初中数学竞赛：三角函数

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三角函数竞赛试题与方法

三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。

【解】若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π，所以0<s inx <2π-co s x <2π，所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。

全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案
1. 角函数的计算和证明问题
在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：
(1)三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大;cosa与ctga随a的值增大而减小;当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.
注意到sin45=cos45= ,由(1)可知,当时0sina;当45
(2)三角函数的有界性|sina|1,|cosa|1,tga、ctga可取任意实数值(这一点可直接利用三角函数定义导出).
例1(1986年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )
(A)锐角 (B)钝角 (C)直角
分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.
解当A=90时，sinA和cosA=1;
当45 ，cosA0，
sinA+cosA 当A=45时，sinA+cosA= 当00,cosA sinA+cosA ∵ 1, 都大于 .
淘汰(A)、(C)，选(B).
例2(1982年上海初中数学竞赛题)ctg6730的值是( )
(A) -1 (B)2- (C) -1
(D) (E) 分析构造一个有一锐角恰为6730的Rt△，再用余切定义求之.
解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设B=90，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC= ，D=22.5,DCB=67.5.这时，
ctg6730=ctgDCB= 选(A).。

初中数学竞赛专题：三角函数

初中数学竞赛专题：三角函数§7．1锐角三角函数7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot65︒与cos40︒；（3）cos1︒,tan46︒,sin88︒和cot38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70︒化sin20︒,再与sin19︒比大小．因为()︒=︒-︒=︒,而cos70cos9020sin20︒<︒,sin19sin20所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊的三角函数值,间接比较它们的大小．cot60cos45︒=<︒=,再将cot65︒,cos40︒分别与cot60︒,cos45︒比大小．因为︒>︒>,︒<︒=,cos40cos45cot65cot60所以cot60cos45︒<︒,所以cot65cos40︒<︒．（3）tan451︒=,显然cos1︒,sin88︒均小于1,而tan46︒,cot38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒,以及tan46︒与cot38︒的大小即可．因为()cos38cot9052tan52︒=︒-︒=︒,所以︒>︒>︒=．tan52tan46tan451因为()︒=︒-︒=︒,cos1cos9089sin89所以sin88sin891︒<︒<,所以cot38tan46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数,可通过与某些“标准量”比大小,间接判断它们的大小关系,常选择的标准量有：0,1以及其他一些特殊角如30︒,45︒,60︒的三角函数值．7．1．2 ★化简求值：（1）tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79︒-︒；（5）若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．解析（1）原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot 44cot 43cot3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒1111=⋅⋅⋅=．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110︒-︒=︒-︒-︒-︒=．（5）原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++ 2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式,在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．1．3★试证明在锐角三角形中,任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．解析在锐角三角形里,显然有90A B ∠+∠=︒,所以有9090A B ︒>∠>︒-∠．由于在0︒~90︒范围内,当A ∠增加时,其正弦值是增加的,于是我们知道()sin sin 90cos A B B >︒-=．同理可以证明其他的五组． 7．1．4★下列四个数中哪个最大： A ．tan48cot 48︒+︒ B ．sin48cos48︒+︒ C ．tan48cos48︒+︒D ．cot 48sin48︒+︒解析显然0sin481<︒<,0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos48︒︒<=︒︒, cos48cos48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．7．1．5★设x 为锐角,且满足sin 3cos x x =,求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=,得到210cos 1x =,并且x 是锐角,因此cos x =所以sin x =因此3sin cos 10x x =． 7．1．6★★在ABC △中,3C A ∠=∠,27BC =,48AB =．证明：2A ∠是锐角,并计算cos2A 的值．解析若290A ∠︒≥,则45A ∠︒≥,3135C A ∠=∠︒≥,于是180A B C ∠+∠+∠>︒,矛盾．为计算cos2A ,必须构造出一个以2A ∠为其一锐角的直角三角形．如图,过C 作CD 交AB 于D ,使ACD A ∠=∠,则32BCD A A A ∠=∠-∠=∠．ABC DE又CDB A ACD ∠=∠+∠ =2A BCD ∠=∠ 所以27BD BC ==,21AD AB BD =-=, 21DC AD ==．作BE CD 丄于E ,则212CE DE ==,故217cos2cos 5418CE A BCE BC =∠===． 7．1．7★已知sin cos αα+,求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=,所以12sin cos 2αα+=,得1sin cos 2αα=．评注（1）当已知sin α与cos α之间和或差的值时,常常考虑运用22sin cos 1αα+=转化问题．（2）总结此题解答过程,该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知a b +221a b +=,求ab 的值．这里用三角函数式sin α、cos α来替代a 、b ,变化了一下问题的形式．因此,在解题时,弄清问题的本质是非常重要的．7．1．8★已知m 为实数,且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．7．1．9★★设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角,满足sin sin A B -=sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒,故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=①将上式平方,得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=, 由正、余弦的平方关系,即有12sin cos 2A A =,所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=,因sin A 、cos A 均为正数,故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=②由①、②得sin A,cos A =故sin B =．评注本题也可如下解答：由①得sin cos 2A A =+两边平方,得221sin cos 2A A A =++, ③因22sin 1cos A A =-,代入上式并整理,得212cos 02A A -=, ④解得cos A =．因cos 0A >,故只有cos A =sin A =． 7．1．10★若存在实数x 和y ,使得222225sin cos , 43cos sin ,4x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 求实数a 的所有可能值．解析把两式相加,得2358a a +=,解得1a =,或83a =-（舍去）．当1a =时,π4x =,π6y =满足方程．故1a =． 7．1．11★★已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦,求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒,又122112m x x m -+=+,12122x x m =+, 所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=,解得1m =或23．检验,当1m =时,()()22114820m m =--+<△；当23m =时,()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合,基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．7．1．12★★已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦,求k ．解析根据韦达定理,有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦,所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么,实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件,方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角,sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根,则有240p q =-△≥． ①由韦达定理,sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >,sin 0B >,于是0p <,0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-,sin cos A A q =, 所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+,即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥,则12q ≤．故所求条件是0p <,102p <≤,221p q -=．②（2）设条件②成立,则24120p q q -=-≥,故方程有两个实根：α==β==．