应力状态

•是否一定存在切应力为 零的面？ •正应力最大与最小的面， 切应力有什么性质？
x
强度条件 y

y y
dx
dy
x
x
y

dz
x
z
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应力状态分析
一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。 单元体如何取？ y 在研究点的周围，取一个由 三对互相垂直的平面构成的六面 dz 体，该六面体的边长分别为无穷 dx x 小量dx、dy和dz，如下图所示。 dy
z
y
y
dz
x
z
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应力状态分析
应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。 y
x
y y
n


x
x
t
y x x
dA
x
x y
2 x y 2
n




x y
2
cos(2 ) x sin(2 )
应力状态分析
绘制应力圆两例
B B A A
法线夹角 -




(A, A)
(0, )
o

o
(B, B)

2(-)
(0, )
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应力状态分析
应力圆的作用：
1、思维分析的工具 2、通过明晰的几何关系导出一些基本公式， 不用死记硬背
应力状态分析

工字梁:
d
C ,max
1
1
a
b
max
1
C
z
a
max
1
O
max
1
y

1
c
d
t ,max
C ,max
b
c
y
t ,max
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
y
y
t

sin(2 ) x cos(2 )
符号规定：—拉伸为正；—使微体顺时针转者为正 —以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正
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应力状态分析
应力转轴公式（斜截面上的应力公式）


x y x y
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应力状态分析

几种简单受力状态的应力圆
纯剪切受力状态
y
单向受力状态
x x
双向等拉

x

R=x
R=x/2 o
C
C

o

o

x/2
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2 x y 2 2
cos2 x sin2
sin2 x cos2
斜截面上的应力公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质 无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况， 也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
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应力状态分析
§1
引言
在研究三种基本变形强度 问题时，都是研究的各构件横 截面上的应力情况
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应力状态分析
1. 直杆受轴向拉（压）时，其任意横截面上的应力是均布的，即 横截面上各点处的应力是相等的。 2.圆轴扭转时,其任意横截面上剪应力是按线性 分布的,横截面上各点应力不相等 3.剪切弯曲的梁,其横截面上分布的正应力和剪应 力,也不是均布的
2
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应力状态分析
y
y
y

x

n
H
H ,
D
x
x
o
y
y
E
C
2 20 x F
H

•绘图：以ED为直径， C为圆心作圆 • 面应力：
x+y)/2
x-y)/2
x
H
H
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应力状态分析
例 用图解法求图示 =30°斜截面上的应力值。
yx=35.7MPa x=63.7MPa
30
n源自文库
解：按一定比例画出应力圆。
因为图示应力状态有：
x 63.7MPa 0 y 0
xy yx 35.7MPa
应力状态分析
二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍。 转向对应：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致。
y

y

n
H ( , )
2 C
D( x , x )


x x
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
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应力状态分析
应力状态分析
§1 §2 引言 平面应力状态应力分析
§3
§4 §5 §6 §7
应力圆
平面应力状态的极值应力与主应力 三向应力状态 平面应变状态应变分析（自学） 广义胡克定律
§8 复杂应力状态下的应变能
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x
x
-30 ° y

-30 °
x
x
x 30° n

30

x 0 x 0

2 2 16.9MPa
cos 60 x sin 60





30

x 0
2
sin 2 x cos 2 45.4MPa
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P y
A
P
x
A
x yx
B
z C
P M x
x
zx
B
xz
x
C
xy
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应力状态分析
y
y x
§2
y
dx dy
平面应力状态应力分析
什么是平面应力状态？
x
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。 由此推断
x
dz
x
微体仅有四个面作用有应力； 应力作用线均平行于不受力表面； 平面应力状态的应力分析 问题：已知x , y, x , y, 求任 意平行于z轴的斜截面上的应力。
绘制方法2（实际采用）
y
y

D
y

x
n
x
x
o
y
y
E
C
x
F

x+y)/2
x-y)/2
•分析
x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E( y , y ), 由于 x y , 故DE中点坐标 C ( x y , 0) 为圆心，DE为直径。

—坐标系下的圆方程
x y （ ， 0） 圆心坐标： 2
R o (x+ y)/2

半径：
R (
x
2
y 2
) x2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
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应力状态分析
二、应力圆的绘制及应用
（自己证明）
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应力状态分析
应力圆点与微体截面应力对应关系 点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。

y
H( , )
y


C
x

x

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应力状态分析
例 图示圆轴中，已知：圆轴直径 d=100mm ，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。求表面C点 =30° 截面上的应力。
y F T C T
y
F x
x
x
C
x
y
x
x
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
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应力状态分析
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态 •应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况，称为该点处的应变状态
30 17MPa

30 46MPa

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应力状态分析
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力

K
D( x , x )
R
y
o B
C
2 0
A

max
y
min
x
0
x
E( y , y )
max
( x y ) 2
M
min
思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最 大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？
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应力状态分析
思考： 对于平面应力：

K
D( x , x )
R
•是否一定存在正应力为 零的面？
应力状态分析
已知 x 80 MPa
x 60 MPa
y 30 MPa
210


30
60 80
求图示 ， 解：

x y x y cos2 x sin2 2 2
单位：MPa

x y
2
sin2 x cos2
z
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应力状态分析
单元体每个面上应力均匀分布； 每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；
代表该点三个相互垂直方向上的应力
y
dz dx dy x
z
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应力状态分析
例1
画出下列图中的A、B、C点的单元体。
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应力状态分析
则x、y截面在应力圆上两点为：

Dy(0, 35.7)
Dx 63.7， 35.7
Dy 0， 35.7

60°
Dx(63.7,-35.7) ， -30°) E-30° 20MPa
按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：
应力状态分析
§3
一、应力圆 应力转轴公式
应力圆
在 平面上， , 的轨迹？ 应力圆
应力转轴公式形式变换
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应力状态分析
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
)2 x 2
F 500103 x 63.7 MP a A π 1002 4
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应力状态分析
为什么是负号？
Me 7 10 x 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y y C
图示斜截面上应力分量为：
正应力按线性分布 剪应力按抛物线分布
N A
Mn y Ip
My Iz
Q Sz Iz b
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应力状态分析
铸铁
•铸铁断口与轴线垂直，为什么？ •容易由实验建立强度条件。
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绘制方法1：
以 （
R (

x y ， 0） 为圆心， 2
y 2
R
o (x+ y)/2
x
2

) x2
为半径作圆
缺点： •需用解析法计算圆心坐标和半径 •没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
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应力状态分析
应力状态分析
低碳钢
铸铁
•容易由实验建立强度条件。
仅仅根据横截面 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 上的应力，能否 回答这一问题？ 为什么脆性材料扭转时沿 45º 螺
旋面断开，破坏面呈颗粒状？
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应力状态分析
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？
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应力状态分析
螺旋桨轴:
A
F M
微体A
F


•采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
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