第三章 同步发电机的基本方程.

二、d、q、0系统的电势 定子的电势方程为 υabc abc rs iabc 全式左乘P，便得
∵
vdq 0 P abc rs idq 0
P不是常数矩阵，P abc不能用 dq0替代
绕组顺时针方向 旋转等效于磁场 逆时针方向旋转
定义横轴滞后直轴 90º (导体先切割直轴) 正电流产生 直轴磁通(右 手定则)
即：存在P，使 P LSS
P－1＝diang[L
d 、 Lq 、 L0 ]
二元对称方程组，按列与按行消 1 0.5 去，可以使系数矩阵对角化，使 A 0.5 1 方程解耦。举例如右矩阵变换。
根据LSS，求解特征值为Ld、Lq 、L0(恰为常数)， 对应的特征相量可排列成相似变换矩阵 1 Ld = l0 + m0 + l2 + m2 o o cos cos(α -120 ) cos(α +120 ) 2 1 P 2 sin sin(α -120o ) sin(α +120o ) Lq = l0 + m0 - l2 - m2 3 2 1 1 1 L0 = l0 - 2m0 2 2 2 显然，矩阵P的行相量是相互正交的（但模不等于1），转置并调整每列 的模便可得到逆矩阵 使P–1的各列相量模等于P
二、电感系数（说明：自感大小与磁路的磁导有关，互感大小与绕组之间的位置角
有关，而正弦变化规律函数的周期与特征点则可以直接观察。）
电感系数讨论：电感矩阵LSS是对称阵矩阵，且各系数是转子位置角的周期函数。
1．定子自感
Laa l0 l2 cos 2
（仅讨论周期与特征点：周期为 ，= 0°时，a相最大。）
3-2 同步发电机的原始方程
一、电势方程和磁链方 1．电势方程（将前述6个绕组的电压方程联立求解）
va vb vc v f 0 0 a r b 0 c 0 f D Q 0 0 r 0 0 r rf 0 0 0 0 0 rD 0 ia i b ic 0 i f i 0 D rQ iQ
横轴滞后直轴90°
3-3 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换和d、q、0系
坐标变换的目标： 简化磁链方程中的电感系数矩阵：将定子电感矩阵对角化，同时将变系 数矩阵化为常系数矩阵。最后得到解耦的常系数磁链方程，简化分析计算。 实施办法(思路)：定子电感系数矩阵LSS是一个实对称矩阵，必与一对角矩阵相似。
Lbb l0 l2 cos 2( 120 ) Lcc l0 l2 cos 2(a 120 )
定义：d轴与a相绕组轴线正方向的夹角 l0 > l2
定子绕组的自感
2．定子互感
（仅讨论周期与特征点：周期为 ，= －30°时，a相与b相互感最大）
3-1 基本前提
一、理想同步电机
从三个方面把握假设的实质：
(1) 对称性质：转子结构关于交轴直轴对称，定子三相绕组轴线对称； (2) 正弦性质：定、转子绕组磁势及气隙磁通正弦分布 (分布绕组，斜槽、分数槽，磁 性槽契等)，磁势、磁通的分布曲线及其叠加可用正弦函数描述； (3) 线性性质：铁心磁场不饱和，电路分析可用叠加原理。
0 0
3m 2 aQ
0 0 0
磁链方程合写如下
va = a －ria
vf = f +rf if
电势方程可简写成：
vabc abc rS v fDQ fDQ 0
0 iabc i rR fDQ
讨论：6电压个方程，表面上看相互独立，实际上是相互耦合的。
从a、b、c坐标系到d、q、0坐标系的变换 电流变换关系，即各相电流 (磁势)在d轴或q轴上的投影的2/3倍。
cos cos( -120 ) cos( +120 ) ia id ia 2 i P i sin sin( -120 ) sin( +120 ) ib q b 3 1 i i 1 1 c i0 c 2 2 2 idq 0 Piabc 简写成
定子绕组间的互感
3．转子绕组的自感和互感 自感系数和互感系数都是常数，分别记为 Lf ， LD， LQ LfD=LDf， LfQ=LQf=0， LDQ=LQD =0
仅讨论周期与特征点
4．定子绕组和转子绕组间的互感系数
= 0°时，a相与f绕组互感最大，周期为2。
Lbf L fb maf cos( 120 ) Lcf L fc maf cos( 120 ) Laf L fa maf cos
Lab Lba [m0 m2 cos 2( 30 )] Lbc Lcb [m0 m2 cos 2( 90 )] Lca Lac [m0 m2 cos 2( 150 )]
m0 > m2 l2 m2 定子电感矩阵LSS对称
∴ P abc +Pψabc dq0 +PP 1ψdq0
ψdq 0 Pψabc 对两边求导 dq0 Pψabc P abc
而
0 0 PP 1 0 0 0 0 0
问题：直流电机电刷的 作用？回答即可分析。
变压器电势 (右手定则) dd绕组的电势方向 发电机电势 (右手定则)
最后可得d、q、0轴分量 表示的电势方程式如下 υd d q rid