由②知p -=又p -,所以0p p <---,故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=,故01αβ<<≤．所以,α、β为直角三角形两个锐角的正弦．评注一般地,有()sin 90cos αα︒-=,()cos 90sin αα︒-=．即在Rt ABC△中()90C ∠=︒,sin cos A B =,cos sin A B =．7．1．14★★已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ,由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥ 因为cos sin B A =,故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①② ①式两边平方,并利用恒等式22sin cos 1A A +=,得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=,解得m =．由cos 0A >,sin 0A >及②知0m >．所以m =．7．1．15★★不查表,求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值,我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样,15︒角的三角函数值,也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中,90C ∠=︒,30ABC ∠=︒,延长CB 到D ,使BD BA =,则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．A BCD130°15°设1AC =,则2AB =,BC 2BD =,所以2CD CB BD =+=+所以)1AD ====．所以sin15AC AD ︒===, cos15CD AD ︒===, tan152AC CD ︒===cot152CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题,通过构造适当的三角形,将它转化为30︒角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法,是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式,我们很容易得到75︒角的四种三角函数值． 7．1．16★★求22.5︒角的正切值（不查表,不借助计算器）．解析4522.52︒︒=,所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形,用定义求值．如图,Rt ABC △中,90C ∠=︒,45B ∠=︒,延长CB 到D ,使BD BA =,则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b=,有AB,)1DC DB BC b =+=+．AB CD故tan 22.51ACDC︒===．7．1．17★★求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △,AB AC =,如图,作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒,设1AC =,BC x =．AB CDH由于36DBA DAB ∠=∠=︒,72BDC BCD ∠=∠=︒,故CB BD DA x ===,而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒）,故AC BC BC DC =,故11xx x=-,有x =（舍去）．再作AH BC ⊥于H,则18CAH ∠=︒,CH =．所以sin18︒．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形,利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．7．1．18★已知直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,sin sin A B m +=,求证：21sin sin 2m A B -=．解析因为90A B ∠+∠=︒,所以sin cos B A =．从而2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=．又sin sin A B m +=,所以()22sin sin m A B =+22sin sin 2sin sin A B A B =++,即()22222sin sin sin cos 1A B m A A m =-+=-．7．1．19★★在ABC △中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且101511b c c a a b+++==,求sin :sin :sin A B C ．解析依题意,可将边转化为角．设sin sin sin a b ck A B C===,则 sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =．于是题中条件化为sin sin sin sin sin sin 101511B C C A A B+++==．令上述比值为t ,那么sin sin 10B C t +=, sin sin 15C A t +=,sin sin 11A B t +=．所以有sin 8A t =,sin 7C t =,sin 3B t =,从而得sin :sin :sin 8:3:7A B C =． 7．1．20★★★若θ为三角形的最小内角,试求关于x 的方程)543284cos 0x x x θ-+-=的所有实根．解析原方程显然有根0x =,再求方程)43284cos 0x x x θ-+-+=①的实根．θ为三角形最小内角,则060θ︒<︒≤,所以1cos 12θ<≤．方程①可整理变形为22221122cos 022x x x θ⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2212202x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥,21cos 02x θ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥．令()2f x =-由(240=--△知()f x 恒大于零,即不存在使方程①成立的实数x ．故原方程仅有一个实根0x =．7．1．21★★已知函数2cos 4sin 6y x x αα=-+对于任意实数x 都有0y >,且α是三角形的一个内角,求cos α的取值范围．解析由于方程没有实数根,()24sin 24cos 0αα-<．并根据22sin cos 1αα+=,可以得到22cos 3cos 20αα+->．因此cos 0.5α>或cos 2α<-．由于1cos 0α>>,所以1cos 0.5α>>． 7．1．22★★已知α、β是钝角,求证：（1）关于x 的方程22cos 0x α-=①有两个不相等的实根；（2）若sin β是方程①的根,则cos β也是方程①的根．解析（1）因α是钝角,故cos 0α<,于是()()41cos 8cos 41cos 0ααα=+-=->△,所以,方程①有两个不相等的实根．（2）设r 是方程①的另一根,则sin r β≠．由韦达定理,得sin r β+=② cos sin 02r αβ=<．③由于sin 0β>,故0r <．由②、③两式得()()222sin sin 2sin 1cos cos 1r r r βββαα+=+-=+-=．所以cos r β==,即cos β也是①的根．7．1．23★★已知()()2cos 4sin 6y x x αα=-+,对于任意实数x ,都有0y >,且是三角形的一个内角,求α的取值范围．解析因对任意实数x ,二次函数()()2cos 4sin 6y x x αα=-+y 恒大于0,所以cos 0α>,并且()24sin 24cos 0αα=-<△,所以()2161cos 24cos 0αα--<,整理得()()2cos 1cos 20αα-+>．因cos 20α+>,故2cos 10α->,1cos 2α>．所以060α︒<<︒．7．1．24★★若x 、y 为实数,221x y +=,α为锐角,求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=,22sin cos 1αα+=,得()()2222sin cos 1x y αα++=,即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=,加一项减一项,得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=, 因为()2cos sin 0x y αα-≥, 所以()2sin cos 1x y αα+≤, 故sin cos 1x y αα+≤．7．1．25★已知090αβ︒<<<︒,求证：（1）sin sin αβ<；（2）cos cos αβ>；（3）tan tan αβ<．解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比,然后利用边的不等关系证明．作1AOB α∠=,2A OB β∠=,使121AO A O ==,作11A H OB ⊥于1H ,22A H OB ⊥于2H ． BCOA 1A 2H 1H 2由21A OB AOB ∠>∠得射线1OA 与线段22A H 相交,设交于C ,则12OA OA OC =>,所以1A 在OC 的延长线上,所以1H 在2OH 的延长线上,得12OH OH >．又11A H =22A H 所以1122A H A H <．因为11111sin A H A H OA α==,111cos OH OH OA α==,111tan A H OH α=,22222sin A H A H OA β==,222cos OH OH OA β==,222tan A H OH β=,所以sin sin αβ<,cos cos αβ>,tan tan αβ<． 7．1．26★★ 已知090α︒<<︒,求证：解析1 构造Rt ABC△,90C ∠=︒,1AB =,CAB α∠=,如图,则sin sin BC AB αα==,cos cos AC AB αα==．（1）由+BC AC AB +>,得co si s 1n αα+>；（2）作高CH ,中线CD ,则CH CD ≤,1122CD AB ==,211112244ABC S AB CH AB CD AB =⋅⋅==△≤（ABC △以中线CD ,高线CH 重合为面积最大）．CABDHαcos αsin α而11sin cos 22ABC S BC AC αα=⋅=△,所以2sin cos 1αα≤．有12sin cos 2αα+≤,即()2sin cos 2αα+≤．又sin cos 0αα+>,所以sin cos αα+．由（1）,（2）知,1sin cos αα<+ 解析2 ()2sin cos 12sin cos 1αααα+=+>．又由()()222sin cos 12sin cos sin cos 0αααααα-+=-=-≥,得()22sin cos αα+≥, 故有()21sin cos 2αα<+≤,由sin cos 0αα+>,知1sin cos αα<+ 评注解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中,等腰直角三角形的面积最大”这一结论．7．1．27★★★证明：对于任何实数x 、y ,有()22sin sin sin sin sin sin 2x y x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥．解析因为对于任意x 、y ,都有1sin 1x -≤≤,1sin 1y -≤≤,所以22πsin sin π1sin sin 1222x y x y +-<-<≤≤≤．而函数sin x 在ππ22x -≤≤上的值是随着x 的增加而增加的,故()22sin sin sin sin sin sin 2x y x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥． 7．1．28★★★若0a b >>,090α︒︒≤≤,试证明sin sin a b a b αα+-不能介于a b a b -+及a ba b+-之间．解析假设sin sin a b a b a b a b a b a b αα-++<<+--,则有sin sin a b a ba b a bαα++<--．