二重积分的几种计算方法
二重积分的计算方法及应用
二重积分的计算方法及应用二重积分是微积分中重要的计算方法之一，它用于计算二元函数在平面区域上的累积效应。
本文将介绍二重积分的计算方法和其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算当被积函数在矩形区域上有明显的解析表达式时，可以使用矩形区域的特点进行计算。
首先，将矩形区域划分成小矩形，计算每个小矩形上函数值的加权累计，然后将这些小矩形的累加值相加得到最终结果。
2. 极坐标下的二重积分计算在某些情况下，函数的表达式在直角坐标下很难处理，但在极坐标下却具有较简单的形式。
对于极坐标下的二重积分计算，我们需要根据被积函数的性质选择适当的极坐标变换，并利用极坐标系下的面积微元进行计算。
3. 变量替换法变量替换是一种常用的二重积分计算方法。
通过引入新的变量替换原有的积分变量，可以简化被积函数的形式，使问题变得更易处理。
变量替换法的关键在于选择合适的变换关系，并确定新的积分范围。
4. 利用对称性简化计算当被积函数具有一定的对称性时，我们可以利用对称性简化计算。
例如，如果被积函数关于某个坐标轴对称，可以将积分区域关于对称轴进行映射，再利用对称性将两边的积分结果相等。
二、二重积分的应用1. 物理学中的应用二重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过对平面区域上的力场进行二重积分计算，可以求解物体的质心、转动惯量等物理量。
二重积分还可以用于计算电场、磁场等物理场的分布情况。
2. 统计学中的应用统计学中的某些问题可以通过二重积分来求解。
例如，在概率密度函数已知的情况下，可以通过二重积分计算随机变量落在某一区域内的概率。
这在统计推断和假设检验中有着重要的应用。
3. 经济学中的应用在经济学中，二重积分可以用于计算产量、收入、消费等指标。
通过对经济模型中的生产函数或效用函数进行二重积分计算，可以分析经济变量之间的相互作用关系。
4. 工程学中的应用工程学中常常需要对平面区域上的物理量进行计算和分析。
二重积分的计算方法
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法
1. 直接计算法：
这是最常见的计算二重积分的方法。
直接按照积分的定义，将被积函数与微元面
积相乘后进行求和即可。
一般来说，要根据具体的被积函数和积分区域的形状，选择合适
的坐标系来进行计算。
3. 对称性法：
如果被积函数在某个轴或者平面上具有一定的对称性，可以利用对称性简化计算。
如果被积函数关于某个轴对称，可以将积分区域分成两部分，然后只计算其中一部分的积分，最后再乘以2。
类似地，如果被积函数关于某个平面对称，可以将积分区域分成两个
对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分，最后再乘以2。
4. 等值线法：
对于一些复杂的被积函数，可以通过画出函数的等值线图来简化计算。
通过观察
等值线的形状和分布，可以选择合适的积分路径和积分限，使得函数在该路径上的积分更
容易计算。
5. 枚举法：
当积分区域非常复杂、函数表达式非常复杂或者积分路径不容易选择时，可以考
虑使用枚举法进行计算。
将积分区域分成若干个简单的子区域，然后分别计算每个子区域
的积分，最后将它们相加得到最终的积分值。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。
二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。
具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。
3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。
轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。
对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。
具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。
2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。
3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。
四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。
常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。
1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。
2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。
3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。
五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。
常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。
1. 找到适当的变换使定义域变得简单。
求二重积分的方法
求二重积分的方法在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
求解二重积分的方法有很多种，本文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。
一、直角坐标系下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，再对y进行积分的方法。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy。
