6章弹性流体动力润滑2
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K．J．Johnson把各 种计算膜厚的公式统一 成三个参数，即： 膜厚参数：
hminW HW hf 0URL V
W W 1 2 0UERL V 2
2
2 2 3
弹性参数： ge 粘性参数：gv
W GW 2 1 2 3 UR L 0 V 2
3 2
E 2W 2 1 . 5 1
2 2 R
1
3
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(4)最大剪应力τxz及其所在深度z： 如图所示，由载荷产生的应力σx， σx，σz及τxz随距离表面深度z而变化， 最大剪应力τmax不是在接触表面，而 是在距离表面深度为z的地方。一般来 说，z=0.67b。当表面作相对运动时， 摩擦力使最大剪应力增大，并移向表 面。
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式 将h代入Reynolds方程，并根据边界条件
x
xx
p0
dp 0 dx
得压力分布公式如下： 12U p 2 Rh p 0 h02
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式
12U p 2 Rh 0 p 2 h0 p 式中 为x的已知函数，可以表示为：
p
sin 2 4 4 cos 2
1
3 sin 2 sin 4 8 2 4 32
其中：
x tan 2 Rh 0
为
dp 0 dx
时的
§6-1弹性流体动力润滑
由于x/R很小，略去高阶微量，得：
x2 h h0 2R
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式 设接触为刚体，则一维Reynolds方程为：
dp hh 12U 3 dx h U1 U 2 其中： U 2
dp hh 6 U 1 U 2 3 dx h
U称为卷吸速度或平均速度，Ul和U2分别为两个圆 柱体的表面速度。
W H 0 ——油膜厚度参数；
V
——载荷参数；
——速度参数；G ——材料参数。
§6-1弹性流体动力润滑
线接触弹性流 体的润滑状态图
在弹性流体动压 润滑计算中，最有实 际意义的是计算最小 油膜厚度，用它与接 触面的表面粗糙度进 行比较，以此来确定 润滑状态。
§6-1弹性流体动力润滑
线接触弹性流 体的润滑状态图
§6-1弹性流体动力润滑
二、线接触的刚性方程
1916年Martin用Reynolds方程推导出线接触解 析解。 1、几何关系
§6-1弹性流体动力润滑
1、几何关系 如图所示，两圆柱接触可以 等效地简化为一平面与一等效圆柱接触，其计算误差 很小，可略去。其中，等效半径为：
1 1 1 R R1 R2
用上式计算出的膜厚与实测结果相差2~3数量 级，尤其在重载低速条件下相差更大，该式只适于 高速轻载工况。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
在以下的计算中，油膜形状是通过两个接 触表面的弹性变形而求得，此弹性变形是根据 Hertz首创的经典理论来确定的。
§6-1弹性流体动力润滑
三、Hertz接触应力理论
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式 若两个接触体的材料相同，则：
2 x x2 1 2 x x h1 2bp max 1 ln 1 2 2 E b b b b
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
润滑剂的粘度增高 高压
油膜厚度增大
接触体发生弹性变形 弹性流体动压润滑，弹流
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
例如，线接触的两圆柱体受载后会变为面接 触，也会增大油膜厚度。1949年，Grubin从理论 上将压粘方程、弹性方程与Reynolds方程综合求 解获得成功。这种考虑了弹性变形及压粘变化对 流体动压润滑的影响，被称为弹性流体动压润滑 (Elasto-hydrodynamic Lubrication)，简称弹流。一 般用EHL或EHD表示。
(3)载荷与接触半宽和最大压力之间的关系 ： W bp max 线接触关系式为：
L
点接触关系式为：
W
2 2
3
b 2 p max
1 2
根据b的表达式，可求得最大压力与载荷的关系式： 线接触为： 点接触为：
p max
p max
EW 2 1 2 RL
图中的粗线段表示 hmin的相对值。图中横 坐标表示弹性变形的数 值，纵坐标表示粘度随 压力变化的数值。
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
E-V区，弹性变粘度区， 综合考虑了压粘效应和弹性 变形的影响，采用DowsonHigginson公式)计算。
hmin U 0.88 R ER
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(4)最大剪应力τxz及其所在深度z： 如第四章所述，高副接触(如齿轮、 滚动轴承)承受循环应力，在最大剪应 力处产生裂纹，并逐渐扩展到表面， 最后产生点蚀或剥落。这就是高副接 触的主要磨损形式。应当指出，即使 在润滑条件下，由于接触区产生的油 膜压力很高，表面疲劳磨损也只能减 缓而不能完全避免。
0.7 0.6 ELR E W 0.13
H 0 1.6W 0.6V 0.7G 0.13
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
