22高中物理奥林匹克竞赛专题-振动(共55张)PPT课件

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高中物理奥林匹克竞赛专题——振动与波(共51张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题——振动与波(共51张PPT)

1
sin 2
2
1
质点轨迹为椭圆,其形状、方位及旋向依赖于相位差
2 1
0 π π
2
x y 0 A1 A2 x y 0 A1 A2 x2 y2 A12 A22 1
直线 k A2 振幅 A A1
直线 k A2 振幅 A A1
直立椭圆 顺钟向旋转 逆钟向旋转
A12 A22 A12 A22
2
dx dt
02 x
0
0 x Aet cos t 0 02 2
欠阻尼情形:振幅渐减的往复振动
0 x A Bt et
临界阻尼情形:最快回到平衡点,无往复运动
0 x A1et A2et et 2 02
过阻尼情形:渐回复到平衡点,失去周期性
阻尼力做负功,使振动能量耗散,质点最终静止于平衡位置。
uC
q C
d2q dt 2
q LC
0
q Q cost 0
1 LC
思考题:验证电能、磁能转化守恒 1 Li2 1 q2 1 Q2 2 2C 2C
1. 一维阻尼振子
阻尼振动 质点在弹性力及与其速度成正比的阻尼力作用
下的振动
m
d2x dt 2
kx
dx dt
02
k m
阻尼因子
2m
d2x dt 2
合成频率为的周期运动。
频率为 的任意周期运动可分解为频率为 (基频)及其 倍频 n (n次谐频)的一系列简谐振动的叠加。
xt T xt
π 4,
t T 4
x π 4, T 4 t T 2
x
m1
1 2m
1
cos
2m
1
t
m
1

高中物理竞赛 第四章 振动(Vibration) (共87张PPT)

高中物理竞赛 第四章 振动(Vibration) (共87张PPT)

物体同时参与两分振动:
y
x 1 = A 1cos(ω t + 1)
A2
A
x 2 = A 2cos(ω t + 2) x = x 1+ x 2 = A cos(ω t + ) o
2
1A1
x
合振动的振幅为:
合振动的初相为:
81
旋转矢量法
A
A2
A 2sin2
2
0
1 A1
x
A 1sin1
x
A 2 cos 2 A 1 cos 1
c )为除上述两种情况外的一般情形
x x1
x2
x x1
x2
o
to
t
a)
b)
x x1
x2
o
2
t
1
c)
14
谐振动的位移、速度及加速度位相关系
xav
x
v
a
o • ••
t
T
15
[ 例] 水面上浮有一方形木块,静止时水面以上高度为a,以下高度为b。水密度为,木 块密度为,不计水的阻力。现用外力将木块压入水中,使木块上表面与水面平齐。求证 :放手后木块将作谐振动,并写出谐振动方程
k1(x10 x1) k2 (x20 x2 )(3)
由(1)(3)得:k1x1 k2x2 (4)
由(2)(4)得: x2
k1
k1 k2
x
m:F合 mg k(2 x20 x2) k2 x2
k1 x10
k2 x20
o
mg
x
x
k1 x10 x1
k1 x20 x2
mg
80
§4. 2 同方向同频率谐振动的合成

高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)

高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)

微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。 振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A,由初始条件决定,描述振动的空间范围。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性变化的现象称振动。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性 变化的现象称振动。
振动的分类:
振动
受迫振动 自由振动
共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
设两个同频率的简谐振动 x2A 2cots(2)0
相位差 (t2)0 (t1)0
2010
1)同相位和反相位
2kπ (k0, 1, 2, )
两振动步调完全一致,称两个振动同相位。
(2k1)π (k0, 1,2 )
两振动步调完全相反,称两个振动反相位。 2)超前和落后
0 第二个简谐振动比第一个超前
(1) 频率关系:频率相同,均为 两振动步调完全相反,称两个振动反相位。
设两个同频率的简谐振动 物体在单位时间内发生完全振动的次数,称振动的频率.
(1)矢量端点在x轴上的投影为简谐振动
v A a A 二、简谐振动的三个特征量
(2) 振幅关系: 相位关系:v比x超前 /2,a比v超前 /2。
m
2 m
解微分方程可得 第二个简谐振动比第一个超前
比较a、b两点:位移相同,速度不同,相位不同.
二、简谐振动的三个特征量
x A cos(t 0 )
简谐振动运动学方程
二、简谐振动的三个特征量
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A, 由初始条件决定,描述振动的空间范围。
2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.
A co ( t T s ) [ 0 ] A co t 0 s ) (

