z变换的性质

合集下载

06第六讲 Z变换的性质

Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n

n m

x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。证
Z [ x(n m)]
n

x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*

n

n *
[ x(n)(z )

* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)

Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry

积分的z变换

积分的z变换积分的z变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具。

它可以将离散时间信号转换为z域中的复变量函数，从而方便地进行分析和处理。

本文将介绍积分的z变换的基本概念、性质和应用。

一、基本概念积分的z变换是z变换的一种特殊形式，其数学定义为：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n]z^(-n)其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是其z变换。

二、性质积分的z变换具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，有Z{a*x[n] + b*y[n]} = a*X(z) + b*Y(z)。

2. 位移性质：对于信号x[n-k]，有Z{x[n-k]} = z^(-k)*X(z)。

3. 改变尺度性质：对于信号x[kn]，有Z{x[kn]} = X(z^k)。

4. 差分性质：对于差分信号x[n] - x[n-1]，有Z{x[n] - x[n-1]} = (1 - z^(-1))*X(z)。

三、应用积分的z变换在信号处理和控制系统中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 系统分析：通过对信号进行积分的z变换，可以得到系统的频率响应和稳定性等特性。

这对于系统的设计和优化非常重要。

2. 信号滤波：积分的z变换可以用于滤波器的设计和实现。

通过对信号进行变换，可以滤除不需要的频率成分，从而实现信号的去噪和增强。

3. 时域分析：通过对信号进行积分的z变换，可以将离散时间信号转换为复变量函数，从而方便地进行时域分析，如求解差分方程和研究系统的稳定性。

4. 控制系统设计：积分的z变换可以帮助设计和分析控制系统。

通过将系统的传输函数进行z变换，可以得到系统的离散时间模型，从而进行控制算法的设计和系统性能的评估。

5. 信号重构：通过积分的z变换，可以将离散时间信号从z域中反变换回时域，从而实现信号的重构和恢复。

积分的z变换是一种重要的数学工具，在信号处理和控制系统中具有广泛的应用。

§8.5 Z变换的基本性质

返回
周期序列的z 周期序列的z变换
若周期序列x 的周期为N 若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。 n+N) 令第一个周期的序列为x 令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为：变换为：
X1 (z) = ∑x(n)z −n
n=0 N−1
( z > 0)
∞ −m N
由于x )=x 由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+……
Z[x(n + 2)] = z2 X(z) − z2 x(0) − zx(1)
返回
证明左移位性质
根据单边变换的定义，根据单边z变换的定义，可得单边z
Z[ x(n + m)u(n)] = ∑x(n + m)z−n
n=0 ∞
= zm ∑x(n + m)z−(n+m)
n=0
∞
k 令 = n+ m zm x(k)z−k ∑
返回
(1)左移位性质 (1)左移位性质
若 Z[x(n)u(n)] = X(z)
m−1 m −k 则 Z[ x(n + m)u(n)] = z X(z) − ∑x(k)z k=0 其中m 其中m为正整数
对于m= 对于m=1、2的情况，可以写作为 m=1 的情况，可以写作为
Z[ x(n + 1)] = zX(z) − zx(0)
1.双边z变换 1.双边双边z 2.单边z变换 2.单边单边z
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质根据移位特性，可求周期序列的z变换根据移位特性，可求周期序列的z
返回
1．双边z变换的位移性质双边z

z变换复移位定理

z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。

复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。

本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。

【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。

给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。

Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。

这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。

【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。

它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。

复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。

复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。

【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。

以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。

我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。

利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。

通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。

【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。

掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。

一些常见的Z变换

一些常见的Z变换在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。

它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。

本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。

一、Z变换的定义Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。

它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。

Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。

通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。

二、常见的Z变换性质Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。

下面介绍几个常见的Z变换性质。

1. 线性性质Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和$y[n]$，有以下关系：$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。

