双曲线讲义(教师版)
人教版选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性由标准方程12222=-b y a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值。
这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。
实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。
如右图所示，在双曲线方程12222=-by a x 中，令0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是a 2。
在方程12222=-by a x 中，令0=x ，得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y y 轴没有交点。
但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
(3)渐近线如上图所示，过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是⎪⎭⎫⎝⎛=±±=0b y a x x a b y ，这两条直线就是双曲线的渐近线。
高中数学—16—椭圆双曲线(A)-教师版
教师日期学生课程编号课型课题椭圆与双曲线教学目标1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）2．掌握椭圆的几何性质和应用3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程4掌握椭圆的几何性质和应用5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学安排版块时长1 知识梳理152 例题解析503 巩固训练354 师生总结105 课后练习10椭圆与双曲线1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）A.arctan2B.arctan(－2)C.2π+arctan2D. 2π+arctan 21【难度】★ 【答案】D2．下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x ya b+=表示．D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．【难度】★ 【答案】B3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是．【难度】★★【答案】两直线重合4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ≥12-C ．m ≥12+D ．m ≥21-【难度】★★ 【答案】B5．过圆522=+y x 内点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)31,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．【难度】★★ 【答案】{}7,6,5热身练习一、椭圆1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of anellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -焦距 2c2c范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -两轴 长轴长2a ，短轴长2b3．椭圆的其他性质：①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．知识梳理③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=-．5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>21||k a ∆+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；0∆<，直线与椭圆无交点．000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2F PF S b γ∆=AB 22221x y a b+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-0202y a x b K AB -=22221x y a b+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=-二、双曲线1．双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ），这两个定点叫双曲线的焦点（foci of a hyperbola ）．符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线标准方程的两种形式：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 222222201a b y x b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2c 2c范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -(,0)b ，(,0)b -两轴 实轴长2a ，虚轴长2b渐近线x ab y ±= a y x b=±3．双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是； x yM F 12F xyMF 12F 000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过双曲线22221x y a b-=的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交双曲线于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=．4．直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-by a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程．（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但 不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若0∆=，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若0∆<，则直线和双曲线相离，无公共点．5．弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆或双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，相交于)()(2211y x B y x A ，，，则 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=．000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b-=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM AB b K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=一、椭圆1、椭圆的方程及其基本量运算【例1】根据下列条件分别求椭圆的标准方程．（1）对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是3； （2）椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的3倍，并且过点(3,0)-． 【难度】★【答案】（1）2213627x y +=或2213627y x +=；（2）2219x y +=或221819y x +=． 【例2】已知方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，求实数k 的取值范围． 【难度】★★【答案】(2,2)(2,2)(2,3)k ∈--U U【巩固训练】1．（1）ABC △周长为20，(4,0)B -，(4,0)C ，则点A 的轨迹方程为 ；（2）方程22132x y k k+=++表示椭圆，则k 的取值范围是 ； （3）长轴长为短轴长的2倍，且过点(2,3)的椭圆标准方程为 ． 【难度】★【答案】（1）221(0)3620x y y +=≠； （2）2k >-； （3）2214010x y +=或22125254y x += 2．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为105-的椭圆的标准方程． 【难度】★★【答案】221105x y += 例题解析2、椭圆定义的应用【例3】点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ，最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】6，2【解析】1(1,0)C -，11r =，2(1,0)C -，21r = 把点P 想成定点，max 111(||)||||1PQ PC r PC =+=+， max 222(||)||||1PR PC r PC =+=+ 又12||||24PC PC a +==，∴max (||||)6PQ PR +=； 类似，min 12(||||)||1||12PQ PR PC PC +=-+-=．【例4】椭圆2221x y a+=（a 定值，且1a >）的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △周长的最大值是8，则椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为 ．【难度】★★ 【答案】120︒【巩固训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 满足12F PF θ∠=（1F ，2F 为椭圆的两个焦点），求12F PF △的面积．【难度】★★ 【答案】2tan2b θ2．已知(1,1)A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，则1||||PF PA +的最大值是 ，最小值是 ． 【难度】★★【答案】62+，62-3．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆上一动点，点M 是圆22:(3)1C x y +-=上一动点，求||||PM PF +的最大值及此时点P 的坐标． 【难度】★★【答案】max (||||)510PM PF +=+，122103610,1313P ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】利用椭圆定义进行转化||||||4|'|4|||'|4|'|4|'|15|'|510PM PF PM PF PM PF MF CF CF +=+-=+-≤+≤++=+=+此时，122103610,1313P ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭3、椭圆的综合问题【例5】在椭圆2214x y +=上求一点P ，使它到直线:2100l x y ++=的距离最大（小），并求最大（小）值． 【难度】★★ 【答案】当22,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭时，min 210255d =-；当22,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，max 210255d =+ 【例6】已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，(,0)()M m m ∈R ，求PM 的最小值． 【难度】★★【答案】22341,[2,2]433m m PM x x ⎛⎫=-+-∈- ⎪⎝⎭，2min 3|2|293333223|2|2m m m PM m m m ⎧+<-⎪⎪⎪-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【巩固训练】1．P 是椭圆224312x y +=上任一点，1F 、2F 是它的两个焦点，则12F PF ∠的最大值是（ ）．A ．32arctan 4B ．12arcsin 4C ．3πD ．23π【难度】★★ 【答案】C2．22(40)(40)1259x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，则=+CBA sin sin sin （ ）A ．2B ．54 C D ．12 【难度】★★ 【答案】B3．设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP u u u r 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．二、双曲线1、双曲线的方程和基本量计算【例7】点P 在22125144x y -=上，若116PF =，则2PF = ．【难度】★ 【答案】26【例8】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ．【巩固训练】1．若x k y k22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）【难度】★★ 【答案】A2．0ab <时，方程22ax by c +=表示双曲线的是（ ）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解答】若22ax by c +=表示双曲线，则一定有0ab <；若000c ab c ≠⎧<⎨=⎩当时，表示双曲线当时，表示直线∴选A2、双曲线定义的应用【例9】圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【难度】★★A．①②B．①③C．①④D．③④【难度】★★【答案】A【巩固训练】1．设P是双曲线22xa-219y=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y-=，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若13PF=，则2PF等于．【难度】★★【答案】72．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．（x > 0）D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【难度】★★ 【答案】B【解析】12112112||||2()||=4||||6||=22||PF PF a PF aPF PF a PF a c F F -=⎧⎧⇒⎨⎨+=<=⎩⎩双曲线定义∵△21F PF 最小内角的大小为︒30，∴1230PF F ∠=︒ 易知3c a =，∴2b a =，∴渐近线方程为2by x x a=±=±3、双曲线的综合问题【例11】已知12,F F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF = .