第1章 随机过程
随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案
第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
随机过程的基本概念
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联合 分布 函数
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
n + m维随机向量
Y , { X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) ， (t1 ) Y (t 2 ) ,„, (t m ) } Y
则称随机过程 X (t ) 和Y (t ) 相互独立
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例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 e t ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 是两个随机过程
对任意 t1 , t 2
T ， 则 RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]
称为随机过程X (t ) 与Y (t ) 的互相关函数
注
CXY (t1 , t2 ) = R XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
四维
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说明3 原因：
{ X (t ) ， t T }是定义在 T 上的二元函数
“随机” 性
对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω) 是定义在(Ω,F,P) 上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变 化有一定的规律，用概率分布刻画。 对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0) 是定义在T上的 一个函数（确定性函数），称为 X(t) 的一条样本 路径或一个样本函数，或轨道、现实。
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3．协方差函数
随机过程X (t ) 在t1 , t 2 T 的状态X (t1 ) 和X (t 2 )
第1章 随机过程的基本概念习题答案
第一章 随机过程的基本概念1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。
试求X （t ）的一维概率分布解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+=k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p若 0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω当 0cos 0>t ω时ξπωωξd et x X P t x F t x⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=02cos 02021cos ),(·此时 ()te xt x F t x f tx 0cos 2cos 121,),(022ωπω⋅=∂∂=-若 0cos 0<t ω时⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωωξπωξd et x⎰--=02cos 02211同理有 tet x f tx 0cos 2cos 121),(022ωπω⋅-=-综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 tx et x f 022cos 20|t cos |121),(ωωπ-=2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为⎩⎨⎧=,2,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。
试确定)(t X 的一维分布函数)21,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,21;,(21x x F]解：（1）先求)21,(x F显然⎩⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos 21πX随机变量⎪⎭⎫⎝⎛21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是21021=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 21121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎭⎫ ⎝⎛1110210021,x x x x F再求F （x ,1）显然⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 12cos (1)πX{}{}212)1(-1(1)====X p X p ?所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=2121- 21-10,1)(x x x x F(2) 计算)1,21;,(21x x F⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面21)1(, 1 0)21( X X于是2 ,1 121 ,12 ,10 211 ,00 )1(;211,21;,21212121212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===ϖϖϖ且,31)p()p()p(321===ϖϖϖ试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
《随机过程》孙文昌
设{Xt : t ∈ T }是随机过程, 对任意t1, · · · , tn ∈ T 以及(x1, · · · , xn) ∈ Rn, 记随机变 量Xt1, · · · , Xtn的n维联合分布函数为
Ft1,···,tn (x1, · · · , xn) = P (Xt1 < x1, · · · , Xtn < xn) 当n和tk变化时, 得到一族分布函数:
p(x) = 1 ∫ e−itxφ(x)dx. 2π R
对于随机向量(ξ1, · · · , ξn), 它的特征函数定义为
φ(t1, · · · , tn) = Eei(t1ξ1+···+tnξn).
定理 1.8 连续性定理.
(i). 若分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数F (x), 则相应的特征函数列φn(t) 收敛于相应的 特征函数φ(t), 且在t的任一有限区间内该收敛是一致的.
例 1.1 在研究生物群体的增长问题时,为了描述群体的发展或演变过程, 就要在每一 时刻t记录群体的数量xt, 每一xt是随机变量. 假设我们从t = 0开始连续地观测, 则{xt, t ∈ [0, +∞)}就是一个随机过程.
例 1.2 在海浪分析中,需要观测在固定点上海平面的垂直振动.设xt表示在固定点上, 于时刻t海平面相对于平均平面的高度, 则xt是随机变量,而{xt, t ∈ [0, +∞)}是随机过程.
函数, 即对任何x ∈ R,
{ω : ξ(ω) < x} ∈ F ,
则称ξ(ω)为(实)随机变量. 若ξ1(ω)和ξ2(ω)都是实随机变量, 则ξ(ω) = ξ1(ω) + iξ2(ω)称为复随机变量.
