z变换的性质
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
jw z / e z n 应用性质得 X 1 ( z ) Z [ x(n)] X ( z / ) , | z | 1 jw jw ( z / e ) 1 z e
3.时间反转
• 若Z[x(n)]=X(z),ROCx • 那么时间反转序列x(-n)的z变换为
Z[ x(n)] Βιβλιοθήκη Baidu X ( z 1 ), ROC : 1/ ROCx
• 解：
x(0) lim X ( z ) 0
z
作业 p36:3.6
z a 1, ROC : 0 | z | za za
时移性
n0是个整数
• 若 Z[ x(n)] X ( z), ROC : ROCx • 则
Z[ x(n n0 )] z
n0
X ( z), ROCx
• ROC：除去对z=0或z= 可能的添加或 删除
时移性证明： • • 令 m n n0 代入上式得 根据z变换定义可得：Z [ x(n n0 )]
R
x1
az Rx 2
1
n
x( n) X z
R
x1
z Rx 2
有x(n) u(n), e
n
jwn
, 求序列x1 (n) x(n)的z变换.
n
z x(n)的z变换为 X ( z ) Z [u (n)] , | z | 1 z 1
• 因此，如果ROCx为 Rx | z | Rx ，那么 X ( z 1 ) 的 收敛域为1/ Rx | z | 1/ Rx
1 n ) Z变换为 Z[ x(n)] 1 例3.有 x ( n) ( ) u ( n，其 1 1 2 1 z
1 |z|> ,求y(n)=x(-n)的z变换Y(z). 2
z变换的性质
propertise of the z-Transform
1.线性、时移性 2.尺度特性 3.时间反转 4.z域微分 5.初值定理
1.线性、时移性
• 若 • 则 • Z[x1 (n) x2 (n)] X1 ( z) X 2 ( z) • ROC:ROC1∩ROC2 • 收敛域为两个收敛域的交集
2
解：由时间反转性质得
Z[ x(n)] X ( z 1 ), ROC : 1/ ROCx
1 Z [ x(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2 1 即Y(z)= Z [ x(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2
复序列共轭
• 设 X ( z) Z[ x(n)], ROCx : Rx | z | Rx • 则 Z[ x* (n)] X * ( z* ), ROC : ROCx,即R x | z | Rx
• 证明：
Z [ x (n)]
* n
x ( n) z
*
n
n
* n * * * [ x ( n )( z ) ] [ x ( n )( z ) ] X ( z ) * n * n
ROC : ROCx,即R x | z | Rx
z域微分
• 如果一个序列x(n)的z变换为
Z[ x(n)] X ( z ), ROCx
• 则nx(n)的z变换为
dX ( z ) Z [nx (n)] z , ROC : ROCx dz
•
Z [ x(n)]
1 n 有 x(n) ( ) u (n) ,其z变换为 2 1
1 1 z 1 2
z3 1 Z [ x(n 3)] , | z | 1 2 1 z 1 2 z3 1 即Y(z)= Z [ x(n 3)] 1 , | z | 2 1 z 1 2
，
z域的尺度特性
若 则
Z x ( n ) X ( z ) z a x ( n) X a
Z[ x1 (n)] X1 ( z), ROC : ROC1 Z[ x2 (n)] X 2 ( z), ROC : ROC2
例1. 求下列线性组合序列的z变换
x(n) a nu(n) a nu(n 1)
• 解：令 x(n) x1 (n) x2 (n)， n n x ( n ) a u(n 1) ， x ( n ) a u ( n ) • 1 且2 • 则
Z[ (n 1)] z, ROC :| z |
1 n 例2.有信号 x ( n) ( ) u ( n)和 y(n) x(n 3) 2
利用Z变换的性质求y(n)的Z变换Y(z). 1 n Z [ a u ( n )] , | z || a |） （已知 1 1 az 1 Z [ x ( n )] 解：根据题目条件可得 1 1 1 z 2 又由时移定理得
1
1
1 2
5.初值定理
• 若x(n)是一个因果序列，则 x (0) lim X ( z )
z
• 取极限可得到如下结果：
lim X ( z ) lim[ x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 ...] x(0)
z z
z 2 2z 已知X ( z ) 3 ，求x(0). 2 z 0.5 z z 7
n
n x ( n n ) z 0
n0
Z [ x(n n0 )] z
m
x(m) z
m
z n0 X ( z )
• 几个简单的例子：
Z[ (n)] 1, ROC : 0 | z |
Z[ (n 1)] z 1 , ROC :| z | 0
,|z|>1/2,求y(n)=3x(n)的z变换
1 1 2 (1 z ) 2
Y(z).
