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[笔记]信号与系统课程要点（吴大正）
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信号与系统第一章 信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。
图解时方法多种，但注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义阶跃函数和冲激函数的导数与积分冲激函数的取样性质)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ分段连续函数的导数计算知道一些常用的信号5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离）由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。
时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统）LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性第二章 连续系统的时域分析1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（奇异函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性2． 冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3． 卷积积分定义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *=卷积的图示解法：步骤、关键点、两个结论卷积的解析解法卷积的代数运算规则3个，物理意义函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解第三章 离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ）2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）；若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系4． 卷积和定义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解法：步骤，注意问题。
郑君里《信号与系统》第3版笔记课后习题考研真题详解
郑君里《信号与系统》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
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第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料第1章信号与系统1.1 复习笔记本章内容是信号与系统分析的基础。
主要介绍了信号的分类和基本运算，学完本章读者要重点掌握的内容有：（1）掌握信号的分类方法及其特点：连续/离散、周期/非周期、奇/偶、能量/功率。
（2）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义及性质。
（3）掌握常见连续/离散信号的波形及其表达式。
（4）掌握信号的时域运算和波形变换方法。
（5）掌握系统互连方法及其特点。
一、连续时间和离散时间信号1连续时间信号和离散时间信号（见表1-1-1）表1-1-1 信号的定义和表示方法图1-1-1 信号的图形表示（a）连续时间信号；（b）离散时间信号2信号能量与功率（见表1-1-2）表1-1-2 能量和功率的计算公式3能量信号和功率信号的特点（见表1-1-3）表1-1-3 能量信号和功率信号的特点二、自变量的变换1基本变换（见表1-1-4）表1-1-4 自变量的基本变换2周期信号与非周期信号（见表1-1-5）表1-1-5 周期信号与非周期信号的定义及特点3偶信号与奇信号（见表1-1-6）表1-1-6 偶信号与奇信号的定义及特点【注】任何信号＝偶信号＋奇信号，即x（t）＝E v{x（t）}＋O d{x（t）}，其中E v{x （t）}＝（1/2）[x（t）＋x（－t）]，O d{x（t）}＝（1/2）[x（t）－x（－t）]，E v{x （t）}为x（t）的偶部，O d{x（t）}为x（t）的奇部。
三、指数信号与正弦信号1连续时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-7）表1-1-7 连续时间复指数信号与正弦信号的表达式与特点2离散时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-8）表1-1-8 离散时间复指数信号与正弦信号3离散时间复指数序列的周期性质（1）离散时间指数信号的周期性的要求为了使信号是周期的，周期为N＞0，就必须有，也就是要求ω0N必须是2π的整数倍，即必须有一个整数m，满足：ω0N＝m2π或ω0/（2π）＝m/N。
信号与系统笔记
信号与系统第一章1。
1 连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数连续时间信号在［t1，t2］区间的能量定义为：连续时间信号在［t1,t2］区间的平均功率定义为：离散时间信号在［n1,n2］区间的能量定义为离散时间信号在[n1，n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：连续时间情况下:离散时间情况下:在无限区间内的平均功率可定义为： 21lim 2()TTT P dtTx t ∞-→∞=⎰能量信号——信号具有有限的总能量，即：功率信号—-信号有无限的总能量,但平均功率有限。
即：信号的总能量和平均功率都是无限的。
即:如果信号是周期信号，则或这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征或或如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换1.时移变换当时，信号向右平移时，信号向左平移当时，信号向右平移 时，信号向左平移,0E P ∞∞<∞=,E P ∞∞=∞=∞2。
