人教版高中数学选修2-3《排列组合综合应用》

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选修2-3 排列组合的综合应用

【错解2】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种；剩下的3 位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C33种．又两边可以交换，故共有C63C33·A22＝40种．
【剖析】本题看似排列问题，其实是组合问题．【正解】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C63＝20种．
某一天的课程表要排入 ak(k=1,2,……,n)共 n 节课，n∈N*.
如果第一节不排 ai，最后一节不排 aj，i≠j, 那么共有多少
种不同课程表的排法？ [解] n 门课总的排法是 Ann 种，其中不符合要求的可分为： ai 排在第一节有 An-1n-1 种排法，如图中Ⅰ； aj 排在最后一节有 An-1n-1 种排法，如图中Ⅱ；但这两种方法，都包括 ai 在第一节， aj 排在最后一节，有 An-2n-2 种排法，如图中Ⅲ. 因此符合条件的排法应是： Ann－2An-1n-1＋An-2n-2 (种)．
题型一较复杂的排列组合问题
例1 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)共有多少种做法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
【解析】 (1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝ 256(种)．
5．连接正三棱柱的顶点，可以组成________个四面体，可以连成________对异面直线．
答案 12 36 解析 ①从正三棱柱的 6 个顶点中任取 4 个，有 C64 种方法，其中 4 个点共面的有 3 种，则可以组成 C64－3＝12(个)四面体． ②过三棱柱任意 2 个顶点的直线共有 C62＝15(条)，其中异面直线分 3 类：三棱柱的底边三角形的边与侧面对角线、侧棱之间的异面直线，有 6×3＝18(对)；侧面中，一条棱对应 2 条异面直线，3 条棱一共就是 6 对；侧面中，面对角线之间有 6 对；上下底面之间的异面直线共有 6 对．则满足题意的异面直线共有 18 ＋6＋6＋6＝36(对)．

高二数学人教A版选修2-3：组合的应用课件

（3）如果完成一件事情有几类不同的方案，采用分类加法计数原理.
从4名男生3名女生中选出3名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？（1）选出的3名代表中至少有1名女生入选；（2）选出的3名代表中不全是女生入选；
（ 1）解1：C31 C42 C32 C41 C33 C40 31 . 解2：C73 C43 31 .
组合的应用
高二年级数学
请同学们观察给出的排列和组合的概念
从n个不同元素中取出m（
)个元素，按按照照一一定定
顺顺序序排排成成一一列列，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列.
从n个不同元素中取出m（
)个元素合成一组，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（1）从5本不同的书中选3本，共有多少种不同选法？
解：教练员分两步完成这件事情：
C11
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 17 种；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有 C111种.
C11 17
C111
136 136
.
何时使用分步乘法计数原理？
不能一步完成一件事，需要分几步完成
例1（教材P23例6）：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种选择方案？
解1：从10件产品中抽出5件中至少有1件次品分成三类
C C 第1类:其中1件是次品的抽法有
1 3
4 7
种；
第2类:其中2件是次品的抽法有 C32 C73 种；
第3类:其中3件是次品的抽法有C33 C72 种.

人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT课件

课堂小结：
基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法” ；⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．
人教版高中数法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
三.插空法
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55＝2400种答：共有2400种不同的排列方法。
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素，实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也不能重复. 即排除法.