第一章 随机过程的一般理论
随机过程-第一章__概率预备知识
概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)
随机过程讲义1
关键词第十二章随机过程基本概念关键词：随机过程状态和状态空间样本函数有限维分布函数均值函数方差函数自相关函数自协方差函数互相关函数互协方差函数独立不相关确定性过程确具有确定形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，就是事物的变化过程可以用一个时间t的确定函数来描述。
例如电容器通过电阻放电时电容两端例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。
2随机过程没有确定的变化形式，也即，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
用数学语言来说，这类事物的变化过程不能用一个时间t的确定性函数来描述：如果对该事物的变化全过程进行一次观察，可得到个时间t的函数，但若对该事物的变化过程重复地到一个时间的函数但若对该事物的变化过程重复地独立地进行多次观察，则每次所得到的结果是不相同的。
3§1 随机过程的概念是参数集对任意定义(){},(),T t T X t X t t T ∈∈设是一参数集，对任意是一个定义：随机变量,则称是随机过程.(,)X t e •(1)(,)X t •是随机变量(,e)X t 所有可能取值的全体称为状态空间(2)(,e)t X 是的函数,称为样本函数具体观察结果对随机过程的一次就是一条样本函数随机过程的分类：按照参数集T可分为离散时间和连续时间两种情况，状态空间为离散状态和连续状态两种况，状态空间为离散状态和连续状态两种。
11.离散时间离散状态续2.离散时间连续状态3.连续时间离散状态44.连续时间连续状态51例：（）某人在打靶每次的命中率为二项过程,n n p S 并且各次的结果相互独 某人在打靶，每次的命中率为表示前次命中的次数立。
用。
{;1,2,}n S n ==L L 是一个离散时间离散状态的随机过程。
状态空间 则{0,1,2,}.I 状态空间)样本函数为： 所有{}123,1111,,...)011i i i i s s s s s s s s s ++====+（：或，或ns 65324n876543211例考虑抛掷颗骰子的试验例2：考虑抛掷一颗骰子的试验：{}{}(1),1)1(n n X n n X n ≥≥设是第次抛掷的点数，的状态空间为1,2,3,4,5,6。
钱敏平-龚光鲁-随机过程答案(部分)
随机过程课后习题答案第一章第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ， 如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。
又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第八题：令{};1n X n ≥是一列相互独立且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
又令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
随机过程-第一章
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。
什么是随机过程(一)
什么是随机过程（一）引言概述:随机过程是概率论和数学统计学中的重要概念，用于描述随机事件在时间和空间上的演化规律。
它在实际问题建模和分析中具有广泛的应用，涵盖了大量的领域，如通信系统、金融市场、生物学等。
本文将介绍随机过程的基本概念和特征，并探讨其在实际中的应用。
正文:1. 随机过程的定义1.1 随机过程的基本概念1.2 随机变量与随机过程的关系1.3 不同类型的随机过程（如离散随机过程、连续随机过程等）2. 随机过程的特征2.1 随机过程的时间域特征2.2 随机过程的统计特征2.3 随机过程的独立性和相关性2.4 随机过程的平稳性2.5 随机过程的马尔可夫性质3. 随机过程的应用3.1 通信系统中的随机过程3.2 金融市场中的随机过程3.3 生物学中的随机过程3.4 物理学中的随机过程3.5 工程控制中的随机过程4. 随机过程的建模和分析方法4.1 马尔可夫链模型4.2 随机演化方程模型4.3 随机微分方程模型4.4 随机过程的仿真方法4.5 随机过程的参数估计方法5. 随机过程的未来发展5.1 随机过程在人工智能中的应用5.2 随机过程在时空数据分析中的应用5.3 随机过程在大数据分析中的应用5.4 新兴领域中的随机过程研究5.5 随机过程理论与实际应用的结合总结:本文介绍了随机过程的定义、特征和应用，并讨论了随机过程的建模和分析方法。
随机过程作为概率论和数学统计学的重要分支，具有广泛的应用前景。
随着人工智能和大数据分析的发展，随机过程在各个领域中的应用将进一步扩展。
值得期待的是，未来随机过程理论和实际应用的结合将推动该领域的进一步发展。
《随机过程》第一章习题