由题意知0sin 1α≤≤,0a >,则sin a a α≤,即sin a b a b α--≤,又0b >,从而2211sin b ba b a bα++--≥,即sin sin a b a ba b a bαα++--≥,所以假设不成立,即命题成立． 7．1．29★★★设221x y +=,且1x ≠-,1y ≠-,求证：()2111y x y x x yx y-=-++++．解析本题如果直接用代数方法,通过代数式的运算证明等式成立,比较复杂．根据已知条件221x y +=,联想到22sin cos 1αα+=,因此可设sin x α=,cos y α=,则将代数式转化为三角式,利用三角函数有关公式进行变形,这样会简便一些．设sin x α=,cos y α=,则11y x x y -++cos sin 1sin 1cos αααα=-++()()22cos cos sin sin 1sin 1cos αααααα+--=++ ()()cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+=+++()()2cos sin 1cos sin 22sin 2cos 2sin cos αααααααα-++=+++()()222cos sin 1cos sin 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos αααααααααα-++=+++++()()()22cos sin 1cos sin 1cos sin αααααα-++=++()()2cos 2sin 21cos sin 1y x x yαααα--==++++．评注在一些代数等式的证明中,如果已知条件221x y +=或()220x y a a +=>,则可设cos , sin ;x y αα=⎧⎨=⎩或 , ,x y αα⎧=⎪⎨⎪⎩从而将代数式转化为三角等式的证明问题,我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多,因此化为三角式后,运算化简常比较方便．§7．2解直角三角形7．2．1★★如图,在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,AD 是A ∠的平分线,且CD =,DB =求ABC △的三边长．ABC DE解析由角平分线想到对称性,考虑过D 作DE AB ⊥,交AB 于E ,则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中,1sin 2DE B DB ===,则60B ∠=︒,所以tan AC BC B ===2sin ACAB AC B===, BC CD DB =+=故ABC △的三边长分别为7．2．2★★在Rt ABC △中（如图）,D 、E 是斜边AB 的三等分点,已知sin CD x =,()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．AB C DEFP QG解析作DF AC ⊥于F ,EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ,EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===,AG GF FC b ===．则2DF a =,EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中,由勾股定理,得()2222sin a b x +=,及()2222cos a b x +=, 两式相加得()2251a b +=,2215a b +=．所以3AB BD == 7．2．3★★如图,ABC △中,90C ∠=︒,10AB =,6AC =,AD 是BAC ∠的平分线,求点B 到直线AD 的距离BH ．ABCD EH解析已知Rt ABH △中,10AB =,要求BH ,可求出BAH ∠的正弦值,而BAH CAD ∠=∠,因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ,有6AE AC ==,ED CD =．设3DC k =,由三角形内角平分线性质有106BD DC =,则5BD k =． Rt BDE △中,222DE BE BD +=,即()()()22231065k k +-=,得1k =． 33CD k ==,AD =sin 10BHDAC ∠==,故BH = 7．2．4★已知ABC △是非等腰直角三角形,90BAC ∠=︒,在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==,连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图,过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知AB CDEMN2AC BM =,2AB CN =,tan BM BAD AB ∠=,tan CNCAE AC∠=, 从而,1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=,则1tan 4CAE ∠=．7．2．5★★设有一张矩形纸片ABCD （如图）,3AB =,4BC =．现将纸片折叠,使C 点与A 点重合,试求折痕EF 的长．ABCDEOF解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ,由折叠知CF AF =,故FO AC ⊥,即EF AC ⊥．由3AB =,4BC =,得5AC =,从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中,90AOF ∠=︒,故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==, 所以5315248OF =⋅=,1524EF OF ==． 7．2．6★★已知三角形两边之和是10,这两边的夹角为30︒,面积为254,求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=,30α=︒,则125sin 24S ab α==△,即1125224ab ⋅=, 得25ab =．于是,由10a b +=,25ab =,得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根,所以5a b ==,即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=,得a b =．7．2．7★★在ABC △中,90C ∠=︒,其周长为2+且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >,求tan A 的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍,故2AB c ==．于是,由题设及勾股定理,得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①② 把①式两边平方,得2226a ab b ++=．再由②得 1ab =． ③由①、③知,a 、b 分别是二次方程210u +=的两根,解得u ．因为BC AC >（即a b >）,故12BC =,12AC =,所以tan 2BC A AC === 7．2．8★★已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠,C ∠的对边,且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意,尝试从边来判断．因为4a b c +=+,()42ab c =+,所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=, 从而知ABC △是直角三角形,90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒,3tan 4A ∠=,得34a b=．令3a =,()40b k k =>,则5c k =,于是754k k =+,得2k =,从而有6a =,8b =,10c =．7．2．9★★在Rt ABC △中,90C ∠=︒,12ABC S m =△,且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时,求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得,32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ,得32m a a m -⎛⎫=⎪⎝⎭,故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=． ①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >,所以24m ≥．（2）当24m =时,方程①只有一个实数根4a =,从而6b =．由b a >,知ABC △的最小内角为A ∠,其正切值2tanA 3a b ==．7．2．10★★如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒,30ABF ∠=︒,45BFE ∠=︒,60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．ABCDEF解析因为tan CECDE CD∠=,已知2AB CD =,因此,只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =,则2AB =．在Rt ABF △中,90A ∠=︒,30ABF ∠=︒,所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中,90BEF ∠=︒,45BFE ∠=︒,所以cos 45BE BF =︒==在Rt BEC △中,90EBC ∠=︒,60ECB ∠=︒, sin 60BE CE ==︒,所以tan 3CE CDE CD ∠==． 7．2．11★★如图所示．在锐角ABC △中,4sin 5B =,tan 2C =,且10ABC S =△．求BC ．AB CD解析作AD BC ⊥于D ,设AD x =,在Rt ABD △中,因为4sin 5B =,所以3cos 5B ==,所以sin 4tan cos 3B B B ==,所以43AD BD =,34BD x =．在Rt ADC △中,因为tan 2AD C DC ==,所以22AD x CD ==,所以35424x BC BD CD x x =+=+=． ① 因为1102ABC S BC AD =⨯=△, 所以151024x x ⨯⋅=, 所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中,在适当位置作高线,将其转化为直角三角形求解,这是解斜三角形常采用的方法．7．2．12★★如图所示．在ACD △中,45A ∠=︒,5CB =,7CD =,3BD =．求CBD ∠及AC ．A B E DC解析1 作CE AD ⊥于E ,设CE x =,BE y =,则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=,所以52y =．因为x ,所以512cos 52BE CBE CB ∠===,所以60CBE ∠=︒,18060120CBD ∠=︒-︒=︒,所以sin 45CE AC ===︒．解析2 在CBD △中,5BC =,3BD =,7CD =,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠,所以2222227531cos 22532CD BC BD CBD BC BD ----∠===--⋅⋅-⨯⨯,所以120CBD ∠=︒,从而60CBA ∠=︒．在ABC △中,由正弦定理得sin sin AC BCCBA A=∠,所以5sin sin BC CBAAC A⨯∠==A ．7．2．13★★如图,已知ABC △中,1AB =,D 是AB 的中点,90DCA ∠=︒,45DCB ∠=︒．求BC 的长．ABCD E解析作BE AC⊥B,交AC的延长线于E,设BC x=．则sin 45BE BC =⨯︒=cos45CE BC =⋅︒由DC BE ∥,D 是AB 的中点,知2AE EC ==而222AE BE AB +=,得221+=．即x =,所以BC =．评注通过构造直角三角形,使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．