2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)
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二、填空题
4．函数 的最小正周期是_________.
【答案】
【解析】直接由周期公式得解。
【详解】
函数 的最小正周期是：
故填：
【点睛】
本题主要考查了 的周期公式，属于基础题。
5．已知点P 在角 的终边上,则 _______.
【答案】0
【解析】求出 到原点的距离 ，利用三角函数定义得解。
【详解】
设 到原点的距离 ，则
【名师点睛】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x，利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋ (k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)得其对称轴．
15．已知 是定义在R上的奇函数，且 时， 单调递增，已知 设 集合 集合 则 ________.
9．若 则化简 _______.
【答案】0
【解析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。
【详解】
由题可得： ， ，
因为 所以 ，所以
所以
【点睛】
本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
10．已知 则 _______.
【答案】
【解析】将 整理成 ，问题得解。
当 时， ， ，
满足 .
所以 的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了因式分解及转化能力，考查三角函数的基本性质，还考查了分类思想，属于中档题。
14．已知 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 ______．
【答案】
【解析】试题分析：由题意 是函数 的最小值点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ．
【考点】三角函数的周期，对称性．
记 ，令 ，则 ,且 ，代入得：
，当且仅当 时，等号成立。
所以 ，
所以 ，
所以
【点睛】
本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题。
16．如图所示，在平面直角坐标系 中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是
【答案】
【解析】由已知可得： 时， ， 时， ，将 转化成 或 ，即可将 转化成： ，即可转化成： 成立，令 ，整理得： ，再利用基本不等式即可得解。
【详解】
因为 是定Βιβλιοθήκη Baidu在R上的奇函数， 时， 单调递增,且
所以 时， ， 时， ，
所以 可化为： 或 ，
所以集合 可化为：
集合 ，
所以
即： 恒成立.
即： 恒成立，即：
（2）由题可得 在 上单调递增，求得 的增区间为 ，利用 即可求得 ，问题得解。
（3） 的最小正周期为 ，由题可得： 的区间长度满足 ，解不等式即可。
【详解】
（1）由题意，得 ，
解得 ，
又 ，∴ ，
∴ ，
从而 ；
（2）对任意 ，且 ，
，
即 在 上单调递增，
，
易得其单调增区间为 ，由于 ，
∴当 时， ，从而 ，∴实数 的最大值为 ；
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题
一、单选题
1．若 则 在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.
【详解】
由于 ，故角 为第一、第四象限角.由于 ，故角 为第二、第四象限角.所以角 为第四象限角.故选D.
（2）由（1）可得 ，即可求得 ，问题得解。
【详解】
（1）
∴ 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
∴ 的单调递增区间为 ；
（2） ，
∴ .
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式及周期计算，还考查了三角函数的性质及复合函数的单调性规律，还考查了三角函数求值，属于中档题。
20．某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE为盆裁展示区，沿AB、AE修建观赏长廊，四边形BCDE是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD= 米。
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】利用正弦定理化简 得： ，再利用二倍角公式整理得： ，解三角方程即可得解。
【详解】
由正弦定理化简 得： ,
整理得： ，所以
又 ，所以 或 .
所以 或 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。
21．已知函数 其图像的一个对称中心是 将 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像。
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意 当 时，都有 求实数 的最大值；
(3)若对任意实数 在 上与直线 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数 的取值范围。
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）由图像的一个对称中心是 列方程 即可求得 ，即可求得 ，利用平移规律得 ，问题得解。
A．(0,0)B．(0,1)C．(-1,0)D．(0,-1)
【答案】
【解析】由 两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点 所转的弧度，即可确定点 位置.
【详解】
因为点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即 ，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，
【答案】钝角
【解析】整理 得 ，利用 可得 ，问题得解。
【详解】
因为 ，所以 ，
又 ,所以 ，所以
所以 为钝角，故填：钝角
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
8．若 则 ______.
【答案】
【解析】直接由三角函数的诱导公式得解。
【详解】
因为 ，
又 所以
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题。
【详解】
（1）在 中，应用余弦定理，得 米，
∵ 且 ，
∴ ， ，
从而 米，
（2）设 ，则 ，由 为锐角三角形，得
在 中，应用正弦定理，得 ，
∴
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即观赏长廊总长度 的取值范围是 （米）.
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
13．若 则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】对 因式分解可得： ，作出： 的图象，由图解不等式即可。
【详解】
由 可得： ，
整理得： ，
在同一坐标系中作出 的图象如下：
当 时， ， ，
不满足
当 时， ， ，
满足 .
当 时， ， ，
不满足 .
当 时， ， ，满足 .
当 时， ， ，
不满足 .