R-V区，刚性变粘度区， 其压粘效应远大于弹性变形， 采用Bloke公式计算。
h0 1.66 0U
2
3
W 0 R E L
R1 R2 R R1 R2
其间隙可以表示为：
h h0 R R x
2
2
2 2 4 x x x h0 R1 1 2 h0 R 1 1 2 4 R 8R 2R
第六章
弹性流体动力润滑、 混合润滑及边界润滑
§6-1弹性流体动力润滑
§6-2混合润滑及边界润滑
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
前面所讨论的流体动压润滑理论及计算， 是假定两个润滑表面相对运动时仍保持完全的刚 性，未产生弹性变形，这在低副接触时是正确的。 但是，对于高副接触，如齿轮、滚动轴承等，其 比压很大，运用流体动压润滑理论就不合适。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式 假设在接触区的油膜形状是平行的，膜厚为 h0，则接触区外为收敛间隙，其油膜形状(距x处) 可表示为：
2 x x2 1 2 x x h h0 h1 h0 bp 1 ln 1 2 2 E max b b b b
1 3 2 3
0
H 0 1.66V G
2
3
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
E-I区，弹性等粘度区， 弹性变形远大于压粘效应， 采用Herrebrugh公式计算。
h0 2.35 0U
0 .6
W R L
0. 6 0
.02
E
0 .4
§6-1弹性流体动力润滑
无量纲参数
为了便于分析和计算式中的有关变量，Dowson 采用了无量纲参数。由前面分析可知h0主要取决 于三组参数，即：
W 0U h0 f , , E R ER ER
这些参数可用无量纲参数 H
H0
0
, W ,V , G
表示，即：
h0 U W ,W ,V 0 , G E R ER ER
Pmax——在中心线上的最大应力；b——接触 区半宽； r——接触区与中心线的距离。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(2)弹性公式 ： 对于线接触的半宽计算式为：
1 WR 4 1 b E E L 2 1
R-I区
hf = 4.9；
2
R-V区 h f 1.66 g v 3
§6-1弹性流体动力润滑
三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式
如果两个表面为刚性接触，h的计算式已有； 如果为弹性接触，在接触区以外，其计算式为：
2 x x2 1 12 1 2 x x2 h1 bp max 1 ln 1 2 2 E2 b b E1 b b
8 1 WR b E L
2 1 2
WR 1.52 L
1
2
点接触半径计算式为：
1 3WR b E 2
2 1 1 3
WR 1.109 E
1
3
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
如图所示，两圆柱接触并承受载荷W后，接触 区域被压平到宽度为2b、长为L 的小矩形面积。若 两球相压，其接触区是半径为b的圆平面，这时产生 的压力分布规律按椭圆分布。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(1)压力计算公式：
r2 p p max 1 2 b
H 0 2.32W
0.2
V
0.6
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
R-I区，刚性等粘度区， 不考虑弹性变形及压粘效应， 采用Martin公式计算。
h0 U 4.9 R W
H 0 4.9V W
1
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
上述四个区的膜厚参数hf如下：
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
低副 润滑表面刚性 高副 比压
流体动压润滑理论
润滑表面弹性变形
弹性流体动压润滑，弹流
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
1916年Martin将Reynolds方程用到齿轮(线接触) 中，假设为刚体等粘度，但所导出的最小油膜厚度 比一般加工的表面粗糙度还要小。也就是说，按照 流体动压润滑计算高副润滑时，不能产生有效的油 膜厚度以将两个表面隔开，而属于混合润滑或边界 润滑。但事实上并非如此。当时人们发现，横渡大 西洋的Queen Mary号邮船在使用多年后，齿轮表面 上的加工痕迹仍然可见，证明有足够的油膜厚度。 人们怀疑Martin公式，认为它只能用于轻载高速工 况，不适宜于重载，并开始寻找解决问题的途径。
2 1 2 2
1
1
2
对于点接触，其接触半径计算式为：
1 3WR 1 b E E 4 2 1
2 1 2 2 3
W——载荷； b——等效半径； L——接触长度。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触为钢，则： 线接触半宽计算式为：
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
人们发现，在重载接触(高副)情况下，由于点、 线接触的接触面积的典型值为径向轴承的0.1％左 右，因此，在载荷相同的情况下，点、线接触的平 均应力将比滑动轴承大1000倍左右。这样高的压力， 必然会影响其工作性能。对此，应用于滑动轴承的 流体动压润滑理论已不再适用。人们发现，高压会 使润滑剂的粘度增高，从而增大油膜厚度；同时高 压还会使接触体发生弹性变形。
