隐函数求导-PPT课件
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隐函数的导数ppt课件
( x 1)( x 2) (3 x)(5 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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求一般幂指函数 y u( x)v( x) (u( x) 0) 的导数时，同样可以用 上述 “对数求导法”．但注意到y e v( x)lnu( x) ，也可以利用复 合函数求导法则求导．如
y
sin y (1 cos y)3
.
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ),
y
3(sin
cos
),
所确定的函数 y y的( x微) 商 . dy
dx
解
(a 0,b 0)
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
(t
)
1 dx
(t) dt
d dt
(t)
(t
)
1 (t
)
(t
)
(t)
t
.
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由于
(
(t (t
) )
)
(
t
)
(t) (t [ (t)]2
)
(t
)
,
因此
d 2 y (t ) (t) (t) (t)
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
9-6隐函数求导公式 PPT资料共19页
定理1 设函数
在点
的某一邻域内满足:
① 具有连续的偏导数; ② F (x 0,y 0 ) 0 ; ③ F y(x0,y0)0 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个函数y=f(x) y=f(x)具有如下性质:
①
② 在x0的上述邻域内连续 ③ 在x0的上述邻域内连续可导,且有
d y Fx
xy (x, y)z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质 可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
隐函数组概念
隐 u u(x, y)
函 数
v v(x, y)
组
的 F(x, y,u,v) 0
显 化
G(x, y,u,v) 0
第六讲 隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数概念
隐 函
y f (x)
数
的
显 化
F(x,y)0
F(x,y,z)0
研究问题
显函数
(显)函数组
(x,y)(u,v)
隐函数组
研究问题
在什么条件下,方程组能够确定隐函数组. 连续性?
方程组确定的隐函数组有什么性质 可导性? …
对方程组确定的隐函数组如何求导.
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
8-5第五节隐函数求导法-PPT课件
y
1 G ( x y )
dy F G ( x y ) x . dx F 1 G ( x y ) y
2 d y G ( x y ) ( 1 y )[ 1 G ( x y )] G ( x y ) G ( x y ) ( 1 y ) 2 2 d x [ 1 G ( x y )]
Fz ( x0, y0, z0 )≠0则方程F(x,y,z)=0在
的函数z=f(x,y),它满足条件
z f( x ,y )且有 0 0 0
z F z F y x , .( 4 ) x F y F z z
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
设函数F(x,y,z)在点 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 F[x,y,f(x,y)]=0 对上式求 x,y的偏导数.得到 由于Fz连续,且
知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到
F Fdy dy F 0 x x y dx dx F y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏 导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0
高 等 若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到y xx 数 学 2 2 电 例2 求由方程2x +y =1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数. 子 F dy 2 x 2 2 x F ( x , y ) 2 x y 1 , F 4 x , F 2 y . x y 教 dx F y y 案 2 x
高 等 数 学 电 子 教 案
一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导
隐函数的求导公式 共28页PPT资料
d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求 解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析： 此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1
高数隐函数求导专题最终版.ppt
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
.精品课件.
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
的某邻域内可唯一确定一个满足条件机动目录上页下页返回结束导数两边对x求导机动目录上页下页返回结束则还有机动目录上页下页返回结束在点00某邻域可确定一个单值可导隐函数连续由定理1可知机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束cos两边对x求导两边再对x求导导数的另一求法利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束的某邻域内具有连续偏导数则方程定理证明从略仅就求导公式推导如下
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
.精品课件.
7
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
《隐函数的求导》课件
案例二：物理学中的热传导问题
总结词
在解决物理学中的热传导问题时，隐函数求导可以用于 分析温度分布和热流密度。
详细描述
在研究热传导问题时，常常需要建立描述温度分布的隐 函数方程，如$T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t)$，其中$T$表示温度 ，$(x,y,z)$表示空间坐标，$t$表示时间。通过对隐函数 $f(x,y,z,t)$求导，可以分析温度随时间和空间的变化情 况，以及热流密度的分布和变化。
02
隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个复合函数的内函数是隐函数时，其导数可以通过链式法则进行求解。链式法则是求导中的基本法则之一， 用于求解复合函数的导数。具体来说，如果一个复合函数 y = f(u) 的内函数 u 是隐函数 u = g(x)，则复合函数 的导数 dy/dx 可以表示为 f'(u) * du/dx。
多重隐函数求导问题
总结词
隐函数求导中，多重隐函数求导是一个复杂 的问题。
详细描述
当一个函数由多个隐函数组成时，每个隐函 数都需要单独求导。在求导过程中，需要特 别注意各个隐函数之间的相互依赖关系，以 及它们对导数的贡献。解决多重隐函数求导 问题通常需要使用复合函数的求导法则和链 式法则。
隐函数在约束优化问题中的应用
物理问题中的应用
力学系统分析
隐函数可以用于描述物理中的力学系统，如弹簧振荡、流体动力学等，通过求 导可以分析系统的动态特性。
热传导方程
隐函数可以用于表示热传导方程，通过求导可以求解温度分布和热传导过程。