【难度】★★ 【答案】6【解析】 根据角平分线的性质，211212==MF MF AF AF ，又621=-AF AF ，故26AF =.(3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N【例12】如图，已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 .【例13】已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果APB ∆的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.【巩固训练】1．已知椭圆和双曲线有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x 轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程. 1532222=+n y m x 1322222=-n y m x l l 43三、椭圆与双曲线的综合问题1、椭圆双曲线混合问题【例14】曲线11622=--ky k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是（ ） A ．016≠<k k 且 B ．160≠>k k 且 C ．160<<k D ．160><k k 或 【难度】★★ 【答案】A【例15】已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实 数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U 【难度】★★【答案】A 【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆： (1,)λ∈+∞（不符合） ⅱ）焦点在y 轴的椭圆： (0,1)λ∈（符合） ④双曲线 ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡： (1,0)λ∈-（符合） ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）2、直线与椭圆【例16】设1F ，2F 是椭圆22132x y +=的左、右焦点，弦AB 过2F ，求1ABF △的面积的最大值． 【难度】★★ 【答案】433【例17】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -，33c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，43||=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【巩固训练】1．过点(0,2)P 作直线l 与椭圆2212x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当AOB △面积为23时，求直线l 的方程； （2）当AOB △面积取得最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．3、直线与双曲线【例18】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点)1,1(M 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.这里16240∆=-<，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 所以不存在符合题设条件的直线.【例19】已知双曲线2213y x -=，曲线上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点，求k 的范围. 【难度】★★ 【答案】3113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞U U U 【解析】当0k =时，不满足条件设1122(,),(,)A x y B x y 及其中点坐标为00(,)x y ，则22112222113113x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩:相减2121212113y y x x x x y y ++⋅=--即 0031x k y -=，又004y kx =+所以001,3x y k =-= )1(13:kx k y l AB +-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=13131222y x k x k y 联立03)13()13(2)13(22222=----+-⇒k x k k x k 0]3)13)[(13(4)]13(2[22222>+--+-=∆kk k k Θ 2211043k k ⇒<<>或),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞∈∴Y Y Y k【例20】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线C 的方程（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2OA OB ⋅>u u u r u u u r （其中为原点），求k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设双曲线方程为,由已知得，再由，得()2,0(3,0:2=+l y kx O 2213-=x y 33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭U 22221-=x y a b3,2==a c 2222+=a b 21=b【巩固训练】1．直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于B A ,两点，直线过点)0,2(-P 和线段AB 的中点M ，求在y 轴上的截距b 的取值范围．l l2．已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．（1）根据条件确定椭圆双曲线的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程．（2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义．（3）在处理与圆锥曲线相关的最值问题时通常化归成求函数最值．（4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式．（5）点差法解决与中点相关的问题．（6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零．（7）在处理与椭圆双曲线性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想．1．已知方程22132x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是．【难度】★【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U课后练习反思总结2．经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有公共焦点的椭圆方程为 ． 3．已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过2F ，且倾斜角为α，则PQ QF PF -+11的值为 ． 4．已知(0,3)A -、(0,3)B 两点，若动点P 满足||||6PA PB +=，则点P 的轨迹为（ ）． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．x 轴上的线段D ．y 轴上的线段【难度】★★ 【答案】D5．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是 ． 6．如果过椭圆2249144x y +=内的点(3,2)P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为 ．8．若椭圆1252222=-+m y m x 上至少存在一点P ，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m 的 取值范围为____________．9．设点P 到点)0,1(-M ，)0,1(-N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.10．已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P ．（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值．11．经过双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x －上任一点M ，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则平行四边形OPMQ 的面积S 为定值，ab S 21=．。
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)
1a
0,b
0 交于
A，B
两点，以
AB
为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若 △ABF 的面积为 4a2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示： F 为双曲线的左焦点，
∵ AB 为圆的直径，∴ AFB 90 ，
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
tan
2
cot
2
（或
c c
a a
tan
2
cot
2
）．
14 ． 设
A, B
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的实轴两端点，
P
是双曲线上的一点，
PAB ， PBA ， BPA ， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有
2
(1) |
PA
|
|
2ab2 | cos | a2 c2co s2
b2
几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为 ．
a2
二．双曲线经典结论汇总
双曲线讲义
第 1 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
双曲线复习讲义一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线第 2 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
二、 双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；注意：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a不一定大于b.直线与双曲线：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时， k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点；0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；三、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）第 3 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)
新课预习讲义选修2－1：第二章§双曲线（一）§2.双曲线及其标准方程●学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点1. 难点是双曲线的标准方程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =●预习教材：第52页——第55页的内容。
●自主梳理：_____________________________●预习检测：1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．一条直线 C ．双曲线 D ．前三种情况都有可能 答案： D2．已知方程x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．－4<k <4B ．k >0C ．k ≥0D ．k >4或k <－4解析： ∵x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，∴(4＋k )(4－k )>0，∴(k ＋4)(k －4)<0，∴－4<k <4. 答案： A3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析： 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.答案： 14．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．解析： ∵所求双曲线与x 216－y 24＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为(±25，0)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 220－a 2＝1.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12. ∴所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？●基础知识归纳： 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？2．双曲线的标准方程 小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定2. a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c +=（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）●典例导析：题型一、求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a 、b 的值（注意应用222b a c +=）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常用待定系数法.[解题过程] (1)方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由于双曲线过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(－3)2b 2＝1，(－3)2a 2－⎝⎛⎭⎫522b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求双曲线标准方程是x 24－y 2＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．