第一章 随机过程及其分类1、 设随机向量),(Y X 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布)1,0(N 。
（a ） 分别写出随机变量Y X +和Y X -的分布密度（b ） 试问：Y X +与Y X -是否独立？说明理由。
2、 设1X 、2X 、3X 为独立同分布的随机变量，且服从标准正态分布。
令：233211X X X X Y ++=（a ） 试求随机变量Y 的分布密度函数；（b ） 试问有限个独立正态分布随机变量经过非线性变换是否可以服从正态分布？3、 设),0(~2σN X ，对于0>∀b ，试证明正态分布尾概率估计不等式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅≤≥≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-222232ex p 21}{2ex p 21σσπσσσπb b b X P b b b 4、 设随机向量()()∑=,~,21μτN X X X ，其中：()()ττμμμ2,1,21==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑15/45/41，令随机向量()X Y Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3223,21τ。
（a ） 试求随机向量Y 的协方差矩阵、{}12Y Y E 及{}21Y Y E +； （b ） 试问{}122X X E X -与1X 是否独立？证明你的结论。
5、 设}0),({≥t t X 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，试求方差函数)]()([T t X t X D +-。
6、 考察两个谐波随机信号)(t X 和)(t Y ，其中：)cos()(),cos()(t B t Y t A t X c c ωφω=+=式中A 和c ω为正的常数；φ是[]ππ,-内均匀分布的随机变量，B 是标准正态分布的随机变量。
（a ） 求)(t X 的均值、方差和相关函数；（b ） 若φ与B 独立，求)(t X 与)(t Y 的互相关函数。
随机过程第01章 基础知识772.7 2.7 收敛性和极限定理
（3）若 X n 依概率收敛，则 X n 必为依分布收敛。
注 均方收敛与以概率1收敛不存在确定的关系。
二、极限定理
1．强大数定理
如果 X1，X 2， 独立同分布，
具有均值 ，则
首页
P{lim ( n
X1
X
2
X
n
)
/
n
}
1
2．中心极限定理 如果 X1，X 2， 独立同分布，
设 Fn (x)，F(x)分别为随机变量 X n 及X 的
分布函数
如果 F(x) 对于的每一个连续点x，有
lim
n
Fn
(x)
F
(x)
则称 随机变量序列 X n 以分布收敛于X，记作
X n d X
首页
收敛性之间的关系
（1）若
X
均方收敛，则
n
X n 必为依概率收敛；
（2）若 X n 以概率1收敛，则 X n 必为依概率收敛；
具有均值 与方差 2 ，则
lim P X1 X n n a
n
n
a
1
x2
e 2 dx
2
n
注 若令 Sn X i ，其中 X1，X 2， 独立同分布 i 1
则 强大数定理 表明 Sn / n 以概率1收敛于 E[X i ]；
中心极限定理 表明当n 时，S n 有
且
lim
n
E[|
Xn
X
|2 ]
0
则称 随机变量序列 X n 以均方收敛于X，记作
l.i.m n
Xn
X
随机过程第一章习题解答
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjt k pp qe qe∞==-∑ 又20()kk k k q q E X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n x S t dt n tdt xx∞∞+===+==-∑∑⎰⎰ 202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b+==222()()()PD XE X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。
随机过程第一章复习题及其解答预备知识
第一章 一、 填空1.设{t X ，t T ∈}是一族独立的随机变量，则对于任意2n ≥和12,,...,t t ,n t T ∈12,,...,,n x x x R ∈有1212(,,...,)n t t t n P X x X x X x ≤≤≤=（ ）。
答案：1()int i i P X x =≤∏2.若2EX <∞，2EY <∞,则2()EXY ≤（ ）。
答案：22EX EY （Schwarz 不等式）3.设随机变量X 的特征函数为()X g t ，Y aX b =+，其中a ，b 为任意实数，则Y 的特征函数()Y g t =（ ()itb X e g at ）。
解：()()()()[][][]()it aX b i at X ibt ibt i at X ibt Y X g t E e E e e e E e e g at +====。
