第十章习题解(上网)

第十章习题解

10-8 波源作简谐运动，其方程为()m t

πcos240100.43

-⨯=y ，形成的波形以30ｍ·ｓ-1 的

速度沿直线传播．（1）求波的周期及波长；（2）写出波动方程．

解：分析：已知波源振动方程求波动物理量及波动方程，可先将振动方程与其一般式

()ϕω+=t cos A y 比较，求出振幅A 、角频率ω及初相φ0 ，该类物理量与波动方程的一般

式

()[]0cos ϕω+-=u x t A y /相应的物理量相同．利用已知波速u 、ω＝2πν ＝2π

／T 、λ＝u T 即可写出相应波动方程．

（1）由已知波源振动方程：质点振动的角频率1

s π240-=ω．波的周期就是振动的周期，故有：

波动周期： s 1033.8/π23

-⨯==ωT (1)

波长：

λ＝uT ＝0.25 ｍ (2)

（２） 将已知波源振动方程与谐振动方程一般式比较可得波动周期、角频率、初相：

A ＝4.0 ×10-3m

1s π240-=ω

φ0 ＝0

故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波动方程为：

()[]()

()

m π8π240cos 100.4/cos 3

0x t u x t A y -⨯=ϕ+-ω=- (3)

10-9 已知波动方程为：y=0.05sin(10πt –0.6x)m ， (1) 求波长、频率、波速和周期； (2)说明x=0时方程的意义，并作图表示；

解：分析：可采用比较法求解，先将已知波动方程改写成余弦形式，与波动方程一般式

()[]0cos ϕω+-=u x t A y /比较可求出相应物理量，当x 确定时波动方程即成为

质点的振动方程．

(1)波动方程改写成余弦形式：

y=0.05cos[10π（t -x / 5π）-π / 2](m)

得： u=5π=15.7m ⋅s -1 ν=5Hz

T=1 / ν=0.2 s (1) λ= uT =3.14m

(2) 当x=0时波动方程成为坐标原点处质点的振动方程：

y=0.05cos(10πt -π / 2)(m) (2)

由(2)式作如图所示；

10-20 如图所示两相干波源分别在P 、Q 两点处，波源发出频率ν、波长λ，初相相同的两

列相干波．设PQ ＝3λ/2，R 为PQ 连线上的一点．求：

（1）自P 、Q 发出的两列波在R 处的相位差； （2）两列波在R 处干涉的合振幅；

解：分析：两波源初相相同，故两波在点R 处的相位差Δφ仅由其波程差决定．因R 处质点同时受两列相干波的作用，其振动为同频率、同振动方向的两谐振动合成，合振幅为：

ϕ∆++=cos 2212

221A A A A A

（1） 两相干波在R 处的相位差为：

π=λ=ϕ3/Δπ2Δr (1)

（2） 由于π3Δ=，则合振幅为：

y 0.05 x=0 o 0.1 0.2 t (s)

2

1212

221cos32A A A A A A A -=++=

π (2)

(2)式为两相干波在R 处干涉相消结果，若两相干波在R 处相位差为π2Δ=，则为干涉加强。

10-22 图（a ）为干涉型消声器结构原理图，利用该结构可以消除噪声：发动机排气噪声声波经管道到达点A ，分两路在点B 相遇，因声波干涉相消而达到消除噪声之目的．问：若要消除频率为300 Hz 的发动机排气噪声，则图中弯管与直管的长度差Δr ＝r 2 －r 1 至少应为多少？ 取声波速度为：340 m·s -1

解: 分析 一列声波被分成两束后再相遇，将形成波的干涉现象．由干涉相消条件，可确定所需的波程差，即两管的长度差Δr ．由分析可知，声波从点A 分开到B 点相遇，两相干波的波程差为：Δr ＝r 2 - r 1 ，故两波的相位差为：

()λ=λ-=ϕ/Δπ2/π2Δ12r r r (1)

由干涉相消条件（静止）： Δφ＝（2k ＋1）π，（k ＝0，±1，±2，…）

得： Δr ＝（2k ＋1）λ／2 据题中要求可令k ＝0 得Δr 至少应为：

m 57022.//===∆v u r λ (2)

讨论：实际应用中，由于噪声是由多种频率的声波混合而成，因而常将具有不同Δr 的消声单元串接起来以增加消除噪声的能力．图（b ）为安装在摩托车排气系统中的干涉消声器的结构原理图．

提出问题：(2)式结果似乎有些大了！有无更好的方法？

10-24 弦上的驻波方程式为：()()

()m π550cos π6.1cos 100.32

t x y -⨯=

（1）将此驻波看成由传播方向相反，振幅及波速均相同的两相干波叠加而成，求其振幅、波速；

（2）求相邻波节间距；

（3）求t ＝3.0 ×10-3 s 时位于x ＝0.625 m 处质点的振动速度；

解：分析：（1） 采用比较法．将本题所给的驻波方程，与驻波一般式比较可求振幅、波速等物理量；（2） 由波节位置表达式可求相邻波节间距；（3） 质点的振动速度可按速度定义v ＝d y /d t 求得．

（1）将已知驻波方程： ()()

()m π550cos π6.1cos 100.32

t x y -⨯=

与驻波一般式比较： ()()t λx A y v π2cos /π2cos 2= 得两列波的相关物理量：

振幅：A ＝1.5 ×10-2 m (1) 波长：λ＝1.25 m 频率：υ＝275 Hz

则波速为：

u ＝λυ＝343.8m·s -1 (2)

（2）相邻波节的间距为：

()[]()m

625024124112k 1k .///==+-++=-=∆+λλλk k x x x (3)

（3）t ＝3.0 ×10-3 s 时位于x ＝0.625 m 处质点的振动速度为：

()()1

s

m 2.46π550sin π6.1cos π5.16d /d -⋅-=-==t x t y v (4)