则⎩⎨⎧3a 2－16b 2＝1，54a 2－9b 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，b 2＝－4.不合题意，舍去．综上所述，双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.方法二：设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1，由双曲线经过A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52 可得⎩⎪⎨⎪⎧ 16m －3n ＝1，9m －54n ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵c ＝6，∴6＝a 2＋b 2①又∵双曲线经过点(－5,2)，∴(－5)2a 2－4b2＝1②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5b 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝30b 2＝－24(舍)∴双曲线方程为x 25－y 21＝1.[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上．(2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．(3)焦点分别为F 1(－10,0)、F 2(10,0)，且经过点(35，－4)． (4)焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5.解析： (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(3)由题设知双曲线的焦点在x 轴上，且c x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．从而将双曲线的标准方程化为x 2100－b 2－y 2b 2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b 4－39b 2－1 600＝0，解得b 2＝64或b 2＝－25(舍去)， 故所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1.(4)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.题型二、双曲线定义的应用例2－1、已知定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)，动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝4时，点M 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线 [解题过程] 由已知，|F 1F 2|＝8.当a ＝3时，|MF 1|－|MF 2|＝6<|F 1F 2|，故点M 的轨迹是双曲线的一支 当a ＝4时，|MF 1|－|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，故点M 的轨迹是一条射线F 1F 2 答案： D[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a 与|F 1F 2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF 1|－|MF 2|＝2a 有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征． 变式训练：2－1.已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为 A ．y ＝0 B ．y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C ．x ＝0(|y |≥13) D ．以上都不对答案： C 例2－2、若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [思路点拨][规范作答] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[题后感悟]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用． 变式训练：2－2.设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．解析： 在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴a ＝2，c ＝ 5.由于点P 在双曲线上，所以|PF 1|－|PF 2|＝±4.① ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.② ②－①2得，2|PF 1|·|PF 2|＝4，∴|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴△F 1PF 2的面积是S ＝12|PF 1||PF 2|＝1.（想一想：若改为“∠F 1PF 2＝60°”呢？） 题型三、求与双曲线相关的轨迹方程例3、求与两个定圆C 1：x 2＋y 2＋10x －24＝0和C 2：x 2＋y 2－10x ＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程． [思路点拨][解题过程] ⊙C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49⇒C 1(－5,0)，r 1＝7， ⊙C 2：(x －5)2＋y 2＝1⇒C 2(5,0)，r 2＝1， 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，(1)如图①，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切时，有|MC 1|＝r1＋R ，|MC 2|＝r 2＋R ， 则|MC 1|－|MC 2|＝r 1－r 2＝6.(2)如图②，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都内切时，有|MC 1|＝R －r 1，|MC 2|＝R －r 2.，则|MC 1|－|MC 2|＝r 2－r 1＝－6.在(1)(2)两种情况下，点M 与两定点C 1、C 2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M 的轨迹是以C 1(－5,0)，C 2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线，c ＝5，a ＝3⇒b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，方程为：x 29－y 216＝1.[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a ，b 时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简． (2)由于动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线． 变式训练：4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解析： 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c 2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2C的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． [疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a ＜|F 1F 2|不可缺少．若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线； 若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b 代入所设方程即为所求．[误区警示]◎设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．（上海高考试题）【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF 1|－|PF 2|＝8，即9－|PF 2|＝8，得|PF 2|＝1.【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a ，到一个焦点的距离是c －a ，到另一个焦点的距离是a ＋c ，本题是2或10，|PF 2|＝1小于2，不合题意． 【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8， 所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时， |PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去． 所以|PF 2|＝17.三、巩固拓展●必做：教材第61页，习题2.3 A 组 第1、2题，B 组第2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析： 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.故选C. 答案： C2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析： 方程可变为x 2n m －y 2n m ＝1，又m ·n <0，∴又可变为y 2－n m －x 2－nm ＝1.∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 答案： D 3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 解析： 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2， 又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12. 答案： B4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一个焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析： 设△ABF 1的周长为C ，则C ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋|AF 2|＋|BF 2|＋|AB | ＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝2a ＋2a ＋2m ＝4a ＋2m .答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分)5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析： ∵x 24－y 212＝1，∴当x ＝3时，y ＝±15. 又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15， ∴|MF 2|＝1＋15＝4.故填4. 答案： 46．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为________．解析： 双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0) 由||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴||PF 1|－15|＝8，∴|PF 1|＝23或|PF 1|＝7. 答案： 7或23三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)．解析： (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1，又点A (42，3)在双曲线上， ∴3216－9b 2＝1. 解得b 2＝9，则x 216－y 29＝1， 若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同上，解得b 2<0，不合题意，∴双曲线的方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1.解之得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝－14.∴所求双曲线的方程为x 23－y 24＝1.8．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解析： (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)满足如下条件：(1)ab ＝3；(2)过右焦点F 的直线l 的斜率为212，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1， 求双曲线的方程．解析： 设右焦点F (c,0)，点Q (x ，y )，设直线l ：y ＝212(x －c )， 令x ＝0，得p ⎝⎛⎭⎫0，－212c ，则有 P Q →＝2Q F →， 所以⎝⎛⎭⎫x ，y ＋212c ＝2(c －x ，－y ) ∴x ＝2(c －x )且y ＋212c ＝－2y ，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解得：x ＝23c ，y ＝－216c . 即Q ⎝⎛⎭⎫23c ，－216c ，且在双曲线上， ∴b 2⎝⎛⎭⎫23c 2－a 2⎝⎛⎭⎫－216c 2＝a 2b 2， 又∵a 2＋b 2＝c 2， ∴49⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2－712⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋1＝1， 解得b 2a 2＝3，又由ab ＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3. ∴所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.。
