高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式

题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．

图1

(1)证明：中截面DEFG 是梯形；

(2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231

()3

V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.

笔者关心的是：该题中的1231

()3V d d d S =++即)(6

1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？

这由下面推导的羨除体积公式立得.

题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值；

(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公

式是6

h

V =

（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

图2

题3 (2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h ..

(1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； (2)证明：EF//面ABCD

(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6

h

V =

（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

图3

笔者关心的是：高考题2,3中的6

h

V =

（S 上底面

+4S

中截面

+S

下底面

）即

[(2)(2)]6

h

V a c b c a d =+++是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.

《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.

1.刍甍

刍甍是图4所示中的五面体

ABCDEF

，其中

EF DC AB ////，底面

ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与

平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6

c a Hh

V +=.

图4

证明 如图5所示.设点

F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',.

图5

我们把平面

ABCD 分成三块区域：区域I 指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包

括直线AD )，区域II 指该平面夹在直线

BC AD 、之间的部分(包括直线这两条直线)，

区域III 指该平面位于直线

BC 右侧的部分(不包括直线BC ).

应分六种情形来证明： (1)点

F E '',均位于区域I ；

(2)点E '位于区域I ，点F '位于区域II ； (3)点E '位于区域I ，点F '位于区域III ； (4)点

F E '',均位于区域II ； (5)点E '位于区域II ，点F '位于区域III ； (6)点

F E '',均位于区域III .

下面只对情形(5)予以证明：

过点E '作CD GH ⊥于H '，交AB 于G ；过点F '作

CD IJ ⊥于I ，交AB 于

J ，得H E E h GH ='=,，所以

=-+=-)(BJIC AGHD FJI EGH V V V V 四棱锥四棱锥直三棱柱 =-+=-+)(3

2)(32GJIH ABCD BJIC AGHD S S H

c Hh S S H c Hh )2(6

)(32c a Hh ch ah H c Hh +=-+=

证毕！ 2.羨除

羨除是图6所示中的五面体

ABCDEF

，其中

EF DC AB ////，底面

ABCD 是梯形.设)(,b a b DC a AB >==，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)(6

c b a Hh

V ++=

.