平面向量的直角坐标及其运算
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。
本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。
二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。
同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。
在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。
在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。
在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。
4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。
在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。
在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。
四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。
希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。
7.3.2平面向量的直角坐标运算
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6
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
新课：平面向量的直角坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
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例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
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例4、 1已知A(2,3), B ( 3,5), 求BA 的坐标. 3,5 5, 2 . 解： BA 2,3 2), A (2,1), 求 B 的坐标. 2已知AB (1,
（2） a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3) a ( x1, y2 )
结论：两个向量差的横坐标等于这两个向量横坐标的差 两个向量差的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和
结论：实数与向量乘积的横坐标等于实数乘原来向量的横坐标； 实数与向量乘积的纵坐标等于实数乘原来向量的纵坐标。
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
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3、已知 A( x1 , 巩固练习
AB ( x2 -x1 , y2 -y1 )
3、已知点A(X，5)关于点M (1，1)的中心对称点是 (－2，Y)，则X和Y的值分别是?
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平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
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5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
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a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
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1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算目的：理解现面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。
一、知识点1、 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成j y i x a +=，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。
注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
2、 平面向量的坐标运算(1) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ±±=±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()1212,y y x x --=(3) 若=(x,y)，则λ=(λx, λy)(4) 若()()0,,,,2211≠==y x y x ，则0//1221=-⇔y x y x(5) 若()()2211,,,y x y x ==，则()2121,y y x x ⋅⋅=⋅ 若⊥，则02121=⋅+⋅y y x x二、举例应用例1、平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答下列问题：（1）求满足c n b m a +=的实数m,n ；（2）若()()k -+2//，求实数k ；（3）若满足()()+-//5=-，求解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-= 所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+k k k()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）()()4,2,1,4=+--=-y x由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x 练习：已知()(),1,,2,1x ==，且b a 2+与b a -2平行，求x 。
平面向量的坐标表示和运算
平面向量的坐标表示和运算平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。
在平面向量的研究中，坐标表示和运算是基本且常用的方法。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算，并说明其在解决问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是将向量在坐标系中用数值来表示。
通常，平面向量常用欧几里得空间的笛卡尔坐标系来表示，即二维平面上的直角坐标系。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则平面向量AB的坐标表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)例如，若A点的坐标为(3, 4)，B点的坐标为(7, 2)，则向量AB的坐标表示为：AB = (7 - 3, 2 - 4) = (4, -2)在直角坐标系中，向量的坐标表示可以帮助我们直观地理解向量的方向和大小，方便进行后续运算和问题解答。
二、平面向量的运算1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量按照坐标分量相对应相加的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = (3 + 1, 2 + (-1)) = (4, 1)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = A - B = (x1 - x2, y1 - y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = (3 - 1, 2 - (-1)) = (2, 3)3. 数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的直角坐标及其运算
GH （-1，-2）-（3，-1）=（- 4，- 1）
（-1，-2） （0，-3）
（3，-1）
2．平面向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。
（1）若
a
=（
a1
，
a
2
），b
=（
b1
，b
2
）则：
a
=
a1a
的积是一个向量，记作：λ
a
（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0
时λ
a
与
a
方向相同；λ<0
时λ
a
与
a
方向相
反；λ=0
时λ
a
=
0
5．运算律:
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
思考：在平面直角坐标系中，每一个 点都
AM
1 =
AB
，求点 M 的坐标。
2
解：设点 M 的坐标为（x,y），因为
AM = 1 AB
所以
2
（x,y）-（3，-2）= 1 [ （-5，-1）-（3，-2）]
2
=(-4， 1 )
即
2
（x,y）=
(-4， 1 ) 2
+（3，-2）
=（-1，- 3 ） 2
所以点 M 的坐标为（-1，- 3 ）。 2
平面直角坐标系与向量的运算
平面直角坐标系与向量的运算平面直角坐标系和向量是数学中非常重要的概念和工具。
在几何学、物理学、工程学等领域中，它们被广泛应用于描述和解决各种问题。
本文将介绍平面直角坐标系的定义和性质，以及向量的基本运算。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴组成的。
一般情况下，我们把水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
平面中的点可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来确定。
以原点O为起点，用x轴上的正方向表示右方，用y轴上的正方向表示上方。
一个点P的坐标可以表示为(x, y)。
在平面直角坐标系中，两个点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设两个点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
二、向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
向量常用字母加箭头来表示，例如向量a→。
向量的大小称为模，用两个竖线表示，例如|a→|。
向量的方向可以用角度表示，也可以用另一个向量来表示。
向量的加法和减法可以通过平移法则来进行。
假设有向量a→和b→，它们的和可以表示为a→+b→，即将向量a→的起点与向量b→的终点相连得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a→-b→，即将向量b→取反后进行加法运算。
向量的数量积和向量积是两个重要的运算。
数量积又称为点积，表示为a→·b→，计算方式为a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中θ为向量a→和向量b→之间的夹角。
向量积又称为叉积，表示为a→×b→，计算方式为a→×b→=|a→||b→|sinθn→，其中n→为垂直于a→和b→所在平面的单位向量。
三、向量的运算规律向量的运算满足一些基本的规律，包括交换律、结合律和分配律。
具体如下：1. 加法交换律：a→+b→=b→+a→2. 加法结合律：(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)3. 数量积结合律：(ka→)·b→=k(a→·b→)，其中k为常数4. 数量积分配律：(a→+b→)·c→=a→·c→+b→·c→5. 向量积分配律：a→×(b→+c→)=a→×b→+a→×c→通过以上规律，我们可以灵活地进行向量的各种运算，从而解决各类与平面几何相关的问题。
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
平面向量的坐标运算
设向量OA ( k ,12)， (4,5), OB OC (10, k ), 当k为何值时，A、 B、C 三点共线 ？
应用：
已知 3： A、B、C、D 四点坐标分别 为A(1,0)、B(4,3)、C ( 2,4)、D(0,2), 试证明四边形 、B、C、D是梯形. A
练习：
已知b的方向与a ( 3,4)的方 向相同，且| b | 15, 求b .