其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。
其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。
在实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
二、极坐标系下的二重积分。
在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。
其中积分区域D可以用极坐标形式表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。
在极坐标系下，二重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对称性的函数。
三、变量代换法。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。
常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。
通过适当的变量代换，可以将原积分区域D变换为一个更简单的区域，从而简化积分的计算。
四、二重积分的性质。
在计算二重积分时，还可以利用二重积分的性质来简化计算。
例如，二重积分具有线性性质，可以将一个复杂的二重积分拆分为若干个简单的二重积分相加；二重积分的积分区域可以进行分割，将原积分区域分割为若干个简单的子区域，分别计算再相加等。
二重积分计算技巧总结
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D
dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ， 接下来重要的是讨论 r , 的范围。 其中 r , 的 范围由于积分次序的不同而不同。 若积分次序为先 r 后 ，则对应方法为“张角 射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作 射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。 比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：
二重积分的基本计算方法
二重积分的基本计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。
我们来看二重积分的定义。
对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。
二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。
第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
无论采用哪种方法，最终的结果都是相同的。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
除了基本的计算方法之外，还可以利用二重积分来计算一些特殊区域的面积、质量、质心等物理量。
例如，对于平面上的一个闭区域D，可以使用二重积分来计算该区域的面积。
二重积分的计算
b | x dx
dx
1 b (b − t )n f ( t )dt = ∫a n
关于对称性的定理 （关于 x 轴、y 轴、 设 D1 , D2 是对称的两部分. 原点、 或某直线）. (1) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相等， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ
y
x = −1
y=x
1
D
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ dx ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy
−1
1
x
−1
x o 1
y =1
x
= ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy −1
2 2
1
1
x
= = = =
1 1 2 2 dx ∫ 1 + x − y (− ) d (1 + x 2 − y 2 ) ∫− 1 x 2 1 1 dx ∫ 1 1 + x 2 − y 2 d (1 + x 2 − y 2 ) (− ) ∫ x 2 −1 3 1 1 2 2 2 2 1 (− ) ∫ (1 + x − y ) | dx 2 −1 3 x 1 2 1 3 (− ) ∫−1 (| x | −1) dx 2 3
D2 D1
(2) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相反， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = − ∫∫ f ( x , y )dσ
D2 D1
D : x 2 + y 2 ≤ R 2 , ( R > 0) 例6 设 ( 2) ∫∫ x | y | dσ 求 (1) ∫∫ | xy | dσ
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用二重积分的计算方法及其在面积、质量等问题中的应用二重积分是微积分中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学等。
本文将介绍二重积分的计算方法，并探讨其在面积、质量等问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分表示在平面上对一个二元函数在某个有限区域上的积分。
计算二重积分的方法主要有以下两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来实现，即先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