河北省抚宁县第六中学人教A版高中数学选修2-3课件：1.2排列组合综合应用问题

对不相邻元素的排列问题,一般的还可以利用“插空法”解决.即把a,e以外的三个元素全排列有A32 种,再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种,由乘法原理共有A32. A42 (种)
说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空法”对反面明了的,可用“排除法”
第二十一页，编辑于星期日：十四点三十七分。
② Ab-------------Ba
③ Bb-------------Aa
④ Ba-------------Ab
显然： ①与③； ②与④在搭配
上是一样的。所以只有2种方法，
所以总的搭配方法有2 C82.C72种。
第十四页，编辑于星期日：十四点三十七分。
排列组合综合问题
练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成
第十二页，编辑于星期日：十四点三十七分。
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数.
(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
解：（1）先把男生全排列,再选择必须插空的位置∴总排列数为 A44.A43.A21
（2）同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位, 女偶数位,或者对调.∴总排列数为A22.A44.A44种.
注意：若是3个元素按一定顺序,
则必须除以排列数 A33.
点评：排列应用题是实际问题的一种,其指导思想：
弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方
法.本例是排列的典型问题,解题方法可借鉴.排列
问题思考比较抽象,“具体排”是一种把抽象转化具
体的好方法.
第二十二页，编辑于星期日：十四点三十七分。
有条件限制的组合问题
排列数.
部分平均分组问题中，先考虑不平均分组，剩下的就是平均分组。这样分组问题就解决了.