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0 y1 y2 2. 充要条件不能写成： x1 , x2 有可能为0 . x1 x2
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0
应用：
B 4：已知点A(4,0)， (4,4), C (2,6), 求AC和OB的交点P的坐标 .
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
x1 y2 x2 y1 0
推导过程：
3. 从而向量共线的充要条 件有两种 形式： ①a // b (b 0) a b ② x1 y2 x2 y1 0 .
应用：
若向量a ( 1, x )与b ( x ,2)共线 1： 且方向相同, 求 x .
平面向量的坐标表示与向量积
平面向量的坐标表示与向量积在解决平面向量相关问题时，我们经常需要对向量进行坐标表示和向量积的计算。
本文将介绍平面向量的坐标表示的方法以及向量积的概念和应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量在直角坐标系中的坐标表示是常用的求解方法之一。
平面向量可以表示为一个有序数对（x，y），其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
下面以平面向量AB为例进行阐述。
设A（x1，y1）和B（x2，y2）分别是平面上两个点A和B的坐标。
向量AB的坐标表示为（x2-x1，y2-y1）。
也就是说，向量AB的坐标表示是由B点的坐标减去A点的坐标得到的。
在坐标表示中，我们可以通过坐标的加减、数的乘法和数的除法来实现对向量的运算。
例如，若向量AB的坐标表示为（x1，y1），则向量BA的坐标表示为（-x1，-y1），向量OA的坐标表示为（x1，y1）。
此外，向量的大小可以通过勾股定理来计算，即向量AB的大小为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
二、向量积的概念和应用向量积，又称叉乘或矢量积，是向量运算中的一个重要概念。
在平面向量中，向量积的结果是一个数，被称为向量积的数量积。
向量积的计算公式如下：向量积AB = x1 * y2 - x2 * y1其中，（x1，y1）和（x2，y2）分别是两个向量A和B的坐标表示。
向量积的应用非常广泛，特别是在几何学和物理学中。
其中，向量积可以用来计算平面上两个向量的夹角、向量是否垂直以及向量的投影等问题。
1. 向量的夹角两个非零向量A和B的夹角θ可以通过向量积的计算得到：cosθ = (A · B) / (∥A∥ ·∥B∥)其中，(A ·B)表示向量积，∥A∥和∥B∥表示向量A和B的大小。
2. 向量是否垂直两个向量A和B垂直的充要条件是它们的向量积为零，即A · B = 0。
3. 向量的投影向量A在向量B上的投影为向量C，则有：C = (A · B / ∥B∥²) * B其中，(A · B / ∥B∥²)表示向量A在向量B上的投影长度与∥B∥的比。
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。
这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。
听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。
想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。
用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。
平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。
听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。
向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。
再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。
比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。
想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。
这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。
向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。
这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。
把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。
这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。
平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。
这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。
你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。
每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。
再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。
在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。
对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。
设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。
即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。
即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。
三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。
4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。
四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。
2.3.3平面向量的坐标运算
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) j
则
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2),则x _______
3.若点O（0， 0），A（ 1， 2），B（ 1， 3），且
(2,4) OA 2OA, OB 3OB则点A 的坐标为_____
/ / / / / （ -5，5） 点B /的坐标为（ _______, 向量 A B 的坐标为 _____ -3，9）
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5,3)
3 a 4 b 3( 2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) ( 61 ,9)
练习
第100页1、2
例3
如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 坐标.
