中考数学 圆的综合 综合题含详细答案
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（3）过F作FH⊥BC于H，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到FH= DF= ×6=3，DH=3 ，CH= ，根据三角函数的定义得到tan∠AFE=tan∠C= ；根据相似三角形到现在即可得到结论．
试题解析：（1）连接OD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴ ，
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．
【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3）
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到 ，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由 ，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
由勾股定理得：（3r）2+9=36，
解得：r= ；
（3）①当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG，
②当点F在线段AC的延长线上时，如图4所示，连接DE、DG，
两种情况下GC符号相反，GC2相同，
由勾股定理得：DG2=CD2+CG2，
点G在圆的内部，故：DG2＜r2，
即：
整理得：
解得：
【点睛】
详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
7．
如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝ ，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．
②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；
（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．
【详解】
（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．
∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；
在Rt△BHF中，BF ，
由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，
又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，
∴∠OGB＝∠OCB，
∵∠OFG＝∠CFB，
∴△FGO∽△FCB，
∴ ，
∴GF= ，
∴ = .
(3)过点F作FH⊥AB于点H，
设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，
∵∠COB＝60°，
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；
（2）在（1）的条Fra Baidu bibliotek下，⊙O半径为5．
①若AD为直径，且sinA= ，求BC的长；
②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；
∴OH＝ OF= ，
∴HF＝ ，HB＝OB﹣OH＝k+ ，
在Rt△BHF中，
BF＝ ，
由(2)得：△FGO∽△FCB，
∴ ，即 ，
∴GO ，
过点C作CP⊥BD于点P
∵∠CDB＝30°
∴PC＝ CD，
∵点E是CD中点，
∴DE＝ CD，
∴PC＝DE，
∵DE⊥OE，
∴ = = =
【点睛】
圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得 的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出 的值．
∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴ ，∴ ，∴d2﹣b2=ab+cd．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
2．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
∴FH= DF= =3，DH=3 ，
∴CH= ，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠C= ；
∵∠4=∠2．∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴ ，
∵∠5=∠5，∠3=∠2，
∴△ADF∽△FDG，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴DG= ．
点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.
5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF= ，求⊙O的半径．
在Rt△OCH中，CH= OC= ，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB= ×5+ ×5×5= ．
故答案为： 或 ；
（3）延长DC，AB交于点E．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A= ∠ABC．
∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c．
6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线DC于点F，过F作FG⊥EF交直线BC于点G，设⊙D的半径为r．
（1）求证AE＝EF；
（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；
（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF= ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是 上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若 ＝k，求 的值．（用含k的式子表示）
【答案】(1)∠DGE＝60°；(2) ；(3) = .
【详解】
解：(1)∵BC＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝ ∠COB＝30°，
∵OC＝OD，点E为CD中点，
∴OE⊥CD，
∴∠GED＝90°，
∴∠DGE＝60°；
(2)过点F作FH⊥AB于点H
设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3
∵∠COB＝60°
∴OH＝ OF＝1，
∴HF＝ OH＝ ，HB＝OB﹣OH＝2，
（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：设圆的半径为r；
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，
而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，
∴AE=EF；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F
∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，
∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．
Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB= ∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
【解析】
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．
如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．
∴OD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，
∵ ，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED，
∴△AED∽△DFC，
∴ ，即 ，
∴DE2=36，
∴DE=6；
（3）过F作FH⊥BC于H，
∵∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．
∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3× ×52= ．
Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．
（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．
【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，② 或 ；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；
（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；
（2）①连接BD．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A= ，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．
由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；
②若∠ADC=60°时．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO= ∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．
连接AC，∴∠DAC= ∠BAD=15°．
∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．
过点C作CH⊥OB于H．
（2）连接OA，OB．
∵AC=3，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴圆的半径是3，
∴圆的面积是S=πr2=9π．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；
【答案】(1)见解析,(2)r= ,(3)
【解析】
【分析】
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；
试题解析：（1）连接OD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴ ，
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．
【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3）
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到 ，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由 ，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
由勾股定理得：（3r）2+9=36，
解得：r= ；
（3）①当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG，
②当点F在线段AC的延长线上时，如图4所示，连接DE、DG，
两种情况下GC符号相反，GC2相同，
由勾股定理得：DG2=CD2+CG2，
点G在圆的内部，故：DG2＜r2，
即：
整理得：
解得：
【点睛】
详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
7．
如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝ ，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．
②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；
（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．
【详解】
（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．
∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；
在Rt△BHF中，BF ，
由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，
又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，
∴∠OGB＝∠OCB，
∵∠OFG＝∠CFB，
∴△FGO∽△FCB，
∴ ，
∴GF= ，
∴ = .
(3)过点F作FH⊥AB于点H，
设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，
∵∠COB＝60°，
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；
（2）在（1）的条Fra Baidu bibliotek下，⊙O半径为5．
①若AD为直径，且sinA= ，求BC的长；
②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；
∴OH＝ OF= ，
∴HF＝ ，HB＝OB﹣OH＝k+ ，
在Rt△BHF中，
BF＝ ，
由(2)得：△FGO∽△FCB，
∴ ，即 ，
∴GO ，
过点C作CP⊥BD于点P
∵∠CDB＝30°
∴PC＝ CD，
∵点E是CD中点，
∴DE＝ CD，
∴PC＝DE，
∵DE⊥OE，
∴ = = =
【点睛】
圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得 的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出 的值．
∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴ ，∴ ，∴d2﹣b2=ab+cd．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
2．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
∴FH= DF= =3，DH=3 ，
∴CH= ，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠C= ；
∵∠4=∠2．∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴ ，
∵∠5=∠5，∠3=∠2，
∴△ADF∽△FDG，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴DG= ．
点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.
5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF= ，求⊙O的半径．
在Rt△OCH中，CH= OC= ，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB= ×5+ ×5×5= ．
故答案为： 或 ；
（3）延长DC，AB交于点E．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A= ∠ABC．
∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c．
6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线DC于点F，过F作FG⊥EF交直线BC于点G，设⊙D的半径为r．
（1）求证AE＝EF；
（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；
（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF= ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是 上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若 ＝k，求 的值．（用含k的式子表示）
【答案】(1)∠DGE＝60°；(2) ；(3) = .
【详解】
解：(1)∵BC＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝ ∠COB＝30°，
∵OC＝OD，点E为CD中点，
∴OE⊥CD，
∴∠GED＝90°，
∴∠DGE＝60°；
(2)过点F作FH⊥AB于点H
设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3
∵∠COB＝60°
∴OH＝ OF＝1，
∴HF＝ OH＝ ，HB＝OB﹣OH＝2，
（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：设圆的半径为r；
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，
而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，
∴AE=EF；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F
∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，
∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．
Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB= ∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
【解析】
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．
如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．
∴OD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，
∵ ，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED，
∴△AED∽△DFC，
∴ ，即 ，
∴DE2=36，
∴DE=6；
（3）过F作FH⊥BC于H，
∵∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．
∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3× ×52= ．
Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．
（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．
【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，② 或 ；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；
（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；
（2）①连接BD．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A= ，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．
由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；
②若∠ADC=60°时．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO= ∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．
连接AC，∴∠DAC= ∠BAD=15°．
∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．
过点C作CH⊥OB于H．
（2）连接OA，OB．
∵AC=3，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴圆的半径是3，
∴圆的面积是S=πr2=9π．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；
【答案】(1)见解析,(2)r= ,(3)
【解析】
【分析】
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；