人教版高中数学选修2-3教学案：1.2.1第二课时排列的综合应用

第二课时摆列的综合应用数字摆列问题[典例 ]用0,1,2,3,4,5这六个数字能够构成多少个切合以下条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数．[解 ] (1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有 A 41种排法；第三步，排其余位，有 A 44种排法．114个六位奇数．故共有 A3A4A4＝ 288(2) 法一：(直接法 )十万位数字的排法因个位上排0 与不排 0 而有所不一样，所以需分两类．第一类，当个位排 0 时，有 A55个；第二类，当个位不排0时，有 A41A 41A44个．故切合题意的六位数共有5114个 )．A5＋A 4A4A4＝ 504(法二： (清除法 )0 在十万位和 5 在个位的摆列都不对应切合题意的六位数，这两类摆列中都含有0 在十万位和 5 在个位的状况．故切合题意的六位数共有A66－ 2A55＋ A44＝ 504(个 )．(3)分三种状况，详细以下：①当千位上排1,3 时，有 A1A1A 2个．2 3 4②当千位上排 2 时，有 A 12A24个．③当千位上排 4 时，形如40××， 42××的各有 A13个；形如 41××的有 A12A13个；形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数．故共有 A12A13A24＋ A21A24＋ 2A13＋ A12A13＋ 2＝ 110(个 )．[一题多变 ]1． [变设问 ]本例中条件不变，能构成多少个被 5 整除的五位数？解：个位上的数字一定是 0 或 5．若个位上是0，则有 A54个；若个位上是 5，若不含 0，则有 A 44个；若含 0，但 0 不作首位，则0 的地点有 A31种排法，其余各位有 A43种排法，故共有 A 54＋ A44＋ A31 A43＝ 216(个 )能被 5 整除的五位数．2． [变设问 ] 本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的次序构成一个数列{a n}，则240 135 是第几项？解：因为是六位数，首位数字不可以为0，首位数字为 1 有 A55个数，首位数字为2，万位240 135的项数是A55＋ 3A44＋ 1＝ 193，即240 135是数上为0,1,3 中的一个有3A44个数，所以列的第193 项．3． [变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，能够构成多少个没有重复数字且 5 不在十位地点上的五位数．解：此题可分两类：第一类：0 在十位地点上，这时， 5 不在十位地点上，所以五位数的个数为A44＝ 24；第二类： 0 不在十位地点上，这时，因为 5 不可以排在十位地点上，所以，十位地点上只好排 1,3,7 之一，有 A13＝ 3(种 )方法．又因为 0 不可以排在万位地点上，所以万位地点上只好排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有 A 13＝ 3(种 )．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全摆列即可，有 A33＝ 6(种 )．依据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A 13·A33＝ 54．由分类加法计数原理，切合条件的五位数共有24＋ 54＝ 78(个 )．数字摆列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1) 解题原则：摆列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的摆列问题的限制条件主要表此刻某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类摆列问题的方法主假如按“优先”原则，即优先排特别元素或优先知足特别位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类议论．(2)常用方法：直接法、间接法．(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，适合地进行分类和分步，特别注意特别元素“0”的办理．排队问题[典例 ] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，此中甲只好在中间或两头；(2)全体站成一排，此中甲、乙一定在两头；(3)全体站成一排，此中甲不在最左端，乙不在最右端；(4) 全体站成两排，前排 3 人，后排 4 人，此中女生甲和女生乙排在前排，还有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排．116 [解 ] (1)先考虑甲有 A3种方案，再考虑其余六人全摆列，故N ＝ A3A6＝2 160(种 )．(2)先安排甲、乙有 A 22种方案，再安排其余 5 人全摆列，故 N＝ A22·A55＝ 240(种 )．(3)[ 法一特别元素优先法]按甲能否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有N 1＝ A66(种 )，第二类，甲不在最右端时，甲有 A 15个地点可选，而乙也有 A 15个地点，而其余全摆列5 1 1 5A5，有 N2＝ A5A5A 5，6 1 1 5故 N＝ N 1＋ N2＝ A6＋ A5A 5A5＝ 3 720(种 )．[法二间接法]无穷制条件的摆列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有 A 55，故 N ＝ A77－ 2A66＋ A 55＝ 3 720(种 ) ．[法三特别地点优先法 ]按最左端优先安排分步．关于左端除甲外有 A61种排法，余下六个地点全排有A66，但减去乙在最右端的排法 A51A55种，故 N＝ A 61A66－ A51 A55＝ 3 720(种 )．(4) 将两排连成一排后原问题转变为女生甲、乙要排在前 3 个地点，男生丙、丁要排在后 4个地点，所以先排女生甲、乙有A 32种方法，再排男生丙、丁有A42种方法，最后把节余的 3名同学全摆列有 A33种方法．故 N＝ A 32·A42·A33＝ 432(种 )．排队问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大概归类，常有的种类有特别元素、特别地点、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采纳相应的方法解题．(2)适合联合，摆列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要适合联合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，奇妙应用清除法可起到事半功倍的成效．[活学活用]排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单．(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的方法有多少种？解： (1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两头共有 6 个空位，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A 46＝ 43 200种方法．(2) 先排舞蹈节目有 A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两头共有 5 个空位，恰巧供 5 个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的排法有A44·A55＝ 2 880种方法．层级一学业水平达标1． 6 名学生排成两排，每排 3 人，则不一样的排法种数为 ()A． 36B． 120C． 720D． 240分析：选C因为 6 人排两排，没有什么特别要求的元素，故排法种数为A66＝ 720．2．用 0到 9这十个数字，能够构成没有重复数字的三位数共有()A． 900 个B． 720 个C． 648 个D． 504 个分析：选 C 因为百位数字不可以是0，所以百位数字的取法有A91种，其余两位上的数字取法有 A92种，所以三位数字有A91·A92＝ 648(个 )．3．数列 {a n}共有 6 项，此中 4 项为 1，其余两项各不同样，则知足上述条件的数列{a n}共有()A．