最新04解斜三角形及应用举例

F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物
线的准线上，且BC∥x轴。证明:直线AC经过原点O．
证明：F （
p ，0） 2
，设A（ y 1 2
2p
, y 1），B（y 2 2
2p
,
y
2
）则C（－p
2
， y 2）
因A、B、F三点共线，则有 AFB（F R）
即（ p 2y21p2,y1)(p 2y22p2,y2)亦即
2.[2001年高考题] 设坐标原点为O,抛物线 y 2 2 x
与过焦点的直线交于A,B两点,则 OA•OB等于----( B )
3 A.
B. 3
C.3
D.-3
4
4
3.[2002年高考题] 已知两点 A3,1,B1,3，若C
点满足 OCOAOB，其中, R 且有 ，1
则点C的轨迹方程为----------------------------------( D )
(A )3x2y1 10 (B )x 1 2 y 2 2 5
的动点，当∠ F1PF2 为钝角时，求点P横坐标的取值范 围。
解： F 1(5,0)F ,2(5,0)，P (设 x0,y0)
则 P1F (5x0,y0)P , 2F (5x0,y0)
F1PF 2为 钝 角
PF 1PF 2x025y020
又P 点 在椭圆 x02上 y02则 1 94
解 得 35： 5x0355
⑷已知两边及一边的对角,可利用正弦定理或利用余弦定理;
(注意解的情况,可能出现一解、两解、或无解.)
练习 4.在△ABC 中,若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则 AC＝ 3 ． 设 AC x >0,则 72 52 x2 2 5 x cos120
即 x2 5x 24 0 ,解得 x 8 或 3 ∴ x 3
∴
S△ABC
1 2
AC
AB sin A
1 2
3 11或 1 2
3 1 1 2
∴ S△ABC
3或 2
3 4
例1.过抛物线y22p(xp0)的焦点F的直线交抛物线于M、N
两点，自M、N向准线作垂线得垂足A、B 。
求证： AF B90。
y
A
M
证明：焦点 F ( p ,0 )，
2
o
F
x
设A、B两点的纵坐标分别为 y1、y2 B
解：设A(x1, x12)、B(x2,x22)、AB中点C(x,y), 由OA⊥OB得 O O A x B 1 x 2 x 1 2 x 2 2 0
所以 x1x21
y
又C是AB的中点，有
2x x1x2(1)
2y
x12
x22(2)
AC
oB
x
由（1）2-（2），化简得
y=2x2+1
例3.[01全国高考19]设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为
y
B
D
o
C
A
x
设直线方程为y=kx-1并代入抛物线方程得：
x2-4kx+4=0 则x1x2=4, x1+xy1+y2=4k2-2 (2)
将（1），（2）代入解得：
k 2或 k2（注意要满足判别式大于0）
走进高考
1.直线 x＋2y－2＝0 的一个方向向量是-----------( D ) A. (1,2) B . (1,-2) C.(2,1) D.(2,-1)
⑷已知两边及一边的对角,可利用正弦定理或利用余弦定理; (注意解的情况,可能出现一解、两解、或无解.)
练习 4.在△ABC 中,若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则 AC＝ ．
练习 5.在△ABC 中，已知 AB= 3 ， AC=1，∠B=30°，
则△ABC 的面积为_________.
解斜三角形的四种类型举例
N
Ap 2， y1、 Bp 2， y2
于是 F A ( p ， y 1 )， F B ( p ， y 2 )
故 F F A B p 2 y 1 y 2p 2 p 2 0
所以 FA FB ，F 即 A FB 。
例2.如图,过原点O作互相垂直的两条直线,分别交抛物 线y=x2于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程。
则△ABC 外接圆的直径为_5 ___2_..
∵
S△ABC
1 2
ac sin
B
11 c sin 2
45
2 ,∴ c 4
2
由余弦定理得
b2 a2 c2 2ac cos B 12 (4 2)2 21 4 2 cos 45 =25
∴ b 5 ,∴ 2R sin 45 5 ,∴ 2R 5 2 .
例5.已知:过点C(0,-1)的直线L与抛物线y= 1 x 2 4
交于A、B两点，点D(0,1)，若∠ADB为钝角求直
线L的斜率取值范围。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2), 又 DA (x1,y11) DB (x2,y21) 因为∠ADB为钝角所以 DADB0 即x1x2+(y1-1)(y2-1)<0
练习 2. 在 ABC 中, A 105 , B 45 ,b 2 2 ,
则c2
∵ C =180 A B 180 105 45 =30
∴由正弦定理得 c 2 2 ,∴c 2 . sin 30 sin 45
解斜三角形的四种类型举例
⑶已知两边及其夹角可利用余弦定理;
练习 3. 在△ABC 中, a 1, B 45 , SABC 2 ，
04解斜三角形及应用举例
解斜三角形的四种类型举例 ⑴已知三边可利用余弦定理;
练习 1.在 ABC中,a 3,b 5,c 7 , 则此三角形最大角大小为 1 2 0 .
用余弦定理：
cos C a2 b2 c2 9 25 49 1 ,∴ C 120 .
2ab
235
2
⑵已知两角及一边可利用正弦定理;
练习 5.在△ABC 中，已知 AB= 3 ， AC=1，∠B=30°，
则△ABC 的面积为___3 _或___3__.
2
4
∵由正弦定理得 AC AB ,∴ 1 3 ,∴ sin C 3 ,
sin B sin C sin 30 sin C
2
∴ C 60 或 120 ,∴ A 90 或 30
y
A
p 2y21p 2(p 2y22p 2) y21p 2(p 2)
y1y2
y1y2
o F CB
x
又OA
（y 1 2
2p
,y1
），OC
=（
p 2
,
y
2
）∴OAOC
故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。
例4.椭圆 x2 y2 1 的焦点为 F 1 , F 2 ，点P为其上 94