2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)25二阶线性常微分方程课件(共33张PPT)
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2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)19第二型曲面积分课件(共28张PPT)
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2020高中数学竞赛 辅导课件 （联赛版）
基础微积分
2020/5/1
2
第十九讲
一、第二型曲面积分的概念 二、第二型曲面积分的计算 三、向量场的微分算子
2020/5/1
3
一、第二型曲面积分的概念
有向曲面: 指定曲面的一侧为正，即在两个单位
法向量中选定一个为正.
(1) S : F( x, y, z) 0
x x, y y, z f ( x, y)
A ( y, z) f , B (z, x) f ,
( x, y) x
( x, y) y
C (x, y) 1
(x, y)
v
dS
[X ( f ) Y ( f ) Z ]dxdy
S
Dxy
x
y
2020/5/1
19
[例1]S是中心为原点, 半径为R的球面外侧,
24
dS 1 ddz
v ndS
2
d
3
(z
cos3
sin3
)dz
0
S
2
2
2
(9 2
cos3
3sin3
)d
9 2 cos3 d 6 0
2020/5/1
25
三、向量场的微分算子
1.数量场的梯度算子
:
i
j
k
x y z
设数量场u u( x, y, z)可微，u( x, y, z)的梯度
S
(S1 S1) (S2 S2 ) ,则
v
dS
v
dS
v
dS
S
S1
S2
2020/5/1
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2020高中数学竞赛 辅导课件 （联赛版）
基础微积分
2020/5/1
2
第十九讲
一、第二型曲面积分的概念 二、第二型曲面积分的计算 三、向量场的微分算子
2020/5/1
3
一、第二型曲面积分的概念
有向曲面: 指定曲面的一侧为正，即在两个单位
法向量中选定一个为正.
(1) S : F( x, y, z) 0
x x, y y, z f ( x, y)
A ( y, z) f , B (z, x) f ,
( x, y) x
( x, y) y
C (x, y) 1
(x, y)
v
dS
[X ( f ) Y ( f ) Z ]dxdy
S
Dxy
x
y
2020/5/1
19
[例1]S是中心为原点, 半径为R的球面外侧,
24
dS 1 ddz
v ndS
2
d
3
(z
cos3
sin3
)dz
0
S
2
2
2
(9 2
cos3
3sin3
)d
9 2 cos3 d 6 0
2020/5/1
25
三、向量场的微分算子
1.数量场的梯度算子
:
i
j
k
x y z
设数量场u u( x, y, z)可微，u( x, y, z)的梯度
S
(S1 S1) (S2 S2 ) ,则
v
dS
v
dS
v
dS
S
S1
S2
2020/5/1
2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)03多元函数微分法课件(共29张PPT)
a1 x a2 y () (当 0)
( 其中, d(M, M0 ) x2 y2 )
则
称
函
数f在
点M
可
0
微.并
且
将a1
x
a2
y
称
为f在
点M
处
0
的
全微分.记作2020/5/1 dz |M0 df ( x0 , y0 ) a1 x a2 y
5
定 理1： (可 微 与 连 续 的 关 系)
其中, lim 0, lim 0
( x, y)( x0 , y0 )
( x, y)( x0 , y0 )
代 入函 数 增量 表 达式, 得 到
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y x y
因为 x y 0
f11 2 y f12 2 yz f13 y2 f22 2 y2zf23
y z f 2020/5/1
22 33
25
uy x f2 xz f3
uyy x2 f22 x2z f32 x2z f23 x2z2 f33 x 2 f22 2 x 2 z f23 x 2 z 2 f33
如 果 函 数f ( x, y)在 点M0 ( x0 , y0 )可 微,则 函 数 在 这 点 连 续.
[证] 由可微定义, 知
f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 )
a1 x a2 y () ( 0)
于是, 有
lim
( x, y )( x0 , y0 )
函 数,求 2z yx
[解] 记 z f (u, v), 其 中, u 2x,
2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)11二重积分的计算课件(共40张PPT)
i
j
M1*
k
M1
M
MM1*
MM
* 3
xuu
yuu
0
xvv yvv 0
因此 det ( x, y) u v J u v
2020/5/1
(u, v)
32
于是有积分和
(x, y)
S f [x(ui ,v j ), y(ui ,v j )]det (u,v) uiv j ij 令 诸 小 区 域 直 径 最 大 值趋 于 零, 取 极 限 就得到
x1 x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 )u o(u)
x0 xuu o(u) y1 y(u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )u o(u)
y0 yuu o(u)
2020/5/1
29
M2( x2, y2 ) :
( x(u0 u, v0 v), y(u0 u, v0 v))
在D上可积, 记 f (x, y)dxdy A
D
取 特 殊 的 分 法, 积 分 和 的 极 限 仍 然 存 在.