高中物理竞赛 振动和波共55页

高中物理竞赛 振动和波共55页
高中物理竞赛 振动和波

46、寓形宇内复几时,曷不委心任去 留。•ຫໍສະໝຸດ 47、采菊东篱下,悠然见南山。

48、啸傲东轩下,聊复得此生。

49、勤学如春起之苗,不见其增,日 有所长 。

50、环堵萧然,不蔽风日;短褐穿结 ,箪瓢 屡空, 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大,也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。——韩愈
23、一切节省,归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰,决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动,是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢!

振动 物理竞赛课件

振动 物理竞赛课件
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
r 旋转矢量 A 与谐振动的对应关系 r 简谐振动 符号或表达式 旋转矢量 A A 模 振幅 角速度 角频率 r 0 初相 t=0时,A 与ox夹角
旋转周期 r t时刻,A 与ox夹角
振动周期 相位
r A 在 ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点: 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成 r 由x、v 的符号确定 A 所在的象限:
14-4 单摆和复摆
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.(周期性)
3)初相位
0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.

由初始条件决定 (
取 [ π π]
[0 2π] )

常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
一 单摆
A
转动 正向
5

时 , sin

M mgl sin mgl
d m gl J 2 dt 2 g d g 2 令 2 l dt l 2 d 2 得 2 dt
2
l
m
o
J ml
2

高二物理竞赛振动和波动课件

高二物理竞赛振动和波动课件
可以求得波在两介质分界面处反射波的方向问题, 即反射角等于入射角
可以求得波在两介质分界面处折射波的方向问题, 即得到折射定律。
波的叠加原理

几列波可以保持各自的特点通过同一媒质, 好像没有其他波一样;
在它们相重叠的区域内, 每一点的振动都是各个波单独 在该点产生的振动的矢量和。
波的干涉

波的干涉现象
由频率相同、振动方向相同、相位相同 或相位差恒定的两个波源所发出的波,
在空间相遇,出现某些点振动始终加强, 某些点振动始终减弱或完全抵消
的现象称为波的干涉现象。
能产生干涉现象的波叫做相干波, 相应的波源叫做相干波源。
波的相干条件
频率相同、 振动方向相同、 相位相同或相位差恒定
反映了能量的传播过程
能量密度 单位体积媒质的波动能量

w E 2 A2 sin 2 t x
V
u
在一个周期内的平均值 w 1 T wdt 1 2 A2
叫做平均能量密度
T0
2
平均能流密度
单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流
I u 2 A2 / 2 A2
能流密度是矢量,方向与波速方向相同, 它的大小表示波的强度。
y Acost x / u Acos2 t / T x / Acos t 2 x /
“-”表示波沿x 轴正方向传播;“十”表示波x沿 轴负方向传播
波函数的物理意义

它描述了波线上所有质点 离开自己平衡位置的位移随时间的变化规律。
y(t t, x ut) y(t, x) 表示了波的传播。
波长 同一波线上相位差为 2 的两相邻质点之间的距离,
即一个完整波形的长度。它反映波在空间上的周期性。

高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)

高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)
匀速圆周运动在x轴上 的投影为简谐振动:
x A cos(t )
例2. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如 图所示,确定其振动方程.
解: 设矢量确定振 动初相位:当 t = 0,
2
3
v0 2
3
A t=0
x t = 1s
A O
A x0
代入 x Acos (t ), v A s in( t )
得 x0 A cos , v0 A sin
arctan( v0 ) x0
A
x02
( v0
)2
k
m
x
A O A
例如:v0 = 0, x0 = A
= 0
例1. 一质点沿x 轴作简谐振动,A= 0.12 m, T= 2 s, 当t = 0 时, x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简 谐振动的表达式。
例:由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 例:由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 用旋转矢量表示振动相位关系 简谐振动与匀速圆周运动 用旋转矢量表示振动相位关系 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 若 = 2 1 > 0, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。 求此简谐振动的表达式。 例:由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 注意:旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转,其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。 由旋转矢量确定振动初相位:当 t = 0, 由旋转矢量确定振动初相位:当 t = 0, 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 求此简谐振动的表达式。
求此简谐振动的表达式。

