27.1 圆的认识 第二课时 圆的对称性(一)

课题：27.1圆的认识
第二课时圆的对称性（一）
＆.教学目标：
1、理解并掌握圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦心距之间的关系。

2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。

＆.教学重点、难点：
重点：由实验得到在同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。

难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。

＆.教学过程：
一、情景导入
1、我们中国的建筑最讲究的是对称美，能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗？
2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的？
3、圆是否为对称图形？是哪种对称图形，又有哪些性质呢？
二、探究新知
§.探究圆的对称性
问题1：请同学们思考并解答下列各题：
（1）圆是对称图形吗？它有哪些对称性？
图 1
′
图 2
图 3 （2）能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？ （3）圆的对称轴在哪里？对称中心和旋转中心在哪里？ 活动1：让学生画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

＆.圆的对称性：
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。

对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。

思考：如何将圆两等分？四等分？八等分？还可以将圆多少等分？
§.探究：同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系（圆心角定理）.
问题2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？
活动2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现
B O A AOB ''∠=∠，⌒
⌒B A AB ''=，B A AB ''=.实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，
所对的弦相等。

问题3：
（1）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
（2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
通过实验发现仍然成立。

＆.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系（圆心角定理）： 同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角所夹的两条弧、所对的两条弦，所对的弦心距都分别相等。

数学语言表达形式：
⇔''∠=∠B O A AOB ⌒
⌒
B A AB ''=，B A AB ''=；
⇔''=⌒
⌒B A AB ''OB A AOB ∠=∠，B A AB ''=； ⇔''=B A AB ''OB A AOB ∠=∠，⌒
⌒
B A AB ''=.
问题4：如图3，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，AB OE ⊥，CD OF ⊥，垂足分别为E 、F .
（1）如果COD AOB ∠=∠，那么OE 、OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OF OE =，那么AB 、CD 的大小有什么关系？为什么？ 解：（1）如果COD AOB ∠=∠，那么OF OE = ∵COD AOB ∠=∠ ∴CD AB =
∵AB OE ⊥，CD OF ⊥ ∴AB AE 2
1=，CD CF 2
1=
∴CF AE = ∵OC OA = ∴OCF Rt OAE Rt ∆≅∆ ∴OF OE =
（2）如果OF OE =，那么CD AB =，COD AOB ∠=∠，⌒
⌒
CD AB = ∵OC OA =，OF OE = ∴OCF Rt OAE Rt ∆≅∆ ∴CF AE =
又∵AB OE ⊥，CD OF ⊥ ∴AB AE 2
1=，CD CF 2
1=
∴CD AB =，COD AOB ∠=∠，⌒
⌒CD AB =
＆.圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理（圆心角定理的推论）：
文字表达：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦中有一组两量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

数学表达：
⇔∠=∠COD AOB ⌒
⌒
CD AB =，CD AB =，OF OE =；
⇔=⌒⌒CD AB COD AOB ∠=∠，⌒
⌒CD AB =，OF OE =； ⇔=CD AB COD AOB ∠=∠，⌒⌒CD AB =，OF OE =；
⇔=OF OE COD AOB ∠=∠，⌒
⌒
CD AB =，CD AB =.
注意：该关系定理（即圆心角定理及推论）是一种证明线段、角、弧相等的方法，当需要证明弧相等时，长常常是找到其在同圆中所对的圆心角或弦相等。

三、讲解例题，巩固新知
题型一.利用圆心角定理解决角的问题：
§.例1、如图4，在⊙O 中，⌒
⌒
AC AB =，︒=∠70B ，求C ∠
解：∵⌒
⌒AC AB =
∴AC AB = ∴︒=∠=∠70C B
§.例2、如图5，AB 是⊙O
的直径，
⌒
⌒
⌒
DE CD BC ==，︒=∠40BOC ，求AOE ∠的度数。

解：∵⌒
⌒⌒DE CD BC == ∴DOE COD BOC ∠=∠=∠
∵︒=∠40BOC ，AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠60AOE
§.例3、如图6，在⊙O 中，⌒⌒
BD AC =，︒=∠451，求2∠的度数。

解：∵⌒
⌒BD AC =
∴⌒⌒⌒⌒BC BD BC AC -=- ∴⌒
⌒CD AB =
∴︒=∠=∠4512 四、巩固练习 教材38P 练习 2~1 五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。

对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度，即圆的对称性和旋转性不变。

2、理解圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，它反映在圆中相等量的灵活转化。

能力方法上：要注意证明角相等、线段相等以及弧
图 5
图 6
相等的新方法以及培养实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。

六、课外作业
教材
P习题27.1 2~1
42。