中国科学技术大学812概率论与数理统计历年考研试题
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1.doc
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28 (08年)设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布P{X=i}= (i=一1，0，1)，Y的概率密度为fY(y)= 记Z=X+Y． (Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)．
29 (09年)袋中有1个红球、2个黑球与3个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．
10 (11年)设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是
（A）f1(x)f2(x)。
（B）2f2(x)F1(x)．
（C）f1(x)F2(x)．
（D）f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．
11 (12年)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=
（A）0．
（B）1．
（C）2．
（D）3．
8 (10年)设随机变量X的分布函数F(x)= ，则P{X=1}=
9 (10年)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[一1，3]上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则a，b应满足
（A）2a+3b=4．
（B）3a+2b=4．
（C）a+b=1．
（D）a+b=2．
20 (05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=________
21 (06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1=_______
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
考研数学二(概率论与数理统计)-试卷6
考研数学二（概率论与数理统计）-试卷6(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B，C( )（分数：2.00）A.A∪B．B.A—B．C.AB．√解析：解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.3.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．D.P(A一B)=P(A)．√解析：解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)4.对于任意两个随机事件A和B，则( )．（分数：2.00）A.如果A，B一定独立．B.如果A，B有可能独立．√C.如果A，B一定独立．D.如果A，B一定不独立．解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠．反之，如果，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．5.设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有( )（分数：2.00）A.P(A∪B)=P(B)．B.P(A一B)=P(B)．C.P(B一A)=P(B)．D.P(AB)=P(B)．√解析：解析：因为A A∪B，P(A)=1，从而P(A∪B)=1，而B为任意事件，所以选项(A)不正确；又P(A一B)==1一P(B)，所以选项(B)不正确；P(B—=0，而B为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选D．注：如果知道结论“概率为0或1的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项．6.设随机事件A，B满足( )（分数：2.00）A.A∪B=n．√D.P(A—B)=0．解析：解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能说明A∪B=Ω，故选项(A)不正确；同样P(AB)=0，也不能说明AB=，故选项(B)不正确；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以选项(D)不正确；=1—P(AB)=1，故应选C．7.设A和B为随机事件，则P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）．B.A=B．C.P(B一A)=0．√．解析：解析：因为P(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，从而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此应选C．8.设A、B是两个随机事件，且P(C｜AB)=1，则正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)=P(AB)．C.P(C)=P(A∪B)．D.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√解析：解析：因为P(C｜AB)==1，从而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又C，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此选(D)．9.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜，则( )（分数：2.00）A.事件A和B互不相容．B.事件A和B互相对立．C.事件A和B互不独立．D.事件A和B相互独立．√10.已知A，B，C三个事件中，A与B相互独立，且P(C)=0（分数：2.00）A.相互独立．√B.两两独立，但不一定相互独立．C.不一定两两独立．D.一定不两两独立．解析：解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件A，B，C一定相互独立．11.设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：事实上，，因此应选B．注：由已知条件，只能得到是不一定相互独立的，而不能确定一定不独立，事实上如果)=0或1，则二者就是相互独立的．12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，则在试验成功2次前已经失败3次的概率为( )（分数：2.00）A.4p 2 (1-p) 3．