设有二元函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(x, y)dxdy$$其中，$D$表示积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$投影到$xoy$平面得到$D'$，确定$D'$的边界方程；2) 写出$x$在$D'$上的范围表达式，如$a(x)\leq x \leq b(x)$；3) 对$x$进行积分，得到$y$的积分上、下限，即$c \leq y \leq d$；4) 得到二重积分的计算公式：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \int_{a(x)}^{b(x)}\int_c^d f(x, y)dydx$$2. 极坐标系下的二重积分当积分区域具有较高的对称性时，采用极坐标系下的二重积分可以简化计算过程。
在极坐标系下，一个点的坐标由径向$r$和极角$\theta$表示。
设有二元函数$f(r, \theta)$，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$其中，$D$表示换算后的积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$由极坐标系给出，确定$r$的上、下限以及$\theta$的范围；2) 根据所给的积分区域，将被积函数$f(x, y)$转换为$f(r, \theta)$；3) 按照换元法，将直角坐标系下的被积函数$f(x, y)$转换为极坐标系下的被积函数$f(r, \theta)$；4) 利用换元后的公式计算二重积分：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$通过以上两种计算方法，可以灵活地计算二重积分，适用于不同的问题需求。
直角坐标系下二重积分的计算方法
直角坐标系下二重积分的计算方法
对于以x为积分变量的积分，可以将 y 的范围表示为一个关于x 的区间，然后将积分区域分解为若干个以 x 为底的小矩形，再分别计算每个小矩形的面积并相加即可。
同理，以 y 为积分变量的积分也可以采用类似的方法。
2. 换元法。
当二重积分区域非常复杂时，可以采用换元法将其变换为一个简单的区域，然后再进行计算。
常见的换元法包括极坐标变换、平面直角坐标系与极坐标系的互换、以及三角函数的代换等。
3. 分部积分法。
对于一些复杂的积分被积函数，可以采用分部积分法将其拆分为两个部分，再进行计算。
例如，对于二元函数 f(x,y) 和 g(x,y)，可以采用以下公式进行分部积分：
f(x,y)g(x,y)dxdy = f(x,y)dg(x,y)dxdy + g(x,y)df(x,y)dxdy 4. 对称性。
当二重积分区域具有某种对称性时，可以利用对称性简化计算，例如，如果积分区域关于 x 轴对称，则可以将积分化为两个以 x 轴为对称轴的积分的和。
总之，直角坐标系下二重积分的计算方法多种多样，需要根据具体情况进行选择和运用。
- 1 -。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学中的一种重要计算方法，用于计算二元函数在平面区域上的累计效应。
在实际问题中，二重积分常常用于计算平面区域上的面积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在计算二重积分时，可以采用多种方法，如直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化、换元积分法等。
接下来，我们将详细介绍这些计算方法。
一、直角坐标系下的直接计算方法二、极坐标系下的计算方法在一些情况下，特别是当被积函数具有旋转对称性时，我们可以利用极坐标系对二重积分进行变换，从而简化计算过程。
具体而言，对于形如$f(r,\theta)$的二元函数，我们可以通过进行坐标变换得到$f(x,y)$的形式，然后按照直角坐标系下的直接计算方法计算积分。
换句话说，我们先将极坐标系下的$r$和$\theta$表示转化为直角坐标系下的$x$和$y$表示，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
例如，对于极坐标下的面积分，我们有如下变换关系：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，从而可以将极坐标下的面积分转化为直角坐标下的面积分。
三、换元积分法在一些情况下，被积函数本身可能比较复杂，或者积分的区域形状比较复杂，这时可以通过换元积分法将原问题转化为更简单的形式，从而方便计算。
例如，对于形如$f(x,y)$的二元函数，我们可以通过变量替换将其转化为新的二元函数$g(u,v)$，并找到合适的Jacobian行列式来计算变换后的二重积分。
具体而言，变量替换的过程包括两个步骤：首先，通过$u=g_1(x,y)$，$v=g_2(x,y)$的关系找到$x$和$y$与$u$和$v$之间的函数关系；然后，计算Jacobian行列式$J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$，并将其带入变换后的二重积分中进行计算。
需要注意的是，选取合适的变量替换和Jacobian行列式是成功应用换元积分法的关键。
综上所述，二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化和换元积分法等。
二重积分的计算方法与技巧
二重积分的计算方法与技巧二重积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算平面区域上的定积分。
二重积分的计算方法和技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法。
1.通过直角坐标系进行计算。
在直角坐标系中，计算二重积分的方法很简单。
首先，将二重积分所在的区域投影到水平和垂直轴上，确定积分的上下限。