高中物理奥林匹克竞赛——第20章-振动

高中物理奥林匹克竞赛——第20章-振动

1 2
mv 2
1 2
m 2 A2
sin 2 (t
)
势能: E p
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (t
)
2 k m
Ek
1 2
kA2
sin 2 (t
)
总机械能:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
结论:简谐运动的总能量不随时间改变,即机械能守恒。
能量随时间变化曲线
1 kA2 2
O
E
Ek
Ek
Ep
1 4
kA2
Ep t
3
这样,此简谐振动的表式为
x
0.12
cos(t
3
)m
o
0
0
A
利用旋转矢量法求解 0 是 很方便的。
根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位
置,如图所示,从而得
0
3
t
T 4
(2)由(1)中简谐振动的表式得
v
dx dt
0.12
sin(t
3
)m
s
1
a
dv dt
0.12
2
cos(t
3
)m
s 2
t
T 4
circular frequency
2 , 1
T
T
3. 相位(或位相/相) t 时刻的相位:t
phase
t = 0时刻的相位 —— 初相:
A,, 被称为简谐运动的三个特征量。
简谐运动的表示法
1. 解析法 x(t) Acos(t )
实例:弹簧振子
如果满足: 原点取在平衡位置; 忽略摩擦和空气阻尼; 弹簧为理想轻质。

高中物理竞赛 振动和波55页PPT

高中物理竞赛 振动和波55页PPT
高中物理竞赛 振动和波
56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
31、只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。——洛克

高中物理奥林匹克竞赛专题--简谐振动作业题(共55张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题--简谐振动作业题(共55张PPT)

T 2

簧 k

m
1 2
T 2
T 2 2 m 1 1 k

k
T 2 m
子2019/5/19
2
求 圆
(1) 建立振动系统的微分方程
d2 x Bx0
dt2
频 率 的 方
x前的系数的动 开系 方统 就的 是固 振
(2)利用公式求 2 2 T
解: x2 = 3×10-2 sin(4t - /6) = 3×10-2cos[/2-(4t - /6)]
= 3×10-2cos(4t - 2/3).
作两振动的旋转矢量图,如图所示
A1


A
由图得: A = (5-3)cm = 2 cm, = /3. O / x
那么,合振动方程为
(2) 未完待做
2019/5/19
11
4、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其
振动方程用余弦函数表示.如果t=0时质点的状态分别是:
(1)x0=-A;(2)过平衡位置向正向运动;(3)过x=A/2处向负向运动; (4)过 x=-A/ 2 处向正向运动.试求出相应的初位相,并写出振
掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤
2019/5/19
1
二、描述简谐振动的物理量 xA co t s ( )
1.振幅: (A) (1)已知初始位速
A
x02
(v0

)2
求振幅有 三种方法
(2)已知任意位速
A x2 ( v )2

(3)已知总机械能 A 2E/k
2.周期(T): [ 频率(γ)、圆频率(ω)]
(2) 当t一定

高二物理竞赛课件:振动波动和波动光学

高二物理竞赛课件:振动波动和波动光学
机械振动的原因: 物体所受的回复力和物体所具有的惯性。
第11章 振动学基础
§11-1 简谐运动的描述 §11-2 简谐运动的动力学特征 §11-3 简谐运动的合成 §11-4 阻尼振动 §11-5 受迫振动 共振 §11-6 电磁振荡
§11-1 简谐运动的描述
§11-1 简谐运动的描述
一、简谐运动 二、描述简谐振动的基本量 三、简谐运动的速度 四、简谐运动的加速度 五、简谐运动的旋转矢量表示法
第11章 振动学基础
振动是普遍存在的一种运动形式: 1. 物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)。 2. 电流、电压的周期性变化。
振动(vibration):任何一个物理量(物体的位置、电流 强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反 复变化。
机械振动(mechanical vibration):物体在一定位置(中心) 附近作来回往复的运动。
2)相位在 0 ~ 2π 内变化,质点无相同的运动状态; 相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.(周期性)
3)初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
4.常数 A 和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
v dx Asin( t )
dt
vm
cos(tFra bibliotekπ 2
).
vm A v 超前 x 相位
2
四、简谐运动的加速度
am 2 A
a 与 x 反相
a
dv dt
2
A cos(
t
)
am
cos(
t
π
)
A