反转变换信号以t=0为轴呈镜像对称。
与连续时间的情况相同。
3. 尺度变换时，是将在时间上压缩a倍,时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号：周期信号：满足此关系的正实数（正整数)中最小的一个，称为信号的基波周期（）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。
可以视为周期信号,其基波周期。
奇信号与偶信号：对实信号而言：如果有和则称该信号是偶信号。
（镜像偶对称）如果有和则称该信号为奇信号。
(镜像奇对称）对复信号而言：如果有和则称该信号为共轭偶信号.如果有和则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：其中其中对复信号有：其中：其中：1。
3 复指数信号与正弦信号一. 连续时间复指数信号与正弦信号其中C, a 为复数1. 实指数信号：C,a 为实数呈单调指数上升呈单调指数下降。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
信号与系统考研笔记
信号与系统考研笔记一、信号与系统的基本概念1.信号的定义和分类：信号可以分为确定性信号和随机信号，周期信号和非周期信号，连续时间信号和离散时间信号等。
2.系统的定义和分类：系统可以分为线性系统和非线性系统，时不变系统和时变系统，连续时间和离散时间系统等。
3.信号的基本运算：包括信号的加法、减法、乘法、除法等基本运算。
4.系统的基本运算：包括系统的串联、并联、反馈等基本运算。
二、傅里叶变换1.傅里叶级数和傅里叶变换的定义：傅里叶级数用于表示周期信号，而傅里叶变换则用于表示非周期信号。
2.傅里叶变换的性质：包括对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积特性、相关与自相关特性等。
3.傅里叶变换的应用：包括频域分析、系统响应分析、滤波器设计等。
三、拉普拉斯变换和Z变换1.拉普拉斯变换的定义和性质：拉普拉斯变换是用来分析具有无穷大的时间域信号的一种方法。
2.Z变换的定义和性质：Z变换是用来分析离散时间信号的一种方法。
3.拉普拉斯变换和Z变换的应用：包括系统响应分析、控制系统设计等。
四、线性时不变系统1.LTI系统的定义和性质：LTI系统是指具有线性特性和时不变特性的系统。
2.LTI系统的分析和设计：包括系统的频率响应分析、系统稳定性分析、系统均衡和滤波等。
3.LTI系统的状态空间表示：包括状态空间模型的建立、系统的稳定性和可控性分析等。
五、采样定理和离散傅里叶变换1.采样定理的理解和应用：采样定理规定了采样频率和信号带宽之间的关系，对于连续时间信号的离散化采样具有重要意义。
2.DFT的理解和应用：DFT是离散时间信号的一种基本运算，可以用于信号的分析和处理。
3.快速傅里叶变换（FFT）的理解和应用：FFT是一种高效计算DFT的算法，可以大大提高信号处理的速度和效率。
六、信号与系统的应用和实践1.数字信号处理的应用和实践：包括数字滤波器设计、数字波形合成、数字音频处理等。
【信号与系统】复习总结笔记
【信号与系统】复习总结笔记学习笔记（信号与系统）来源：⽹络第⼀章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的基本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来⾃外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进⾏加⼯、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。
2、系统(system)：是指若⼲相互关联的事物组合⽽成具有特定功能的整体。
3、信号的描述——数学描述，波形描述。
信号的分类：1）确定信号（规则信号）和随机信号确定信号或规则信号 ——可以⽤确定时间函数表⽰的信号；随机信号——若信号不能⽤确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
2）连续信号和离散信号连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
3）周期信号和⾮周期信号周期信号——是指⼀个每隔⼀定时间T，按相同规律重复变化的信号；⾮周期信号——不具有周期性的信号称为⾮周期信号。
4）能量信号与功率信号能量信号——信号总能量为有限值⽽信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值⽽信号总能量为⽆限⼤。
5）⼀维信号与多维信号信号可以表⽰为⼀个或多个变量的函数，称为⼀维或多维函数。
6）因果信号若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；⾮因果信号指的是在时间零点之前有⾮零值。
4、信号的基本运算：信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同⼀时刻两信号之值对应相加减乘。
平移:将f(t)→f(t + t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t0< 0，则将f(·)右移,否则左移。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章)【圣才出品】
3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)
（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；
通信原理知识点笔记总结
通信原理知识点笔记总结一、信号与系统1.1 时域和频域时域表示信号随时间的变化，频域表示信号在频率上的特性。
通信系统中的信号通常是在时域和频域上进行分析和处理的。
1.2 信号的分类根据波形和性质，信号可以分为连续信号和离散信号。
连续信号是信号在时间上连续变化的，而离散信号是在某些时刻取特定数值的信号。
1.3 傅里叶变换傅里叶变换是将信号在时域上的波形转换到频域上的表示，可以分析信号的频谱特性。