用 平 行 于 坐 标 轴 的 直 线y 分 割 (i 1, , n; j 1, , m)
y y2(x)
任给 0, 存在 0, yj
y y1(x)
当0 xi2 y2j 时, o nm
20
二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下的 表 达 式 为
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D*
如何化为累次积分？
2020/5/1
21
[例3] 计算 e d x2y2 其中D : x2 y2 R2
D
[解] 在极 坐标 下化 为累次 积分
2020高中数学 竞赛—基础微积分(联赛版) 06映射课件(共29张PPT)
球面的参数方程 4
定义2：
设 映 射f : Rn Rm , X 0 .如 果
lim
X X0
f (X)
f
(
X
0
),
则
称
映
射f在
点X
处
0
连 续.
语言描述：
0, 0, 使 当X 满 足
d ( X , X 0 ) ,恒 有d ( f ( X ), f ( X 0 )) 成 立 。
d lim
s s
ds s0 s
s
T ( s)
反 映 曲 线 在 一 点 处 的 弯曲 程 度
2020/4/23
25
T(
x a cos t,
y
a
sint
,
20
t [ , ] 15
10
z vt,
5 0
2
1
2
(2) f : D R2 R3 ,
0 -1
1 0 -1
-2 -2
D {( , ) 0 2 ,0 }
x R sin cos ,
y
R sin
sin
,
z
R cos
,
2020/4/23
( , ) D
a11
L( X )
AX
a21
a12 a22
am1 am2
a1n x1
a2
n
x2
amn
xn
n
a1 j x j
j1
n
a2 j x j
j 1
n
T
amj x j
j 1
反 之 ， 任 意 一 个m n矩 阵A, 都 确 定 一 个
Rn到Rm的 一 个 线 性 映 射L.
定义2：
设 映 射f : Rn Rm , X 0 .如 果
lim
X X0
f (X)
f
(
X
0
),
则
称
映
射f在
点X
处
0
连 续.
语言描述：
0, 0, 使 当X 满 足
d ( X , X 0 ) ,恒 有d ( f ( X ), f ( X 0 )) 成 立 。
d lim
s s
ds s0 s
s
T ( s)
反 映 曲 线 在 一 点 处 的 弯曲 程 度
2020/4/23
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T(
x a cos t,
y
a
sint
,
20
t [ , ] 15
10
z vt,
5 0
2
1
2
(2) f : D R2 R3 ,
0 -1
1 0 -1
-2 -2
D {( , ) 0 2 ,0 }
x R sin cos ,
y
R sin
sin
,
z
R cos
,
2020/4/23
( , ) D
a11
L( X )
AX
a21
a12 a22
am1 am2
a1n x1
a2
n
x2
amn
xn
n
a1 j x j
j1
n
a2 j x j
j 1
n
T
amj x j
j 1
反 之 ， 任 意 一 个m n矩 阵A, 都 确 定 一 个
Rn到Rm的 一 个 线 性 映 射L.
高中物理竞赛数学知识之一二阶微分方程求解(共37张PPT)
0y(0)C1, C 1 ,
dyyd(x2)d(x2)；
故原方程欲求的特解为
e x 2d y e x 2y d ( x 2 ) e x 2d (x 2 )； yex2 ex2 1 或者 y e x2 1.
ex2d yyd(ex2)ex2d(x2)；
(x2y2)dy2xydx,
2xydxx2dyy2dy,
yd(x2)x2dyy2dy;
可见，
yd(x2) x2dy
y2
dy ,
x2 d( ) dy ;
y x2 d( y) 0 . y
故原方程的通解为
x2
yC
即
y
x2 y2 Cy .
非线性方程的通解（包括特解）
高中物理竞赛数学知识 之
一、二阶微分方程求解
常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的
一 二
三
四
五
专题
退出
1. 何谓常微分方程
2. 常微方程分类命名法
含一元未知函数的导函数或因变量 常微方程按其内所含未知函数的最高
的微分以及自变量的微分的等式称为 阶数来分类并命名。最高阶数是几，方
常微分方程；含多元未知函数的偏导 程就被称为几阶方程。
d ( e
1 x
),
1
d( y e x ) 0,
故
1
1
y e x C , y e x C.