2. 移位性质对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$其中，$m$为正整数。

移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。

3. 初值定理与终值定理初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。

初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$终值定理则表示了序列$x[n]$在$n\to\infty$时的极限值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)$$初值定理和终值定理使得我们可以通过对$X(z)$在$z=1$处的值进行分析，推断出序列$x[n]$的初值和终值信息。

z变换复移位定理

z变换复移位定理摘要：一、引言二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义2.Z变换的性质3.Z变换与傅里叶变换的关系三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述2.复移位定理的证明四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用2.图像处理中的应用3.通信系统中的应用五、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理以及通信系统中，Z变换和其相关定理发挥着重要作用。

其中，复移位定理更是具有广泛的应用价值。

本文将详细介绍复移位定理的推导、应用及其在实际场景中的体现。

二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。

对于一个连续时间信号x(t)，其Z变换为：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞2.Z变换的性质Z变换具有线性、时域卷积变为频域乘积、时域移位等性质。

此外，Z变换与傅里叶变换具有一定的关系，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。

3.Z变换与傅里叶变换的关系当z=e^(jω)时，Z变换退化为傅里叶变换。

这意味着，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。

三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述复移位定理是指，对于任意一个复数z，其Z变换后的复数部分与原信号的z变换的复数部分相差一个复数k，即：X(z) = k * X(z-1)2.复移位定理的证明根据Z变换的定义，我们有：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞将z替换为z-1，得到：X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z-1 - n)]，n=-∞到∞将两式相除，得到：X(z) / X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)) / (x(n) * (1 / (z-1 - n))]，n=-∞到∞化简后可得：X(z) = k * X(z-1)其中，k = ∑[1 / (z - n)]，n=-∞到∞四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用复移位定理在信号处理中可用于信号的频域分析、滤波器设计等。

z变换期末总结

z变换期末总结首先，我将总结 Z 变换的基本概念和特性。

Z 变换是一种离散域信号处理工具，它将离散时间信号转化为 Z 域的函数。

Z 域上的运算与连续时间域上的拉普拉斯变换类似，可以进行信号的加法、乘法、卷积等运算。

Z 变换的定义为：\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中，X(z) 为离散时间信号 x[n] 的 Z 变换，z 为复变量。