√B.4p(1-p) 3．C.10p 2 (1-p) 3．D.p 2 (1-p) 3．解析：解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功2次前已经失败3次”是指“试验进行5次，第5次是第2次成功”，相当于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是独立重复试验，故所求概率为C 41 p(1-p) 3 p=4p 2 (1-p) 3，应选A．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知A，B是任意两个随机事件，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件．14.随机地向半圆0＜y＜(a＞0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于”，如图1—4所示，事件A对应图中区域D，则P(A)=15.设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=，且已知P(A)= 1。
2012中科大统计学考研真题
2012中科大统计学考研真题哎呀，说到 2012 中科大统计学考研真题，那可真是让当年的考生们又爱又恨呀！我还记得之前有个学生跟我讲过他准备考中科大统计学研究生的那段经历。
这孩子叫小李，特别勤奋努力。
他决定考研之后，那真是全身心投入，天天泡在图书馆里。
他跟我说，当他第一次拿到 2012 中科大统计学考研真题的时候，心里那叫一个紧张。
他小心翼翼地翻开试卷，就像打开一个神秘的宝藏盒子，不知道里面藏着怎样的挑战。
咱们先来看看这真题里的知识点。
有概率论方面的，那些概率分布的问题，就像是一个个调皮的小精灵，藏在题目里，等着你去发现它们的规律。
比如说，有一道题是关于正态分布的，要求计算某个区间的概率，这可就需要考生对正态分布的特性了如指掌，稍微一迷糊，就容易出错。
还有统计推断的题目，这部分可不好对付。
像假设检验，那一个个假设，就像一道道关卡，你得判断到底是接受还是拒绝，稍有不慎，就可能陷入误区。
记得有一道题，给出了一组数据，让判断在某个置信水平下，能否拒绝原假设。
这可不仅仅是计算的问题，更考验考生对概念的理解和运用。
再说说回归分析的部分。
这部分的真题那真是需要考生有清晰的思路。
比如说，有一道题是关于多元线性回归的，要求分析各个自变量对因变量的影响。
这就像是在解一个复杂的谜题，你得找出每个线索之间的关系，才能得出正确的答案。
小李当时做这些真题的时候，那是抓耳挠腮啊。
有时候一道题想半天也想不出来，急得他直跺脚。
但是他也不放弃，一遍一遍地看教材，找相关的例题，一点点地琢磨。
我跟你们说，数学统计的真题里，还会有一些实际应用的题目。
就像让你根据一组市场调查的数据，进行分析和预测。
这就要求考生不仅要掌握理论知识，还得能把它们运用到实际中去。
这可难倒了不少同学呢。
总的来说，2012 中科大统计学考研真题真的是对考生综合能力的一次大考。
它既考查了基础知识的掌握程度，又检验了考生运用知识解决实际问题的能力。
就像小李，经过不断地努力和钻研，最终在考场上发挥出了自己的水平。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则A．p随着μ的增加而增加．B．p随着σ的增加而增加．C．p随着μ的增加而减少．D．p随着σ的增加而减少．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．(97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X—Y不相关的充分必要条件为A．E(X)=E(Y)B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2C．E(X2)=E(Y2)D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计4．(01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．(04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为A．fX(x)．B．fY(y)．C．fX(x)fY(y)．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计7．(08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X—1}=1B．P{Y=2X一1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=A．EU.EV．B．EX.EY．C．EU.EY．D．EX.EV．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．正确答案：1；涉及知识点：概率论与数理统计11．(90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X 一2，则EZ=______．正确答案：4．涉及知识点：概率论与数理统计12．(91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．正确答案：0．2．涉及知识点：概率论与数理统计13．(92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______正确答案：18．4．涉及知识点：概率论与数理统计15．(96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计18．(10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计19．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ3+μσ2．涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
中科大概率论与数理统计复习与期末试题(2012)
一.填空判断选择题(每题 3分，答题请写在试卷上):
1 掷3 个假 子 ， 恰 好 有 两 枚 点 数相 同 的 概 率 为
= 2 设 Xl ， ' " ， Xn 为相 互 独 立 的 N (O， (72) 变 量 ， 其 中 σ2 未 知 令x = 士 艺二I X i , S 2
~L:1Xf ， 则 立 的 分 布为
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二· (15分)(l)098x?那弘99%= 些岛.3311 (2)09831需出izx99%= 0.9604
• 三叫(阳时称性， X平时相同的边际密度 ， f(
(2) 显 然X 和Y 不独 立 ， 不相 关 .