凑微分法解一阶微分方程时， 只要可能，应坚持因变量按因变量凑， 自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。
在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
二阶微分方程教学课件
两端积分，得
再积分，得
即
所以
于是所求的特解为
*
为了求出它的解，
利用复合函数的求导法则，
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
设它的通解为
分离变量并积分，得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x ．
*
例4
解
方程不显含自变量 x ，
定理1
这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．
先讨论二阶常系数线性齐次微分方程
(6)
的解的结构．
那么
(7)
也是方程(6)的解，其中是任意常数．
*
那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？
因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．
如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么
*
所以上式要成立就必须有
(8)
反之，若r是方程(8)的一个根，
特征方程为
特征根为
*
综上所述，
的根
特征方程
方程
通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下：
（6）
(2) 求出特征方程的两个根 与 ；
(1) 写出方程对应的特征方程 ；
特征方程的根称为特征根．
再积分，得
即
所以
于是所求的特解为
*
为了求出它的解，
利用复合函数的求导法则，
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
设它的通解为
分离变量并积分，得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x ．
*
例4
解
方程不显含自变量 x ，
定理1
这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．
先讨论二阶常系数线性齐次微分方程
(6)
的解的结构．
那么
(7)
也是方程(6)的解，其中是任意常数．
*
那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？
因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．
如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么
*
所以上式要成立就必须有
(8)
反之，若r是方程(8)的一个根，
特征方程为
特征根为
*
综上所述，
的根
特征方程
方程
通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下：
（6）
(2) 求出特征方程的两个根 与 ；
(1) 写出方程对应的特征方程 ；
特征方程的根称为特征根．
二阶线性常系数微分方程-PPT精选文档
转化
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程: ypyqy0(p ,q 为常 ) ①数
因r为 为常,数 函时 数 erx和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
若特征方程含 k 重复根 ri,则其通解中必含
对应项
e x [ ( C 1 C 2 x C k x k 1 ) co x s
(D 1 D 2 x D k x k 1 )six n ]
Байду номын сангаас 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o is six n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
为y使 中不 v1 ,v2 ,含 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y 1 v 1 y 2 v 2 y 1 v 1 y 2 v 2
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
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例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1exC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程: ypyqy0(p ,q 为常 ) ①数
因r为 为常,数 函时 数 erx和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
若特征方程含 k 重复根 ri,则其通解中必含
对应项
e x [ ( C 1 C 2 x C k x k 1 ) co x s
(D 1 D 2 x D k x k 1 )six n ]
Байду номын сангаас 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o is six n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
为y使 中不 v1 ,v2 ,含 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y 1 v 1 y 2 v 2 y 1 v 1 y 2 v 2
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
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例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1exC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
二阶微分方程.ppt
(R' )' / R k 2 2R " /
传
导
" 0
1
(R' )'(k2
2
)R
0
方
程
Acosm Bsin m
x k
R"
1 x
R'(1
m2 x2
)R
0
常微分方程的级数解法
• 常微分方程中点的分类 • 各点邻域级数解的形式 • 勒让德方程的级数解 • 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
2 xx yy
•坐标变换关系
x cos
y
sin
•微分变换关系 •极坐标下的形式
x y
c s
os in
sin cos
1
2 1 2
1
1 2
数义：对称性就是在某种变换下的不变性 – 分类
• 对称性的描述 • 对称性原理
– 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性 时，它的解也具有同样的对称性。
(r2R' )'l(l 1)R 0
'Y l(l 1)Y 0 Y ()( )
拉
R Crl Drl1 sin (sin ' )' / l(l 1) sin2 " /
普
拉
" 0 sin (sin' )'[l(l 1)sin2 ] 0
斯
方
Acosm Bsin m
– 一般情况
• 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程
– 轴对称情况
• 勒让德方程
• 极坐标下热传导方程的分离变量
– 一般情况
• 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程
常微分方程—二阶线性,常系数 共41页PPT资料
设非齐次方程通解为
y c 1 (x )y 1 c 2 (x )y 2
y c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2
设 c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 0
模型. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 xx0,初始 速度为 v0, 求物体的运动规律 xx(t).