高二物理竞赛课件振动

高二物理竞赛课件振动

CVV
Nk (V )2 eV / T
T
在常温范围,振动自由度对热容量的贡献接近
于零,其原因可以这样理解,在常温范围双原子 分子的振动能级 kV 远大于 kT 。由于能级分 立,振子必须取得 能量才有可能跃迁到激发 态。在 T V 的情形下,振子取得 的热运动 能量而跃迁到激发态的概率是极小的。因此平均
Z1rO
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 1,3,
Z1rP
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 0,2,4,
氢的转动配分函数的对数可表为
ln Z1r
3 4
ln
Z1rO
1 4
ln
Z1rP
氢的转动特征温度 r 85.4K
在常温下
T r
有近似
1
l 0,2,
l 1,3,
2 l 0,1,2,
N
2
Ne
1 e
N
2
N
e 1
CVV
U V ( T )V
Nk( )2
kT
e (e kT
kT
1) 2
引入振动特征温度 V kV 则内能和热容量表述为
U V NkV
2
NkV
V T
e 1
CVV
Nk(V
T
)2
eV T (eV T 1)2
在常温下有 T V ,因此内能和热容量近似为
U V NkV 2 NkV e V / T
2I 2l 1
因此转动配分函数为
Z1r
l (l 1)2
(2l 1)e 2IkT
l 0
引入转动特征温度 r kr 2 2I
配分函数
Z1r

高二物理竞赛简正振动PPT(课件)

高二物理竞赛简正振动PPT(课件)

2
3
ν (cm ) (l)1300——900 cm-1
这一区域包括C—CO=、OC—N、C—F、-1C—P、C—S1、P7—1O5、Si—O等键的伸缩振动和1C8=S1、5S=_O1、7P=8O5等双键的伸缩振动吸收。
影响基本振动频率的直接原因是相对原子质量和化学键的力常数。化学 键的力常数k越大,折合相对原子质量越小,则化学键的振动频率越高, 吸收峰将出现在高波数区;反之,则出现在低数区。
qUq
1,2之间的恢复力常数与2,3之间是相同的,记为f.
U的矩阵元
uik
( 2V qiqk
)e
f
m
-f mM
0
U
-
f mM
2f M
-
f
mM
0
-f mM
f m
2、分子中基团的基本振动形式
偶极距变有红外活性
质量计权位移坐标(mass-weighted displacement coordinates)
极化率变有拉曼活性 极化率不变无拉曼活性
5. 多原子分子的振动
影响基本振动频率的直接因素是相对原子质量和化学键的力常数。 谐振子的振动频率和原子的质量有关,而与外界能量无关,外界能 量只能使振动振幅加大(频率不变)。
2、分子中基团的基本振动形式
1)伸缩振动 2)变形振动
例1 水分子
例2 CO2分子
指纹区可分为两个波段
(l)1300——900 cm-1 这一区域包括C—O、C—N、C—F、C—P、 C—S、P—O、Si—O等键的伸缩振动和C=S、S=O、P=O等双键的伸 缩振动吸收。
(2)900—600 cm-1 这一区域的吸收峰是很有用的。例如,可以指 示—(CH2)n—的存在。实验证明,当 n ≥ 4时,— CH2—的平面摇摆 振动吸收出现在 722 cm-1,随着n的减小,逐渐移向高波数。此区域内的 吸收峰,还可以为鉴别烯烃的取代程度和构型提供信息。