高中数学第2章2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点，求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b2＝1，(2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1532b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. [一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.曲线方程的讨论[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4. 因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要 4．若方程x 22－m＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r|＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r.∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r |2＝40.∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r |2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝| (414)2－ (94)2| ＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
高三解析几何双曲线教师版
圆锥曲线（2）教师版双曲线一、双曲线的定义㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知FF 21,为平面上两个定点若()F F F Fa a P P2121202||<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线注；单支双曲线的定义 已知FF 21,为x 轴上的两个定点且FF 21在左侧①若()F F F F a a P P 2121202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若()F F F Fa a P P2112202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支双曲线位置的判定 方程()()()N m ym x m m m m *∈=--+--22222935220113表示双曲线⑴求m⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例求双曲线标准方程⎪⎩⎪⎨⎧轨迹方程法待定系数法几何法㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行例已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程A 、142222=-a y a x B 、152222=-ay a xC 、142222=-b y b x D 、152222=-by b x答案：C练习：1、已知圆C ：084622=+--+y x yx ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，则适合该条件的双曲线的标准方程为答案：112422=-yx2、已知双曲线中心在原点，焦点FF 21,，离心率为2，且过点()10,4-⑴求双曲线的方程⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=⋅→→F M F M⑶求FF M 21∆的面积答案；⑴622=-yx ,⑶63、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2㈡待定系数法:①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()0122<⋅=-B A B Ay x②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为()02222≠=-λλyB x A例1求经过点P （3,415），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：116922=-yx例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c答案：19271932222=-=-xy y x 或㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:221=+-yC x 外切，与圆()24:222=+-yC x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程圆C1的圆心C1（-4,0）半径21=r,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r设动圆的半径为r,r r CC 21218+>=故圆C 1与圆C 2外离如图所示圆M 与圆C 1外切故r Cr M 11+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=a M M C C 22221==-∴M 点轨迹为以C C 21,为左右焦点的双曲线的右支∴()2114222≥=-x yx注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆C2哪个是大圆哪个是小圆练习1：设椭圆C1的离心率是135，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为,答案：191622=-yx2、双曲线116922=+yx的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是提示：双曲线定义+等积法,答案：5163、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若ac F P F P F P F P 221,021==⋅→→→→（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 答案；251+ 三、双曲线的几何性质 例F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使022=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→→P F F O OP ，且F P F P 231→→=，则双曲线的离心率是解：根据向量加法的平行四边形法则作F O OP OM 2→→→+=显然四边形F OPM 2为菱形∴F OP 2∆为直角三角形例FF 21,是双曲线1322=-y x的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若F P F P 2413→→=，则F F P 21∆的面积等于 练习：过双曲线()012222>>=+a b bya x 的左焦点F （-c,0）（c>0）作圆ay x 222=+的切线切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OP OF OE21（O 为坐标原点）则双曲线的离心率为 A 、5 B 、3 C 、25 D 、26显然 OE 为B FRt F'∆的中位线，∴a B F 2'=又c F F 2'=由勾股定理及b a c 222+=，则BF=2b 又由双曲线定义知b=2a 可求e由双曲线定义四、直线与双曲线的位置关系㈠从几何角度探讨直线与双曲线的位置关系问题1：直线与双曲线重合时，直线与双曲线有几个交点？问题2：直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有几个交点？能不能出现下面几种情况？归纳：当直线与双曲线渐进线平行时，直线与双曲线有唯一交点问题3：直线与双曲线相切时，能不能出现下面两种情况？归纳：直线与双曲线相切，直线与双曲线有唯一交点问题4：直线与双曲线相交最多有几个交点？把直线方程和双曲线方程联立消元（消y ）得到的方程02=++C Bx Ax最多两个根，故直线和双曲线最多有两个交点。
人教版选修21第二章双曲线双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
双曲线的简单几何性质教学讲义
双曲线的简单几何性质教学讲义自主预习·探新知情景引入凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．新知导学1．双曲线的简单几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上双曲线方程__x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)____y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)__范围__x≤－a或x≥a____y≤－a或y≥a__对称性关于__x__轴对称，关于__y__轴对称，关于__原点__对称关于__x__轴对称，关于__y__轴对称，关于__原点__对称顶点__(－a,0)、(a,0)____(0，－a)、(0，a)__渐近线__y＝±ba x____y＝±ab x__离心率e>1e>1e越大，张口越大，e越小，张口越小(1)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点．(2)双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆．(3)两个特殊的双曲线①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．②共轭双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轭双曲线，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线．(4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：①当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2＝a2＋b2，所以以a、b、c为三边长可构成直角三角形，如图，其中Rt △OA 2B 2称为双曲线的特征三角形．②当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似结论． (6)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近． 预习自测1．双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( A )A ．(±5,0)B ．(±5,0)或(0，±3)C ．(±4,0)D ．(±4,0)或(0，±3)[解析] ∵双曲线的顶点在x 轴上，又a ＝5，∴选A ．2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C ) A ．22B ．1C ．2D ．2[解析] 由题意可得ba＝1，∴ e ＝1＋b 2a2＝1＋12＝ 2.故选C ．3．(2020·山东潍坊高二期末)双曲线方程为x 24－y 2＝1，则渐近线方程为( A )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±xD ．y ＝12x[解析] ∵双曲线方程为x 24－y 2＝1，则渐近线方程为x 24－y 2＝0，即y ＝±12x ，故选A ．4．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( B )A ．34B ．32C ．3D ．4[解析] 由题意得a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴a ＝2.∴离心率e ＝c a ＝32.5．(2020·北京卷，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为__(3,0)__；C 的焦点到其渐近线的距离是[解析] 双曲线C ：x 26－y 23＝1中，c 2＝6＋3＝9，∴c ＝3，则C 的右焦点的坐标为(3,0)，C 的渐近线方程为y ＝±36x ，即y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，则C 的焦点到其渐近线的距离d ＝33＝ 3.6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，且双曲线过点(2，3)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．[解析] (1)设双曲线的方程为：3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，点(2，3)代入得λ＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)由于双曲线的方程为x 2－y 23＝1，所以它的焦点为(－2，0)、(2,0)，点(－2,0)到直线y ＝±3x 的距离为d ＝|23|1＋3＝ 3.则双曲线的焦点到渐近线的距离为 3.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶根据双曲线方程研究其几何性质典例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a 、b 、c 的值，然后依据各几何量的定义作答． [解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .作草图如图：『规律方法』 由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(或y 2a 2－x 2b 2＝1)，再根据它确定a 、b 的值(注意它们的分母分别为a 2、b 2，而不是a 、b )，进而求出c ，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图． ┃┃跟踪练习1__■求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [解析] 将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y 24＝1， 即x 212－y 222＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝ 5. ∴顶点坐标为A 1(－1,0)、A 2(1,0)， 焦点坐标为F 1(－5，0)、F 2(5，0)， 实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2， 离心率e ＝c a ＝51＝5，渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，作草图如图所示．命题方向❷利用几何性质求双曲线的标准方程典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为54；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．[解析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，2a ＝8.由题意知c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3，∴标准方程为x 216－y 29＝1或y 216－x 29＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.