矩阵与行列式的相似与不同

矩阵与行列式的相似与不同

学校：长江大学

院系：信息与数学学院

专业：信息与计算科学

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辅导老师：***

【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性

质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。

【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别

矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。

我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。

1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和

矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从

上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。

2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。

3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为

D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3)

A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C)

(2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即

D1(D2D3)=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C

(3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说

D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1

A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。

1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差

异。行列式中行数必须等于列数，所以我们通常称n 阶行列式，它的行数和列数都为n ；而矩阵不存在这样的情况，矩阵的行数和列数无丝毫关系，可以相同，也可以不同。（3）两个矩阵相等是指对应元素都相等；而两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数都可以不一样，只要求运算代数和的结果一样就行。（4）由于行列式是一个数，任意两个行列式都可以比较大小，而矩阵是一个数表，所以矩阵不能比较大小，要两个矩阵相等，必须矩阵里所有元素都相等。

2．性质上的不同：（1）转置，行列式的转置与原行列式相等，D=D r 。转置行列式是指把行列式D 的行与列互换，不改变它们前后顺序得到的新行列式D r 。如

D=|a b c d e f g h ⅈ| D r = |a d g

b e h

c f ⅈ

| D=D r

矩阵中，只有对称矩阵才等于它的转置。一般的矩阵等于其转置的转置。如若A ′是A 的转置，则

A=(A ′)′

（2）一个行列式的某行或列全为0，其值为0，如

D=|123457000

|=0

而矩阵只有所有元素全为0时，才称为零矩阵，如

A=(000000000

)=0

（3）交换行列式的两行或两列，行列式改变符号。如

|a b c g h ⅈd e f

|= -|a d g b e h c f ⅈ|

矩阵中任意交换两行或两列没有影响，即

(a b c d e f g h ⅈ)=(a b c g h ⅈd e f

) （4）矩阵经过初等变换，其秩不变；行列式经过初等变换，其值可能改变。

（5）若行列式中有两行或两列相同或者对应元素成比例，则该行列式等于0。矩阵没有类似性质

3.运算上的不同:(1)加减法不同。任何两个行列式都可以相加减，矩阵只有两个同型阵才可以对应元素相加减。

（2）数乘矩阵与数乘行列式不同：矩阵的数乘等于数乘以该矩阵的每个元素，而行列式的数乘等于数乘以行列式中的某一行或某一列。

k (a b c d )=(ka kb kc kd ) k |a b c d |=|ka kb c d |=|ka b kc d

|=… （3）乘法运算不同。行列式是数，所以任何两个行列式都可以相乘，结果

是一个数；而矩阵只有满足左阵的列数等于右阵的行数时，才可以相乘，结果是一个新的矩阵。新矩阵行数等于左阵行数，列数等于右阵的列数。例如

(a c

b d)×(

a b c

d e f

g hⅈ

)没有意义，（1 ,-1）×(121

112

)=（0 ,1 ,-1）

而且，矩阵乘法一般不满足交换律，行列式乘法满足交换律。因为交换矩阵相乘的位置，不一定能相乘，即使能相乘，结果也将不一样。

(11 01)(11

11

)=(22

11

)，但是(11

11

)(11

01

)=(12

12

)≠(22

11

)

（4）如果两个行列式乘积为零，则至少有一个行列式为零；但是不为零的两个矩阵的乘积也可能为零。如

A=(2,3,-1),B=(1

−1−1),则AB=(2,3,-1) (

1

−1

−1

)=0。

【参考文献】王萼芳，石生明.高等代数（第三版）北京大学数学系几何与

代数教研室前代数小组编高等教育出版社

闫晓红.高等代数全程导学及习题全解（北京大学第三版）中国时代经济出版社。