7．2．14★★如图,ABC △中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于D ,DE AC ⊥于E ,DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC=． ABCDE F解析 ADE ACD B ∠=∠=∠,而tan AE ADE DE ∠=,tan ED ACD EC ∠=,tan DF B BF=,所以 tan AE ED DFB DE EC FB===, 又DF EC =,所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=,所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=,所以33AE AC BF BC =．评注本题直角三角形较多,直接用相似三角形往往找不好关系,利用等角的三角函数作边的转化,使关系明确．7．2．15★★如图,在ABC △中,90A ∠=︒,AB AC =,M 是AC 边的中点,AD 垂直于BM 且交BC 于D ．AB CDF M求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ,不妨设3AB =,因AD BM ⊥,90BAM ∠=︒,所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2ACMA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒,AB AC =,45C ∠=︒,而90DFC ∠=︒,故FC FD =．由于12FC FA =,而3FC FA +=,1FC =,2FA =,而32MC =,31122FM =-=,1FD =, 即1tan 212FD CMD FM ∠===,又tan 2ABAMB AM∠==,AMB ∠,CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．评注利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示,通过计算证明几何命题,这种方法称为几何题的三角证法．7．2．16★★在等腰直角三角形ABC 中,1AB =,90A ∠=︒,点E 为腰AC 上任意一点,AE a =,点F 在底边BC 上,且FE BE ⊥,求证：()()2121CEF a a S a -=+△．解析如图,过点F 作FD AC ⊥,垂足为D ．ABCDEF因为ABE BEA BEA DEF ∠+∠=∠+∠,所以ABE DEF ∠=∠,从而知ABE △∽DEF △, 得AB AEDE DF=．又因为FD CD =,则令FD x =,那么1DE a x =--．于是11aa x x=--,得()11a a x a -=+．故()()()()21111122121CEFa a a a S EC FD a a a --=⋅=⋅-⋅=++△． 7．2．17★★★如图,在直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,AB a =,ACb =,E 是AC 上一动点,F 在BC 上,E 从点A 开始向C 运动且保持EF BE ⊥,试写出EFC S △与点E 运动时到点A 距离x 的关系式．ABCDEF解析如图,过点C 作CD EF ⊥,交直线EF 于D ,则ABE △∽DEC △,得AB BE AEED EC CD==．由AE x =,得EC b x =-,则a xDE CD =,得a b x DE -=b x x CD -=．又BEF△∽CDF△,则BE EFCD DF=,即BE EF EFBE CD EF FD ED==++,得(2a b x EF a bx -==+．故()221122CEFax b x S EF CD a bx-=⋅=⋅+△． 7．2．18★★如图（a ）,正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点,AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ,求DMN △的面积．ABCDEFM N(a)CF B EN MDA(b)解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △,则有21AD AN DN BF NF BN ===, 得2AN NF =,所以23AN AF=．在直角ABF △中,2AB a =,BF a =,则AF ==,于是cos AB BAF AF ∠= 由题设可知ADE△≌BAF△,所以AED AFB ∠=∠,18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=,23MN AN AM AF AM =-=-=, 从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△,所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =故8MND S =△．7．2．19★★已知a 、b 、c 是ABC △三边的长,其中b a c >=,且方程20ax c +=两根的差的ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知,这是一个等腰三角形,且底边b 最长,则最大角为B ∠,求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值,再确定角的大小,如图所示．由图知A BCD abc2cos 2b AD bA AB c c===,则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件,可得到关于c 、b 的方程,则问题得到解决．因为a c =,所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根,则有12x x +=121x x =．因为12x x -=()2122x x -=,即()2121242x x x x +-=,所以242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,c,b c ,所以cos 2b A c =, 所以30A ∠=︒,所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数,利用方程条件导出边的关系,由边的关系再进一步求角的大小． 7．2．20★★在ABC △中,90C ∠=︒,则cot 2A b c a +=；反过来,如果在ABC △中,cot 2A b ca+=,则ABC △是直角三角形．解析（1）作角平分线AD （图略）,则在Rt ACD △中,cot2A ACDC=．由角平分线的比例性质,有DC ACBD AB=．所以DC AC BD DC AB AC =++,即DC ba b c=+．所以abDC b c=+．所以cot2A b ca+=．（2）我们证明：B ∠或C ∠是直角．设90C ∠≠︒,下证90B ∠=︒．如图,作ABC △的角平分线AD ,在直线AD 上取一点E ,使90ACE ∠=︒．由题设有AB CD EFcot 2AC A b c EC a +==,所以abEC b c=+ 又由（1）中的计算,abDC b c=+,所以CD CE =,作CF DE ⊥于F ,则 22DCE FCE DAC BAC ∠=∠=∠=∠．所以180********ABC ACB BAC ACB DCE ACE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒．7．2．21★★如图,AB 是圆的直径,弦CD AB ∥,AC 与BD 相交于E ,已知AED θ∠=,试求:CDE ABE S S △△．DC ABEθ解析由AB CD ∥,得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ,则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △,有cos DEAEθ=,又AE BE =,所以2:cos CDE ABE S S θ=△△． 7．2．22★★★如图,延长锐角ABC △的高AD 、BE 、CF 分别交外接圆于L 、M 、N ．设垂心为外接圆半径为R ．求证：A（1）a b c a b cHA HB HC HL HM HN++=++；（2）sin sin sin 8sinAsin sin AL A BM B CN C R B C ++=．解析（1）由于CBF △∽AHF △,所以a CFHA AF=．在Rt AFC △中,tan CF A AF =,所以tan aA HA=．同理tan b B HB =,tan cC HC=,于是左边tan tan tan A B C =++．由于H 、D 、C 、E 共圆,所以BHD C ∠=∠．在直角三角形BHD 中,tan BD BHD HD =∠,所以tan BDC HD=．同理tan CDB HD=．相加得tan tan aC B HD=+．由于H 是ABC △的垂心,易证HD DL =,所以12HD HL =,()1tan tan 2a C B HL =+．同理()1tan tan 2b A C HM =+,()1tan tan 2c B A HN =+．相加后得右边tan tan tan A B C =++．（2）由于H 是垂心,所以HD DL =,可得HBC △≌LBC △．由于1sin 2ABLC S AL a R AL A =⋅=⨯⨯四边形, 所以sin ABC BCL ABC HBC R AL A S S S S ⋅⨯=+=+△△△△．同理可证sin ABC HCA R BM B S S ⨯⨯=+△,sin ABC HAB R CN C S S ⨯⨯=+△△．相加后得()1sin sin sin 44sin 2ABC R AL A BM B CN C S ab C ++==⋅△22sin 2sin sin R A R B C =⋅⋅⋅,所以sin sin sin 8sin sin sin AL A BM B CN C R A B C ++=．7．2．23★★如图所示,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒,60A ∠=︒,4m CD =,(m BC =,求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图,延长AD 交地面于点E ,过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒,60A ∠=︒,4CD =,所以sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=tan 60EF DF =︒==因为tan 30AB BE =︒=,所以(()8.5m AB ==≈． 7．2．24★如图,某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行,在、A 处测得S 在北偏东60︒,2小时后在B 处测得S 在正东北方向,试问轮船是否需要改变航行方向行驶,才能避免触礁危险,说明理由．SA B C解析若设船不改变航向,与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan60tan45152SC SC ︒-︒=⨯,解得1542SC =<．因此需要改变航向,以免触礁．7．2．25★★★如图,某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠,如果渠深为h ,截面积为S ,试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小,只需考虑AD DC CB ++最小,故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-,则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S h θθ-=+．因S 、h 为常数,则要求AD DC CB ++的最小值,只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=,两边平方整理得 ()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=,cos θ==．由上式知()2230m m -≥,解得m 故当m 时,2cos sin θθ-有最小值．当m =时,221cos 12m θ==+,从而得60θ=︒,此时排污渠造价最小．。