『规律方法』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．┃┃跟踪练习2__■根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54. ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)若焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2a ＝6，b a ＝23，∴a ＝3，b ＝2.∴双曲线的方程为x 29－y 24＝1.若焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2a ＝6，a b ＝23，∴a ＝3，b ＝92.∴双曲线的方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.命题方向❸双曲线的离心率典例3 (2019·全国卷Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( A ) A ．2B ．3C ．2D ．5[思路分析] 利用双曲线和圆的性质，结合已知条件得到关于a ，c 的方程，进而求得双曲线的离心率．[解析] 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2， 故ca＝2，即e ＝ 2.故选A ． 『规律总结』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．┃┃跟踪练习3__■(1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为( A )A ．2B ．32C ．3D ．2(2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] (1)由已知双曲线两条渐近线互相垂直， ∴b a ·(－ba )＝－1，即a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴此双曲线是等轴双曲线，故e ＝ 2.(2)设a >0，b >0，因为双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，所以4＝±b a ×3而a >0，b >0，∴a ＝34b ，a 2＝916b 2，e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝259＝53，选D ． 命题方向❹实际应用问题典例4 如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处，其中|AP |＝100 m ，|BP |＝150 m ，∠APB ＝60°.怎样运土才能最省工？[思路分析] 半圆形横截面上的点可分三类：(1)沿AP 到P 较近；(2)沿BP 到P 较近；(3)沿AP 或BP 到P 等距离，其中第三类的点位于前两类点的分界线上．[解析] 设M 为分界线上任一点，则|MA |＋|AP |＝|MB |＋|BP |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝50 m ，所以M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上．易得|AB |2＝17 500 m 2，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(x ≥25)．故运土时，在双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工． 『规律方法』 解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中．要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义． ┃┃跟踪练习4__■A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远．因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．[解析]如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地坐标为(x，y)，BC的中点为D，易求k BC＝－3，D(－4，3)，所以直线PD：y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为x24－y25＝1(x＞0)．②联立①②，得x＝8，y＝53，所以P的坐标为(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.命题方向❺直线与双曲线的位置关系典例5 已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．[思路分析]第一步，审题．审结论明确解题方向，求k的值或k的取值范围，应利用条件建立k的方程或不等式求解；审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同两点，可利用判别式法求解，△AOB的面积为2，可利用割补法和根与系数的关系求解．第二步，建立联系，探寻解题途径．第(1)问，可将l与C的方程联立，消元利用Δ>0求k的取值范围；第(2)问可由A、B向x轴作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形面积的差或和用直线AB与y轴的交点，分割为两个三角形面积的和，利用根与系数的关系求解．第三步，规范解答．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，则S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝ 2.所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8.解得k ＝0或k ＝±62，由(1)知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. ┃┃跟踪练习5__■ 过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( C ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(23k 2k 2－2)2－12k 2＋8k 2－2＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．学科核心素养 双曲线中的中点弦问题 解决双曲线中的弦的中点问题一是利用根与系数的关系及中点坐标来求解；二是利用“点差法”，找到斜率与中点坐标的关系来求解．如已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得1a 2(x 21－x22)－1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2x 0a 2y 0.应用“点差法”时因不能确定直线与双曲线是否相交，因此，最后需将结果代回检验． 典例6 已知双曲线方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，当点P (2,1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程．(2)过定点Q (1,1)能否作直线l ，使直线l 与此双曲线相交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)若直线斜率不存在，即弦P 1P 2⊥x 轴，则由双曲线的对称性知弦P 1P 2的中点在x轴上，不可能是点P (2,1)，所以直线l 斜率存在． 故可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简， 得(2－k 2)x 2＋2k (2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0. 设直线l 与双曲线的交点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 当2－k 2≠0，即k 2≠2时，有x 1＋x 2＝－2k (2k －1)2－k 2.又点P (2,1)是弦P 1P 2的中点， ∴－2k (2k －1)2－k 2＝4，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)>0，当k 2＝2，即k ＝±2时，此时，直线的斜率与渐近线的斜率相等，即k ＝±2的直线l 与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为y ＝4x －7.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0，∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥x 轴，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)， ∴直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．『规律方法』 (1)设出直线方程与双曲线方程联立，应用根与系数的关系求解；(2)首先假设符合条件的直线存在，抓住中点这一条件求解；(3)有关中点弦问题，应用点差法往往比较简单，但注意验证直线是否满足条件． ┃┃跟踪练习6__■已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (2,0)，直线3x －2y ＝0与双曲线C 的一个交点的横坐标为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解析] (1)设双曲线C 的标准方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意可知：点(2,3)在双曲线C 上，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3.所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知得直线l 的方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0，所以原点O 到直线l 的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝12.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝－x ＋1，消去y 可得x 2＋x －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－2， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋12·(－1)2－4×(－2)＝32，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d＝12×32×12＝32. 易混易错警示 注意双曲线的焦点位置典例7 已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．[错解] 由题意得b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴9a 2＝16(c 2－a 2)，∴25a 2＝16c 2，∴e 2＝2516，∴e ＝54.[错解分析] 错解的原因是审题不认真，误认为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax 而导致错误．[正解] 由题意得a b ＝34，∴a 2b 2＝916，∴16a 2＝9(c 2－a 2)，∴25a 2＝9c 2，∴e 2＝259，∴e ＝53.课堂达标·固基础1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( C ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 [解析] 由题意，选项A ，B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A ，B ；C 项表示的双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，D 项表示的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .故选C ．2．(2020·安徽安庆市高二调研)“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3. ∵e ＝c a＝1＋b 2a2＝1＋3m＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．3．双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3,23)的双曲线方程为( D )A ．x 24－4y 29＝1B ．y 24－4x 29＝1C ．4y 29－x 24＝1D ．4x 29－y 24＝1[解析] 设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，把(－3,23)代入方程，得99－1216＝λ.所以λ＝14.故双曲线方程为x 29－y 216＝14.即4x 29－y 24＝1.故选D ． 4．(2018·北京文，12)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝__4__.[解析] 由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2知 a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522＝54， ∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4.5．求双曲线y 2－2x 2＝1的离心率和渐近线方程． [解析] 双曲线方程化为标准方程形式为y 21－x 212＝1.所以a 2＝1，b 2＝12，焦点在y 轴上．所以a ＝1，b ＝22，c 2＝32，c ＝62. 所以e ＝c a ＝62.渐近线方程为y ＝±2x .。
高中双曲线复习讲义
的面积为（ A． 6 3
） B．12
（2） （ 10 年江西文）点 A( x0 , y0 ) 在双曲线
x2 y 2 1 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ，则 4 32
x0
；
（3） （江西卷）已知 F1，F2 为双曲线
x2 y 2 1(a 0，b 0且a b) 的两个焦点， P 为双曲线右支上异于顶 a 2 b2
P 的轨迹 E 的方程； ⑴求线段 P1 P 2 的中点
⑵设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q （x1, y1） ( y1 0) ,直线 QB，QD 分别交 y 轴于 M ，N 两 点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点。
y
P
P 2
A
P1 F1
O
F2
x
6
) C.