解: 由8.3.2的模型可知, 位移满足
因此定解问题为
例1 求方 yx 程 y1yx1的.通解 1x 1x
例2 求 x 2 方 y ( x 2 ) 程 ( x y y ) x 4的通解．
例1 求方 yx 程 y1yx1的.通 1x 1x
解 1 x 1 0, 1x 1x
对应齐方一特解为
c1(x) 1 c2(x) xex
c1(x)xC 1，c 2 (x ) x x e e x C 2 原方程的通解为 y C 1 x C 2 e x x 2 x 1 .
例2 求 x 2 方 y ( x 2 ) 程 ( x y y ) x 4 的通解.
补充内容
y P ( x ) y Q ( x ) y 0
可观察出一个特解
( 1 )若 P (x ) x(x Q ) 0 , 特解 yx; ( 2 )若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 特解 yex; ( 3 )若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 特解 yex.
的一个非零特解，
令 y2u (x)y1 代入(1)式, 得
2020高中数学 竞赛—基础微积分(联赛版) 19第二型曲面积分课件(共28张PPT)
2020/4/23
22
S
[解 法2] 利用向量形式化为一型曲面积分
x2zdy^dz y2dz^dx zdx^dy
S
v
dS
v
ndS
其中v ( x2z, y2, z)T
nS
1
S
(2x,2
y,0)T
,即n
(
x,
y,0)T
2
柱面坐 标系下
x cos
y sin
zz
,
2
2
,0
z
3,
2020/4/23
v
dS
(
X
cos
Y
cos
Z
cos
)dS
S
S
X dy^dz Y dz^dx Z dx^dy
S
X d yz Y d zx Z d xy
S
其中 dy^dz (cos )dS d yz
dz^dx (cos )dS d zx
dx^dy (cos )dS d xy
2020/4/23
Z
cos
)dS
S
S
向量形式 X d yz Y d zx Z d xy S
X dy^dz Y dz^dx Z dx^dy
S
2020/4/23
坐标形式
11
二、第二型曲面积分的计算
基本方法：化为二重积分 注意：S 为 有 向 曲 面
被积 函数定 义在曲 面S 上
2020/4/23
12
[方法一]: 化为第一型曲面积分计算
S : x x( y, z) ( y, z) Dyz
Xdy^dz X ( x( y, z), y, z)d yz
S
常微分方程ppt
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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最新[数学]二阶线性微分方程理论及解法教学讲义ppt课件
![最新[数学]二阶线性微分方程理论及解法教学讲义ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/f0a06140ccbff121dd36836e.png)
的 n 个线性无关解, 则该方程的通解为 y C 1y 1 C nyn(C k为任 ) 意常
34-7
二、二阶非齐次线性微分方程解的结构
2020/12/15
定理 3. 设y*(x)是二阶非齐次方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
( A )C 1 y 1 C 2 y 2 y 3 ;
(B )C 1 y 1 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3 ; ( C )C 1 y 1 C 2 y 2 ( 1 C 1 C 2 )y 3 ;
( D ) C 1 y 1 C 2 y 2 ( 1 C 1 C 2 ) y 3 . 提示: ( C ) C 1 ( y 1 y 3 ) C 2 ( y 2 y 3 ) y 3
即y 是①的解. 又Y 中含有两个独立任意常数，证毕！
34-8
2020/12/15
例如, 方程 yyx有特解 y*x 而对应齐次方程 yy0的通解为
Y C 1 cx o C s 2 sx in 因此该方程的通解为
y C 1 cx o C 2 sx i x n
34-9
2020/12/15
推广*. 给定 n 阶非齐次线性方程
n
的特解, 则 y yk 是方程
k 1
n
yP(x)yQ (x)yfk(x)
的特解.
k1
34-11
2020/12/15
例1. 设线性无关函数 y1,y2,y3都是二阶非齐次线 性方程 y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) 的解, C1,C2 是任意
常数, 则该方程的通解是 ( D ). （89 考研）
( D ) C 1 ( y 1 y 3 ) C 2 ( y 2 y 3 ) y 3 y1y3,y2y3线性无关. （反证法可证）
34-7
二、二阶非齐次线性微分方程解的结构
2020/12/15
定理 3. 设y*(x)是二阶非齐次方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
( A )C 1 y 1 C 2 y 2 y 3 ;
(B )C 1 y 1 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3 ; ( C )C 1 y 1 C 2 y 2 ( 1 C 1 C 2 )y 3 ;
( D ) C 1 y 1 C 2 y 2 ( 1 C 1 C 2 ) y 3 . 提示: ( C ) C 1 ( y 1 y 3 ) C 2 ( y 2 y 3 ) y 3
即y 是①的解. 又Y 中含有两个独立任意常数，证毕！
34-8
2020/12/15
例如, 方程 yyx有特解 y*x 而对应齐次方程 yy0的通解为
Y C 1 cx o C s 2 sx in 因此该方程的通解为
y C 1 cx o C 2 sx i x n
34-9
2020/12/15
推广*. 给定 n 阶非齐次线性方程
n
的特解, 则 y yk 是方程
k 1
n
yP(x)yQ (x)yfk(x)
的特解.