（3） ，其最小正周期为 ，而区间 的长度为 ，
要满足题意，则 ，∴ ，解得 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题。
【详解】
【点睛】
本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算能力，属于中档题。
18．在△ABC中， 分别为三个内角A、B、C的对边，且
(1)求角A；
(2)若 且 求△ABC的面积。
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）整理 得： ，再由余弦定理可得 ，问题得解。
（2）由正弦定理得： ， ， ，再代入 即可得解。
所以此时点 所转过的弧度为 ，
由终边相同的角的概念可知， 与 终边相同，所以此时点 位于y轴上，故点P的坐标为 .
答案为
【点睛】
本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点 位置，即可求解，属于基础题型.
三、解答题
17．已知 求 的值。
【答案】
【解析】将 变成 ，利用两角和的正切公式展开，将 代入即可得解。
【答案】
【解析】由 整理可得： ，由此可得 ，对 消元可得： ，令 ，把问题转化成函数 ， 值域问题，从而得解。
【详解】
由 得：
解得： .
=
令 ， ，
，
当 时， ，
当 时， .
所以 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，考查了二次函数的性质及换元法，考查计算能力，属于中档题。
【详解】
因为
.
将 代入上式可得：
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。
11．方程 的实数根的个数是______.
【答案】6
【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．
12．若 则 的取值范围是________.
(1)求两区域边界BE的长度；
(2)若区域ABE为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB+AE的取值范围。
【答案】（1）6米；（2）观赏长廊总长度 的取值范围是 （米）.
【解析】（1）在 中应用余弦定理求得 米，利用已知即可求得 ，解三角形即可.
（2）设 ，由正弦定理即可表示出 ，化简得： ，结合 即可求得 .
【点睛】
本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.
2．函数 的部分图像如图,则 可以取的一组值是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：∵ ，∴ ， ，又由 得 .
3．在△ABC中, 分别为三个内角A、B、C的对边,若 则△ABC的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
所以 ， ，
所以
【点睛】
本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．
【答案】
【解析】由题意 或 ，则圆心角是 ，应填答案 。
7．在△ABC中,若 则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.
【详解】
（1）由题意，得 ，
∴ ；
（2）由正弦定理，得 ，
,
∴ .
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题。
19．已知函数
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）化简 得： ，利用周期公式即可求得周期为 ，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得 的单调递增区间.
4．函数 的最小正周期是_________.
【答案】
【解析】直接由周期公式得解。
【详解】
函数 的最小正周期是：
故填：
【点睛】
本题主要考查了 的周期公式，属于基础题。
5．已知点P 在角 的终边上,则 _______.
【答案】0
【解析】求出 到原点的距离 ，利用三角函数定义得解。
【详解】
设 到原点的距离 ，则
【名师点睛】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x，利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋ (k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)得其对称轴．
15．已知 是定义在R上的奇函数，且 时， 单调递增，已知 设 集合 集合 则 ________.
9．若 则化简 _______.
【答案】0
【解析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。
【详解】
由题可得： ， ，
因为 所以 ，所以
所以
【点睛】
本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
10．已知 则 _______.
【答案】
【解析】将 整理成 ，问题得解。
当 时， ， ，
满足 .
所以 的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了因式分解及转化能力，考查三角函数的基本性质，还考查了分类思想，属于中档题。
14．已知 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 ______．
【答案】
【解析】试题分析：由题意 是函数 的最小值点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ．
【考点】三角函数的周期，对称性．
记 ，令 ，则 ,且 ，代入得：
，当且仅当 时，等号成立。
所以 ，
所以 ，
所以
【点睛】
本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题。
16．如图所示，在平面直角坐标系 中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是
【答案】
【解析】由已知可得： 时， ， 时， ，将 转化成 或 ，即可将 转化成： ，即可转化成： 成立，令 ，整理得： ，再利用基本不等式即可得解。
【详解】
因为 是定Βιβλιοθήκη Baidu在R上的奇函数， 时， 单调递增,且
所以 时， ， 时， ，
所以 可化为： 或 ，
所以集合 可化为：
集合 ，
所以
即： 恒成立.
即： 恒成立，即：
（2）由题可得 在 上单调递增，求得 的增区间为 ，利用 即可求得 ，问题得解。
（3） 的最小正周期为 ，由题可得： 的区间长度满足 ，解不等式即可。
【详解】
（1）由题意，得 ，
解得 ，
又 ，∴ ，
∴ ，
从而 ；
（2）对任意 ，且 ，
，
即 在 上单调递增，
，
易得其单调增区间为 ，由于 ，
∴当 时， ，从而 ，∴实数 的最大值为 ；
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题
一、单选题
1．若 则 在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.