工程问题中的应用
控制工程
隐函数可以用于描述控制系统中的传递函数，通过求导可以分析系统的稳定性、时域和 频域特性。
Байду номын сангаас
《隐函数的导数》课件
求导过程，提高求解效率。
数的求导规律。
4 常见问题解答
回答一些关于隐函数求导常见问题，帮助大 家更好地理解相关概念。
5 拓展阅读建议
提供一些有趣的拓展阅读建议，让大家可以 继续深入学习隐函数的应用与相关领域。
参数方程
了解参数方程中的隐函数求导 方法，并研究其在曲线上的作 用。
常见问题解答
1 如何判断一个方程是
否为隐函数？
一个方程可以被视为隐函 数，如果它无法通过任何 一种简单的代数方法来直 接解出。
2 如何判断隐函数的导
函数是否存在？
可以通过连续性、准确性 和存在性等条件来判断隐 函数的导函数是否存在。
《隐函数的导数》PPT课 件
通过本课件，我们将深入探讨隐函数的导数，掌握隐函数求导的基本方法和 链式法则的应用，以及常见隐函数的求导规律。让我们一起开启这个有趣的 学习之旅吧！
什么是隐函数？
定义
隐函数是由一个方程表达的，其中变量与方程中 其他变量之间存在一定的关系，但并不直接解出 的函数。
示例
例如，方程x^2 + y^2 = 1是一个隐函数，其中x 和y之间满足关系x^2 + y^2 = 1。
3 如何证明隐函数的导
函数在某点连续？
可以使用极限定义和导数 的连续性来证明隐函数的 导函数在某点连续。
总结
1 隐函数求导的基本方
法
掌握隐函数求导的基本方 法以解决各种复杂的隐函 数导数问题。
2 链式法则在隐函数求
导中的应用
3 常见隐函数及其求导
了解常见隐函数如反三角
运用链式法则简化隐函数
函数、指数函数和对数函
2
例题
我们将通过具体的例题演示如何运用链式法则求解隐函数的导数。
隐函数求导法【高等数学PPT课件】
同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解 将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设 函数
有连续的一阶偏导数 ,又 分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得 因此
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
，并有
例2. 设 解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求 的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程
确定,求
解 将方程两边分别对x、y
求
分析
由于方程组中有4个变量，2个方程，故只 有2个变量独立，一般可确定2个函数。 若取x, y为自变量，则u, v都是x, y的函数。
将各方程两边对x求偏导,
得含
的方程组,
解此方程组即可解得
第5节 隐函数存在定理
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导的隐函数 y f( x ) ,且
(非零)
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
x Fx dy e y 1 cos y x x 0, y 0 Fy x 0 dx x 0
d y dx2 x 0
2
d e y ( ) , y0 ,y 1 dx cos y x x0
d y d2y , 2 d x x0 d x x0
x 解: 令 F 则 ( x , y ) sin y e x y 1 ,
x (偏连) ①F 连续 , F cos y x e y , y x (非空) ②F ( 0 , 0 ) 0 ,
0 , 0 ) 10 ③ F y(
F (, x yz ,) 0
两边求微分
Fd F d y Fz d z x x y
0
在 ( x ,y , z ) 的某邻域内 F 0 0 0 0 z
F F y x d z d x d y F F z z
所以
z Fx x Fz Fy z y Fz
2 z 2 2 2 y z 4 z 0 , 例2. 设 x 求 . 2 x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2 x 2 z 4 0 x 2 z x x
§9.4内容回顾
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 2 例如, u u f (, xy 2 , v ) , v ( x ,) y , u u x yv 2 1 ; f1 2 x f3 2 f 2 f3 x y x y 2. 全微分形式不变性 对 z f ( u , v ) , 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f ( u , v ) d u f ( u , v ) d v u v
d z f d uf d v 1 2Fra bibliotek第九章
§9.5 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
两边求微分
Fx d F d y 0 x y
在(x0 , y0)的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
F F
x y
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 dx x Fy y Fy d x
在点 (x 则方程 F ( x , y , z ) 0 0, y 0)某一邻域内可惟一确
f ( x , y ) , 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z 0 0 0
并有连续偏导数 z F x, x F z
z F y y F z
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
两边对 x 求导
e x y cos y y x y 0
两边再对 x 求导
y
x0
1
x 2 e y y x y 0 sin y ( y ) cos y y
0 ,y 1 令 x = 0 , 注意此时 y
d2 y 3 2 x0 dx
定理2 . 若函数 F ( x ,y ,z )满足:
(偏连) ① 在点 P ( x ,y ,z ) 的某邻域内具有连续偏导数 , 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非空) ② F 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非零) ③ F z 0 0 0
2
xy x
F F F xxF y F yxF x F x yF y yyF x x ( ) 2 2 F F F y y y
2 2 F F 2 F F F F F x x y x y x y y y x （不必记此公式） 3 F y
x 在点(0,0)某邻域 例1. 验证方程 sin y e x y 1 0 f( x ) , 并求 可确定一个单值可导隐函数 y
z 2 2 (2 z ) x ( 2 z ) x 2z x x ( ) 3 2 x 2 z 2 ( 2 z ) x (2 z )
解法2 利用公式 2 2 2 设 F ( x , y , z ) x y z 4 z 则 2 z 4 F 2 x ,F z x
(ex y)(cos y x ) sin y y 1 ) (ex y)( x 0 2 ( cos y x ) y 0 y 1 3
x
sin y e x y 1 0
x
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
x sin y e x y 1 0 , y y ( x )
(偏连)
(非空)
(非零) (关于因变量)
则方程 F 的某邻域内可惟一确定一个 ( x ,y ) 0 在点 x 0
f( x ) ,并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y 0 0
导数
Fx dy (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
Fxy ( , ) 0
C 0 例如, 方程 x y
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 及求导公式的推导.