傅里叶逆变换则是将信号从频域上的表示还原为时域上的波形。
1.4 采样和量化在数字通信中，信号需要经过采样和量化处理，将连续信号转换为离散信号，以便进行数字化处理和传输。
1.5 系统的传递函数系统的传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系，可以用来分析系统的性能和稳定性。
二、模拟调制与解调2.1 模拟调制模拟调制是将数字信号调制成模拟信号，以便在传输过程中减小信号的失真和干扰。
常见的模拟调制方式包括调幅调制（AM）、调频调制（FM）和调相调制（PM）。
2.2 AM调制原理AM调制是通过改变载波的幅度来传输信息，信号可以直接调制到载波上。
2.3 FM调制原理FM调制是通过改变载波的频率来传输信息，信号是通过改变载波的频率来实现。
2.4 PM调制原理PM调制是通过改变载波的相位来传输信息，信号是通过改变载波的相位来实现。
2.5 解调解调是将模拟信号还原成原始数字信号的过程，通常通过相应的解调器实现。
三、数字调制与解调3.1 数字调制数字调制是将数字信号调制成模拟信号的过程，常见的数字调制方式有ASK、FSK和PSK 等。
3.2 ASK调制原理ASK调制是通过改变载波的幅度来传输数字信号，可以通过调制器将数字信号转换为模拟信号。
3.3 FSK调制原理FSK调制是通过改变载波的频率来传输数字信号，可以通过调制器将数字信号转换为模拟信号。
3.4 PSK调制原理PSK调制是通过改变载波的相位来传输数字信号，可以通过调制器将数字信号转换为模拟信号。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第12章 系统的状态变量分析【圣才出
台
d dt
2
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
y t
3 t cy t
c a
dvC1 t
dt
dvC2 t
dt
R0 R1
R0 R2
vC1 t vC1 vC2 t vC
t vC2 t et 2 t vC1 t e t
将状态变量 λ1（t）＝vC1（t），λ2（t）＝vC2（t）及各参数代入上述方程组，得
&1 t 21 t 2 t et &2 t 1 t 22 t et
12.1 复习笔记
一、状态变量分析法基本概念（见表 12-1-1） 优点：①有效处理多输入—多输出系统；②有利于分析系统内部特性。
表 12-1-1 状态变量分析法基本概念
二、连续系统与离散系统状态方程的建立 如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合， 方程形式与建立方法如表 12-1-2 所示。
0 2
，
B
1 1
，C
1
1。
12-3 给定系统微分方程表达式如下
a
d3 dt 3
y t b
d2 dt 2
y t c
d dt
y t
dy t
0
选状态变量为
1 t ay t
2
t
a
d dt
y t
by
t
3
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
Hale Waihona Puke y t cy t 输出量取 r t dy t 。
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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 傅里叶变换【圣才出品】
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5） 表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱 设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。 为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。 若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二 次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
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3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。
信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier
信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier定义: 在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 区间的两个函数φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t )\varphi_2(t) φ2(t), 若满足∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0)\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0,(两函数的内积为0)则称φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t) 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 内正交•实函数正交∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) d t =0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0,(两函数的内积为0)•正交函数集: 若 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 构成一个函数集,当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 内满足∫ t i t j φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 , i ≠ j K j ≠ 0 , i = j\begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t)\varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned} ∫titj φ1(t)φ2∗(t)dt={0,Kj=0,i=ji=j则称此函数为函数集在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 上的正交函数集。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11章 反馈系统【圣才出品】