30个B．31 个C．60个D．61 个分析：选A在数列的 6 项中，只需考虑两个非1 的项的地点，即可得不一样数列共有A62＝ 30 个．4． 6 名同学排成一排，此中甲、乙两人一定排在一同的不一样排法有()A． 720 种B． 360 种C． 240 种D． 120 种分析：选C(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余 4 人，共 5 个元素全摆列，有A55种排法，故共有排法A 22·A 55＝ 240 种．5． (辽宁高考)6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A． 144B． 120C． 72D． 24分析：选 D节余的3个座位共有3坐法种数为A4＝ 4×3×2＝ 24．4 个缝隙供 3 人选择就座，所以任何两人不相邻的6．从班委会的 5 名成员中选出 3 名分别担当班级学习委员、娱乐委员与体育委员，其中甲、乙二人不可以担当娱乐委员，则不一样的选法共有________种． (用数字作答)分析：娱乐委员有 3 种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝ 12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝ 36 种选法．答案： 367．将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小口袋中，若不一样意空袋且红口袋中不可以装入红球，则有________种不一样的放法．分析：(清除法)红球放入红口袋中共有 A 44种放法，则知足条件的放法种数为A55－ A 44＝96(种 )．答案：968．用 0,1,2,3,4 这 5 个数字构成无重复数字的五位数，此中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．23不夹在 1,3之间又不在首位有1212分析：0 夹在 1,3 之间有 A 2A3种排法，0A2A 2A 2A2种排法．所以一共有A22A 33＋ A12A 22A12A22＝ 28 种排法．答案： 289．一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解： (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个地点有A52种排法，再将节余的 3 个演唱节目， 3 个舞蹈节目排在中间6 个地点上有 A66种排法，故共有不一样排法 A52A66＝14 400种．(2) 先不考虑摆列要求，有A88种摆列，此中前四个节目没有舞蹈节目的状况，可先从5个演唱节目中选 4 个节目排在前四个地点，而后将节余四个节目摆列在后四个地点，44有 A5A4种排法，所从前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A 88－ A 54A44)＝ 37 440 种．10．从 5 名短跑运动员中选出 4 人参加4×100 米接力赛，假如 A 不可以跑第一棒，那么有多少种不一样的参赛方法？解：法一：当 A 被选上时，共有 A13A34种方法，此中 A13表示 A 从除掉第一棒的其余三棒中任选一棒； A 34表示再从剩下 4 人中任选 3 人安排在其余三棒．当 A 没有被选上时，其余四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．故共有 A31A43＋ A44＝ 96(种 )参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不可以填A，有 4种填法，其余三个框图共有A43种填法，故共有4×A43＝ 96(种 )参赛方法．法三：先不考虑 A 能否跑第一棒，共有 A54＝ 120( 种 )方法．此中 A 在第一棒时共有A 43种方法，故共有A54－ A43＝ 96(种 )参赛方法．层级二应试能力达标1． (四川高考 )用数字 1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数，此中奇数的个数为() A． 24B． 48C． 60D． 72分析：选D第一步，先排个位，有A31种选择；第二步，排前 4 位，有 A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有A31·A44＝ 72(个 )．2．从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三种不一样的工作，若这 3 人中起码有1 名女生，则选派方案共有()A． 108 种B． 186 种C． 216 种D． 270 种分析：选 B 可采纳间接法解决： A 73－ A43＝ 186( 种 )，应选 B．3．用数字 0,1,2,3,4,5 能够构成没有重复数字，而且比20 000 大的五位偶数共有 ()A． 288 个B． 240 个C． 144 个D． 126 个分析：选 B 个位上是0 时，有 A41A43＝ 96(个 )；个位上不是 0 时，有 A21 A31A 43＝ 144( 个 )．∴由分类加法计数原理得，共有96＋ 144＝ 240(个 )切合要求的五位偶数．4． (四川高考 )六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，则不一样的排法共有()A． 192 种B． 216 种C． 240 种D． 288 种分析：选B当最左端排甲时，不一样的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只好排在中间四个地点之一，则不一样的排法共有4A 44种．故不一样的排法共有A55＋4A 44＝ 120＋ 4×24＝216 种．5． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为________．分析： (插空法 )8 名学生的摆列方法有A88种，分开了 9 个空位，在 9 个空位中摆列 2 位2 8 2答案： 2 903 0406．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共 4 节课，假如第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有不一样排法________种．3种排法，最后一节有 2 种排法，中间两节随意排，有2×2×2＝ 8 种方法，依据分类加法计数原理，共有6＋ 8＝ 14 种，故答案为14．法二：间接法： 4 节课所有可能的排法有A44＝ 24 种，此中体育排第一节的有A33＝ 6 种，3数学排最后一节的有A3＝ 6 种，体育排第一节且数学排最后一节的有2×1＝ 2 种，故切合要求的排法种数为24－ 6－ 6＋ 2＝ 14种．答案：147．某次文艺晚会上共演出8 个节目，此中 2 个唱歌、 3 个舞蹈、 3 个曲艺节目，求分别知足以下条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻．解：(1) 先排唱歌节目有A 22种排法，再排其余节目有 A 66种排法，所以共有 A22·A66＝ 1 440(种 )排法．(2) 先排 3 个舞蹈节目， 3 个曲艺节目有A66种排法，再从此中7 个空 (包含两头 )中选 2个排唱歌节目，有 A72种插入方法，所以共有A66·A72＝ 30 240(种 )排法．(3) 把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目摆列共A44种排法，再将 3 个舞蹈节目插入，共有 A53种插入方法，最后将 2 个唱歌节目交换地点，有A22种排法，故所求排法共有 A44·A53·A 22＝ 2 880(种)排法．8．从 1 到 9 这 9 个数字中拿出不一样的 5 个数进行摆列．问：(1)奇数的地点上是奇数的有多少种排法？(2)拿出的奇数一定排在奇数地点上有多少种排法？解： (1)奇数共 5 个，奇数地点共有 3 个；偶数共有 4 个，偶数地点有 2个．第一步先在奇数地点上排上奇数共有A53种排法；第二步再排偶数地点， 4 个偶数和余下的 2 个奇数能够排，排法为 A 62种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A53·A 62＝ 1 800．(2) 因为偶数地点上不可以排奇数，故先排偶数位，排法为A42种，余下的2个偶数与 5 个奇数全可排在奇数地点上，排法为 A73种，由分步乘法计数原理知，排法种数为 A42·A73＝ 2 520种．。