【详解】
由于 ，故角 为第一、第四象限角.由于 ，故角 为第二、第四象限角.所以角 为第四象限角.故选D.
（2）由（1）可得 ，即可求得 ，问题得解。
【详解】
（1）
∴ 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
∴ 的单调递增区间为 ；
（2） ，
∴ .
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式及周期计算，还考查了三角函数的性质及复合函数的单调性规律，还考查了三角函数求值，属于中档题。
20．某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE为盆裁展示区，沿AB、AE修建观赏长廊，四边形BCDE是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD= 米。
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】利用正弦定理化简 得： ，再利用二倍角公式整理得： ，解三角方程即可得解。
【详解】
由正弦定理化简 得： ,
整理得： ，所以
又 ，所以 或 .
所以 或 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。
21．已知函数 其图像的一个对称中心是 将 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像。
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意 当 时，都有 求实数 的最大值；
(3)若对任意实数 在 上与直线 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数 的取值范围。
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）由图像的一个对称中心是 列方程 即可求得 ，即可求得 ，利用平移规律得 ，问题得解。
A．(0,0)B．(0,1)C．(-1,0)D．(0,-1)
【答案】
【解析】由 两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点 所转的弧度，即可确定点 位置.
【详解】
因为点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即 ，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，
【答案】钝角
【解析】整理 得 ，利用 可得 ，问题得解。
【详解】
因为 ，所以 ，
又 ,所以 ，所以
所以 为钝角，故填：钝角
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
8．若 则 ______.
【答案】
【解析】直接由三角函数的诱导公式得解。
【详解】
因为 ，
又 所以
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题。
【详解】
（1）在 中，应用余弦定理，得 米，
∵ 且 ，
∴ ， ，
从而 米，
（2）设 ，则 ，由 为锐角三角形，得
在 中，应用正弦定理，得 ，
∴
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即观赏长廊总长度 的取值范围是 （米）.
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
13．若 则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】对 因式分解可得： ，作出： 的图象，由图解不等式即可。
【详解】
由 可得： ，
整理得： ，
在同一坐标系中作出 的图象如下：
当 时， ， ，
不满足
当 时， ， ，
满足 .
当 时， ， ，
不满足 .
当 时， ， ，满足 .
当 时， ， ，
不满足 .
（3） ，其最小正周期为 ，而区间 的长度为 ，
要满足题意，则 ，∴ ，解得 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题。
【详解】
【点睛】
本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算能力，属于中档题。
18．在△ABC中， 分别为三个内角A、B、C的对边，且
(1)求角A；
(2)若 且 求△ABC的面积。
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）整理 得： ，再由余弦定理可得 ，问题得解。
（2）由正弦定理得： ， ， ，再代入 即可得解。
所以此时点 所转过的弧度为 ，
由终边相同的角的概念可知， 与 终边相同，所以此时点 位于y轴上，故点P的坐标为 .
答案为
【点睛】
本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点 位置，即可求解，属于基础题型.
三、解答题
17．已知 求 的值。
【答案】
【解析】将 变成 ，利用两角和的正切公式展开，将 代入即可得解。
【答案】
【解析】由 整理可得： ，由此可得 ，对 消元可得： ，令 ，把问题转化成函数 ， 值域问题，从而得解。
【详解】
由 得：
解得： .
=
令 ， ，
，
当 时， ，
当 时， .
所以 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，考查了二次函数的性质及换元法，考查计算能力，属于中档题。
【详解】
因为
.
将 代入上式可得：
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。
11．方程 的实数根的个数是______.
【答案】6
【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．
12．若 则 的取值范围是________.
(1)求两区域边界BE的长度；
(2)若区域ABE为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB+AE的取值范围。
【答案】（1）6米；（2）观赏长廊总长度 的取值范围是 （米）.
【解析】（1）在 中应用余弦定理求得 米，利用已知即可求得 ，解三角形即可.
（2）设 ，由正弦定理即可表示出 ，化简得： ，结合 即可求得 .
【点睛】
本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.
2．函数 的部分图像如图,则 可以取的一组值是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：∵ ，∴ ， ，又由 得 .
3．在△ABC中, 分别为三个内角A、B、C的对边,若 则△ABC的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
所以 ， ，
所以
【点睛】
本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．
【答案】
【解析】由题意 或 ，则圆心角是 ，应填答案 。
7．在△ABC中,若 则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.
【详解】
（1）由题意，得 ，
∴ ；
（2）由正弦定理，得 ，
,
∴ .
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题。
19．已知函数
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）化简 得： ，利用周期公式即可求得周期为 ，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得 的单调递增区间.