B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5
10 3
D.
5 2
3、 （江西卷）P 是双曲线
x 2 y2 － ＝1 的右支上一点，M、N 分别是圆（x＋5）2＋y2＝4 和（x－5）2＋y2＝1 上的 9 16
） C.8 D.9 B.7
点，则|PM|－|PN|的最大值为（ A. 6
知识回顾
一、抛物线定义:（1）第一定义：当 || PF 1 | | PF 2 || 2a | F 1F 2 | 时, P 的轨迹为双曲线； 当 || PF 1 | | PF 2 || 2a | F 1F 2 | 时, P 的轨迹不存在； 当 | PF1 PF 2 | 2a F1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线。 （2）双曲线的第二义： 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e 1 )的点的轨迹为双曲线。 二、双曲线性质：来自7、P 为双曲线
第五节 双曲线 复习讲义
第五节双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.1.概念理解(1)双曲线定义的集合语言P={M|||MF 1|-|MF 2||=2a,0<2a<|F 1F 2|},当2a=0时,点M 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线,当2a=2c 时,点M 的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条反向射线.(2)双曲线定义中的条件“差的绝对值”,在运用定义解题时,弄清题意是指整个双曲线还是双曲线的某一支. 2.与定义相关的结论(1)双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点,∠F 1PF 2=θ,则cos θ=1-2122b PF PF ⋅.(2) 12PF F S∆=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ=12·221cos b θ-·sin θ=2sin 1cos b θθ⋅-=2tan2b θ=c ·|y 0|.(其中y 0是点P 纵坐标)二、双曲线的标准方程及简单几何性质1.概念理解(1)双曲线标准方程中,若x2或y2项系数为正⇒该项系数的分母为a2⇒焦点所在轴与该项变量名称相同.(2)在双曲线中,b2=c2-a2,c最大,可以有a大于、等于或小于b的情况,这一点与椭圆中不同,应注意区分.(椭圆中a最大,b2=a2-c2,a>b,a>c) (3)双曲线中以二次项系数正负确定a2,椭圆中以二次项分母大小确定a2.2.与之相关结论(1)等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0),离心率渐近线方程为y=±x.它们互相垂直,并且平分实轴和虚轴所成的角.(2)与22x a -22y b =1共渐近线的双曲线为22x a -22y b =λ(λ≠0). 22x a -22y b =λ渐近线22x a -22y b =0(或y=±b a x 或x a ±y b=0).(3)不知双曲线焦点位置时,常设双曲线方程为Ax 2-By 2=1(A ·B>0).与22x a -22y b =1离心率相同的双曲线方程可设为22x a -22y b =k(k>0).(4)双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)与直线Ax+By+c=0有公共点的充要条件是A 2a 2-B 2b 2≤c 2.过焦点与实轴所在直线垂直的弦长为定值22ba .1.已知方程23x k -+25y k -=1表示双曲线,则k 的取值范围为( B )(A)(-∞,3)∪(5,+∞) (B)(3,5) (C)(3,4)∪(4,5) (D)(4,5) 解析:由方程表示双曲线可知(k-3)(k-5)<0, 解得3<k<5.故选B.2.已知双曲线C:22x a -22yb =1(a>0,b>0),右焦点F 到渐近线的距离为2,点F 到原点的距离为3,则双曲线C 的离心率e 为( B )(解析:因为右焦点F 到渐近线的距离为2,所以F(c,0)到y=b ax 的距离为2,又b>0,c>0,a 2+b 2=c 2,所以bc c=b=2.因为点F 到原点的距离为3,所以c=3,所以所以离心率e=ca 故选B.3.已知F 1,F 2是双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2最小内角的大小为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( A )±y=0 (B)x (C)x ±2y=0 (D)2x ±y=0解析:由题意,不妨设|PF 1|>|PF 2|,则根据双曲线的定义得,|PF 1|-|PF 2|=2a,又|PF 1|+|PF 2|=6a,解得|PF 1|=4a,|PF 2|=2a.在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c,而c>a,所以有|PF 2|<|F 1F 2|,所以∠PF 1F 2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2- 2·2c ·4acos 30°,得所以所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±y=0.故选A.4.已知双曲线2xa-22y =1的一个焦点坐标为,0),则其渐近线方程为 . 解析:由a+2=3,可得a=1, 所以双曲线方程为x 2-22y =1, 所以其渐近线方程为y=答案:y=5.若双曲线2y m-x 2=1的一个焦点为(0,2),则m= ,该双曲线的渐近线方程为 . 解析:由m+1=4得m=3, 所以渐近线方程为y=答案:3 y=考点一 双曲线定义及其标准方程【例1】 (1)已知双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的离心率e=54,且其右焦点F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( ) (A)24x -23y =1(B)216x -29y =1(C)29x - 216y=1 (D)23x -24y =1(2)已知F 1,F 2分别为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在双曲线C 上,且∠F 1PF 2=60°,则|PF 1||PF 2|= .解析:(1)因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e=c a =54,所以c=5,a=4,b 2=c 2-a 2=9,所以所求双曲线方程为216x -29y =1,故选B.解析:(2)由题意知所以|F1F 2在△PF 1F 2中,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 60°=|F 1F 2|2=8, 即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1||PF 2|=8, ① 由双曲线定义得||PF 1|-|PF 2||=2a=2, 两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=4, ② ①-②得|PF 1||PF 2|=4. 答案:(1)B 答案:(2)4(1)运用双曲线定义解题的两个注意点①在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义;②在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支. (2)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法①若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出a,b 的值.②若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为Ax 2+By 2=1(AB<0),根据条件求出A,B.③若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为22x a -22y b =λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.1.设P是双曲线216x -220y =1上一点,F 1,F 2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|等于( B ) (A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对 解析:由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=8, 又|PF 1|=9,所以|PF 2|=1或17, 又c-a=6-4=2>1, 所以|PF 2|=17.故选B. 2.