k1
34-11
2020/12/15
例1. 设线性无关函数 y1,y2,y3都是二阶非齐次线 性方程 y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) 的解, C1,C2 是任意
常数, 则该方程的通解是 ( D ). （89 考研）
( D ) C 1 ( y 1 y 3 ) C 2 ( y 2 y 3 ) y 3 y1y3,y2y3线性无关. （反证法可证）
2020高中数学竞赛—微积分(联赛版)01多元函数(共28张PPT)
2020/4/22
16
例： z sin x2 y2 的图形如下 x2 y2
2020/4/22
17
一 元 函 数 的 定 义 域 是 数轴 上 的 一 个 点 集 (实 数 集 合R的 一 个 子 集)
二元函数的定义域是平面上的一个点集 (二 维 空 间R 2的 一 个 子 集)
n元 函 数 的 定 义 域 是n维 空 间R n的 一 个 子 集
(1) z 1 x2 y2
上半球面
(2) z x2 y2
旋转抛物面
(3) z x2 y2
圆锥面
(4) z x2 y2
马鞍面
[小结]: 二元函数的几何意义
二元函数z f ( x, y)的图形是一张曲面.
任 何 一 条 平 行 于z轴 且 通 过 区 域D的 直 线
与 它 都 有 且 只 有 一 个 交点.
其中n维向量X ( x1, x2 , , xn )T 叫做自变量, 叫做f的定义域, f ()叫做f的值域.
二元函数: D R2 , f : D R, 记作: z f ( x, y)
三元函数: R3 , f : R, 记作: u f ( x, y, z)
2020/4/22
15
[例3] 下列 二元函 数的图 形是什麽?
d( X ,Y )
X Y
n
(
( xi
yi
)2
)
1 2
i1
性质：
(1) X ,Y , 有 d( X ,Y ) 0,
且 d(X,Y ) 0 X Y
(2) d( X ,Y ) d(Y , X )
(3) X ,Y , Z, 有 d( X ,Y ) d( X , Z ) d(Z,Y )
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( 4)2 0 4 (重根)
通解 y (C1 C2 x)e4 x
2020/5/1
26
[例3] 求方程 y 2 y 2 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 2 2 0
1, 2
2 48 2
1
i
通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
2020/5/1
27
高阶线性常系数齐次方程
通解 y C1e1x C2e2x
(2) b2 4ac 0, 两 个 相 等 实 根
1
2
b 2a
一 个 解 y1 ex
问题: 如何求出另一个解 ?
根据线性无关性
设 y2 u( x)ex
2020/5/1
22
代入方程，经整理得
[au (2a b)u (a2 b c)u]ex 0
au (2a b)u (a2 b c)u 0
y1 a1( x) y1 a2( x) y1 0
y2 a1( x) y2 a2 ( x) y2 0
C1( x) y1 C2 ( x) y2 f ( x) (2)
2020/5/1
8
将(1)式与(2)式联立, 即得
y1C1( x) y2C2 ( x) 0
y1C1
(
x
)
y2C2 ( x)
y a1( x) y a2( x) y 0 (2) 情 况1 : 若已知y0( x)是方程(2)的一个非零
解, 求 方 程(1)的 解 。(同 理 可 求 方 程( 2)的 解)
设方程(1)的解 y( x) C( x) y0 ( x)
y C( x) y0 ( x) C( x) y0 ( x)
含 有 如 下 形 式 的 项:
ex[(C1 Cm xm1 ) cos x
( D1 Dm xm1 ) sinx]
m2
ex[(C1 C2 x) cos x (C3 C4 x) sinx]
2020/5/1
29
[例4] 求方程 y y 0的通解
[解] 写出特征方程
3 0
( 1)( 1) 0
结果 相同
20
二阶线性常系数齐次方程
ay by cy 0
设 y ex , 代 入 方 程
(a2 b c)ex 0
因 为ex 0, 所 以 有
特征方程
a2 b c 0
1, 2 特征根
2020/5/1
21
根据特征根，讨论通解
(1) b2 4ac 0, 两 个 不 等 实 根1 2 y1 e1x 与 y2 e2 x 线 性 无 关
问题： 方程(2)的一个非零解y1( x)怎麽得到?