第11章 反馈系统11.1 复习笔记反馈系统的研究是利用分解与互联概念而获得成功的典型范例。
本章的应用背景着重于控制工程，考察连续时间信号与系统的反馈系统模型并了解系统特性及应用，本章重点在于反馈系统框图及其系统特性。
通过本章学习，读者应掌握：反馈系统框图与系统函数的互求、根据系统函数画根轨迹图、开环特性稳定条件下的奈奎斯特判断依据以及信号流图与系统函数的互求。
一、反馈系统1．反馈效应的产生利用系统的输出去控制或调整系统自身的输入即可产生反馈效应。
（1）连续时间信号反馈系统模型如图11-1-1所示。
图11-1-1 连续时间信号反馈系统模型反馈系统的系统函数为：H（s）＝Y（s）/X（s）＝A（s）/[1＋F（s）A（s）]。
（2）离散时间信号反馈系统模型如图11-1-2所示。
反馈系统的系统函数为：H（z）＝Y（z）/X（z）＝A（z）/[1＋F（z）A（z）]。
图11-1-2 离散时间信号反馈系统模型【注】①若反馈信号与输入信号作相减运算，则称为负反馈或非再生反馈；②若反馈信号与输入信号作相加运算（即图11-1-1中加法器下面的符号改为正号），则称为正反馈或再生反馈。
2．反馈系统的特性及应用（见表11-1-1）表11-1-1 反馈系统的特性及应用3．利用反馈系统产生自激振荡（见表11-1-2）表11-1-2 反馈系统产生自激振荡二、根轨迹根轨迹是指闭环系统函数式中某种参量变动时，特征方程的根（极点）在s 平面内移动的轨迹（路径）。
1．根轨迹法的模量条件和幅角条件（1）模量条件1111||||||n n k k k k mm ii i i s pM K s z N ====-==-∏∏∏∏（2）幅角条件110π 0m ni k i k K r r K r ϕθ==>⎧-=⎨<⎩∑∑时为奇数时为偶数2．作图规则①根轨迹具有几条分支；②根轨迹始于开环系统函数A （s ）F （s ）的极点，止于A （s ）F （s ）的零点；③根轨迹对s 平面的实轴呈镜像对称；④若有一段实轴，在它右边的实轴上A （s ）F （s ）的极点与零点总数是奇数，则此段实轴是根轨迹的一部分；⑤两支根轨迹的交点可由方程d [()()]0d A s F s s=求出；⑥根轨迹为虚轴变点可由s ＝jω代入特征方程求出：1＋A （jω）F （jω）＝0；⑦当k→∞时，根轨迹各分支趋向A （s ）F （s ）的零点，其中有m 个分支趋于有限零点，另有（n －m ）个分支各自沿“渐近线”趋向无穷远处零点，渐近线与实轴交角为lπ/（n －m ），其中l ＝1，3，5···，共有（n －m ）个正奇数；⑧渐近线会交于实轴上的一点，此点称为渐近线重心，其坐标为：12120()()n m p p p z z z n mδ+++-+++=-L L 3．开环特性稳定条件下的奈奎斯特判断依据当ω由－∞到＋∞改变时，在A （jω）F （jω）平面中的奈奎斯特图顺时针绕（－1＋j0）点的次数等于系统函数分母G （s ）＝1＋F （s ）A （s ）在s 右半平面内的零点数（即系统函数H （s ）的极点数），此奈奎斯特图若不包围（－1＋j0）点，则系统稳定，否则系统不稳定。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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信号与系统引论笔记
信号与系统引论笔记
第一章信号与系统概述
1. 信号的定义：信号是传递信息的一种物理量。
2. 信号的分类：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号。
3. 系统的定义：系统是对输入信号进行特定处理并产生输出信号的实体或描述。
4. 系统的分类：线性时不变系统、线性时变系统、非线性系统。
第二章信号的基本特性
1. 周期信号：具有固定周期的信号。
2. 非周期信号：不具有固定周期的信号。
3. 能量信号与功率信号：能量信号的能量有限，功率信号的能量无限。
4. 信号的频域表示：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换。
第三章系统分析方法
1. 系统的时域分析：系统的微分方程和差分方程表示。
2. 系统的频域分析：系统的频率响应。
3. 系统的复频域分析：系统的传递函数和系统的极点、零点分析。
4. 系统的状态变量分析：系统的状态方程和输出方程。
第四章线性时不变系统
1. LTI系统的定义：线性时不变系统，即满足叠加性和均匀性的系统。
2. LTI系统的特性：系统的冲激响应和系统的传递函数。
3. LTI系统的稳定性：通过系统的极点判断系统的稳定性。
4. LTI系统的频域表示：通过傅里叶变换分析LTI系统的频率响应。
第五章信号的分解
1. 信号的正交分解：将信号表示为多个正交分量之和。
2. 信号的能量谱与功率谱：描述信号能量的分布。
3. 信号的滤波：通过系统对信号进行滤波，实现信号的频域选择性处理。
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信号与系统第一章1.1 连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数连续时间信号在[t1,t2]区间的能量定义为：连续时间信号在[t1,t2]区间的平均功率定义为：离散时间信号在[n1,n2]区间的能量定义为离散时间信号在[n1,n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：连续时间情况下:离散时间情况下:在无限区间内的平均功率可定义为：能量信号——信号具有有限的总能量，即：功率信号——信号有无限的总能量，但平均功率有限。
