角的概念与运算

年级初一学科数学编稿老师郑如霞

课程标题角的概念与运算

一校林卉二校黄楠审核孙永涛

一、考点突破

本讲的内容是中考常考的内容，尤其是角的个数等内容是中考的热点。较少单独命题，常以选择题和填空题的形式出现，而角平分线、余角、补角、方位角这几个知识点与其他知识综合，出现在解答题中。主要考查以下内容：（1）角的概念及角的几种表示方法；（2）角的大小的比较方法；（3）角平分线的意义；（4）角的有关计算；（5）互为余角、互为补角的性质。

二、重难点提示

重点：掌握角的和、差、倍、分关系，互为余角、互为补角的性质并进行计算。

难点：在未知图形的基础上建立讨论的思想解题。

能力提升类

例1 如图，∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，

求∠EOF的度数？

一点通：已知∠AOE和∠DOF的度数，又因为OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，所以可以利用转化的思想把角∠EOF转化成∠COE＋∠COF，再利用已知条件求解。

解：∵OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，

∴可设∠DOE ＝∠EOC ＝∠α，∠COF ＝∠FOA ＝∠β， 根据图形，∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝∠α＋∠β， 观察图形得，∠AOE ＝2∠β＋∠α＝100°①， ∠DOF ＝∠β＋2∠α＝80°②， ①＋②得，3（∠α＋∠β）＝180°。

∴∠α＋∠β＝60°。即∠EOF ＝60°。 点评：由角平分线可以找出角之间的数量关系，本题的关键是如何利用角与角之间的关

∵∠AOB ＝90°， ∴∠MON ＝45°。

（2）若∠AOB ＝α，有∠MON ＝

2

1∠AOB ＝2 。

（3）由（1）、（2）的结论和（1）的解题过程，可以得出结论：∠MON 的大小与∠BOC

的大小无关，它总等于∠AOB 的一半。

点评：结合图形，把图形语言转化为符号语言并写出相应的数量关系式是解题的关键。

综合运用类

例4已知∠AOB、∠COD都是直角，（1）如图①，试猜想：∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系？并说明理由？（2）当∠COD绕点O旋转到如图②位置时，（1）中的猜想是否成立？

一点通：根据图形，分别把∠AOB、∠COD用两个角的和表示出来，再判断∠AOD和∠BOC的关系。

解：（1）∠AOD与∠BOC互补。

∵∠AOB＋∠COD＝180°，

∴∠DOB＋∠BOC＋∠COA＋∠BOC＝180°，

∴∠AOD＋∠BOC＝180°。

（2）结论不变

∵∠AOB＋∠COD＝180°，

∴∠DOC＋∠COB ＋∠BOA＋∠AOD＝360°，

∴∠AOD＋∠BOC＝180°。

点评：求共顶点的若干个角中某个角的度数，关键是弄清已知角和所求角之间的和、差、倍、分的关系，从图形中挖掘条件。

例5直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°，

（1）求∠AOE的度数；

（2）写出∠BOD的所有补角和余角。

一点通：题目条件较多，先设未知数，列方程求出∠AOE的度数，再分别找出∠BOD 的补角和余角。

解：（1）设∠AOE＝x°，则∠DOE＝x－30°，∠BOD＝∠DOE－30°＝x－60°，

由∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝180°，

得x＋x－30°＋x－60°＝180°，

解得x＝90°。

即∠AOE＝90°

（2）∠BOD的余角有∠DOE、∠BOF。

∠BOD的补角有∠AOD、∠BOC、∠EOF。

点评：题中有两个角的大小关系时，可以考虑设未知数x，把每个角用x表达后，列方程求解。

例6 灯塔A在灯塔B的南偏东60°方向上，A、B相距30海里，轮船C在B的正南方向，在灯塔A的南偏西60°方向上，通过画图（用1个单位代表10海里）确定轮船C 的位置，求∠BAC和∠ACB的度数，并求出轮船C与灯塔B的距离。

一点通：分别以A、B为基点，根据已知，测量角度画出图形，分别求出∠BAC和∠ACB 的度数，并判断△ABC的形状。

解：根据已知，以B为基点，作∠CBA＝60°，以A为基点，作∠DAC＝60°，

∴∠BAE＝30°，∠CAE＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴BC＝AB＝AC＝30海里

所以轮船C与灯塔B的距离为30海里．

点评：方位角的确定首先要确定基点，再由正南或正北测量出夹角。

思维拓展类

例7 如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

（1）若∠A＝60°，求∠BOC；

（2）若∠A＝100°，∠BOC又是多少？

（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）

一点通：根据角平分线的性质及三角形的内角和等于180°解题；同时根据（1）、（2）的结果发现规律。

解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4；

∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°（三角形内角和），∠A＝60°，

∴∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°，

即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝120°，

∴∠1＋∠4＝60°，

∵∠1＋∠4＋∠BOC＝180°（三角形内角和），

∴∠BOC＝180°－60°＝120°。

知识相结合的解题能力，需要多加练习。

例9 已知直角∠AOB，以O为顶点，在∠AOB的内部画出100条射线，则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O为顶点，在∠AOB的内部画出n条射线（n≥1的自然数），则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？

一点通：在∠AOB的内部，以O为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n条射线所构成的锐角的个数。