2、Madin线接触公式 根据Reynolds条件：
3 1 sin 2 sin 2 sin 4 p 1.226 2 2 2 2 2 16 4
单位宽度承载量为：
x W UR pdx 4.89496 2 L h0
hminW HW hf 0URL V
W W 1 2 0UERL V 2
2
2 2 3
弹性参数： ge 粘性参数：gv
W GW 2 1 2 3 UR L 0 V 2
3 2
E 2W 2 1 . 5 1
2 2 R
1
3
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(4)最大剪应力τxz及其所在深度z： 如图所示，由载荷产生的应力σx， σx，σz及τxz随距离表面深度z而变化， 最大剪应力τmax不是在接触表面，而 是在距离表面深度为z的地方。一般来 说，z=0.67b。当表面作相对运动时， 摩擦力使最大剪应力增大，并移向表 面。
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式 将h代入Reynolds方程，并根据边界条件
x
xx
p0
dp 0 dx
得压力分布公式如下： 12U p 2 Rh p 0 h02
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式
12U p 2 Rh 0 p 2 h0 p 式中 为x的已知函数，可以表示为：
p
sin 2 4 4 cos 2
1
3 sin 2 sin 4 8 2 4 32
其中：
x tan 2 Rh 0
为
dp 0 dx
时的
§6-1弹性流体动力润滑
由于x/R很小，略去高阶微量，得：
x2 h h0 2R
§6-1弹性流体动力润滑
2、Madin线接触公式 设接触为刚体，则一维Reynolds方程为：
dp hh 12U 3 dx h U1 U 2 其中： U 2
dp hh 6 U 1 U 2 3 dx h
U称为卷吸速度或平均速度，Ul和U2分别为两个圆 柱体的表面速度。
W H 0 ——油膜厚度参数；
V
——载荷参数；
——速度参数；G ——材料参数。
§6-1弹性流体动力润滑
线接触弹性流 体的润滑状态图
在弹性流体动压 润滑计算中，最有实 际意义的是计算最小 油膜厚度，用它与接 触面的表面粗糙度进 行比较，以此来确定 润滑状态。
§6-1弹性流体动力润滑
线接触弹性流 体的润滑状态图
§6-1弹性流体动力润滑
二、线接触的刚性方程
1916年Martin用Reynolds方程推导出线接触解 析解。 1、几何关系
§6-1弹性流体动力润滑
1、几何关系 如图所示，两圆柱接触可以 等效地简化为一平面与一等效圆柱接触，其计算误差 很小，可略去。其中，等效半径为：
1 1 1 R R1 R2
用上式计算出的膜厚与实测结果相差2~3数量 级，尤其在重载低速条件下相差更大，该式只适于 高速轻载工况。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
在以下的计算中，油膜形状是通过两个接 触表面的弹性变形而求得，此弹性变形是根据 Hertz首创的经典理论来确定的。
§6-1弹性流体动力润滑
三、Hertz接触应力理论
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式 若两个接触体的材料相同，则：
2 x x2 1 2 x x h1 2bp max 1 ln 1 2 2 E b b b b
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
润滑剂的粘度增高 高压
油膜厚度增大
接触体发生弹性变形 弹性流体动压润滑，弹流
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
例如，线接触的两圆柱体受载后会变为面接 触，也会增大油膜厚度。1949年，Grubin从理论 上将压粘方程、弹性方程与Reynolds方程综合求 解获得成功。这种考虑了弹性变形及压粘变化对 流体动压润滑的影响，被称为弹性流体动压润滑 (Elasto-hydrodynamic Lubrication)，简称弹流。一 般用EHL或EHD表示。
(3)载荷与接触半宽和最大压力之间的关系 ： W bp max 线接触关系式为：
L
点接触关系式为：
W
2 2
3
b 2 p max
1 2
根据b的表达式，可求得最大压力与载荷的关系式： 线接触为： 点接触为：
p max
p max
EW 2 1 2 RL
图中的粗线段表示 hmin的相对值。图中横 坐标表示弹性变形的数 值，纵坐标表示粘度随 压力变化的数值。
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
E-V区，弹性变粘度区， 综合考虑了压粘效应和弹性 变形的影响，采用DowsonHigginson公式)计算。
hmin U 0.88 R ER
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(4)最大剪应力τxz及其所在深度z： 如第四章所述，高副接触(如齿轮、 滚动轴承)承受循环应力，在最大剪应 力处产生裂纹，并逐渐扩展到表面， 最后产生点蚀或剥落。这就是高副接 触的主要磨损形式。应当指出，即使 在润滑条件下，由于接触区产生的油 膜压力很高，表面疲劳磨损也只能减 缓而不能完全避免。
0.7 0.6 ELR E W 0.13
H 0 1.6W 0.6V 0.7G 0.13
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