即：信号的总能量和平均功率都是无限的。
即：如果信号是周期信号，则或这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征或或如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换1.时移变换当时，信号向右平移时，信号向左平移当时，信号向右平移 时，信号向左平移,0E P ∞∞<∞=,E P ∞∞=∞=∞2. 反转变换信号以t=0为轴呈镜像对称。
与连续时间的情况相同。
3. 尺度变换时,是将在时间上压缩a倍，时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号:周期信号：满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称为信号的基波周期（）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。
可以视为周期信号，其基波周期。
奇信号与偶信号:对实信号而言：如果有和则称该信号是偶信号。
（镜像偶对称）如果有和则称该信号为奇信号.（镜像奇对称）对复信号而言：如果有和则称该信号为共轭偶信号。
如果有和则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：其中其中对复信号有：其中：其中：1.3 复指数信号与正弦信号一. 连续时间复指数信号与正弦信号其中C, a 为复数1. 实指数信号：C，a 为实数呈单调指数上升呈单调指数下降。
是常数。
2. 周期性复指数信号与正弦信号:取,显然是周期的，其基波周期为：其基波周期为基波频率为当时,通常称为直流信号。
对来说,它在一个周期内的能量为它的平均功率为：成谐波关系的复指数信号集:该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别为k，都是的整数倍，因而称它们是成谐波关系的信号集中信号的基波频率为，基波周期为，各次谐波的周期分别为Tk=2π/kw0，它们的公共周期是T0=2π/w0。
当k 取任何整数时，该信号集中的每个信号都是彼此独立的。
只有该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。
一般复指数信号:令,则该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。
它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。
r>0时，是指数增长的正弦振荡。
r<0时，是指数衰减的正弦振荡。
r=0时，是等幅的正弦振荡。
r>0r<0r=0二.离散时间复指数信号与正弦信号一般为复数1. 实指数信号：均为实数时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减时，呈摆动指数衰减时，呈摆动指数增长2. 正弦信号：其中为实数。
离散时间信号的频率表示为，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，这是与连续时间正弦信号的重大区别。
3. 一般复指数信号：令则其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。
当时幅度呈指数增长，时幅度呈指数衰减。
10α-<<三.离散时间复指数序列的周期性离散时间复指数序列不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。
设周期为N,即于是有表明只有在与2π的比值是一个有理数时，才具有周期性。
对，当时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。
当变化时，并非所有的都是互相独立的.离散时间信号的有效频率范围只有2π区间.因为处都对应最低频率,k为整数处都对应最高频率。
k为整数在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数m, N 使得：（m与N无公因子）此时即为该信号的周期, 也称为基波周期,因此该信号的基波频率为离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。
该信号集中的每一个信号都是以N为周期的, N是它们的基波周期。
称为直流分量. 称为基波分量.称为二次谐波分量等等,每个谐波分量的频率都是的整数倍。
特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不是全部独立的。
显然有：这表明：该信号集中只有N个信号是独立的。
即当k 取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。
因此，由N个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。
信号和的比较❖❖ 1.不同，信号不同❖ 2.对任何信号都是周期的❖ 3.基波频率❖ 4.基波周期：T0❖:1.频差的整数倍时，信号相同2.仅当时，信号是周期的3.基波频率4.基波周期：N1.4 单位冲激与单位阶跃一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃1. 单位脉冲序列,;,2. 单位阶跃序列,,与之间的关系:,一次差分具有提取信号中某一点的样值的作用。
二. 连续时间单位阶跃与单位冲激1.单位阶跃,,2. 单位冲激定义的不严密性，由于在不连续，因而在该处不可导。
可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度趋于零时的极限。
矩形面积称为冲激强度。
也具有提取连续时间信号样本的作用。
用阶跃表示矩形脉冲1.5 连续时间与离散时间系统一. 系统连续时间系统：输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。
离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。