{ ~丁;: 一 l < x < O O<x<l
四· (Ui分 ) (1) ;U = 啡2 ; p= 呼 ， 其 中x= 川 2·t l h ; (2) 由 于 Eu} = up , Eon') = 2np, En3 = n(l - 3叫 ， 故 知卢耳IIp均 沟 x 偏 估 计 ， 容 易 得 到 υω1' (豆) =:: 咛且，而val'伊)=半，于是由叫) <叫知似然估计卢更有效
x2 = (279 - 444 * 577/980)2/(444 * 577/980) + (73 …120 牢577/980)2月120 * 577/980) 十 ( 225 - 577 * 416/980)2/(577 * 416/980) + (165 - 403 '" 444/980)2/(403 * 444/980) +(47 - 120 *403/980)2/ (120 非403/980) + (191 - 403 * 416/980)2/(403 * 416/980)
中国科大概率论与数理统计试卷(全)
（1）取得红笔的概率；
（2）在已知取得红笔的条件下，问笔从哪个盒子中取出的概
率最大？
五、某工厂生产线甲根据专利生产灯泡，生产线乙根据本厂原有技术生产。现分别在生
产线甲和乙两条生产线各抽取 8 个灯泡，测得其寿命分别为（千小时）
：
对生产线甲：10，9，3，11，5，7，9，11；
一、判断和填空：
（1） 设 P(A)=0，则 A 为不可能事件。
（2） 设(X,Y)服从二元正态，Cov(X,Y)=0,则 X、Y 相互独立。
（3） 设 X、Y 相互独立，则 X、Y 的联合分布可以由 X 和 Y 的边缘分布唯一确
定。
（4） 设 1 , ⋯ , 为 从 同 一 个 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本 ， 则 (1 , ⋯ , ) −
(1 , ⋯ , )+3 是统计量。
（5） 设θ > 0，X 的概率分布函数为：
() = �
−
�
, ≥
, <
1 − �−
0
则随机变量 X 的密度函数为（）
。
2
2
（6） 设 X、Y 服从单位圆 + ≤ 1上的均匀分布，则在给定 Y=0.5 条件下的
性和相关性。
三、在一家保险公司里有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一
个人死亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向保险公司领取 1000 元的保险金，问：
(1) 保险公司亏本的概率多大？
(2) 保险公司一年的利润不少于 40000 元、60000 元的概率各多大？
四、设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是从总体 X 中抽取的一个简单随机样本，已知 X 的概率密度函
考研概率论试题及答案
考研概率论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)的值是：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.3446D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=1)=0.2，则λ的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 5答案：A3. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，则E(X)的值是：A. 3B. 2.1C. 2.7D. 3.3答案：B4. 设随机变量X服从均匀分布U(0,θ)，若P(X > θ/2)=1/4，则θ的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，若P(X >μ+2σ)=0.0228，则P(X < μ-2σ)=_________。
答案：0.02282. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，若n=20，p=0.4，则P(X ≥ 10)=_________。
答案：0.95123. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x;λ)=λe^(-λx)，x≥0，则E(X)=_________。
答案：1/λ4. 设随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=p(1-p)^(k-1)，k=1,2,...，若p=0.3，则P(X=3)=_________。
答案：0.0243三、计算题（每题10分，共20分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P(X=2)=0.3456，求λ的值。
答案：λ=32. 设随机变量X服从参数为θ的均匀分布U(0,θ)，已知P(X >θ/3)=1/6，求θ的值。
答案：θ=3四、解答题（每题15分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，已知n=30，p=0.2，求P(X ≥ 5)。
答案：P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - (C(30,0)*0.2^0*0.8^30 + C(30,1)*0.2^1*0.8^29 + C(30,2)*0.2^2*0.8^28 +C(30,3)*0.2^3*0.8^27 + C(30,4)*0.2^4*0.8^26) ≈ 0.84682. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知μ=50，σ=10，求P(40 < X < 60)。
12-13I 概率论与数理统计试卷(A)48学时参考答案
FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X
将 FY ( y) 关于 y 求导数，即得 Y 的概率密度为
0 5 5 5 1 5 4 5
2、10 张彩票中有 5 张是有奖彩票。从中任意抽取 5 张，其中至少有两张中奖
C C CC 113 的概率为 1 5 5 或 ； 126 C10 C10 X 1, X 0, 3、设随机变量 X ~ U (1,2) ，令 Y ，则 Y 的分布律为 pk 1, X 0.