2020/5/1
10
观察法
注意 y a1( x) y a2( x) y 0 系数的特点
若a2( x) 0
y1( x) 1
若1 a1( x) a2( x) 0 y1( x) e x
若1 a1( x) a2( x) 0 y1( x) e x
系数是x的降幂排列，设想解是幂函数
设y( x) x
代入方程
y' x1, y'' ( 1) x2
x (2 2) 0 x 0
1 1, 2 2 y1( x) x, y2( x) x2
通 解 y C1x C2 x2线性无关
2020/5/1
13
[例2] 求 方 程 y y sin2 x 的 一 个 解
即 u 1 , t
t 解 得 u c2 (c1 1)t t ln t
通 解 x(t ) u(t )et c2et (c1 1)tet tet ln t
2020/5/1
18
二、常系数齐次线性方程的特征根法
问题: 如何求常系数线性齐次 方程的通解 ?
关键: 找到一组线性无关解 !
一阶线性常系数齐次方程 dy py 0 dx
用分离变量法可求得通解 y Ce px
一个解 :
2020/5/1
y e px 此法对高阶不适用！
19
[法2] dy py 0
dx 设 y ex , 代 入 方 程
e x pe x 0
( p)e x 0
因 为ex 0
p
求出的一个解 y e px
此法对高阶也适用！
2020/5/1
y (C1 C2 x C3 cos 2x C4 sin2x)e x
C2
(
x)
1 2
ex sin2 xdx 1 ex (sin2 x sin2x 2) 10
2020/5/1
16
非齐次方程的一个解
y*( x) C1( x) y1( x) C2( x) y2( x)
1 (sin2 x sin2x 2)ex e x 10
1 (sin2 x sin2x 2)e x ex 10
2020/5/1
24
[例1] 求方程 y 3 y 10 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 3 10 0
( 2)( 5) 0
1 2, 2 5
通解
y C1e2 x C2e5 x
2020/5/1
25
[例2] 求方程 y 8 y 16 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 8 16 0
1 (sin2 x 2)
2020/5/1
5
17
[例3]已知x0(t) et 是齐次方程x 2x x 0 的解,求非齐次方程x 2x x 1 et的通解. t
[解] 令x u(t )et， 则
x (u u)et， x (u 2u u)et
代入非齐次方程
(u 2u u)et 2(u u)et uet 1 et
2020/5/1
7
整理后得到
[C1( x) y1 C2 ( x) y2 ]
C1( x)[ y1 a1( x) y1 a2 ( x) y1 ] C2 ( x)[ y2 a1( x) y2 a2 ( x) y2 ] f ( x)
y1( x)与 y2 ( x)均为齐次方程(2)的解, 故
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2020高中数学竞赛 辅导课件 （联赛版）
基础微积分
2020/5/1
2
第二十五讲
一、二阶线性常微分方程的 变动任意常数法
二、常系数齐次线性方程的 特征根法
2020/5/1
3
一、 二阶线性常微分方程的
变动任意常数法
y a1( x) y a2( x) y f ( x) (1)
的通解
[解] 写出特征方程
4 43 102 12 5 0
观察有 1 1
( 1)(3 32 7 5) 0
3 32 7 5 0
2020/5/1
33
3 32 7 5 0 即 (3 32 2 ) (5 5) 0
( 1)(2 2 5) 0
1,2 1, 3,4 1 2i
y1C1
(
x
)
y2C2 ( x)
f (x)
e e
x x
C1( C1(
x) x)
ex ex
C2( x) C2( x)
0 sin2
x
2020/5/1
15
解得
C1( x)
1 ex sin2 x 2
C2 (
x)
1 2
e
x
sin2
x
积分得到
C1 ( x)
1 2
ex sin2 xdx 1 ex (sin2 x sin2x 2) 10
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0
特征方程
a0n a1n1 an1 an 0
(1)若 有 一 个k重 实 根 , 则 通 解 中 含 有 如 下
形 式 的 项:
(C1 Ck x k1 )e x
2020/5/1
28
(2) 若有一对m重复根 i ,则通解中
1 0, 2 1, 3 1
通解 y C1 C2e x C3e x
2020/5/1
30
[例5] 求方程 y 3 y 3 y y 0的通解
[解] 写出特征方程