2
2) 给出方程(组)能确定隐函数的条件 及连续性、可微性．
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F(x , y)在点 P 的某一邻域内满足 ( x ,y ) 0 0 ① 具有连续的偏导数; ②F ( x ,y ) 0 ; 0 0 ③F ( x ,y ) 0 y 0 0
(非零)
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
x Fx dy e y 1 cos y x x 0, y 0 Fy x 0 dx x 0
d y dx2 x 0
2
d e y ( ) , y0 ,y 1 dx cos y x x0
d y d2y , 2 d x x0 d x x0
x 解: 令 F 则 ( x , y ) sin y e x y 1 ,
x (偏连) ①F 连续 , F cos y x e y , y x (非空) ②F ( 0 , 0 ) 0 ,
0 , 0 ) 10 ③ F y(
F (, x yz ,) 0
两边求微分
Fd F d y Fz d z x x y
0
在 ( x ,y , z ) 的某邻域内 F 0 0 0 0 z
F F y x d z d x d y F F z z
所以
z Fx x Fz Fy z y Fz
2 z 2 2 2 y z 4 z 0 , 例2. 设 x 求 . 2 x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2 x 2 z 4 0 x 2 z x x
§9.4内容回顾
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 2 例如, u u f (, xy 2 , v ) , v ( x ,) y , u u x yv 2 1 ; f1 2 x f3 2 f 2 f3 x y x y 2. 全微分形式不变性 对 z f ( u , v ) , 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f ( u , v ) d u f ( u , v ) d v u v
d z f d uf d v 1 2Fra bibliotek第九章
§9.5 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
两边求微分
Fx d F d y 0 x y
在(x0 , y0)的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
F F
x y
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 dx x Fy y Fy d x
在点 (x 则方程 F ( x , y , z ) 0 0, y 0)某一邻域内可惟一确
f ( x , y ) , 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z 0 0 0
并有连续偏导数 z F x, x F z
z F y y F z
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
两边对 x 求导
e x y cos y y x y 0
两边再对 x 求导
y
x0
1
x 2 e y y x y 0 sin y ( y ) cos y y
0 ,y 1 令 x = 0 , 注意此时 y
d2 y 3 2 x0 dx
定理2 . 若函数 F ( x ,y ,z )满足:
(偏连) ① 在点 P ( x ,y ,z ) 的某邻域内具有连续偏导数 , 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非空) ② F 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非零) ③ F z 0 0 0
2
xy x
F F F xxF y F yxF x F x yF y yyF x x ( ) 2 2 F F F y y y
2 2 F F 2 F F F F F x x y x y x y y y x （不必记此公式） 3 F y
x 在点(0,0)某邻域 例1. 验证方程 sin y e x y 1 0 f( x ) , 并求 可确定一个单值可导隐函数 y
z 2 2 (2 z ) x ( 2 z ) x 2z x x ( ) 3 2 x 2 z 2 ( 2 z ) x (2 z )
解法2 利用公式 2 2 2 设 F ( x , y , z ) x y z 4 z 则 2 z 4 F 2 x ,F z x
(ex y)(cos y x ) sin y y 1 ) (ex y)( x 0 2 ( cos y x ) y 0 y 1 3
x
sin y e x y 1 0
x
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
x sin y e x y 1 0 , y y ( x )
(偏连)
(非空)
(非零) (关于因变量)
则方程 F 的某邻域内可惟一确定一个 ( x ,y ) 0 在点 x 0
f( x ) ,并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y 0 0
导数
Fx dy (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
Fxy ( , ) 0
C 0 例如, 方程 x y
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 及求导公式的推导.
2
2) 给出方程(组)能确定隐函数的条件 及连续性、可微性．
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F(x , y)在点 P 的某一邻域内满足 ( x ,y ) 0 0 ① 具有连续的偏导数; ②F ( x ,y ) 0 ; 0 0 ③F ( x ,y ) 0 y 0 0