第十二章时间序列回归中的序列相关和异方差

2 / SSTx 通常会低估OLS估计量的方差。

拟合优度

解释变量包括滞后因变量时的序列相关
考虑模型：
yt = 0 + 1yt-1+ ut ， ut=ut-1+ et ||<1 OLS估计量是不一致的！ Cov(yt-1, ut)= Cov(yt-1, ut-1+ et )= Cov(yt-1, ut-1)
序列相关与OLS估计量的性质


无偏性和一致性 有效性和统计推断
考虑如下模型：
yt = 0 + 1xt+ ut ， 估计量的方差：
n
ut=ut-1+ et
n
||<1
1 ˆ SST 1 x ( x u ) SST 1 x t 1 t 1 t t 1 x t 1 xt ut
第十一章
时间序列回归中的序列相关和异方差
动态完备模型和无序列相关





基于当前信息集（xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …)对yt的期望为： E(yt|xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …) 若k期之前信息（yt-k+1, xt-k+1, …)对yt的作用完全通过影响（xt, yt-1, xt-1, …, yt-k, xt-k )实现，则有： E(yt|xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …)=E(yt|xt, yt-1, xt-1, …, yt-k, xt-k) 相应的回归模型为： yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+2xt-2+2yt-2+…+ kxt-k+kyt-k+ut 动态完备模型：模型解释变量包括了足够多的滞后，以至于 y和解释变量其他滞后对解释y没有任何意义。 若模型动态完备，则扰动项ut必然无序列相关。
ˆ) DW2(1- ˆ 的t检验： DW检验和基于
概念上等同；
满足经典假定时，DW检验精确，但会有不确定域；
ˆ 基于
的t检验实施方便，且即使扰动项不服从正态分 布，依然渐近有效； 若存在异方差，可以使用异方差-稳健t统计量。

回归元不严格外生时AR(1)序列相关的检验
滞后因变量作为解释变量 检验步骤： 将 yt对x1t , x2t, . . ., xkt 回归，得到OLS残差û t； 做如下回归： û t对x1t , x2t, . . ., xkt, û t-1 利用t统计量，检验û t-1系数的显著性。 回归元不严格外生时，xjt 可能与û t-1相关，因此

如何设定动态完备模型？
扰动项不存在序列相关； 滞后项系数显著。

序列相关的处理：
考虑如下模型：
yt=+xt+ut ut=ut-1+vt 合并后得到动态模型： yt=(1-)+xt-1xt-1+yt-1+vt 应用中通常引入更多的滞后消除序列相关： yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+vt 该模型是动态完备的。
这里包含x1t , x2t, . . ., xkt 若存在异方差，使用异方差-稳健t统计量

高阶序列相关检验
假定AR(q)序列相关检验 检验步骤： 将 yt对x1t , x2t, . . ., xkt 回归，得到OLS残差û t； 做如下回归： û t对x1t , x2t, . . ., xkt, û t-1, û t-2, . . ., û t-q 利用F统计量，检验û t-1, û t-2, . . ., û t-q系数的联合显著性。
考虑只有一个解释变量的简单模型：
yt 0 1xt ut
广义差分：
ut ut 1 et
yt 0 1xt ut
yt -1 0 1xt -1 ut -1
t2
yt yt -1 (1 )0 1 ( xt xt -1 ) et，
扰动项序列相关说明模型不是动态完备的，相
应的完备模型为： yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+et 对于包含滞后因变量的情形，解决序列相关的 方法通常就是加入滞后项。
序列相关的检验

回归元严格外生时AR(1)序列相关的t检验
对于回归模型：
yt = 0 + 1x1t + 2x2t + . . . +kxkt + ut 若ut已知，可直接进行如下回归： ut=ut-1+ et AR(1)序列相关检验实际上就是检验H0: =0 由于ut已知，需要用OLS残差û 代替，即
ˆ ) SST2 Var ( Var (
1 x
j x u ) / SST 2( / SST ) t 1 t t t 1 j 1 xt x x n 2 2 2 x n 1 n t
t j
对于经济序列，
n 1 t 1
n t
j xt x 一般为正，因此方差公式 j 1 t j
的估计值应该比较接近。

静态菲利普斯曲线

高阶序列相关的修正
二阶序列相关：
yt 0 1xt ut
广义差分变换
ut 1ut 1 2ut 2 et
yt 0 1xt ut
1 yt -1 10 11 xt -1 1ut -1 2 yt -1 2 0 2 1 xt -1 2ut -1
差分变换：
若=1，即扰动项{ut }服从随机游走：
ut=ut-1+ et
yt = 1xt+ et
若>0，且比较大，即便1，也可以用差分变换，
以消除大部分的序列相关。
序列相关-稳健推断

理论基础：
简单的一元回归模型：
yt = 0 + 1xt + 2x2t + . . . +kxkt + ut 关注1系数，将x1t写作其他自变量的线性函数： x1t = 0+ 2x2t + . . . +kxkt + rt 可以证明1OLS估计量的方差为：
若回归元严格外生，可以省略x1t , x2t, . . ., xkt
若存在异方差，使用异方差-稳健的F统计量 LM统计量（Breusch-Godfrey test）：
2 2 LM (n q) Ru ~ (q) ˆ
回归元严格外生时序列相关的修正

AR(1)序列相关下最优线性无偏估计量—GLS
补齐第一个样本数据：
1 - 2 y1 1 - 2 0 1 1 - 2 x1 1 - 2 u1

可行GLS：
将 yt对x1t , x2t, . 做如下回归：
. ., xkt 回归，得到OLS残差û t；
û t对û t-1 ˆ 得到û t-1的系数 ˆ 代替，进行GLS估计： 利用
ˆ ) Avar( 1 Var (t 1 rt ut )
n
Biblioteka Baidu
( E (rt 2 ))2
时间序列模型的同方差假定
对于动态模型： yt=0+1zt+2yt-1+3zt-1+ut 同方差假设要求：

Var(ut|zt, yt-1, zt-1)=Var(yt|zt, yt-1, zt-1)=2 不能存在动态形式的异方差—ARCH或GARCH
ˆu ˆt ˆt 1 u
为什么要假定回归元严格外生？ ˆ , ˆ ,..., ˆ û 取决于估计量 0 1 k 假定回归元严格外生，用û 代替u不影响t统计量的渐近分布。 若Var(et |ut-1)不是常数，可使用异方差-稳健t统计量。

经典假定条件下的DW检验
FGLS估计量的一致性： yt–yt-1 = (1-)0 + 1(xt-xt-1)+(ut-ut-1) 保证FGLS估计量具有一致性的条件： Cov(xt-xt-1, ut-ut-1)=0 具体为：Cov(xt, ut)=0；Cov(xt-1+xt+1, ut)=0
OLS估计量和FGLS估计量都是一致的，二者给出
yt 1 yt -1 2 yt -2 (1 1 - 2 )0 1 ( xt 1xt -1 2 xt -2 ) et， t 3
1和2的估计： û t对û t-1和û t-2回归
差分和序列相关

对于模型： yt = 0 + 1xt+ ut ， ut=ut-1+ et
ˆ 2 y1 1 - ˆ 2 0 1 1 - ˆ 2 x1 errort 1-
ˆyt -1 (1 ˆ )0 1 ( xt ˆxt -1 ) et， yt
t2

反倾销与化学物品进口

OLS和FGLS的比较
对于平稳的时间序列，考虑如下模型： yt = 0 + 1xt+ ut OLS估计量的一致性： Cov(xt, ut)=0