3 32 3 1 0
( 1)3 0 1 (三重根)
通解 y (C1 C2 x C3 x2 )e x
2020/5/1
2020/5/1
6
于是 y*' C1( x) y1 C2 ( x) y2
y*'' C1( x) y1 C2( x) y2 C1( x) y1 C2( x) y2
代入方程(1)得到
[C1( x) y1 C2 ( x) y2 C1( x) y1 C2( x) y2] a1( x)[C1( x) y1 C2( x) y2 ] a2( x)[C1( x) y1 C2( x) y2 ] f ( x)
f (x)
因为y1( x)与y2( x)线性无关,所以上述 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不等 于 零
即
y1 y2 0
y1 y2
故方程组有解, 解出C1( x) 和C2( x)后,
再积分便可得到C1( x)和C2( x)
2020/5/1
9
综 上 所 述,只 要 求 出 齐 次 方 程(2)的 一 个 非 零 解 或 两 个 线 性无 关 的 解 ， 就 可 已 通 过 变 动 任 意 常 数法 得 到 二 阶 线 性常微分方程的解。
y2 e( i ) x
利用欧拉公式 eix cos x i sin x
y1 ex (cos x i sinx)
y2 ex (cos x i sinx)
根据解的性质，组合成两个实值解
y1 y2 ex cos x,
2
y1 y2 ex sinx
通解 y (C1 C2 x)e4 x
2020/5/1
26
[例3] 求方程 y 2 y 2 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 2 2 0
1, 2
2 48 2
1
i
通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
2020/5/1
27
高阶线性常系数齐次方程
通解 y C1e1x C2e2x
(2) b2 4ac 0, 两 个 相 等 实 根
1
2
b 2a
一 个 解 y1 ex
问题: 如何求出另一个解 ?
根据线性无关性
设 y2 u( x)ex
2020/5/1
22
代入方程，经整理得
[au (2a b)u (a2 b c)u]ex 0
au (2a b)u (a2 b c)u 0
y1 a1( x) y1 a2( x) y1 0
y2 a1( x) y2 a2 ( x) y2 0
C1( x) y1 C2 ( x) y2 f ( x) (2)
2020/5/1
8
将(1)式与(2)式联立, 即得
y1C1( x) y2C2 ( x) 0
y1C1
(
x
)
y2C2 ( x)
y a1( x) y a2( x) y 0 (2) 情 况1 : 若已知y0( x)是方程(2)的一个非零
解, 求 方 程(1)的 解 。(同 理 可 求 方 程( 2)的 解)
设方程(1)的解 y( x) C( x) y0 ( x)
y C( x) y0 ( x) C( x) y0 ( x)
含 有 如 下 形 式 的 项:
ex[(C1 Cm xm1 ) cos x
( D1 Dm xm1 ) sinx]
m2
ex[(C1 C2 x) cos x (C3 C4 x) sinx]
2020/5/1
29
[例4] 求方程 y y 0的通解
[解] 写出特征方程
3 0
( 1)( 1) 0
结果 相同
20
二阶线性常系数齐次方程
ay by cy 0
设 y ex , 代 入 方 程
(a2 b c)ex 0
因 为ex 0, 所 以 有
特征方程
a2 b c 0
1, 2 特征根
2020/5/1
21
根据特征根，讨论通解
(1) b2 4ac 0, 两 个 不 等 实 根1 2 y1 e1x 与 y2 e2 x 线 性 无 关
问题： 方程(2)的一个非零解y1( x)怎麽得到?
2020/5/1
10
观察法
注意 y a1( x) y a2( x) y 0 系数的特点
若a2( x) 0
y1( x) 1
若1 a1( x) a2( x) 0 y1( x) e x
若1 a1( x) a2( x) 0 y1( x) e x
系数是x的降幂排列，设想解是幂函数
设y( x) x
代入方程
y' x1, y'' ( 1) x2
x (2 2) 0 x 0
1 1, 2 2 y1( x) x, y2( x) x2
通 解 y C1x C2 x2线性无关
2020/5/1
13
[例2] 求 方 程 y y sin2 x 的 一 个 解
即 u 1 , t
t 解 得 u c2 (c1 1)t t ln t
通 解 x(t ) u(t )et c2et (c1 1)tet tet ln t
2020/5/1
18
二、常系数齐次线性方程的特征根法
问题: 如何求常系数线性齐次 方程的通解 ?
关键: 找到一组线性无关解 !