然后，将被积函数表示为直角坐标系下的函数形式，进行具体的计算。
可以根据被积区域的形状选择适当的坐标变换，从而简化计算过程。
2.通过极坐标系进行计算。
在一些情况下，使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。
特别是对于圆形区域或具有旋转对称性的区域，使用极坐标系可以大大简化计算过程。
在极坐标系下，被积函数需要进行一定的变换，然后利用极坐标系下的积分公式进行计算。
3.利用对称性简化计算。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用这种对称性来简化计算。
例如，如果被积函数关于一些坐标轴对称，那么可以将积分区域分为两个对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2即可。
这样可以显著简化计算过程。
4.利用奇偶性简化计算。
如果被积函数具有奇偶性，也可以利用这种性质来简化计算。
如果被积函数关于一些坐标轴是奇函数，那么在计算积分时可以将积分区域分为两个部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2再加上另一个部分的积分值即可。
如果被积函数关于一些坐标轴是偶函数，那么只需要计算其中一个部分的积分值即可。
5.利用换元法进行计算。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量替换的方法来简化计算。
根据被积函数的特点选择适当的变量替换可以使得积分的计算变得更加容易。
例如，如果被积函数中包含平方根或三角函数等复杂的函数形式，可以选择适当的代换来简化计算过程。
6.利用积分的线性性质简化计算。
二重积分具有线性性质，即两个函数的和或差的积分等于分别对这两个函数进行积分后再求和或差。
因此，对于复杂的被积函数，可以将其分解为简单的部分，然后对每个部分进行积分，最后求和或差即可。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学分析中的一个重要内容，是在平面上求对一个区域内的函数值总和的数学运算。
在实际应用中，计算二重积分有时候会比较复杂，需要用到一些简便方法来简化运算。
本文将介绍一些计算二重积分的简便方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
第一种简便方法是利用极坐标转换。
极坐标是一种描述平面上点的坐标系，将二重积分转换成极坐标系下的积分可以大大简化原来的计算过程。
设被积函数为f(x, y)，要计算的二重积分是∬f(x, y)dxdy，将坐标系从直角坐标系转换为极坐标系，即x=r*cosθ，y=r*sinθ，其中r为极径，θ为极角，那么dxdy可表示为rdrdθ。
被积函数f(x, y)也可以表示为g(r, θ)，这样原来的二重积分可以转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
通过这种方法，可以大大简化计算过程，特别是对于一些对称的被积函数，极坐标转换方法尤其有效。
第三种简便方法是利用对称性。
有些被积函数在特定的区域内具有对称性，可以利用这种对称性简化计算过程。
如果被积函数在某个区域内具有轴对称性，那么可以只计算该区域内的一半，然后乘以2来得到整个区域的二重积分值。
又如，如果被积函数在某个区域内具有中心对称性，那么可以只计算该区域内的一部分，然后乘以4来得到整个区域的二重积分值。
利用对称性简化计算二重积分是一种常用的方法，能够节省计算时间和精力。
除了上述的简便方法外，还有一些其他的技巧和方法可以帮助简化计算二重积分。
可以利用奇偶性来简化被积函数，将其分解成奇函数和偶函数的组合，然后分别计算，再相加求和得到最终的二重积分值。
又如，可以利用分部积分法简化计算过程，将原来的二重积分转换成一重积分或更简单的形式，然后再进行计算。
这些技巧和方法都可以帮助简化计算二重积分，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，计算二重积分是一个非常重要的问题，涉及到数学、物理、工程等多个领域。
掌握简便方法可以帮助我们更好地理解和应用二重积分，解决实际问题。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法二重积分是微积分中的重要概念之一，在实际问题中有着广泛的应用。
计算二重积分的方法有很多种，其中有一些比较简便而且实用。
本文将对几种简便的二重积分计算方法进行介绍和讨论。
一、直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，对于给定的二元函数f(x,y)，其二重积分的计算可以采用以下几种方法：1. 矩形分割法矩形分割法是一种比较直观的计算方法。
将积分区域分割成若干个小矩形，然后对每个小矩形进行逼近。
利用小矩形的面积及其对应的函数值进行计算，然后将所有小矩形的面积和加起来就是要计算的二重积分的近似值。
当分割的小矩形越多，计算结果越精确。
2. 二重积分的限定积分式对于给定的二元函数f(x,y)，如果其在积分区域上连续，那么可以通过限定积分式来计算二重积分。
限定积分式的计算方法与一元函数的定积分计算类似，先固定y的取值范围，然后对x进行积分，然后再对y进行积分。
这种方法在一定条件下可以简化计算。
3. 极坐标系下的计算对于一些特殊的积分区域，采用极坐标系来进行计算会更加简便一些。
极坐标系下的二重积分计算要比直角坐标系下简化，通过极坐标系变换，一些复杂的二重积分可以变得相对简单。
上述是在直角坐标系下计算二重积分的几种方法，通过这些方法可以对一般的二重积分进行计算。
除了直角坐标系外，还可以在其他坐标系下进行二重积分的计算，如极坐标系、柱坐标系、球坐标系等。
这些方法都有其适用的范围和优势，可以根据具体的问题进行选择。
2. 曲线坐标系的变换对于一些不规则的图形，采用曲线坐标系的变换可以将原来的二重积分变换成更简单的形式。
对于xy平面上的椭圆区域，可以通过变换将其变成标准的二重积分形式，然后再进行计算。