R-V区，刚性变粘度区， 其压粘效应远大于弹性变形， 采用Bloke公式计算。
h0 1.66 0U
2
3
W 0 R E L
R1 R2 R R1 R2
其间隙可以表示为：
h h0 R R x
2
2
2 2 4 x x x h0 R1 1 2 h0 R 1 1 2 4 R 8R 2R
第六章
弹性流体动力润滑、 混合润滑及边界润滑
§6-1弹性流体动力润滑
§6-2混合润滑及边界润滑
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
前面所讨论的流体动压润滑理论及计算， 是假定两个润滑表面相对运动时仍保持完全的刚 性，未产生弹性变形，这在低副接触时是正确的。 但是，对于高副接触，如齿轮、滚动轴承等，其 比压很大，运用流体动压润滑理论就不合适。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式 假设在接触区的油膜形状是平行的，膜厚为 h0，则接触区外为收敛间隙，其油膜形状(距x处) 可表示为：
2 x x2 1 2 x x h h0 h1 h0 bp 1 ln 1 2 2 E max b b b b
1 3 2 3
0
H 0 1.66V G
2
3
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
E-I区，弹性等粘度区， 弹性变形远大于压粘效应， 采用Herrebrugh公式计算。
h0 2.35 0U
0 .6
W R L
0. 6 0
.02
E
0 .4
§6-1弹性流体动力润滑
无量纲参数
为了便于分析和计算式中的有关变量，Dowson 采用了无量纲参数。由前面分析可知h0主要取决 于三组参数，即：
W 0U h0 f , , E R ER ER
这些参数可用无量纲参数 H
H0
0
, W ,V , G
表示，即：
h0 U W ,W ,V 0 , G E R ER ER
Pmax——在中心线上的最大应力；b——接触 区半宽； r——接触区与中心线的距离。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(2)弹性公式 ： 对于线接触的半宽计算式为：
1 WR 4 1 b E E L 2 1
R-I区
hf = 4.9；
2
R-V区 h f 1.66 g v 3
§6-1弹性流体动力润滑
三、Hertz接触应力理论
(5)接触区外的变形及膜厚公式
如果两个表面为刚性接触，h的计算式已有； 如果为弹性接触，在接触区以外，其计算式为：
2 x x2 1 12 1 2 x x2 h1 bp max 1 ln 1 2 2 E2 b b E1 b b
8 1 WR b E L
2 1 2
WR 1.52 L
1
2
点接触半径计算式为：
1 3WR b E 2
2 1 1 3
WR 1.109 E
1
3
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
如图所示，两圆柱接触并承受载荷W后，接触 区域被压平到宽度为2b、长为L 的小矩形面积。若 两球相压，其接触区是半径为b的圆平面，这时产生 的压力分布规律按椭圆分布。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触应力理论
(1)压力计算公式：
r2 p p max 1 2 b
H 0 2.32W
0.2
V
0.6
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
R-I区，刚性等粘度区， 不考虑弹性变形及压粘效应， 采用Martin公式计算。
h0 U 4.9 R W
H 0 4.9V W
1
§6-1弹性流体动力润滑 在图中共划分为 四个区：
上述四个区的膜厚参数hf如下：
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
低副 润滑表面刚性 高副 比压
流体动压润滑理论
润滑表面弹性变形
弹性流体动压润滑，弹流
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
1916年Martin将Reynolds方程用到齿轮(线接触) 中，假设为刚体等粘度，但所导出的最小油膜厚度 比一般加工的表面粗糙度还要小。也就是说，按照 流体动压润滑计算高副润滑时，不能产生有效的油 膜厚度以将两个表面隔开，而属于混合润滑或边界 润滑。但事实上并非如此。当时人们发现，横渡大 西洋的Queen Mary号邮船在使用多年后，齿轮表面 上的加工痕迹仍然可见，证明有足够的油膜厚度。 人们怀疑Martin公式，认为它只能用于轻载高速工 况，不适宜于重载，并开始寻找解决问题的途径。
2 1 2 2
1
1
2
对于点接触，其接触半径计算式为：
1 3WR 1 b E E 4 2 1
2 1 2 2 3
W——载荷； b——等效半径； L——接触长度。
§6-1弹性流体动力润滑 三、Hertz接触为钢，则： 线接触半宽计算式为：
§6-1弹性流体动力润滑
一、概述
人们发现，在重载接触(高副)情况下，由于点、 线接触的接触面积的典型值为径向轴承的0.1％左 右，因此，在载荷相同的情况下，点、线接触的平 均应力将比滑动轴承大1000倍左右。这样高的压力， 必然会影响其工作性能。对此，应用于滑动轴承的 流体动压润滑理论已不再适用。人们发现，高压会 使润滑剂的粘度增高，从而增大油膜厚度；同时高 压还会使接触体发生弹性变形。
2、Madin线接触公式 根据Reynolds条件：
3 1 sin 2 sin 2 sin 4 p 1.226 2 2 2 2 2 16 4
单位宽度承载量为：
x W UR pdx 4.89496 2 L h0