一阶线性常系数齐次方程 dy py 0 dx
用分离变量法可求得通解 y Ce px
一个解 :
2020/5/1
y e px 此法对高阶不适用！
19
[法2] dy py 0
dx 设 y ex , 代 入 方 程
e x pe x 0
( p)e x 0
因 为ex 0
p
求出的一个解 y e px
此法对高阶也适用！
2020/5/1
y (C1 C2 x C3 cos 2x C4 sin2x)e x
C2
(
x)
1 2
ex sin2 xdx 1 ex (sin2 x sin2x 2) 10
2020/5/1
16
非齐次方程的一个解
y*( x) C1( x) y1( x) C2( x) y2( x)
1 (sin2 x sin2x 2)ex e x 10
1 (sin2 x sin2x 2)e x ex 10
2020/5/1
24
[例1] 求方程 y 3 y 10 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 3 10 0
( 2)( 5) 0
1 2, 2 5
通解
y C1e2 x C2e5 x
2020/5/1
25
[例2] 求方程 y 8 y 16 y 0的通解
[解] 写出特征方程
2 8 16 0
1 (sin2 x 2)
2020/5/1
5
17
[例3]已知x0(t) et 是齐次方程x 2x x 0 的解,求非齐次方程x 2x x 1 et的通解. t
[解] 令x u(t )et， 则
x (u u)et， x (u 2u u)et
代入非齐次方程
(u 2u u)et 2(u u)et uet 1 et
2020/5/1
7
整理后得到
[C1( x) y1 C2 ( x) y2 ]
C1( x)[ y1 a1( x) y1 a2 ( x) y1 ] C2 ( x)[ y2 a1( x) y2 a2 ( x) y2 ] f ( x)
y1( x)与 y2 ( x)均为齐次方程(2)的解, 故
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基础微积分
2020/5/1
2
第二十五讲
一、二阶线性常微分方程的 变动任意常数法
二、常系数齐次线性方程的 特征根法
2020/5/1
3
一、 二阶线性常微分方程的
变动任意常数法
y a1( x) y a2( x) y f ( x) (1)
的通解
[解] 写出特征方程
4 43 102 12 5 0
观察有 1 1
( 1)(3 32 7 5) 0
3 32 7 5 0
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3 32 7 5 0 即 (3 32 2 ) (5 5) 0
( 1)(2 2 5) 0
1,2 1, 3,4 1 2i
y1C1
(
x
)
y2C2 ( x)
f (x)
e e
x x
C1( C1(
x) x)
ex ex
C2( x) C2( x)
0 sin2
x
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解得
C1( x)
1 ex sin2 x 2
C2 (
x)
1 2
e
x
sin2
x
积分得到
C1 ( x)
1 2
ex sin2 xdx 1 ex (sin2 x sin2x 2) 10
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0
特征方程
a0n a1n1 an1 an 0
(1)若 有 一 个k重 实 根 , 则 通 解 中 含 有 如 下
形 式 的 项:
(C1 Ck x k1 )e x
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(2) 若有一对m重复根 i ,则通解中
1 0, 2 1, 3 1
通解 y C1 C2e x C3e x
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[例5] 求方程 y 3 y 3 y y 0的通解
[解] 写出特征方程
3 32 3 1 0
( 1)3 0 1 (三重根)
通解 y (C1 C2 x C3 x2 )e x
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于是 y*' C1( x) y1 C2 ( x) y2
y*'' C1( x) y1 C2( x) y2 C1( x) y1 C2( x) y2
代入方程(1)得到
[C1( x) y1 C2 ( x) y2 C1( x) y1 C2( x) y2] a1( x)[C1( x) y1 C2( x) y2 ] a2( x)[C1( x) y1 C2( x) y2 ] f ( x)
f (x)
因为y1( x)与y2( x)线性无关,所以上述 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不等 于 零
即
y1 y2 0
y1 y2
故方程组有解, 解出C1( x) 和C2( x)后,
再积分便可得到C1( x)和C2( x)
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综 上 所 述,只 要 求 出 齐 次 方 程(2)的 一 个 非 零 解 或 两 个 线 性无 关 的 解 ， 就 可 已 通 过 变 动 任 意 常 数法 得 到 二 阶 线 性常微分方程的解。
y2 e( i ) x
利用欧拉公式 eix cos x i sin x
y1 ex (cos x i sinx)
y2 ex (cos x i sinx)
根据解的性质，组合成两个实值解
y1 y2 ex cos x,
2
y1 y2 ex sinx