通过 Z 变换，我们可以将离散时间信号转化为分式表达式，从而方便地分析和设计数字滤波器。

Z 变换具有许多重要的特性和性质。

首先是线性性质，在时域上线性系统对应于 Z 变换域上的线性运算。

其次是平移性质，即时间域上的延时对应于 Z 变换域上的乘以 z 的幂。

然后是共轭对称性质，在实序列的 Z 变换中，X(z) 的共轭一定存在。

最后是时域与 Z 变换域的对应关系，通过 Z 变换和逆 Z 变换可以在时域和 Z 变换域之间相互转换。

其次，我将总结 Z 变换的应用。

Z 变换广泛应用于数字滤波器的分析与设计。

通过 Z 变换，我们可以将差分方程表示的数字滤波器转化为 Z 变换域上的传递函数表达式，从而方便地分析滤波器的频域特性、稳定性和实现方法。

在滤波器设计中，我们可以通过变换域的频率响应来选择合适的滤波器类型，并通过对频率响应的要求来确定滤波器的参数。

此外，Z 变换还可以用于系统的稳定性分析与控制设计。

通过 Z 变换，我们可以将离散时间系统转化为 Z 平面上的传递函数，从而方便地分析系统的稳定性和控制性能。

在控制系统设计中，我们可以通过对系统零点和极点的分布进行分析，来优化系统的稳定性和动态响应。

最后，我将总结我在学习 Z 变换过程中遇到的困难与解决方法。

在初次接触 Z 变换时，我对其概念和运算规则不够清晰，导致在推导过程和习题解答中经常出现错误。

为此，我通过多次阅读课本和参考资料，结合老师的讲解和示例，慢慢理解了 Z 变换的基本概念和运算规则。

8.5 Z变换的基本性质

1 1 z z 3 − 3 + z ] + [ z − 2z ] Y ( z) = [ z − 2 z +1 z + 2 z +1 z + 2
1 n 1 y (n) = [ (2) − (−1) n + (−2) n ]u (n) + [( −1) n − 2(−2) n ]u (n) 4 3 3 4444 244444 144 2444 34 1 3 零输入响应
n
Rx1 < z < Rx 2 z Rx1 < < Rx 2 a
−n
ZT [a x(n)] =
n
n = −∞
∑a
∞
n
x(n) z
z −n z = ∑ x(n)( ) = X ( ) a a n = −∞
z > 1即 z > a u (n)] = z −1 z − a a
z z ZT [a x(n)] = X ( ) Rx1 < < Rx 2 a a z z ( − cos ω0 ) β β n ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = z 2 z ( ) − 2 cos ω0 + 1 β β
n
z
β
>1
z ( z − β cos ω0 ) ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = 2 2 z − 2 zβ cos ω0 + β
X ( z) 3 y (−1) + 2 z −1 y (−1) + 2 y (−2) Y ( z) = − −1 −2 1 + 3z + 2 z 1 + 3 z −1 + 2 z − 2
−1

sa函数的z变换

sa函数的z变换在信号处理中，z变换是一种将离散时间序列转换为复变量序列的数学工具。

它与傅里叶变换在连续时间信号处理中的作用类似，但应用于离散时间信号。

z变换在数字滤波、系统分析和控制理论等领域中广泛应用。

本篇文章将详细介绍z变换的定义、性质和应用。

一、z变换的定义z变换定义为：X(z)=Z{x(n)}=∑(n=-∞)^(∞)x(n)z^(-n)其中，x(n)是一个离散时间序列，Z{}表示z变换操作，X(z)为z变换结果，z为复平面上的变量。

二、z变换的性质1.双边z变换与单边z变换：双边z变换是指对信号的全序列进行转换，包括正向和负向两部分。

而单边z变换仅对序列的正向部分进行转换。

双边z变换的定义中使用了负幂次的z，可以表示信号的时域序列为正无穷和负无穷的情况。

2.线性性质：z变换具有线性性质，即对于两个离散时间序列x1(n)和x2(n)，以及对应的z变换X1(z)和X2(z)，有以下性质：a1x1(n)+a2x2(n)的z变换为a1X1(z)+a2X2(z)3.积分性质：如果x(n)的z变换为X(z)，那么x(n-m)的z变换为z^(-m)X(z)，其中m为任意整数。

4.移位性质：如果y(n)是x(n)经过向左移位k个单位得到的序列，那么y(n)的z变换为z^(-k)X(z)。

5.初值定理：如果x(n)序列的z变换为X(z)，那么在z的归一化圆环上取z=1时，有：x(0)=X(1)。

6.终值定理：如果x(n)序列的z变换为X(z)，那么在z的归一化圆环上取z=0时，有：lim(n→∞) x(n) = lim(z→∞) X(z)。

三、z变换的逆变换z变换的逆变换可以将X(z)转换回原始的离散序列。

逆变换定义为：x(n) = Z^(-1){X(z)} = (1/2πj)∮X(z)z^(n-1)dz其中，∮表示对z的归一化圆环进行逆时针积分，j为虚数单位。

四、z变换的应用1.离散时间信号分析：z变换为信号的频域分析提供了一种数学工具，可以用于解析信号的频谱特性、幅频响应等。

信号与系统第六章Z变换

差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的作用下，其输出信号不会无限增长，则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点位置和类型来分析系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如果两个信号在时间上相乘，那么它们的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因为它允许我们通过将两个信号相乘来得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领域的重要基础课程，其中第六章z变换是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数学工具，用于分析离散时间信号和系统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变换转换为复数序列，用于分析离散时间系统的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应，了解系统在不同频率下的性能表现。

Z变换的主要性质.

z
i1 z pi
y(kT )

n
Z 1[
Ai z ]
i1 z pi

n
Ai ( pi )k
i1
例2：见教材例3.13, 3.14.注意结果的最后表达
(2)有非零的重极点时，二重极点展成
Y (z) A1 A2 A3 z (z p1)2 (z p1) (z p3 )
例1：求下式的Z反变换
Y
(z)