υq q d riq υ0 0 ri0
注意：因为转子电流与磁链均没 有变换，故转子电压方程不变。
派克变换的直流电机模型
qq绕组的电势方向
三、d、q、0系统的磁链方程
将式磁链方程展开写成
abc Lss iabc LSR i fDQ
fDQ LRS iabc LRR i fDQ
左乘以P，便得
dq0 PLss P 1idq0 PLSRi fDQ
fDQ LRS P 1idq0 LRRi fDQ
讨论：旋转磁势幅值是单 相脉振磁势振幅的3/2倍
Leabharlann Baidu
a
b
c
120
120
三相脉振磁场合成旋转磁场示意图
也可用物理学中 波的传递现象解 释旋转磁场形成
二、假定正向的选取 绕组轴线方向的定义？
定子： 定子电流正方向： 由发电机机端流出。 （符合实际情况） 相电流磁链方向： 为绕组轴线方向。 （轴线方向定义） 感应电势分别为： a , c , b （符合楞次定律） 定子电压等于： 感应电势减去电阻压降。（符合实际情况） 转子： 励磁电流磁链方向：d轴正方向。 d 轴超前于q轴90°。 vf = f +rf if 励磁电压等于：电阻压降加感应反电势。
通过矩阵演算得到
Ld PLSS P 1 0 0 0 Lq 0 0 0 L0 maf 0 0 maD 0 0
旋转磁势(该磁链穿过 转子)幅值是每相脉振 磁势幅值的3/2倍
PLSR
3 maf 0 2 1 m 0 LRS P 3 2 aD maQ 0
准备：画螺两个单端接地的旋绕组，电流流入为电抗器，电流流出为发电机(考虑磁 铁往复运动使磁链变化发电)。根据右手螺旋定则，讨论轴线方向、电流、磁链、电 压、电势参考方向的关系。分别写出这两种情形的电压方程，即为电势原始方程。
va = a －ria
为何轴线顺序与相量顺序相反？
同步发电机的回路图
同步发电机各绕组轴线正 向示意图
LaD LDa maD cos LbD LcD LDb maD cos( 120 ) LDc maD cos( 120 )
以(－90° )代换 得到定子绕组与转子横轴阻尼绕组之间的互感系数
LbQ LQb maQ sin( 120 ) LcQ LQc maQ sin( 120 ) LaQ LQa maQ sin
iabc P 1idq0 逆变换为 相应地有电压、磁链的变换
vdq 0 Pvabc
dq 0 P abc
vabc P 1vdq0
电流派克变换的分析：
abc P 1 dq0
目标结果是？
上述变换也称为派克(Park)变换。物理意义是?
定子电流通用相量
1. 将三相电流的瞬时值向一个旋转的轴线投影之和的2/3倍。如果三相电流是对称的，这个投影值 就恒定，刚好对应定子电流产生旋转磁势位置。但这个旋转磁势的幅值等于每相脉振磁势的幅值。 2. 反过来，将一个旋转的电流相量向三相轴线投影，就可以得到三相对称电流。每相脉振磁势的 幅值等于旋转磁势的幅值， 3. 如果转子电流对定子的互感为1，那么定子电流对转子绕组的互感为3/2，这样会导致定、转子 之间的互感不可逆(因为定子电流产生的旋转磁势幅值是派克变换后电流磁势幅值的3/2倍) 。
磁链方程可简写成：
ψ abc LSS ψ fDQ LRS
LSR iabc i LRR fDQ
自感和互感系数是变化的，必须进一步讨论。
原始方程说明： 1. 原始方程有6个状态（电压）方程，6个代数（磁链）方程，总计12个方程。 2. 从外部看，只关心绕组端口的电流与电压，故将保留电压方程，消去磁链方程。 3. 发电机准确数学模型为6阶状态（电压）方程。
华中科技大学何仰赞 温增银编
电力系统分析
湖南大学电气与信息工程学院
刘光晔 2011年5月
第三章 同步发电机的基本方程
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 基本前提 同步发电机的原始方程 d、q、0坐标系的同步电机方程 同步电机的常用标幺制 基本方程的拉氏运算形式 同步电机的对称稳态运行
2．磁链方程（
6个绕组之间有互感磁链）
a Laa Lab Lac Laf LaD LaQ ia L L L L L L bb bc bf bD bQ ib b ba c Lca Lcb Lcc Lef LcD LcQ ic L fa L fb L fc L ff L fD L fQ i f f D LDa LDb LDc LDf LDD LDQ iD i Q L Q Qa LQb LQc LQf LQD LQQ 式中， Laa为绕组a的自感系数； Lab 为绕组a和绕组b之间的 互感系数；其余类此。
sin 1 cos P 1 cos(α -120o ) sin(α -120o ) 1 o o cos( α +120 ) sin( α +120 ) 1
的各对应行相量模的倒数。 (规格化即为正交矩阵求逆)
顺便观察 PP 1 = ？
转子位置角 = 0+t