隐函数求导-PPT课件

d y d2y , 2 d x x0 d x x0
x 解: 令 F 则 ( x , y ) sin y e x y 1 ,
x (偏连) ①F 连续 , F cos y x e y , y x (非空) ②F ( 0 , 0 ) 0 ,
0 , 0 ) 10 ③ F y(
导的隐函数 y f( x ) ,且
(非零)
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
x Fx dy e y 1 cos y x x 0, y 0 Fy x 0 dx x 0
d y dx2 x 0
2
d e y ( ) , y0 ,y 1 dx cos y x x0
z 2 2 (2 z ) x ( 2 z ) x 2z x x ( ) 3 2 x 2 z 2 ( 2 z ) x (2 z )
解法2 利用公式 2 2 2 设 F ( x , y , z ) x y z 4 z 则 2 z 4 F 2 x ,F z x
2
xy x
F F F xxF y F yxF x F x yF y yyF x x ( ) 2 2 F F F y y y
2 2 F F 2 F F F F F x x y x y x y y y x （不必记此公式） 3 F y
x 在点(0,0)某邻域 例1. 验证方程 sin y e x y 1 0 f( x ) , 并求 可确定一个单值可导隐函数 y

d z f ( u , v ) d u f ( u , v ) d v u v
d z f d uf d v 1 2
第九章
§9.5 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
§9.4内容回顾
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 2 例如, u u f (, xy 2 , v ) , v ( x ,) y , u u x yv 2 1 ; f1 2 x f3 2 f 2 f3 x y x y 2. 全微分形式不变性 对 z f ( u , v ) , 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d2 y 3 2 x0 dx
定理2 . 若函数 F ( x ,y ,z )满足:
(偏连) ① 在点 P ( x ,y ,z ) 的某邻域内具有连续偏导数 , 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非空) ② F 0 0 0
( x , y , z ) 0 (非零) ③ F z 0 0 0
两边对 x 求导
e x y cos y y x y 0
两边再对 x 求导
y
x0
1
x 2 e y y x y 0 sin y ( y ) cos y y
0 ,y 1 令 x = 0 , 注意此时 y
两边求微分
Fx d F d y 0 x y
在(x0 , y0)的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
F F
x y
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 dx x Fy y Fy d x
(ex y)(cos y x ) sin y y 1 ) (ex y)( x 0 2 ( cos y x ) y 0 y 1 3
x
sin y e x y 1 0
x
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
x sin y e x y 1 0 , y y ( x )
C 0 例如, 方程 x y
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 及求导公式的推导.
2
2) 给出方程(组)能确定隐函数的条件 及连续性、可微性．
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F(x , y)在点 P 的某一邻域内满足 ( x ,y ) 0 0 ① 具有连续的偏导数; ②F ( x ,y ) 0 ; 0 0 ③F ( x ,y ) 0 y 0 0
在点 (x 则方程 F ( x , y , z ) 0 0, y 0)某一邻域内可惟一确
f ( x , y ) , 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z 0 0 0
并有连续偏导数 z F x, x F z
z F y y F z
定理证明从略,Baidu Nhomakorabea仅就求导公式推导如下:
F (, x yz ,) 0
两边求微分
Fd F d y Fz d z x x y
0
在 ( x ,y , z ) 的某邻域内 F 0 0 0 0 z
F F y x d z d x d y F F z z
所以
z Fx x Fz Fy z y Fz
2 z 2 2 2 y z 4 z 0 , 例2. 设 x 求 . 2 x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2 x 2 z 4 0 x 2 z x x
(偏连)
(非空)
(非零) (关于因变量)
则方程 F 的某邻域内可惟一确定一个 ( x ,y ) 0 在点 x 0
f( x ) ,并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y 0 0
导数
Fx dy (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
Fxy ( , ) 0