高二数学(选修-人教B版)-排列组合综合应用-教案

教案
例4 用1,2,3,4,5中的数字组成5位数，并按要求计
算出符合条件的五位数的个数.
问题一 1不在万位且各数位数字无重复. 直接法： 14C 种. 先排1：再排其余数：有4
4A 种.
所以总共有14
4
496C A =种. 间接法：
总的情况55A ，不符合要求的是1在万位，另外四
个数全排列有44A 种.所以符合要求的有54
5
496A A -=种.
问题二各数位的数字无重复，并且1与2相邻，1与
3不相邻. 罗列枚举：将12捆绑，再选择3的位置
一共有2
2
(26+32)36A ⨯⨯=种. 直接法：核心是先排特殊元素1,2,3. 12相邻，2可
以与3相邻，也可以与3不相邻.与3相邻就把123或
321捆绑，
加上顺序，所以是3
32A .再考虑1与2捆绑之后的整体与3不相邻，所以从4,5造的三个空中选
两个放入12和3这两组数，有顺序，所以是2
3A ，1,2可以调换顺序，4,5可以调换顺序，乘在一起
222322A A A ，两种情况再一加就是3222
3322236A A A A +=.。

人教A版高中数学选修2-3第一章《排列与组合综合应用》课件(共16张)

• 所以分配种树为：N=360+90+90=540
• 现场演练4.要将“五.四”青年节文艺汇演节目中的7个节目分配给高一年级12个班中的5个班，每个班至少有一个节目。一共有多少种分配方案？
• 提示：先确认分配下去的数字方案，再选班级选节目。
• 1.12个班选出5个；
• 2.将7分解成1,1,1,1,3；1,1,1,2,2两类，按方案选人“捆绑”——捆绑法
排列与组合分类讨论的产生：
• 1.待选取的元素有特殊性或有特殊要求； • 2.元素分配的位置有特殊性或有特殊要求； • 3.选取的不确定性或分组的不确定性。 • 基本原则： • （1）特殊问题特殊对待； • （2）分类不重复不遗漏
课堂小结
• 排列组合综合问题，要学会从条件中抠字眼，认真体会，寻找解决问题的方案：
组合3.排列与组合综合应用中的常见问题研究
• 一.两个特殊的排列组合方法。
• 1.相邻问题捆绑法.
• 例1.4名男生，3名女生一起排成一排。 • （1）若三名女生要求站在一起，一共有多
少种排法? • （2）若其中恰好有三名男生按照固定的顺
序相邻，有多少种排法？
• 解：（1）女生不分开，则先将女生内部排序，再将其看成“1”个，与4名男生一起一共“5”个全排列。所以一共有
• 3.按照5个元素全排列方法完成分配分配
• 方案的种数为 N C152 (C73 C72C52 ) A55
规律小结
• 1.例3是局部元素选出全排列，因为条件限制导致分类；
• 2.例4是元素的分配不是一对一，导致各个位置分得的元素数字可以变化从而导致分类，此类问题需要注意
• （1）先确认各位置数字分配方案； • （2）捆绑的对象内部是否需要排序。

高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件

课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
29
弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)．例4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类：第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)；第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)；第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)；第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)；所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.