Y 的边缘分布律为
Y
p j
2
1
3 8
0
1
3 8
(3)
P{1
X
7 } 2
7 F ( ) F (1) 2
41 48
„„（2 分）
1 4
3 1 3 0 1 0 8 4 8 3 1 3 同理， E Y 1 0 1 0 8 4 8 1 1 1 E XY 1 0 1 0 4 2 4
f x, k 6 x y 0 x 2, 2 y 4 y 其它 0
1.5) .
1 e z f Z ( z ) (e 1)e z 0
阅卷教师 得 分
, 0 z 1， , 1 z， , 其他.
„„„„„„（2 分）
1 1
1 3 2 3
X i ，则根据列维- 林德柏格中心
X 2 , , X n
极限定理，当 n 充分大时， S n 近似服从正态分布，只须 X 1 ,
概率与数理统计历届考研真题（数一、数三、数四）
概率与数理统计历届考研真题（数⼀、数三、数四）概率与数理统计历届真题第⼀章随机事件和概率数学⼀：15（99，3分）设两两相互独⽴的三事件A ，B 和C 满⾜条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<21，且已知169)(=C B A P ，则P （A ）= 。
16（00，3分）设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为91，A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则P （A ）=。
17（06，4分）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ?> （B ）()().P A B P B ?>（C ）()().P A B P A ?=（D ）()().P A B P B ?=数学三：19（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显⽰温度的误差是随机的。
在使⽤过程中，只要有两个温控器显⽰的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。
以E 表⽰事件“电炉断电”，⽽)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显⽰的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（A ）}{0)1(t T ≥ （B ）}{0)2(t T ≥ （C ）}{0)3(t T ≥（D ）}{0)4(t T ≥[]20（03，4分）将⼀枚硬币独⽴地掷两次，引进事件：1A ={掷第⼀次出现正⾯}，2A ={掷第⼆次出现正⾯}，3A ={正、反⾯各出现⼀次}，4A ={正⾯出现两次}，则事件（A ）321,,A A A 相互独⽴。
（B ）432,,A A A 相互独⽴。
（C ）321,,A A A 两两独⽴。
（D ）432,,A A A 两两独⽴。
第⼆章随机变量及其分布数学⼀：7（02，3分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσµN ，且⼆次⽅程042=++X y y ⽆实根的概率为21。
数理统计与概率论--历年考研真题汇总
第一章 概率论基础1、（2002，数四，8分）设B A 、是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)()(A B p A B p =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件=1A “掷第一次出现正面”，=2A “掷第二次出现正面”， =3A “正、反面各出现一次”， =4A “正面出现两次”，则事件（ ）（A ）321,,A A A 相互独立。
（B ）432,,A A A 相互独立。
（C ）321,,A A A 两两独立。
（D ）432,,A A A 两两独立。
3、（2003，数四，4分）对于任意二事件A 和B ，则（A ）若φ≠AB ,则B A 、一定独立；（B ）若φ≠AB ,则B A 、有可能独立；（C ）若φ=AB ,则B A 、一定独立；（D ）若φ=AB ,则B A 、一定不独立；4、（2006，数一，4分）设B A 、为两个随机事件,且,1)(,0)(=>B A p B p 则必有 （A ）)()(A p B A p >⋃ （B ）)()(B p B A p >⋃（C ）)()(A p B A p =⋃ （D ）)()(A p B A p =⋃第二章 随机变量及其分布1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 中任取一个数，记为Y ，则==}2{Y p 。
2、（2003，数三，13分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0]8,1[ ,31)(32x x x f ，)(x F 是X 的分布函数。
求随机变量)(X F Y =的分布函数。
3、（2006，数一，4分）随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则=≤)1},(max{Y X P 。
20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为 。
中国科学技术大学概率论与数理统计试卷及答案
（1） 是否可以认为������������12 = ������������22？（������������ = 0.05） （2） 钢铁工人平均工资是否低于电厂工人平均工资？（������������ = 0.05）
中国科学技术大学
2003—2004 学年第二学期考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
������������(������������;
������������)
=
1 2
������������ , −������������−2������������
(������������
>
������������;
������������
∈
������������)
（1） 试求������������的矩估计�������������和极大似然估计������������∗； （2） 验证�������������和������������∗是否为������������的无偏估计，若不是无偏估计，试将其分别修正为无偏估
二、某种商品一周的需求量是个随机变量，其概率密度为：
������������(������������)
=
����0���������������,������
−������������
,
������������ ������������
> ≤
0 0
各周的需求量相互独立，试求：
（1） 两周需求量的概率密度；
（2） 三周需求量的概率密度。
三、利用中心极限定理求解： （1）设计算机在进行加法运算时，每次取整的误差相互独立，且服从[-0.5,0.5]上的均
匀分布，若要保证误差总和的绝对值不超过 20 的概率大于或者等于 0.95，问至多只 能进行多少次加法运算？
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理