高中物理奥林匹克竞赛专题---简谐振动

高中物理奥林匹克竞赛专题---简谐振动

§9—1 简谐运动
一)何谓简谐振动
Shockwave Flash
平衡位置为原点建立坐标OX。
Ob jec t
X o
(回复力)
令:
解此微分方程:
A :初始条件决定 简谐振动的运动方程(振动方程)
定义:符合1、2、3式特征的振动--简谐振动
二)简谐振动的速度 加速度 图 图

三)描述简谐振动的物理量 1)振幅 : 离开平衡位置最大位移的绝对值
角速度
圆频率
初始时刻矢量与X轴夹角 任意时刻矢量与X轴夹角
初相 相位
Y
能把三要素一目了然地表示出来。
X
优点:形象化,便于振动的合成。
v
同样:
在X轴上的投影 在X轴上的投影
3)用复数表示 欧拉公式
对一谐振动
~ 为一复数 A
的实部
~
把谐振动用复数代表:
优点:便于谐振动的计算。
五)简谐振动的能量
动能: 势能: 系统总能:
类似的 速度振幅 加速度振幅
2)周期 完成一次全振动所经历的时间。 一周期T后,振动状态就重复一次
t+T时刻 t时刻振动状态完全一样
3)频率
单位时间完成振动的次数 单位: 赫兹 HZ
4)角(圆)频率
秒内完成的振动次数
单位(弧度/秒)
对弹簧谐振子
固有周期 固有频率
决定于振动 系统本身
用周期,频率 振动方程 可以表示为:
振幅 周期,频率,圆频率
描述振动强度的物理量 描述振动快慢的物理量
描述的都是振动的总体情况,无法描述振动 的细节情况,下面介绍其它的物理量
5)相位: 决定振动状态及进程的物理量。

高二物理竞赛课件:振动

高二物理竞赛课件:振动
在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动,其角
速度 与振动频率
相等,这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位(举例略)
6
三、简谐运动的能量
(1) 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例:将m向左移动到x0自静止释放,此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
(1)相位差
2
1
2k
π
(k 0,1,)
A A1 A2
加强
(2)相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0,1,)
A A A
1
2
减弱
(3)一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
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sin0
取 3/2
例:质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动
求:物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间
解:设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
o
x
设始末态位矢夹角为
t 0
第1章 振动 §1 简谐振动的描述
世界上有各种各样的振动,简谐振动是最 简单的振动。
一、简谐振动的条件
1.在平衡位置附近来回振动。 2.受回复力作用。
二、弹簧的振动 特点:
F弹 x
1.弹簧质量不计。
ox
2.所有弹力都集中在弹簧上。
3.质量集中于物体上。 4.不计摩擦。
建立坐标系,o点选在
弹簧平衡位置处。
T 2 1
1 T
2
四、相位与初相

x A co t s )(
相位 t
初相
五、振幅与初相的确定
初始条件 由
t 0
x x0 v v0
x A co t s )(
v A si tn ) (
t 0 时
x0Acos ①
v0Asin ②
t 0 时
x0Acos ①
v0Asin ②
①2+(②/)2 有 x0 2(v0/ )2A 2
F弹 x
ox
三、振动位移
振动位移:从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力: F弹kx
一维振动
F弹kxma
a d 2x F 弹 k x
dt 2 m
m
d2x dt2
k x m
0
F弹 x