4.若12,,...X X 是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N 是与12,,...X X 独立的非负整数值随机变量，并且1,N X 的母函数分别为()G s 和()P s 。
则1Nk k Y X ==∑的母函数()H s =（(())G P s ）。
解：0()()kk H s P Y k s ∞===∑=0(,())kk l P Y k N l s ∞∞====∑=00()()k k l P N l P Y k s ∞∞====∑∑=00()()k l k P N l P Y k s ∞∞====∑∑=01()()lkj l k j P N l P X k s∞∞=====∑∑∑0()[()][()]ll P N l P s G P s ∞===∑。
5.设12,,...X X 为一列独立同分布的随机变量，随机变量N 只取正整数值，且N 与{}n X 独立，则1()Ni i E X ==∑（1()()E X E N ）。
解：1111()[(|)](|)()N N Ni i i i i n i E X E E X N E X N n P N n +∞========∑∑∑∑1111111()()()()()()n n i n n E X P N n nE X P N n E X np N n +∞+∞+∞==========∑∑∑∑1()()E X E N =6.若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 二、解答与证明题1.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k k k P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk EX P kp ∞='==∑ 。
随机过程-第一章 预备知识及补充
A ) P( A ) （Boole's inequality，布尔不等式：
n n 1 n 1 n
假定一些事件组成了一个可数的集合， 那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件 发生的概率的和。 ） ；
当 An , n 1, 2, 两两互不相容时，则 P(
A ) P( A ) ；
15收敛性151极限定理1强大数定律如果2中心极限定理如果独立同分布且具有均值和方差152收敛性1依概率收敛对于随机变量序列如果存在随机变量x使得对任意的依概率收敛于x记为上有lim是其对应的分布函数序列如果3依概率收敛与依分布收敛的关系依概率收敛强于依分布收敛即依概率收敛依分布收敛
第一章 预备知识
1.1 概率空间
概率论的一个基本概念是随机试验：其结果在事先不能确定的试验。随机试验具有三 个特征： （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为 。 中的元素 称为样本点或基本事件， 的子集 A 称为事件。样本空间 称为必然事件，空集 称为不 可能事件。 定义 1.1：设 是一个样本空间， F 是 某些子集组成的集合族，如果满足： （1） F ； （2）若 A F ，则 A \ A F ；
n
n
定义 1.3：假设对样本空间 的每一个事件 A 定义了一个数 P( A) ，且满足以下三条公
理：
-1-
（1）非负性： 0 P( A) 1； （2）规范性： P() 1 ， P() 0 ； （3）可列可加性：对任意的两两互不相容事件 A1 , A2 , ，即 Ai Aj , i j ，有
随机过程第1章 引论
12
1.1 概率
于是，我们有
因此，三人中没有人选到他自己的帽子的概率是
13
1.1 概率
独立事件
如果
那么两个事件E和F称为独立的(independent). 这蕴含了如果P(E|F)=P(E)，那么E和F是独立的(它也蕴含了P(F|E)=P(F)). 这就是，如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率，那么E和F就是独立 的. 也就是E的发生独立于F是否发生.
我们则称 为事件 的概率.
例1.1 在掷硬币的例子中，如果我们假定硬币出现正面与出现反面是等可 能的，那么我们有：P({正面})=P({反面})=1/2. 如果我们有一枚不均匀的硬币，它出现正面的可能是出现反面的两倍，那么 P({正面})=2/3， P({反面})=1/3.
7
1.1 概率
例1.2 在掷骰子的例子中，如果我们假定6个数的出现是等可能的，那么我
M.）著，龚光鲁 译，人民邮电出版社，2011.5
2
第1章 引论
1.1 概率 1.2 随机变量、分布函数及数字特征 1.3 条件期望和矩母函数 1.4 随机过程的概念及分类
3
1.1 概率
随机试验、样本空间与事件
概率论的一个基本概念是随机试验. 一个试验(或观察)，若它的结果预先无
法确定，则称之为随机试验，简称试验(experiment). 所有试验的可能结果组 成的集合，称为样本空间，记作 . 中的元素则称为样本点，用 表示.