平面向量的坐标运算
复习
1.平面向量的基本定理
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(1)基底不唯一，关键是不共线； (2)基底给定时，分解形式唯一， λ1,λ2是被 a ，e1、e2唯一确定的数量。
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量， 若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
DC (3 x, 4 y)
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1
一、复习引入：
1.向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母
a
、
b
等表示；
2.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3．差向量的意义：
OA = a , OB = b , 则 BA = a - b
）
i = （1,0）
提问：
j = （0,1）
0 = （0,0）
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5
例1
如图：请用向量 i 、 j
分别表示向量 AB 、 CD 、 EF 、GH ,
并求它们的坐标。
AB i 2j = （1，2）
CD 0i 2j = （0，2）
EF 3i(2)j =（3，-2）
GH 4i(1)j =（-4，-1）
i 2j
3i
2j
2j
i
1j
4i
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6
由定义可知：设
a
=（
a1
，
a
2
），
b
=（
b1
，
b2
）则：
ab a1a2 b1b2
提 问
设
a
=（
a1
，
a
2
），则所有与
a
相等的向量的坐标均为
（
a1
，
a
2
）
与他们的位置有无关系？ 没有
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7
为深入理解向量坐标的含义，再看这样一个问题：
所以点 M 的坐标为（-1，- 3 ）。 2
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13
三、课堂练习： P62 2、3、4（1）（3）、5
四、课堂小结： 1．平面向量的直角坐标 2．平面向量的直角坐标运算
五、布置作业： P73 4
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14
结束，谢谢！
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15
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
B （x2,y2） O
A（x1,y1）
ABOBOA (x2,y2)(x1,y1) (x2x2,y2y1)
直角坐标系中，向量的坐标等于向量的 终点坐标 减去始点坐标。
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9
例1 求出下列向量的坐标
终点-始点
AB （2，3）-（1，1）
=（2-1，3-1） =（1，2）
CD （-2，3）-（-2，1）=（0，2）
（-2，3）
i 2j
（-2，1）
（2，3） （1，1）
（-3，-1）
EF （0，-3）-（-3，-1）=（3，- 2）
GH （-1，-2）-（3，-1）=（- 4，- 1）
（-1，-2） （0，-3）（3，-1）来自精选ppt10
2．平面向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。
即 a - b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。
4．实数与向量的积：
实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a
（1）|λ a |=|λ|| a |；（2）λ>0 时λ a 与 a 方向相同；λ<0 时λ a 与 a 方向
5．运算律:
相反；λ=0 时λ a = 0
结合律：λ(μ a )=(λμ) a
12
例3
已知点 A（3，-2），B（-5，-1），且
AM
1 =
AB
，求点 M 的坐标。
2
解：设点 M 的坐标为（x,y），因为
AM = 1 AB
所以
2
（x,y）-（3，-2）= 1 [ （-5，-1）-（3，-2）]
2
=(-4， 1 )
即
2
（x,y）=
(-4， 1 ) 2
+（3，-2）
=（-1，- 3 ） 2
取与x轴、y轴正方向相同的两
则 AB
个单位向量
ij
ABACCB
3i2 j
（3， 2）
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22jj
33ii
4
向量坐标的定义：
如图，平面直角坐标系
xOy
中的任意一个向量
a
，有且只有一对实数
a1
，
a
2
使得
a=a1 i +a2 j
则：（
a1
，
a
2
）叫做向量
a
的坐标，
i
记作：
a
=（
a1
，
a
2
解 ab(4,3)(6,8)(46,38) (2,5)
ab(4,3)(6,8)(4(6) ,38)
(10,11)
2a3b2(4,3)3(6,8)
( 2 4 ,2 ( 3 ) ( ) 3 ( 6 )3 ,8 )
(8,6)(1,2 8)4 (8(1)8 ,62)4 (26,30)
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（1）若
a
=（
a1
，
a
2
），b
=（
b1
，b
2
）则：
a
=
a1
i +a2
j
，b = b1
i +b2
j
于
是：
a + b = （ a1 i + a2 j ）+（ b1 i +b2 j ）
=（ a1+b1） i +（ a2 +b2 ） j
=（ a1+b1， a2 +b2 ）
即
a
+
b
=
（
a1
，
a2
）+（
b1
，b2
）=（
a1
+
b1
，
a2
+b2
）
a-b =
（ a1 ， a2 ）-（b1 ，b2 ）=（ a1 -b1 ， a2 -b2 ）
λ
a
=
λ（ a1 ， a2 ）=（λ a1 ，λ a2 ）
精选ppt
11
例2：已知 a (4,3) , b (6,8), 求：a b , a - b , 2a-3b .
作向量
OA
=
a
=（
a1
，
a
2
），
则向量 OA 的终点 A 的坐标是什么？
也是（ a1 ， a2 ）
反之，点 A 的坐标是（ a1 ， a2 ），
则向量 OA 的坐标也是（ a1 ， a2 ）
总结：起点在原点的向量的坐标 等于这个向量的终点坐标。
精选ppt
8
向量坐标与点的坐标的联系：
在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A( x1 ， y1)，点 B（ x2 ， y2 ）则：
分配律：(λ+μ) a =λ a +μ a
λ( a + b )=λ a +λ b
精选ppt
2
思考：在平面直角坐标系中，每一个 点都
有一对有序实数（坐标）来表示；任意一个 向量，它的始点和终点也可用坐标表示；那 么向量能否用坐标表示？怎样表示？
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3
二、讲解新课：
1．平面向量的直角坐标
如图，在直角坐标系内，分别