第3章 数字特征1． （1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案 填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2． （1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4]3． （1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。
解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4． （1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。
[答案 填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）.[答案 填：34]6． （1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。
中科大中国科学技术大学 2016-2017 春季学期概率论
张桐*
一、（10 分）随机变量 X, Y 分别服从参数为 2,4 的指数分布，求 E(X + Y ), E(2X − 3Y 2)； 二、（10 分）设随机变量 X1, X2.X3 两两的相关系数分别是 ρ12, ρ23, ρ31，证明：
时，{Xn}
不服从弱大数律。
*mail:zt001062@ phone:18856017324
ρ212 + ρ223 + ρ231 ≤ 1 + 2ρ12ρ23ρ31
120
三（、15 分）X = (X1, X2, X3) 服从多元正态分布 N (a, Σ)，其中 a = (0, 1, 2)，Σ = 2 5 0
004
（1）求 Y = (X1 + X3, 2X1 + X2) 的联合分布； （2）计算 E(2X1 + X2|X1 + X3)；
四、（10 分）(X, Y ) 是连续型随机向量，X 的边缘密度函数 pX (x) = λ2xe−λx, x ≥ 0，Y 服 从 U (0, X) 分布，求 Y 的密度函数。
五、（10 分）{Xn} 是独立同分布的随机变量序列，均服从 [0, θ] 上的均匀分布，Yn =
max1≤kΒιβλιοθήκη n Xk ，证明：对∀ϵ>
0,
lim
n→+∞
P
(|Yn
−
θ|
<
ϵ)
=
1
六、（15 分）随机变量序列 {Xn} 依分布收敛于随机变量 X，{Yn} 依概率收敛于非零常数
a，Yn
̸=
0，证明：
Xn Yn
中国科学技术大学考研真题—中国科学技术大学
中国科学技术大学人文学院高等数学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1993——2005（1993——2004有答案）管理学院西方经济学（中国科学技术大学命题试卷）1994——1998（1996—1997有答案）（注：1997年的答案共4页，缺P3-P4）概率统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2007（2004——2007有答案）概率论与数理统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（2008有答案）数学系数学分析（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000，2008（注：2008年试卷为回忆版）数学分析（中国科学技术大学命题试卷）1993，1996——1998高等代数（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（注：2008年试卷为回忆版）线性代数（中国科学技术大学命题试卷）1997——1999物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 半导体材料（半导体研究所命题试卷）1996，1998，2000——2001（1996，2000有答案）半导体材料物理（半导体研究所命题试卷）2002——2003半导体集成电路（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2004（2002有答案）半导体模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1995——1996，1998（1996，1998，1999有答案）模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1997（1997有答案）半导体物理（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（中国科学院、半导体研究所、中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002，2004（1997——2002有答案）半导体物理[试卷抬头标注为中国科学院微电子中心命题试卷]2004原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）化学物理系物理化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1987，1995——2008（1995——2008有答案）物理化学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）物理化学（C）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004无机化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2008（2001，2003——2008有答案）普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）近代物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 电动力学（中国科学院命题试卷）1998电动力学（中国科学技术大学命题试卷）1999电动力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002电动力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）电动力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005电子学基础（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005，2008（2004——2005，2008有答案）原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）力学和机械工程系理论力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2005理论力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2005机械设计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2005——2008有答案）电子工程与信息科学系信号与系统（中国科学技术大学命题试卷）1990——1999（1996——1999有答案）（另：有《信号与系统》期末考试试题11份，每份3元。