三角函数在初中数学中的应用

三角函数在初中数学中的应用在初中数学学习中，三角函数是比较重要的内容。

在初中阶段，学生主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。

这三个函数在生活中的应用非常广泛，几乎涉及到生活的各个方面。

三角函数在初中数学中的应用，主要分为以下几个方面。

一、图形的模拟三角函数可以用来模拟一些具有规律性的图形，例如：正弦函数可以模拟海浪般的波形，余弦函数可以模拟钟摆的运动，正切函数可以模拟图形的变化趋势。

在初中阶段，学生可以通过计算出每个函数在不同角度下的值，来绘制出完整的图形。

通过这种方式，可以让学生更好地理解三角函数的定义、性质和应用。

二、三角函数在几何中的应用三角函数在初中数学中的应用，最重要的一个方面是在几何学中的应用。

初中阶段学生主要学习平面几何、立体几何和三角形几何。

而正弦函数、余弦函数和正切函数都可以用来计算三角形的各种参数。

例如：学生可以利用正弦定理来计算三角形的角度或者利用余弦定理来计算三角形的边长。

而计算三角形的高度、面积等参数，可以使用三角函数中的正切函数进行计算。

三、三角函数在物理中的应用三角函数在初中数学中的应用，还可以用在物理学中。

在物理学中，三角函数尤其是正弦函数和余弦函数，常常被用来描述周期性的现象。

例如：学生可以利用正弦函数和余弦函数来模拟电磁波的传播、声波的振动以及光的折射等现象。

而在物理学中，正切函数通常用于计算速度、加速度和力等物理量的变化趋势。

四、三角函数在工程领域中的应用三角函数在初中数学中的应用还可以用在工程领域中。

例如在建筑、制造、电子工程、汽车制造等领域，都需要用到三角函数。

例如：在建筑领域中，工人需要计算出房屋的倾斜角度和高度，以此来安装楼梯、门框和捆绑钢管等工作。

而在制造领域中，设计师需要计算出各个部件之间的角度和长度，以此来制作出精确的机械。

五、三角函数在数学竞赛中的应用三角函数在初中数学中的应用，最后一个方面是在数学竞赛中的应用。

学生只有深入理解了三角函数的定义、性质和应用，才能在数学竞赛中取得好成绩。

初三数学三角函数(含答案)

初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随的增大而增大，cos 随的增大而减小7、正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随的增大而增大，cot 随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的边和角。

依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。

（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。

用字母i 表示，即i y 。

坡度一般写成1: m 的形式，如i 1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么h + i tan 。

l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向），南偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向），北偏西60° （西北方向）。

铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面米高。

专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型

专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型三角函数是中学数学中的重要内容之一，也是中学生数学竞赛中经常涉及的题型之一。

本文将探讨中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型，以帮助学生更好地应对这类题目。

1. 正弦函数与余弦函数问题1.1 角度转换在数学竞赛中，经常出现要求将弧度转换为角度或者将角度转换为弧度的问题。

考生需要熟悉如何使用正弦函数和余弦函数的定义来进行转换，并灵活运用。

1.2 函数图像理解正弦函数和余弦函数的函数图像是解题的关键。

考生需要熟悉函数图像的特点，如振幅、周期、相位等，并能利用这些特点解决各种类型的问题。

1.3 同角三角函数的关系正弦函数、余弦函数与其他三角函数之间存在一定的关系，如正切函数、余切函数等。

考生需要了解这些关系，并能够利用它们简化计算、求解方程等。

2. 三角恒等式与方程2.1 基本恒等式三角函数的基本恒等式是解题中常用的工具，如正弦函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。

考生需要熟悉这些恒等式的推导和应用，并能够利用它们求解各类三角函数方程。

2.2 复杂方程与恒等式的转化在数学竞赛中，有时会出现较为复杂的三角函数方程或者恒等式，考生需要能够灵活运用恒等式的性质将其转化为较为简单的形式，从而更好地解决问题。