已知双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的右焦点为F,点B 是虚轴的一个端点,线段BF 与双曲线C 的右支交于点A,若BA =2AF ,且|BF |=4,则双曲线C 的方程为( D ) (A)26x -25y =1 (B)28x -212y =1(C)28x -24y =1 (D)24x -26y =1解析:不妨设B(0,b),由BA =2AF ,F(c,0), 可得A(23c,3b ),代入双曲线C的方程可得49×22c a -19=1,即49·222a b a +=109, 所以22b a =32. ① 又|BF =4,c 2=a 2+b 2,所以a 2+2b 2=16, ② 由①②可得,a 2=4,b 2=6,所以双曲线C 的方程为24x -26y =1,故选D. 考点二 双曲线的离心率 【例2】 (1)双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,若MF 2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )(2)设直线l:x-3y+m=0(m ≠0)与双曲线22x a -22yb =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .解析:(1)在Rt △MF 1F 2中,|F 1F 2|=2c, 则|MF 21,由双曲线定义可知|MF 1|-|MF 2|=2a,=2a,化简得c a故选A.解析:(2)如图,设线段AB 的中点为M,由题意得, 直线l:x-3y+m=0垂直于直线PM, 双曲线的两渐近线为bx ±ay=0, 分别与x-3y+m=0联立,解得B(3am b a +,3bm b a +),A(3am b a --,3bm b a-). 所以AB 的中点M(2229a m b a -,22239b m b a -).由MP ⊥l 得,222222399b m b a a m b a --=-3,化简为a 2=4b 2.所以e2=22c a =222a b a +=2254b b =54.所以答案:(1)A(1)求双曲线的离心率即是求c 与a 的比值,只需根据条件列出关于a,b,c 的方程或不等式即可解决,并且需注意e>1.(2)双曲线的离心率与渐近线斜率的关系①已知双曲线的离心率e 求渐近线方程要注意在的坐标轴;②已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,若焦点位置不确定,则m=b a或m=a b,因此离心率有两种可能.(3)已知双曲线方程22x a -22y b =1(a>0,b>0)或22y a -22x b =1(a>0,b>0)求其渐近线方程只需把1改写为0整理即可.已知O 为坐标原点,F 是双曲线Γ:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为Γ的左、右顶点,P 为Γ上一点,且PF ⊥x 轴,过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E,直线BM 与y 轴交于点N,若|OE|=2|ON|,则Γ的离心率为( A )(A)3 (B)2 (C)32 (D)43解析: 易证得△MFA ∽△EOA,则MF FA=EO OA,即|MF|=EO FA OA⋅=()EO c a a⋅-;同理△MFB ∽△NOB, |MF|=NO FB OB ⋅=()NO c a a ⋅+, 所以()EO c a a⋅-=()NO c a a⋅+,又|OE|=2|ON|,所以2(c-a)=a+c,整理,得c a =3,故答案为A.考点三 双曲线的渐近线【例3】 (1)过双曲线22x a -22yb =1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆O:x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=(B)y=x(C)y=(D)y=x(2)过双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点F 1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B,若1F A =AB ,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:(1) 如图所示,连接OA,OB,设双曲线22x a -22x a =1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点A 与点B 关于x 轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°. 因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO 为等边三角形,所以∠AOC=60°. 因为FA 与圆O 切于点A,所以OA ⊥FA,在Rt △AOF 中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,所以|OF|=2|OA|, 即c=2a, 所以故双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax,即y=故选A.解析:(2)由,y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得x=-aca b+,由,,y x c b y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得x=ac b a -,不妨设x A =-ac a b +,x B =acb a -, 由1F A =AB 可得-ac a b ++c=ac b a -+ac a b+, 整理得b=3a.所以双曲线的渐近线方程为3x ±y=0. 答案:(1)A (2)3x ±y=0(1)求渐近线方程的实质是把题目中给出的相互位置关系及数量关系转化为与双曲线中a,b,c,e 相关的等量关系式,结合c 2=a 2+b 2,e2=1+22b a ,求得b a的值即可. (2)双曲线的渐近线是过原点的直线,常用到点到直线距离、直线间平行、相交、垂直等,熟练掌握这些基本问题的解题思路是正确求解的基础.1.已知双曲线22x a -22yb =1(a>0,b>0)与直线y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( C )∞∞)解析:因为双曲线的一条渐近线的方程为y=b ax,则由题意得b a>2,所以e=ca 2. 如图,P 是双曲线24x -y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A 1,A 2分别是左、右顶点,O 是坐标原点,直线PA 1,PO,PA 2的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是 .解析:k 1k 3=22b a ,0<k 2<b a ,所以0<k 1k 2k 3<(b a )3=18. 答案:(0,18) 考点四 双曲线综合问题【例4】 (1)(2018·丽水模拟)已知双曲线C: 22x a -22y b =1(a>0,b>0),F是双曲线C 的右焦点,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l,若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D,E,则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )∞))(2)设P 是双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)右支上的任意一点,已知A(a,b),B(a,-b),若OP =λOA +μOB (O 为坐标原点),则λ2+μ2的最小值为( )(A)14ab (B)14(C)12ab (D)12解析:(1)法一 由题意知,直线l:y=-a b(x-c),设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),由222222(),,a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩得(b2-42a b )x2+422a c b x-(42a cb +a 2b 2)=0,由x 1x 2=42222422()a c a b ba b b-+-<0得b 4>a 4,所以b 2=c 2-a 2>a 2, 所以e 2>2,得故选B.法二 由题意,知直线l 的斜率为-ab ,若l 与双曲线左、右两支分别交于D,E 两点,则-a b >-b a,即a 2<b 2,所以a 2<c 2-a 2,e 2>2,得故选B.解析:(2)由题意,设P(x,y),则 因为OP =λOA +μOB ,所以x=(λ+μ)a,y=(λ-μ)b, 因为P 为双曲线C 右支上的任意一点, 所以(λ+μ)2-(λ-μ)2=1, 所以4λμ=1, 所以λ2+μ2≥2λμ=12, 所以λ2+μ2的最小值为12. 故选D.