解：根据性质得Z [3x(n)] z dX ( z ) 1 z dz 2 dX ( z ) 1 1 所以Y(z)=Z [3x(n)] z z (1 z ) dz 2 2 收敛域为|z|>1/2
n
R
x1
z Rx 2
z Rx1 a Rx 2
n
a为非零常数
z z • 证明： n n n Z a x( n) a x( n) z x( n) X
n 0 n 0
a
a
• 同理 a n x(n) X az
X 1 ( z ) Z [a nu (n)]
X 2 ( z ) Z [a nu (n 1)]
z , ROC :| z || a | za
• 根据线性性质得：
•
a , ROC 2 :| z || a | za
X ( z ) Z [ x(n)] X 1 ( z ) X 2 ( z )
3.时间反转
• 若Z[x(n)]=X(z),ROCx • 那么时间反转序列x(-n)的z变换为
Z[ x(n)] Βιβλιοθήκη Baidu X ( z 1 ), ROC : 1/ ROCx
• 解：
x(0) lim X ( z ) 0
z
作业 p36:3.6
z a 1, ROC : 0 | z | za za
时移性
n0是个整数
• 若 Z[ x(n)] X ( z), ROC : ROCx • 则
Z[ x(n n0 )] z
n0
X ( z), ROCx
• ROC：除去对z=0或z= 可能的添加或 删除
时移性证明： • • 令 m n n0 代入上式得 根据z变换定义可得：Z [ x(n n0 )]
R
x1
az Rx 2
1
n
x( n) X z
R
x1
z Rx 2
有x(n) u(n), e
n
jwn
, 求序列x1 (n) x(n)的z变换.
n
z x(n)的z变换为 X ( z ) Z [u (n)] , | z | 1 z 1
• 因此，如果ROCx为 Rx | z | Rx ，那么 X ( z 1 ) 的 收敛域为1/ Rx | z | 1/ Rx
1 n ) Z变换为 Z[ x(n)] 1 例3.有 x ( n) ( ) u ( n，其 1 1 2 1 z
1 |z|> ,求y(n)=x(-n)的z变换Y(z). 2
z变换的性质
propertise of the z-Transform
1.线性、时移性 2.尺度特性 3.时间反转 4.z域微分 5.初值定理
1.线性、时移性
• 若 • 则 • Z[x1 (n) x2 (n)] X1 ( z) X 2 ( z) • ROC:ROC1∩ROC2 • 收敛域为两个收敛域的交集
2
解：由时间反转性质得
Z[ x(n)] X ( z 1 ), ROC : 1/ ROCx
1 Z [ x(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2 1 即Y(z)= Z [ x(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2
复序列共轭
• 设 X ( z) Z[ x(n)], ROCx : Rx | z | Rx • 则 Z[ x* (n)] X * ( z* ), ROC : ROCx,即R x | z | Rx
• 证明：
Z [ x (n)]
* n
x ( n) z
*
n
n
* n * * * [ x ( n )( z ) ] [ x ( n )( z ) ] X ( z ) * n * n
ROC : ROCx,即R x | z | Rx
z域微分
• 如果一个序列x(n)的z变换为
Z[ x(n)] X ( z ), ROCx
• 则nx(n)的z变换为
dX ( z ) Z [nx (n)] z , ROC : ROCx dz
•
Z [ x(n)]
1 n 有 x(n) ( ) u (n) ,其z变换为 2 1
1 1 z 1 2
z3 1 Z [ x(n 3)] , | z | 1 2 1 z 1 2 z3 1 即Y(z)= Z [ x(n 3)] 1 , | z | 2 1 z 1 2
，
z域的尺度特性
若 则
Z x ( n ) X ( z ) z a x ( n) X a
Z[ x1 (n)] X1 ( z), ROC : ROC1 Z[ x2 (n)] X 2 ( z), ROC : ROC2
例1. 求下列线性组合序列的z变换
x(n) a nu(n) a nu(n 1)
• 解：令 x(n) x1 (n) x2 (n)， n n x ( n ) a u(n 1) ， x ( n ) a u ( n ) • 1 且2 • 则
Z[ (n 1)] z, ROC :| z |
1 n 例2.有信号 x ( n) ( ) u ( n)和 y(n) x(n 3) 2
利用Z变换的性质求y(n)的Z变换Y(z). 1 n Z [ a u ( n )] , | z || a |） （已知 1 1 az 1 Z [ x ( n )] 解：根据题目条件可得 1 1 1 z 2 又由时移定理得
1
1
1 2
5.初值定理
• 若x(n)是一个因果序列，则 x (0) lim X ( z )
z
• 取极限可得到如下结果：
lim X ( z ) lim[ x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 ...] x(0)
z z
z 2 2z 已知X ( z ) 3 ，求x(0). 2 z 0.5 z z 7
n
n x ( n n ) z 0
n0
Z [ x(n n0 )] z
m
x(m) z
m
z n0 X ( z )
• 几个简单的例子：
Z[ (n)] 1, ROC : 0 | z |
Z[ (n 1)] z 1 , ROC :| z | 0
,|z|>1/2,求y(n)=3x(n)的z变换
1 1 2 (1 z ) 2
Y(z).
解：根据性质得Z [3x(n)] z dX ( z ) 1 z dz 2 dX ( z ) 1 1 所以Y(z)=Z [3x(n)] z z (1 z ) dz 2 2 收敛域为|z|>1/2
n
R
x1
z Rx 2
z Rx1 a Rx 2
n
a为非零常数
z z • 证明： n n n Z a x( n) a x( n) z x( n) X
n 0 n 0
a
a
• 同理 a n x(n) X az
X 1 ( z ) Z [a nu (n)]
X 2 ( z ) Z [a nu (n 1)]
z , ROC :| z || a | za
• 根据线性性质得：
•
a , ROC 2 :| z || a | za
X ( z ) Z [ x(n)] X 1 ( z ) X 2 ( z )