2.3 解三角形三角函数的性质可以用来解决三角形相关的问题，如求解三角形的边长、角度等。

考生需要了解三角形的基本概念和性质，并能够运用三角函数解决各类三角形问题。

3. 应用题型数学竞赛中的应用题目常常涉及到三角函数的应用，如航空、导航、建筑等领域。

考生需要能够理解问题背景，灵活运用三角函数的概念和性质解决实际问题，并能够给出合理的解释和推理过程。

总结中学生数学竞赛中三角函数问题是较为常见的题型，要解决这类问题，考生需要熟悉正弦函数和余弦函数的性质，掌握三角函数的基本恒等式和转化方法，并能够灵活应用于各类题目中。

通过不断练习和探索，考生将能够在数学竞赛中取得更好的成绩。

初中数学-三角函数详解

初中数学-三角函数详解我选择介绍初中数学中的三角函数的概念、公式及应用。

一、三角函数的概念三角函数是指在直角三角形中，以某个角为自变量，另外两个角的函数关系。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数sinA表示直角三角形中A角的对边与斜边的比值。

余弦函数cosA表示直角三角形中A角的邻边与斜边的比值。

正切函数tanA表示直角三角形中A角的对边与邻边的比值。

二、三角函数的公式三角函数的公式有很多，其中比较重要的有：1）三角函数的基本关系式sin^2A + cos^2A = 12）正切函数与正弦、余弦函数的关系式tanA = sinA / cosA3）三角函数的和差公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)三、三角函数的应用三角函数广泛应用于几何问题和物理问题中。

下面是两个应用例题：例题1：已知一座房屋的高度为10米，从房屋前面的道路上斜向房屋上方仰视，仰角为30度，求房屋前面道路上的水平距离。

解：设房屋前面道路上的水平距离为x米，则可以列出以下等式：tan30° = 10 / x通过换元和化简，可以求得x的值：x = 10 / tan30° ≈ 17.32因此，房屋前面道路上的水平距离为17.32米。

例题2：已知一辆车从A点出发，向北行驶200公里到达B点，然后向东行驶150公里到达C点，求从C点观察A 点与B点的夹角α。

解：通过勾股定理可以求出直线AB和直线AC的长度：AB = √(200^2 + 150^2) ≈ 250AC = 200根据余弦定理可以求出∓BAC的角度：cosα = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 × AB × AC)= (250^2 + 200^2 - 150^2) / (2 × 250 × 200)≈ 0.628通过反余弦函数可以计算出夹角α的度数：α = arccos(0.628) ≈ 51.5°因此，从C点观察A点与B点的夹角α约为51.5度。

三角函数及解直角三角形竞赛试题

《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系（1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。

初中数学：“三角函数”

初中数学：“三角函数”一、知识点概述三角函数是初中数学中的重要概念之一，是研究三角形各种性质的一种数学工具。

主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数是高中数学中重要的基础部分，也是大学数学中重要的数学理论之一。

二、重点概念解释1. 正弦函数：正弦函数是一个周期函数，表示三角形中对边与斜边比值的函数，记为sinA。

2. 余弦函数：余弦函数也是一个周期函数，表示三角形中邻边与斜边比值的函数，记为cosA。

3. 正切函数：正切函数是一个周期函数，表示三角形中对边与邻边比值的函数，记为tanA。

4. 弧度制：弧度制是一种角度计量制度，是以半径长为单位进行角度测量。

1弧度等于圆的半径长。

5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数有着重要的基本关系，其中一些最基本的关系包括：sinA/cosA=tanA、sin²A+cos²A=1、tanA=sinA/cosA。