P( FE ) P( F ) P( E | F )
7 6 42 . 12 11 132
例1.8 假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央. 这些帽子先被弄混了,
随后每个人在其中随机地选取一个. 问三人中没有人选到他自己的帽子的概率 是多少？
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1.3 随机过程的数字特征
随机过程的集合平均 (Ensemble average)
随机过程就是由多个（无穷多个）随机变量按照一定的排列规则组成的； 完整描述随机过程的最完美方法是确定其联合概率密度函数； 如果随机过程的概率密度函数已确定，可根据其直接计算数字特征； 如果能够得到大量的样本，则数字特征也可根据样本的集合平均进行计算。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
结构设计
现在设计中如何考虑不确定性？
荷
载
结
构 响 为什么需要学习随机振动
应
结构自重 活荷载 地 风 震
构件尺寸 材料特性
静力响应 地震响应 风致振动
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
教材与参考书
从数学观点 ：是随机过程理论在振动领域的应用，它是概率统计
方法与结构动力学相结合的产物。
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1.2 随机过程的定义和分类
由于随机过程可由一系列随机变量描述，对于任意{t1 , t2 ,
, tn } T ，
X (t1 ), X (t2 ),
, X (tn ) 的联合概率分布函数 ; xn , tn ) P{X1 x1 X n xn }
PX ( x1 , t1;
随机过程 X (, t ) 可以看成为
1.2 随机过程的定义和分类
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随机过程的定义
设已经给定概率空间 (, P, f ) 及一参数集 T ( R1 ) ，若对每
一 t ( T ) , 均有定义在 (, P, f ) 上的一个随机变量 X (, t ), ( )与之 对应，则称依赖于参数t 的随机变量族 X ( , t ) 为一随机过程。
X (, t )
1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
工程中典型的随机振动问题
高层建筑和桥梁在风荷载作用下的振动 建筑结构和桥梁在地震作用下的振动
海洋平台结构在风浪作用下的振动
汽车在运行中由于路面不平引起的振动 飞机和航天器飞行中由气流引起的振动
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m
如何判断其为随机过程？
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1.2 随机过程的定义和分类
随机过程的分类
根据随机变量X和t的连续性，可将随机过程分为四种不同类型
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（土木工程专业）
第一章：随机过程
郭安薪
博士、教授
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确定性
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随机性
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
随机过程的数字特征
自相关函数
随机过程中 X (t1 ) X (t2 ) 的数学期望 E [ x(t1 ) x(t2 )] 称为随机过 程的自相关函数，是描述随机过程相关性的重要参数。
自相关函数可以通过样本的集合平均进行计算,或采用
RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] x1 x2 f X (t1 ) X (t2 ) ( x1 , x2 )dx
随机过程的集合平均
如果获得随机过程的大量样本，在任一给定的时刻，该随机变量的均
值可确定为
概率密度函数
x1 (ti ) x 2 (ti ) x (ti ) N
x n (ti )
为什么叫做“距”？ “距”有什么特点？
f [ x(ti )] lim
Prob[ x x(ti ) x x] 其他课程里还有什么叫做“距”的？ x 0 x
《结构随机振动》，欧进萍等，高教出版社 《工程结构随机振动》，方同等，国防出版社 《随机振动概论》，上海交大出版社 《现代随机振动》，湖南大学出版社 《非线性随机振动理论及其应用》庄表中，浙大出版 《An Introduction to Random vibration, Spectral & Wavelet
土木工程中有那些随机振源
大气湍流 、强风、地震、海浪、路面不平度等振源具有随机
性。不能用确定性时间函数描述，只能用概率统计方法描述。
什么是随机振动
在随机振源作用下系统所产生的振动。是用概率统计方法研究
振动问题的技术学科。
随机振动的学科特点
从力学观点 ：是古典振动理论的发展，结构动力学的新分支。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
结构随机振动的原因
激励是随机的：最基本的随机振动问题
系统是随机的：随机系统 激励和系统都是随机的。
工程中的随机振动问题
振动分析（响应预测） 已知激励和系统求响应，是最基本的随机振动问题。
振动环境预测 已知系统和响应，求激励。如预测路面不平度等。
2 2 2 x (t ) E{[ x(ti )] } mx (t )
i i
N=2时，为方差
自相关函数
对于一个随机过程，除了描述在任意时刻的统计特性外，各个不同 时刻的随机变量之间的相互关联程度，也是描述一个随机过程的重 要方面。
随机过程的各个不同时刻，组成高阶的联合概率密度函数，但是研 究两个不同时刻的相互关联程度更为实际。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程
确定性量、随机变量和随机过程的差别
确定性量：物理量的值是确定不变，且不随时间变化。 随机变量：物理量与时间无关（静态），但其值可变，且 土木工程学院 防灾减灾与桥梁工程学科组
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1.3 随机过程的数字特征
系统识别 已知激励和响应，求系统。如系统动态特性识别等。
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Analysis》, D.E.Newland, Dover Publications, New York
《Random Vibrations Theory and Practice》, P.H. Wirsching, T.L. Paez, K. Ortiz, Dover Publications,New York
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1.3 随机过程的数字特征
随机过程的数字特征
其他课程里还有与“中心距”类似？ “中心距”有什么特点？
N阶中心距
n
E{[ x(ti ) mx (ti ) ] } [ x(ti ) mx (ti ) ]n f [ x(ti )]dx(ti )
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1.2 随机过程的定义和分类