5z
2
12z 1.5z

0.5

2.4z z2 0.3z 0.1
(演算)
3
MATLAB程序： v=[0 12 0 0 0 0 0 0] u=[5 -1.5 0.5] [q, r]=deconv(v, u) q=[0 2.4 0.72 –0.024 –0.0792 –0.0214]

2) (z
zk 1)2 (z

2)

2k
f (kT ) K1 K2 2k k 1
11
复杂情况思考:
F (z)

z2 4 z3 2z
小结 :
Z反变换的方法
(1)长除法：deconv命令 (理解) (2)部分分式展开： (掌握) (3)留数计算法 (理解) 复习 P49-P59，预习P61-69 习题 3.9(1)、3.10
1(1)k1 1k(1)k1 2(2)k1
2k k 1
8
注意 Z 1[ 1 ] Z 1[z1 z ]
za
za
z1 Z 1[ z ] z1ak ak1 za
三留数计算法（反演积分法）
f(kT)等于F(z)zk-1全部极点留数之和

z变换通俗理解

z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。

它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。

1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。

Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。

2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。

3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。

例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。

4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。

Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。

在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。

5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。

为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。

§8.2 Z变换的性质(06.06.09)

收敛域与 X(z)基本相同：只影响 z 0, z 处。
m 显然： ZT x( n m ) z X ( z ) 。左移
x(n)若是双边序列，其收敛域为环形区域，序列移位并不会使其z变换的收敛域变化
证明双边z变换的位移性
根据双边z变换的定义可得
Z x ( n m )

ZTx(n m)u(n) z m [ X ( z )
例
求a
n－1
的单边变换 z
n
k m
x( k ) z k ]
1
z 解： a u( n) za
方法一，利用移位性质

右移一位
z z 1 ZT a u (n) z za za a( z a)
求
y(n) x(n) h(n) 的 z 变换 Y(z)
解：
z X (z) z2
z H (z) z3
（ z 2）
（ z 3）
z2 Y ( z ) X ( z ) H ( z ) ( z 2)(z 3)
2
3
收敛域为： |z|>3
例
x(n) a u(n), h(n) b u(n)， y(n) x(n) h(n)。 ,求
n 0

dX ( z ) 所以： nx( n) z dz
序列线性加权（乘以n）的z变换等效于其z变换取导数乘以（-z）
例
na n u(n) 的 Z 变换 X(z) 求
z 解： ∵ a u( n) , za
n
za
∴
z d( ) z a z z a z za n na u( n) z dz ( z a )2 ( z a )2 |z| > |a|

信号与系统 6.2 Z变换的性质

z→1
12 页
板书例题续
第
本节小结
• z变换的性质变换的性质
• 线形、移位、z域尺度、卷积、序列乘k、序列除以k+m、k域反转、部分和、初值终值定理
13 页
作业：作业： 6.5(1,4,5,9) 6.6(3,4) 6.7(1) 6.8(2,3) 6.13
且有整数m>0，则：， f 若： (k) ↔ F(z),α < z < β 且有整数
f (k ± m) ↔ z±mF(z), α < z < β 单边Z变换的移位变换的移位：单边变换的移位：
f 若： (k) ↔ F(z), z > a
且有整数m>0，，且有整数
m−1
ZT[ f (k − m)] = z−mF(z) + ∑ f (k − m)z−k
3
0 3
-7
0
3
k
k
对于双边Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息；对于双边变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息；变换对于单边Z变换移位后的序列较原序列长度有所增减。变换，对于单边变换，移位后的序列较原序列长度有所增减。
第 5 页
双边Z变换的移位：双边变换的移位：变换的移位
若 f (k) ↔ F(z),α < z < β 设有整数k+m>0，则设有整数， ∞ F( ) η f (k) m dη , α < z < β ↔z ∫ m+1 z η k+m 若m=0且k>0，则且， ∞ F( ) f (k) η dη , α < z < β ↔∫ z k η
板书例题
k＝0时上式左端为，因而也可写作：＝时上式左端为时上式左端为0，因而也可写作：