三、典型例题分析例题1：已知sinα=3/5，α在第二象限，求cosα、tanα的值。

解答：根据余弦函数的定义，cosα=±√(1-sin²α)，因为α在第二象限，因此cosα<0。

代入计算得cosα=-4/5。

再根据正切函数的定义，tanα=sinα/cosα，代入计算得tanα=-3/4。

例题2：已知cosβ=-4/5，β在第三象限，求sinβ、tanβ的值。

解答：根据正弦函数的定义，sinβ=±√(1-cos²β)，因为β在第三象限，因此sinβ<0。

代入计算得sinβ=-3/5。

再根据正切函数的定义，tanβ=sinβ/cosβ，代入计算得tanβ=3/4。

例题3：已知sinγ=1/3，γ在第四象限，求cosγ、tanγ的值。

解答：根据余弦函数的定义，cosγ=±√(1-sin²γ)，因为γ在第四象限，因此c osγ>0。

代入计算得cosγ=2√2/3。

2019年初中数学竞赛辅导——三角函数与解三角形

竞赛辅导——三角函数与解三角形一、单选题1．已知函数（）的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（）A．B．-C．D．-【答案】D【分析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得，解得，故，因为，令，得，即，又由，得，因为，所以，所以，又由，则，所以令，则由题意得在上有唯一的解，根据正弦函数图象可得或，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则点满足的关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由辅助角公式，对原式化简，再利用是函数的一条对称轴，且，求得a、b的关系可得答案.【详解】因为，根据辅助角公式可得：因为是函数的一条对称轴，即，即因为，所以即故选B【点睛】本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键，属于中档题. 3．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,, ,则的面积（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和面积公式求得结果即可.【详解】由题，，所以所以又因为锐角三角形ABC，所以由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理：面积故选D【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用是解题的关键，属于中档偏上题.4．已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．【详解】由题意知，，，，，，，上上恰有一个最大值和一个最小值，，．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况.5．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：①②的面积为③的周长为④外接圆半径这四个结论中一定成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．【详解】，，可得，可得外接圆半径，④正确；，即为，即有，则，即或，即；若，，，可得，①可能成立；由可得，，则三角形的周长为；面积为；则②③成立；若，由，可得，，则三角形的周长为；面积为；则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C．【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.二、填空题6．已知函数，对任意，，将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为___．【答案】【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域.【详解】由题意知函数的周期为，∴，即.将函数的图象向右平移个单位后得：，由其图象关于原点中心对称，故.∵ ，∴，故.∵，∴.∴，即函数在上的值域为.【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.7．已知函数若存在实数当时，满足，则的取值范围是_________________.【答案】.【分析】画出分段函数的图象，作出直线，结合函数的图象可得实数的取值范围，再运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得和，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，画出函数的图象，如图所示，令，则，由图象可知，设和函数的图象有四个交点，可得其中，则，解得，且，则所以，其中，设，则函数，函数单调递增，则，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.8．已知函数.给出下列结论：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是;③函数在区间上是减函数；④函数的图象关于直线对称．其中正确结论的序号是___________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】利用三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）分析每一个选项，易得出结果.【详解】由题，，定义域为关于原点对称，，所以为偶函数，①正确；所以函数的最小正周期是，②正确；，所以函数在区间上不是减函数，③错误；而所以，即函数的图象关于直线对称，④正确故答案为①②④【点睛】本题考查了三角函数的性质，熟悉函数奇偶性、周期性、单调性、对称性是解题的关键，属于较难题. 9．在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．【答案】【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．【详解】设，则：由于，所以：．则：，设，所以：，因为当时，，当时，，所以当时，的最小值为，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）.三、解答题10．函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式.（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）f (x)＝2sin(2x－)．（2）（－3，）．【分析】（1）利用，再用（），求出即可；（2），得，转化成，最后求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，又因为（），且，所以，故．（2）由（1）知，当时，，，即，又对任意，恒成立，＜＋，即，＞－故的取值范围是．【点睛】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简.11．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将代入，得到，得到不等式，从而得到，化简求得，进而得到不等式的解集；（2）当时，求得函数，分情况讨论的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围.【详解】（1），当时，，所以，即 .所以，所以故原不等式的解集为.（2）当时，，当时，则，所以 .当时，，所以，所以；当时，，所以，所以.综上，或.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目. 12．已知，.（1）求当a=1时，f(x)的值域；（2）若函数f(x)在内有且只有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）的值域为；（2）或.【分析】（1）当时，，令，则，，再利用二次函数的图像和性质求以的值域为；（2）令，，所以在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.再分类讨论求a的取值范围.【详解】（1）当时，，令，则，，所以，当时，，当时，，所以的值域为.（2），令，则当时，，，所以，所以在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意.综上，或.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查二次函数的图像和性质，考查零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;①；②.（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【分析】（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论.（Ⅱ）由函数具有性质T，转化为存在正数，使得，都有恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.（Ⅲ）由题意得出存在正数，使得，恒成立，即，以此类推可得. 利用函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）函数不具有性质T，函数具有性质T.理由如下：①假设函数具有性质T，即存在正数，使得恒成立.则对恒成立.所以此方程组无解，与存在正数矛盾.所以函数不具有性质T.②取，则，即对恒成立.所以函数具有性质T.（Ⅱ）因为函数具有性质T，所以存在正数，使得，都有恒成立.令，则对恒成立.若，取，则，矛盾；若，取，则，即，矛盾；所以.则当且仅当时，对恒成立.因为，所以.所以当时，函数具有性质T.所以的最小值是.（Ⅲ）因为函数具有性质T，所以存在正数，使得，恒成立.所以，以此类推可得. 用代替，可得.因为不是常数函数，所以存在，使得.若，则.所以.因为存在，使得，都有成立，取，则，矛盾.若，则.同上可知存在，使得，矛盾.所以.所以对，.所以是周期为1的函数.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.14．如图，在平面四边形中，，，．（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．【答案】(1) (2)【分析】（1）根据余弦定理列等量关系求C，A，再根据三角形面积公式求结果，（2）根据三角形面积公式以及余弦定理列方程组，化简得关于面积的函数关系式，根据余弦函数性质得最大值取法，再根据余弦定理求BD。

初中数学：三角函数

初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。

本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。

一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。

在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。

设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。

在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。

设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。

设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。

设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。

（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。

2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。

（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。

（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。

三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。

中考数学知识点三角函数的公式

中考数学知识点三角函数的公式中考数学知识点三角函数的公式关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的'特殊值。

下面一起来看看！三角函数的公式sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。

两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。

所以同学们还是要好好掌握。

半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式A sinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4c osa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

九年级三角函数竞赛题(含答案)

锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ；倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ，则S △ABC = ．思路点拨过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R Cc B b A a 2sin sin sin ===．【例2】如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )A ．32+B ．32-C ．0.3D ．23-思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长．思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．(1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练A 组1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有． 2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB 135，则这个菱形的面积为． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简:(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( ) A ．23 B ．23- C ．43 D ．43- 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ． 23 D ．43 8．在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长．B 组 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( )A ．61B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．23 C ．1 D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a 与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

中学数学竞赛讲义——三角函数

中学数学竞赛讲义——三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry ,余弦函数co s α=rx ,正切函数tan α=xy ，余切函数cot α=yx ，正割函数se cα=xr ,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α,co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

初中数学三角函数的概念与性质解析

初中数学三角函数的概念与性质解析三角函数作为初中数学的重要内容之一，是用来研究角度大小以及角度与三角比之间的关系的一种数学工具。

本文将对三角函数的概念与性质进行解析，以帮助初中生更好地理解和掌握这一内容。

一、三角函数的概念三角函数由正弦函数、余弦函数和正切函数组成。

这三个函数分别用于描述一个角的正弦值、余弦值和正切值与角度之间的关系。

具体而言，正弦函数sinθ定义为斜边与斜边与对边的比值，余弦函数cosθ定义为斜边与斜边与邻边的比值，正切函数tanθ定义为对边与邻边的比值，其中θ为一个角度。

二、三角函数的性质（一）周期性在0到360度的范围内，三角函数的值呈周期性变化。

以正弦函数为例，sinθ在0到360度范围内的值会在一个周期内重复变化，即sinθ=sin(θ+360°)。

同样的，余弦函数和正切函数也具有相同的周期性。

（二）奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ，而余弦函数和正切函数都是偶函数，即cos(-θ)=cosθ，tan(-θ)=tanθ。

这意味着角度的正负对于不同的三角函数会有不同的影响。

（三）函数值的范围三角函数的函数值范围在[-1,1]之间。

正弦函数和余弦函数的取值范围都是[-1,1]，而正切函数的取值范围是整个实数集。

（四）函数图像三角函数的图像在坐标系中以曲线的形式展示。

以正弦函数为例，其图像为一条连续的曲线，周期为360度，图像在0度和180度的对称轴上有极值点。

（五）三角函数间的关系三角函数之间存在着一些数学关系。

例如，正弦函数与余弦函数存在着双曲线的关系，即sin^2θ+cos^2θ=1，这被称为三角恒等式。

此外，三角函数之间还存在着tanθ=sinθ/cosθ的关系，通过这一关系可以将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值。

三、三角函数的应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在几何学中，三角函数可以用来计算三角形的边长和角度。

在物理学中，三角函数可以用来描述物体在空间中的运动轨迹。

初中数学-三角函数

初中数学-三角函数简介：三角函数是初中数学中较为抽象的知识点之一，而且在高中数学中也会涉及到，掌握好三角函数对于学生未来的学习十分重要。

本文将以初中数学三角函数为主题，结合具体例子和题目，详细介绍正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数1、定义：在直角三角形中，以锐角为自变量x，以锐角所对的直角边的长度为因变量y，则所得的函数y=sin x称为正弦函数。