高中数学人教A版选修2-3教学案：1.2.2第二课时组合的综合应用含解析

第二课时组合的综合应用课堂讲练设计，举一能通类题皿。

有限制条件的组合问题I典例I课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生3(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选.［解］(1)一名女生，四名男生，故共有a・Cil=350(种)选法.(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类,故共有a・Ch=165(种)选法.(3)至少有一名队长当逸含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选.故共有C1-C11+ C心=825(种)选法.或策用间接法：Ch-C和=825(种).(4)至多有两名女生舍有三如有两名女生，只有一名女生，没有女生.故共有C&CS+ aa+ci=966(种)选法.Ii有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：>•!一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出.“不含”I:的可把所指元素去掉再取，分步计数；;二是“至多”“至少〃问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注Ii意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏,L_________.________________.________________....._____________....._____________.................................................................J 【活学活用］有，个不同的球，】个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：⑴先从4个小球中取2个放在一起，有C3种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个尘子中的3个盒子里，有A］种放法，根据分步来法计数原理，共有CiM=144(种)不同的放法.(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中.有两妾放法：第一如1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C9种，再放到2个盒子中有A1种放法，共有CLM种放法；第二美，2个金子中各放2个小球有CK4种放法.故恰有2个金子不放球的方法有C1U+C3G=84(种).几何中的组合问题［典例1平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？［解］法一：以从共线的，个点中取点的多少作为分类的标准.第一英：共线的4个点中有2个点为三角形的项点，共有CSC4=48个不同的三角形；第二美：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C」C&=112个不同的三角形；第三类：关线的4个点中没有，&为三角形的顶点，去有=56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48+112+56=216个.法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有Cf2=220种取法,而在共蝶的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况t C4=4种.故这12个点构成三角形的个数为Ch-Ci=216个.「一—一一—一一—一一慈曾冗丽合向丽而一—一一—一一―:(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、;线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综!合牲强.:(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件!视为组合问题的限制条件即可.!(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计.;算符合题意的组合数.…一了薛话而■i■i■■i■i■■i■i■■i■i■i—i■i—i■i—i■正六边形的顶点和中心共7个点，可组成个三角形.解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故坦成三南形的个数为弓一3=32.答案：32［典例I用。

高中数学选修2-3导学案排列组合综合应用(包含2个课时)

排列组合应用问题（第1课时）【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

2.能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

【基础练习】1.将3名同学安排到2个工厂去实习,共有______________种不同的分配方案.2.用0到9这10个数字,可组成______________个没有重复数字的四位偶数.3.一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有_________________种不同的选法.【合作探究】例1．高二（1）班有30名男生，20名女生。

从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？例2．2名女生、4名男生排成一排，问：（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只能排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？（7）若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？（10）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？例3．从0,1,2，...,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有多少个？例4六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，每份2本；(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.【学以致用】1.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于31250的五位数？2.从6双不同的颜色的鞋子中任取4只，其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种？3.按下列条件,各有多少种不同的送书方法?(1)5本不同的书送给6个人.(2)5本不同的书送给6个人,每人最多1本.(3)6本不同的书送给5人.(4)6本不同的书送给5人,每人最少1本.(5)3本相同的书送给5人,每人最多1本.(6)3本相同的书送给5人.4.有一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对位置不变，再添入3个节目，那么共有多少种不同的安排方法？5.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法？排列组合应用问题（第1课时练习）【基础训练】1.如果有20个代表出席一次会议，每位代表与其他代表握一次手，那么一共握手_______次.2.200件产品中有3件是不合格品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件是不合格品的抽法的种数为___________________________（列出算式）.3.若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出4名学生代表的选法种数之比为2:13，则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______个.5.若不同的5种商品在货架上排成一排，其中,a b两种必修排在一起，而,c d两种不能排在一起，则不同的排法种数共有______种.6.6个男生和4个女生排成一排，若女生既不相邻又不能在两端，则有_____种不同的排法.【思考应用】7.7人站成一排，下列情况中各有多少种不同的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右边（不一定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个比4032大且没有重复数字的四位数？9.要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4个文艺节目中选出2个，高二年级的5个文艺节目中选出3个，高三年级的3个文艺节目中选出2个编制节目，问：有多少种不同的演出顺序？Ð的OA边上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，能得到多少个不同的三角10.在AOB形？【拓展提升】A B C D这4所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A11.有8名师范大学毕业生被分配到,,,中学去，问：不同的分配方法有多少种？12.空间7个点最多能确定多少对异面直线？排列组合综合应用(第2课时)【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1