8.3.3 Z变换的性质

k 0

a e1(kT )zk b e2 (kT )zk aE1(z) bE2 (z)
k 0
k 0
线性定理说明 Z 变换具有线性性质。 (2) 实数位移定理实数位移定理又称平移定理，实数位移的含意，是指整个采样序列在时间轴上左右平移
若干个采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为迟后。
k 0
k 0

(z 1)E(z) ze(0) [e(kT T ) e(kT )]zk k 0
上式两端取 z 1 的极限

lim[(z 1)E(z) ze(0)] lim{ [e(kT T ) e(kT )]zk}
z1
z1 k 0
lim[(z 1)E(z) ze(0)] e() e(0)
(5) 终值定理
若 E(z) Z[e(t)] ，且 (z 1)E(z) 的全部极点都位于 z 平面单位圆之内，则
e() lim e(t) lim e(kT ) lim(z 1)E(z)
t
t
z 1

证明： E(z) e(kT )zk k 0
由超前定理
(8-40)

Z e(t nT ) e(kT nT )zk zn e[(k n)T ]z(kn)
k 0
k 0
令 m k n ，则有

Z e(t nT ) zn e(mT )zm mn
由于 m 0 时， e(mT ) 0 ，所以上式可写成
的超前与迟后定理，相当于拉氏变换中的微分与积分定理，可将描述离散系统的差分方程转换为 z 域的代数方程。
(3) 复数位移定理

《z变换的性质》课件

通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频域分析和处理。

Z变换的基本性质

数学上表示为：若x(n)的z变换为X(z) ，则x(n-k)的z变换仍为X(z)，其中k为非负整数。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左移或右移时，其z变换的结果将保持不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领域有广泛应用。例如，在数字信号处理中，乘积性质可用于分析信号的频谱特性和滤波器设计；在控制系统分析中，乘积性质可用于描述系统的动态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘后的z变换与各自z变换的乘积之间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换，那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。

z变换的基本性质

z 变换的基本性质主要内容线性位移性序列线性加权序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理z 域卷积定理（自阅）一．线性(表现为叠加性和均匀性）a ,b 为任意常数。

ROC ：一般情况下，取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。

例8-5-1 解：已知[]()[]()[]()212121)()()()( )()( )()( R z R z bY z aX n by n ax Z R z R z Y n y Z R z Rz X n x Z y y x x <<+=+<<=<<=则若),min(),max( 2211y x y x R R z R R <<即()变换。

的求z n u n )(cosh 0ω()nzZ a u n z a⎡⎤=⎣⎦-()()0e e 21cosh 0n ωn ωn ω-+=并且同理例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个z 平面。

二．位移性 1.双边z 变换 2.单边z 变换 (1) 左移位性质 (2) 右移位性质1．双边z 变换的位移性质原序列不变，只影响在时间轴上的位置。

()[][][])(e 21)(e21)(cosh 000n u Z n u Z n u n ωZ n ωn ω-+=所以00e 21e 21ωωz z z z -++-=()[]()1cosh 2cosh (020+--=ωz z ωz z ()00e ,e max :ROC n ωn ωz ->()()1ch 2sh )()sinh(0200+-↔ωz z ωz n u n ω()0e ,e max :ROC ωωz ->↔=)()(n u a n x n z a>↔-=)1()(n u a n y nz a>()↔=-n δn y n x )()(()z X z z a =-()aY z z a =-()()1X z Y z -=()[][])()()()(z X z m n x Z z z X n x Z z n x m -=-=变换为的，则其右移位后变换为的双边若序列证明双边z 变换的位移性根据双边z 变换的定义可得2．单边z 变换的位移性质(1)左移位性质证明左移位性质根据单边z 变换的定义，可得(2)右移位性质处收敛域：只会影响∞==z z ,0[])()(z X z m n x Z z m =+变换为：同理，左移位后的[]()()nn Z x n m x n m z∞-=-∞-=-∑，则令k m n =-[]()()()mkm k Z x n m zx k zz X z ∞---=-∞-==∑()()()()()(),的长度有所增减。