2、性质：①f(-x)=-f(x)，即sin(-x)=-sin(x)。

②f(x+2kπ)=f(x)，其中k∈Z，即正弦函数在一个周期内的值相等。

3、练习题1. 若sin(x+π/4)=cos(x-π/4)，求x的值。

2. 若sinx+cosx=√2sin(x+m)，求m的值。

3. 证明：|sinx|≤1。

4. 求函数y=4sin(2x-π)+3在区间[0,π]上的最大值和最小值。

5. 已知sinx=3/5，cosy=-12/13，且x,y∈[0,π/2]，求sin(x+y)的值。

答案：1. x=3kπ-π/2 (k∈Z)。

2. m=π/2+kπ (k∈Z)。

3. 因为|sinx|=|sin(-x)|≤1，故|sinx|≤1。

4. 观察可得函数的最大值为7，最小值为1。

5. sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny=-3/65。

二、余弦函数1、定义：在直角三角形中，以锐角为自变量x，以锐角所对的直角边的长度为因变量y，则所得的函数y=cos x称为余弦函数。

2、性质：①f(-x)=f(x)，即cos(-x)=cos(x)。

②f(x+2kπ)=f(x)，其中k∈Z，即余弦函数在一个周期内的值相等。

3、练习题1. 若cos(x-π/6)=1/2，求sin(x-π/3)的值。

2. 若2cos2x+3sinx=k，求k的取值范围。

3. 若cosx=√6/4，且π/2<x<π，求sin(π-x)的值。

初中数学三角函数

初中数学三角函数三角函数是数学中的重要概念，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在三角形的边长比例、角度关系以及周期性方面有广泛的应用。

一、正弦函数正弦函数记作sin(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正弦函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值。

正弦函数的取值范围在-1到1之间，当x为0度、180度、360度等时，sin(x)的值为0；最大值1出现在90度、270度等，最小值-1出现在-90度、-270度等。

正弦函数的图像是一条连续曲线，呈现周期性。

二、余弦函数余弦函数记作cos(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，余弦函数的值等于角度对应的弧度上的横坐标值。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当x为0度、360度等时，cos(x)的值为1；最大值1出现在-90度、270度等，最小值-1出现在90度、-270度等。

余弦函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

三、正切函数正切函数记作tan(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正切函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值与横坐标值的比值。

正切函数的取值范围是全体实数，但当x为90度、270度等奇数倍角时，tan(x)的值为无穷大。

正切函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

四、三角函数的性质和公式1. 基本关系式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，这是三角函数最基本的性质，称为勾股定理。

2. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)3. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]，cos(x/2) = ±√[(1 +cos(x))/2]4. 三角函数的互余关系：sin(x) = cos(90° - x)，tan(x) = 1/tan(90° - x)5. 诱导公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)，cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)五、三角函数的应用1. 三角函数可以用于计算三角形的边长比例，如正弦定理和余弦定理。

初中数学竞赛：三角函数

初中数学竞赛：三角函数直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有：利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式：(1)倒数关系tgα·ctgα=1；(2)商的关系(3)平方关系sin2α+cos2α=1．这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用．如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：sinB=sin(90°-A)=cosA，cosB=cos(90°-A)=sinA，tgB=tg(90°-A)=ctgA，ctgB=ctg(90°-A)=tgA．上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A 增大时，sinA与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0．由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1．我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题．例1 不查表，求15°的四种三角函数值．分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．解如图3－17所示．在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=BA，则所以所以说明将15°角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30°角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75°角的四种三角函数值．例2 比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin19°与cos70°；(2)ctg65°与cos40°；(3)cos1°，tg46°，sin88°和ctg38°．分析 (1)利用互余角的三角函数关系式，将cos70°化为sin20°，再与sin19°比大小．(2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊再将ctg65°，cos40°分别与ctg60°，cos45°比大小．(3)tg45°=1，显然cos1°，sin88°均小于1，而tg46°，ctg38°均大于1．再分别比较cos1°与sin88°，以及tg46°与ctg38°的大小即可．解 (1)因为cos70°=cos(90°-20°)=sin20°，而sin19°＜sin20°，所以sin19°＜cos70°．(2)因为所以 ctg60°＜cos45°，所以 ctg65°＜cos40°．(3)因为ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°，所以tg52°＞tg46°＞tg45°=1．因为cos1°=cos(90°-89°)=sin89°，所以sin88°＜sin89°＜1，所以ctg38°＞tg46°＞cos1°＞sin88°．说明比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：(1)同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．(2)互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．(3)不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30°，45°，60°的三角函数值．例3 化简求值：(1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°；分析 (1)因为tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°，而tg1°·ctg1°=1，所以，可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘，结果为1．同样方法，将第二个因式与倒数第二个因式相乘，其积也是1．依次类推．(3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数，再进一步化简求值．(4)将被开方式化为完全平方的形式，即1-2sin11°·cos11°=sin211°-2sin11°·cos11°+cos211°=(sin11°-cos11°)2．因为sin1l°＜cos11°，所以根式化简后得cos11°-sin11°．(5)根据tgα=3，求出sinα与cosα的值．也可以将所求分式的分子、分母同除以cos2α，将其化为用tgα表示的分式．解 (1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·…·tg44°·tg45°·ctg44°·ctg43°·…·ctg3°·ctg2°·ctg1°=(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·…·(tg44°·ctg44°)·tg45°=1·1·…·1=1．说明同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．例4 设α是锐角，若求以tgα，ctgα为两根的一元二次方程．分析根据韦达定理，以tgα，ctgα为两根的一元二次方程是x2-(tgα+ctgα)x+tgα·ctgα=0，因此，解决问题的关键是求出tgα+ctgα的值．解由已知条件可得所以(1)当sinα=cosα时，tgα=ctgα=1，所求方程为x2-2x+1=0，所求方程为即4x2-9x+4=0．说明这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．例5 设x2+y2=1，且x≠-1，y≠-2，求证：分析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件x2+y2=1，联想到sin2α+cos2α=1，因此可设x=sinα，y=cos α，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．证设x=sinα，y=cosα，则说明在一些代数等式的证明中，如果已知条件x2+y2=1或x2+y2=a(a＞0)，则可设从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便．练习十一3．求值：sin6α+cos6α+3sin2α·cos2α+4．4．求证：(1)sin(90°-A)ctg(90°-A)=sinA；(2)sinAcos(90°-A)+cosAsin(90°-A)=1；5．化简下列各式，并求出它们的值：(1)(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2；6．证明：sin2A·tgA+cos2A·ctgA+2sinA·cosA=tgA+ctgA．。