三、常见函数的特殊二重积分计算方法对于一些常见的函数，有一些特殊的二重积分计算方法，可以通过这些方法来简化计算。
1. 通过对称性简化计算对于一些具有对称性的函数和区域，可以通过对称性简化计算。
对于奇函数在对称区域上的二重积分可以简化为在一个四分之一的区域上进行计算，从而简化计算步骤。
二重积分的计算法
z
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x
x=(y)
I
f ( x , y )d xdy
D
z
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
d
Q( y )dy
d
c
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
x=(y)
x
二重积分计算的两种积分顺序 I
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
f ( x , y )d xdy
D
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=
x ( y )
x ( y )
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
交换积分次序
解
y
0
2a
dx
2 ax 2 ax x
y y
d
x 1 ( y)
d
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
一道二重积分例题的几种解法
一道二重积分例题的几种解法设二重积分为$I=\iint_D f(x,y)dxdy$，其中$D$为$x$和$y$构成的区域，$f(x,y)$为积分函数。
一、直接按照积分的定义进行计算：将区域$D$分解成无数个小的面积为$dS$的小区域，然后对每个小区域上的$f(x,y)$进行积分，即：$I=\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i)\Delta S_i$。
其中$\Delta S_i$为第$i$个小面积，$x_i,y_i$为第$i$个小区域的中心点。
二、用矩形法计算二重积分：将区域$D$分成若干个小矩形，然后在每个小矩形上计算$f(x,y)$的重心和面积，然后将每个小矩形的重心和面积乘起来，再将所有小矩形的结果加起来，即：$I=\iint_D f(x,y)dxdy\approx \sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)S_i$。
其中$S_i$为第$i$个小矩形的面积，$x_i,y_i$为第$i$个小矩形的重心。
三、用极坐标法计算二重积分：当被积函数具有一定对称性时，可以考虑用极坐标法计算二重积分。
即将极坐标系下的积分区域分解成若干个小的极坐标区域，然后对每个小区域上的$f(r,\theta)$进行积分，即：$I=\iint_D f(x,y)dxdy=\int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r,\theta)rdrd\theta$。
其中$r_1(\theta),r_2(\theta)$分别为$\theta$方向上积分区间的边界，$\alpha,\beta$为$r$方向上的积分区间的边界。
四、用变量代换法计算二重积分：当积分区域的形状较为复杂时，可以考虑用变量代换法简化积分。
即找到一对变量$x$和$y$的新表示方式$u=g(x,y),\v=h(x,y)$，使得二元函数$f(x,y)$在$(u,v)$平面上变为$F(u,v)$，同时积分区域$D$在$(x,y)$平面上变为$D'$，则二重积分可以表示为：$I=\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_{D'} F(u,v) |J|dudv$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二重积分的几种计算方法
二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。
计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。
求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。
不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。
计算二重积分的一般步骤如下：
1) 画出积分区域D 的草图； 2) 求交点；
3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序；
5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。
一．二重积分的直接计算方法
所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数
max 0
max 0
(,)lim
(,)i
j
i j x i
j
y f x y dxdy f x y
x y ∆→Ω
∆→=
∆∆∑∑⎰⎰
其中11,i i i j j j x x x y y y --∆=-∆=-，而其和为对所有j i ,，使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。
若域Ω有下面的不等式所给出
,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤
其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算
⎰⎰⎰⎰
Ω
=b
a
x y x y j i dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(
例1. 计算⎰⎰D
xydxdy