(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个．所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步的不重复.计算结果时用分步计数原理.

人教A版高中数学选修2-3课件1.2.3《排列组合的应用》课时2.pptx

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方
法对应一种分法共有____C__96_____种分法。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份
C 至成少一一排个的一班n元-1素个二班,空可隙以三班中用m，四班-所1块有分隔五班板法，数六班为插入七班n个mn11元素. 排
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题:
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有. 34
(7).构造模型策略
共有. 34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
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二、间接法（排除法）
（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C___35 __种.
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决.

新人教A版选修2-3高中数学第1章第2节排列组合应用课件

● 【解析】树形图如图．
● 由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA， DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例 3】求解下列问题： (1)计算2AA5888＋－7AA59 48； (2)解方程：A42x＋1＝140A3x. 【解题探究】(1)直接利用排列数公式进行计算；(2)利用排列数公式将方程转化为关于 x 的代数方程即可求解，进而求方程的正整数解．
难点：应用排列与排列数公式
【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.
(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.
列举法解决排列问题 ● 【例2】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不
●
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● 确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
● 警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．

人教版数学高二选修2-3讲义第2课时排列的综合应用

第2课时排列的综合应用1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P18例3～P20，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．【答案】482．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．【解析】把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．【答案】243．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A35种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A35＝240种选派方案．【答案】2404．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．【解析】可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．【答案】186[小组合作型]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．【解析】问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.【答案】720排队问题7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】(1)先考虑甲有A13种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A13A66＝2 160(种)．(2)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)． (3)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端.【导学号：29472015】【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A 36种站法，然后再排其他位置，有A 44种站法，所以共有A 36·A 44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A 22种站法，其余5人全排列，有A 55种站法．故共有A 22·A 55＝240种不同站法．[探究共研型]数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6 500的有多少个？【解】(1)偶数的个位数只能是2,4,6，有A13种排法，其他位上有A36种排法，由分步乘法计数原理知，共有四位偶数A13·A36＝360(个)．能被5整除的数个位必须是5，故有A36＝120(个)．(2)最高位上是7时大于6 500，有A36个；最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2A25个．故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于 6 500的共有A36＋2A25＝160(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.【答案】 C2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有() A．720 B．360C．240 D．120【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55A22＝240种不同的排法．【答案】 C3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.【导学号：29472016】【解析】先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．【答案】1444．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

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上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。下面解法错在哪里? 至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数，然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中的4，6，又C73中选剩下的3个元素不2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。
（三）排列组合混合问题：
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 A 7 种方法，
解: ⑤ a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共有排列总数为A55 / A22（种）注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 A33。
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。
解：③捆绑法：a,e排在一起，可以将a,e看成一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有 A44种； a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原理共有A44. A22(种)排列。解：④排除法：即用5个元素的全排列数A55，扣除 a,e排在一起排列数A44. A22，则a,e不相邻的排列总数为A55- A44. A22（种）插空法：即把a,e以外的三个元素全排列有A33种，再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42 种，由乘法原理共有A33. A42 (种)
根据分类计数原理，一共有 C 种方法
1 7
A
2 7
2 1 1 2(A + C 8 ＝602 2 C7 C +
练习：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。解：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选2 名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
典型例题练习
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C4 A3 2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
（一）.有条件限制的排列问题例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法共有A22. A33=12(种)排法。
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。