2 k
m
ox

d2x dt2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程 x A co t s )(
其中A为振幅,为圆频率,为初相位。
mgl/2
3g
§4 旋转矢量
一、旋转矢量
y
将物理模型转变成数学模型。
M
矢量 A 以角速度 逆时
针作匀速圆周运动,
At
ox P x
研究端点 M 在 x 轴上
投影点的运动,
初相
1. M 点在 x 轴上投 影点的运动
x A co t s )(
为简谐振动。
2. M 点的运动速度
vA
y
AM
A v tM 0
A x02 v0 2
②/①有
tgv0 / A v 0
x0 / A
x0
§3 弹簧、单摆、复摆 一、弹簧
F弹 x
1.圆频率 k
m
ox
2.周期 T 2 2 m
k
3.频率 1 1 k
T 2 m
二、单摆
质量集中于小球 上,不计悬线质量。
取逆时针为 张角正
向,以悬点为轴,只 有重力产生力矩。
令 2 mglc
J
d2
dt2
2
0
谐振动微分方程
圆频率 mglc
J
周期 T 2 2 J
mgl c
频率 1 T
1 mglc
2 J
o
lc
c
mg
例:均匀细杆长为l、质量为m,绕一端作 小角度摆动,求周期T。
解:由 T 2 J
mglc
l
J 1 ml 2, lc l/2
3
mg
T 2 ml2 /3 2 2l
圆频率 k
m
单位:rad/s
只与弹簧振子性质有关。
四、振动速度
v dx A si tn ( ) dt
v dx A si tn ( ) dt 五、振动加速度
a dv A 2co ts ()
dt
速度与加速度也都 是周期变化的。
六、振动曲线
x,v,a
2A
a
Ax
o A
v
x A co t s )(
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
2
3
4 t
§2 简谐振动的振幅 周期 频率和相位 一、振幅A
物体离开平衡位置的最大距离。
单位:米,m 二、周期 T
物体完成一次全振动所用的时间。
单位:秒,s
三、频率
1秒内物体完成全振动的次数。 单位:赫兹,Hz
因为 t
繁复的三角函数的运算用匀速 圆周运动的一个运动关系求得

t

6
7π 6k
m
§5 简谐振动的能量
简谐振动过程即有动能又有势能,Ek、Ep交 替变化。
一、谐振动的动能
Ek
1mv2 2
x oA
1m [Asi nt ()2]
2
1m2A 2si2n (t)
2
E k1 2m 2A 2si2(n t)
g
与质量无关。
频率 1 1 g
T 2 l
l
T
mg
三、复摆
质量为 m 的任意物体,绕 o 点作小角
度摆动,质心 c 到轴的距离为 lc。
重力矩 M mcg siln
“ – ”表示力矩与 张
角方向相反。o来自lccMJ
J
d 2
dt 2
mg
Jdd22t mgcslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgcl0
二、物理模型与数学模型比较
A
t+
T
谐振动 振幅 初相 相位 圆频率 谐振动周期
旋转矢量 半径
初始角坐标 角坐标 角速度
圆周运动周期
三 、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相
1.初始条件
t 0
x
x0 A
oA
v0 0
AAcos
y
x
cos1
A
0
A 0
o
xo
l
t
2.初始条件
t 0
x
x0 0
o
l
v0 0
2 k
Ek
m
m2 k
o
t
Ek1 2kA 2si2n (t)
Ek1 2kA 2si2n (t)
二、谐振动的势能
Ep
1 kx2 2
1k[Acost ()2]
2
Ek E p
1kA 2co2(st)
2
o
t
Ek 最大时, Ep最小,
Ek 、Ep交替变化。周期均为 T / 2
Ek1 2kA 2si2n (t) Ep1 2kA 2co 2( st)
l
T
M msgiln
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
M msgiln
MJ
J
d 2
dt 2
Jdd2t2 mgslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgl 0
l
T
mg
d2
dt2
mgl
J
0
J m2l
d2
dt2
g
l
0
令 2 g
l
d2
dt2
2
0
谐振动微分方程
圆频率 g
l
周期 T 2 2 l
0Acos y
x
cos0
/2,3 /2
A
o
2
A
xo
t
v0Asin0,
sin0 取 /2
3.初始条件
t 0
x0 A v0 0
x
l
o A
AAco s y
x
cos1
A
A
o
xo
t
A
4.初始条件
t 0
x
l
x0 0 v0 0
yo
0Acos
3 2
x
cos0
o
A
xA
/2,3 /2
o
t
v 0 Asi n 0 ,
ox P x
在 x 轴上投影速度
v A si tn ) (
3. M 点的加速度
aA2
在x轴上投影加速度
a A 2co t s) (
结论:
y
M a
AA2 tM 0
ox P x
M点运动在x轴投影,为谐振动的运动方程。 M点速度在x轴投影,为谐振动的速度。 M点加速度在x轴投影,为谐振动的加速度。
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