，其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解: 积分区域D 如图1所示，有定义D 是简单区域，边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。
若选择先对y 积分，则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线，该线的与D 下边界交点在2x y =上，与D 上边界交点在x y =上，所求积分为
221
1
002x
x
x x D
y xydxdy dx xydy x dx ⎡⎤
==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰
24
1
)(211053=
-=⎰dx x x 若选择先对x 积分，同理可得
⎰⎰
⎰⎰⎰⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==1
0210
21y
y
y
y
D
y x xydx dy xydxdy
24
1
)(211053=-=⎰dx y y
图1
若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，
然后根据)(,),(),(),(212
1
D D D y x f y x f dxdy y x f D D D
+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，来计算。
例2. 计算⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由2a xy =，22a xy =，y x =及x y 2=所围成
)0,0,0(>>>a y x 。
解: 积分区域如图2所示，有定义可知D 为复杂区域，D 边界线的交点分别为)2,2(),,(),,(
),2,(a a D a a C a a
a
B a a A 。
若先对x 积分则连接BD ，BD 将D 分成两个简单区域1D ，。
BD 的方程为
a y 2=，所求积分为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1
D D D
xydxdy xydxdy xydxdy
⎰
⎰
⎰⎰
+=y a y a a
a y
a a
a
xydy dy xydx dy 2
222
2222
⎰⎰
-+-=a a a
a
dy y y a dy y a y 223
4
243)8
2()22(
224444228232a a
a a
y a y Iny a Iny y ⎡⎤⎡⎤
=-
+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
24
3
4In a =
图2 图3
若先对y 积分，则连接AC ,AC 把区域D 分成两个简单区域1D ，2D 。
AC 的方程为a x =，如图3所示，所求积分应为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1
D D D
xydxdy xydxdy xydxdy
dx x x a xydy dx a
a
a x
a a a )2
12(3
2422
2-+=⎰
⎰⎰ a
a a
a
x Inx a Inx a x 2442
4482221⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=
24
3
4In a =
在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对x 积分，则第一次积分是x 是积分变量，积分上下限应含有y 的表达式或常数；若先对y 积分，则第一次积分时y 时积分变量，积分上下限应该含有x 的表达式或常数。
二．二重积分中的变量代换
若可微分的连续函数
),(),,(v u y y v u x x ==
把平面Oxy 上的有限域Ω单值惟一地映射为平面Ouv 上的域1Ω雅哥比式
0)
,()
,(≠=
v u D y x D I
则下之公式正确：
[]⎰⎰⎰⎰ΩΩ
=1
),(),,(),(dudv I v u y v u x f dxdy y x f
特别是，根据公式ϕϕsin ,cos r y r x ==，变换为极坐标r 和ϕ得情形有
⎰⎰⎰⎰ΩΩ
=1
)sin ,cos (),(ϕϕϕrdrd r r f dxdy y x f
例2
dxdy b
y a x D
⎰⎰
--22
221，其积分区域D 是由椭圆12222=+b y a x 所围的区域。
解： 作变化ϕϕsin ,cos br y ar x ==，则域D 变为域}20,10{1πϕ≤≤≤≤=r D ，且abr I =。
于是，
⎰⎰⎰
-=--πϕ20222
2211rdr r ab d dxdy b
y a x D
rdr r ab ⎰-=1
212π
3
2ab
π=
例3 设0>a 是常数，计算积分
⎰⎰≤+ax
y x dxdy xy 222。
解： 设cos ,
2
sin ,
{
a
x r y r θθ=+=则ax y x ≤+22，变成πθ20,2
0≤≤≤
≤a
r ⎰⎰
⎰⎰≤≤≤
≤≤+⋅+=
πθθθθ2020222sin )cos 2
(2
2
a
r ax
y x rdrd r r a
dxdy xy πθθθθπθ128
)sin cos sin 2(520202
423a drd r r a a r =+=
⎰⎰
≤≤≤
≤ 三．小结
计算二重积分必须注意：能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。
计算二重积分的主要方法有：几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等。
参考文献：
[1] 吉米多维奇.数学分析习题集精选精解 [M]山东：山东科技出版社，2007
[2] 钱吉林.数学分析题解精粹 [M]湖北：湖北长江出版集团 2009
[3] 同济大学应用数学系.微积分（下册） [M]北京：高等教育出版社 2003。