也有f(x)=0,即在[0,6]上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.【答案】B题型三函数性质的综合应用【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上是增函数,则().A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11),故选D.【答案】D【变式训练3】已知函数f (x )在定义域[2-a ,3]上是偶函数,且在[0,3]上单调递减,若f (-m 2-a5)>f (-m 2+2m-2),则m 的取值范围是 .【解析】因为函数f (x )在定义域[2-a ,3]上是偶函数,所以2-a+3=0,所以a=5. 所以f (-m 2-1)>f (-m 2+2m-2),即f (m 2+1)>f (m 2-2m+2).又函数f (x )在[0,3]上单调递减,而m 2+1>0,m 2-2m+2=(m-1)2+1>0,所以由f (m 2+1)>f (m 2-2m+2)得{m 2+1≤3,m 2-2m +2≤3,m 2+1<m 2-2m +2,解得1-√2≤m<12.【答案】[1−√2,12)方法一 整体代换思想在函数解题中的应用整体代换思想是指将问题或者问题的一部分看成一个整体,或者将一些相关量看作整体,从整体入手,简化解题过程.【突破训练1】已知函数f (x )=2|x|+1+x 3+22|x|+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m 等于( ).A .0B .2C .4D .8【解析】f (x )=2|x|+1+x 3+22|x|+1=2+x 32|x|+1,设g (x )=x 32|x|+1,∵g (-x )=-g (x ),∴g (x )为奇函数, ∴g (x )max +g (x )min =0.∵M=f (x )max =2+g (x )max ,m=f (x )min =2+g (x )min , ∴M+m=2+g (x )max +2+g (x )min =4.【答案】C方法二 化归转化思想在函数性质中的应用【突破训练2】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在[-1,1]上,f (x )={ax +1,−1≤x <0,bx+2x+1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f (12)=f (32),则a+3b 的值为 .【解析】因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数, 所以f (32)=f (-12)且f (-1)=f (1).故f (12)=f (-12),从而12b+212+1=-12a+1,即3a+2b=-2. ① 由f (-1)=f (1),得-a+1=b+22,即b=-2a. ②由①②,得a=2,b=-4,从而a+3b=-10. 【答案】-101.(2017辽宁育才高三月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A .y=x 3B .y=|x|+1C .y=-x 2+1 D .y=2-|x|【解析】选项A 中的函数是奇函数,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上是减函数,故选B . 【答案】B2.(2017江西广昌一中期中)设f (x )-x 2=g (x )(x ∈R ),若函数f (x )为偶函数,则g (x )的解析式可以为( ).A .g (x )=x 3B .g (x )=cos xC .g (x )=1+xD .g (x )=x e x【解析】由f (x )-x 2=g (x ),x ∈R ,得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos (-x )+(-x )2=cos x+x 2=f (x ),且定义域为R ,故f (x )为偶函数.【答案】B3.(2017山东曲阜师大附中高三月考)偶函数y=f (x )在(-∞,-1]上是增函数,则下列不等式成立的是( ).A .f (-1)>f (√33) B .f (√2)>f (-√2)C .f (4)>f (3)D .f (-√2)>f (√3)【解析】已知f (x )是偶函数,则f (-x )=f (x ).f (x )在(-∞,-1]上是增函数.对于A ,f (√33)=f (-√33),∵-√33>-1,∴f (-1)与f (√33)的大小关系不确定;对于B ,f (x )是偶函数,即f (-x )=f (x ),f (√2)=f (-√2); 对于C ,f (4)=f (-4),f (3)=f (-3),∵-4<-3,∴f (4)<f (3); 对于D ,f (√3)=f (-√3),∵-√3<-√2<-1,∴f (-√2)>f (√3). 【答案】D4.(山东潍坊四中2018届月考)设常数a>0,函数f (x )=2x +a2x -a为奇函数,则a 的值为( ).A .1B .-1C .4D .3 【解析】∵函数f (x )=2x +a2x -a为奇函数, ∴f (-x )+f (x )=0,即2-x +a 2-x -a +2x +a2x -a=0, 化简得(1+a ·2x)(2x-a )+(1-a ·2x)(2x+a )=0, 故2·2x(1-a 2)=0,解得a=1或a=-1.∵a>0,∴a=1.经检验,当a=1时,函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意. 【答案】A5.(2017湖北襄阳高三期中联考)设函数f (x )=ln (2+x )+ln (2-x ),则f (x )( ).A .是奇函数,且在(0,2)上是增函数B .是奇函数,且在(0,2)上是减函数C .是偶函数,且在(0,2)上是增函数D .是偶函数,且在(0,2)上是减函数【解析】因为f(-x)=ln(2-x)+ln(2+x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.又f(x)=ln(2+x)+ln(2-x)=ln[(2+x)(2-x)]=ln(4-x2),所以f(x)在(0,2)上是减函数.故选D.【答案】D6.(2017陕西西安一模)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为().A.2B.1C.-1D.-2【解析】∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),∴f(-x)=f(x+2).又∵y=f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0,∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期为4.∴f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2.【答案】A7.(2017江苏泰州高三月考)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2-3a sinπx2,且f(3)=6,则a=.【解析】因为f(3)=6⇒f(-3)=-6,所以f(-3)=9-3a sin(-3π2)=-6⇒a=5.【答案】58.(2017合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1-x),0≤x≤1, sinπx,1<x≤2,则f(294)+f(416)=.【解析】因为函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f(294)+f(416)=f(-34)+f(-76)=-f(34)-f(76)=-316+sinπ6=516.【答案】5169.(2017重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a 的取值范围是.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.∵f(a)≥f(2),即f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2,解得a≥2或a≤-2.∴实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)。