系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。
通常表现为描述输入－输出关系的方程。
2. 建立求解这些数学模型的方法。
二. 系统的互联可以通过对简单系统（子系统）的分析并通过子系统互联而达到分析复杂系统的目的也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。
1.级联2.并联工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：3.反馈联结1.6 系统的基本性质1. 记忆系统与无记忆系统在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是无记忆系统。
否则就是记忆系统如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。
在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即或这样的无记忆系统称为恒等系统2. 可逆性与逆系统如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是可逆系统如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统如:例子:是可逆系统，其逆系统是:是可逆系统，其逆系统是:是不可逆系统，因为有两个不同的输入能产生相同的输出。
也是不可逆系统。
是不可逆系统,因为无法从还原为调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。
3. 因果性如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的。
否则就是非因果的。
一般说来，非因果系统是物理不可实现的。
时决定于以后时刻的输入。
是非因果系统。
RLC电路,,都是因果系统。
4.稳定性如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统。
否则，就是不稳定系统.单摆、RC电路都是稳定系统;也是稳定系统。
都是不稳定系统。
5. 时不变性如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。
除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的。
否则就是时变的。
即：若则系统是时不变的。
检验一个系统时不变性的步骤:1.令输入为，根据系统的描述，确定此时的输出。
2.将输入信号变为，再根据系统的描述确定输出3.令根据自变量变换，检验是否等于。
例子:当时,当时,令,则有由于系统是时变的6线性若其中a,b是常数（包括复数），满足此关系的系统是线性的。
例如:,满足可加性，但不满足齐次性。
当时其实部变为虚部，虚部变为实部。
满足齐次性但不满足可加性。
因为，若输入为,则如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系统对的输出响应。
即若,且,则在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的要求。
但是这类系统的输出响应的增量与输入信号的增量之间满足线性特性。
这类系统称为增量线性系统.如:,显然有该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，有可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个增量线性系统。
任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。
当增量线性系统的时，。
此时系统的输出响应完全由决定。
此时系统处于零初始状态，故将称为系统的零状态响应。
根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为零（即没有输出响应）。
这就是所谓线性系统的零输入—零输出特性。
增量线性系统当时，有，因此将称为系统的零输入响应。
可见，增量线性系统的响应包括零输入响应和零状态响应两部分。
第二章2.1 离散时间LTI系统：卷积和一. 用单位脉冲表示离散时间信号离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到可以由它的线性组合构成即对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
于是有：表明：任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。
二. 卷积和如果一个线性系统对的响应是，由线性特性就有系统对任何输入的响应为：若系统具有时不变性，即：若，则因此，只要得到了LTI系统对的响应--------单位脉冲响应,就可以得到LTI系统对任何输入信号的响应：这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。
这种求得系统响应的运算关系称为卷积和.三. 卷积和的计算计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）.运算过程：一个信号不动，另一个信号经反转后成为,再随参变量移位。
在每个值的情况下，将与对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到时刻的。
例1：例2：①时，②时，③时，④时，⑤时，例3. 列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：①与的所有各点都要遍乘一次；②在遍乘后，各点相加时，根据，参与相加的各点都具有与的宗量之和为的特点。
优点：计算非常简单。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和；②一般情况下，无法写出的封闭表达式.2.2 连续时间LTI系统：卷积积分一. 用冲激信号表示连续时间信号连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。