(1)涉及曲线与圆、抛物线等位置关系问题,常结合图形,把条件中隐含的位置关系、等量关系对应的几何性质挖掘出来,借助平面几何的相关知识求解.(2)向量在解析几何中常起到中间桥梁作用,可化为线段间的关系,也可转化为坐标间的关系,具体视情况而定.F 1,F 2分别是双曲线216x -29y =1的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,☉A是△PF 1F 2的内切圆,☉A 与x 轴相切于点M(m,0),则m 的值为 .解析: 如图所示,F 1(-5,0), F 2(5,0),内切圆与x 轴的切点是M,PF 1,PF 2与内切圆的切点分别为N,H, 由双曲线的定义可得 |PF 1|-|PF 2|=2a=8, 由圆的切线长定理知 |PN|=|PH|, 故|NF 1|-|HF 2|=8, 即|MF 1|-|MF 2|=8,故(m+5)-(5-m)=8, 所以m=4. 答案:4类型一 双曲线的定义及标准方程1.已知动圆与☉C 1:(x+3)2+y 2=9外切,且与☉C 2:(x-3)2+y 2=1内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( B ) (A)24x -25y =1 (B)24x -25y =1(x ≥2) (C)25y -24x =1 (D)25y -24x =1(y ≥2)解析:设动圆半径为r,因为☉M 与☉C 1外切,且与☉C 2内切, 所以|MC 1|=r+3,|MC 2|=r-1,|MC 1|-|MC 2|=4, 所以点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的双曲线的右支, 且有a=2,c=3,b 2=c 2-a 2=5,所以所求双曲线的方程为24x -25y =1(x ≥2).2.过双曲线C:22x a -22yb =1(a>0,b>0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( A )(A)24x -212y =1 (B)27x -29y =1(C)28x -28y =1(D)212x -24y =1解析:由,,x a b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩得,,x a y b =⎧⎨=-⎩所以A(a,-b).由题意知右焦点到原点的距离为c=4,即(a-4)2+b 2=16.而a 2+b 2=16,所以所以双曲线C 的方程为24x -212y =1.故选A. 3.如图所示,F 1,F 2是双曲线22x a -224y=1的左、右焦点,过F 1的直线与双曲线分别交于点A,B,若△ABF 2为等边三角形,则△BF 1F 2的面积为( C ) (A)8(D)16解析:由双曲线的定义可知|BF 2|-|BF 1|=2a,|AF 1|-|AF 2|=2a. 又△ABF 2是等边三角形,所以|AF 1|-|AF 2|=|AF 1|-|AB|=|BF 1|=2a, 所以|BF 2|=4a.在△AF 1F 2中,|AF 1|=6a,|AF 2|=4a,|F 1F 2|=2c, ∠F 1AF 2=60°,所以4c 2=36a 2+16a 2-2·6a ·4a ·cos 60°, 即c 2=7a 2,所以b 2=c 2-a 2=6a 2=24, 所以a 2=4, 所以12BF F S=12·2a ·4a ·sin 120°2故选C.4.已知F 1,F 2为双曲线C:x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( C ) (A)14(B)35(C)34(D)45解析:由双曲线的定义有c=2, 且|PF1|-|PF 2|=|PF 2所以|PF1|=2|PF 2则cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-⋅=34. 5.已知△ABP 的顶点A,B分别为双曲线216x -29y =1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则sin sin sin A BP-的值等于( A )(A)45 (C)54解析:在△ABP 中,由正弦定理知sin sin sin A B P-=PB PA AB-=22a c =810=45. 类型二 双曲线的离心率 6.(2018·湖州模拟)设点P是双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF 1|=3|PF 2|,则双曲线的离心率为( D )解析:点P 到原点的距离为又因为在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c=2|PO|,所以△PF 1F 2是直角三角形,即∠F 1PF 2=90°.由双曲线定义知|PF 1|-|PF 2|=2a,又因为|PF 1|=3|PF 2|,所以|PF 1|=3a.在Rt △PF 1F 2中,由勾股定理得(3a)2+a 2=(2c)2,解得c a故选D.7.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2是双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1则C 的离心率为( C )(B)2解析: 如图,过点F 1向OP 的反向延长线作垂线,垂足为P ′,连接P ′F 2,由题意可知,四边形 PF 1P ′F 2 为平行四边形,且△PP ′F 2是直角三角形.因为|F 2P|=b,|F 2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF 12P ′|,|PP ′|=2a,所以|F 2所以a,所以e=ca.故选C.8.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为F 1,F 2,以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若|MF 1|-|MF 2|=2b,该双曲线的离心率为e,则e 2= . 解析:由题意,圆的方程为x 2+y 2=c 2,联立222,,x y c b y x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2222,,x a y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即点M(a,b),则|MF 1|-|MF 2即化简得,e4-e 2-1=0,解得e 2.答案 类型三 双曲线的渐近线9.设双曲线22xa -29y =1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意得3a =32,所以a=2.10.双曲线24x -y 2=1的顶点到渐近线的距离等于( C )(A)25 (B)45 解析:双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x ±2y=0,则顶点到渐近.11.设双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C 两点,过B,C 分别作AC,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A ) (A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)∪(D)(-∞∪∞)解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B 点在第一象限,则B(c,2b a),C(c,-2b a),k AB =2()b ac a -,因为CD ⊥AB,所以k C D =2()a a c b -,所以直线CD 的方程为y+2b a =2()a a c b - (x-c),由双曲线的对称性,知点D 在x 轴上, 得x D =42()b ac a -+c,点D 到直线BC 的距离为c-x D ,所以42()b ac a -4<a 2(c-a)·(c+a)=a 2·b 2,b 2<a 2,(b a)2<1,又该双曲线的渐近线的斜率为b a或-b a,所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).故选A. 类型四 双曲线中综合问题12.已知双曲线22x a -22y b =1的渐近线与圆x 2+(y-2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是( C ),+∞(C)(2,+∞) (D)(1,2)解析:因为双曲线渐近线为bx ±ay=0, 与圆x 2+(y-2)2=1相交,所以圆心到渐近线的距离小于半径,所以2a<c,所以e=ca >2,故选C. 13.双曲线C:22x a -22y b =1(a>0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点在双曲线上,且x 1≠x 2.若线段AB 的垂直平分线经过点Q(4,0),则AB 中点的横坐标为( B ) (A)1 (B)2解析:设AB 中点为P(x 0,y 0),则点差法得k AB ·00yx =1,所以AB 的中垂线斜率为-00y x ,则04y x --=-0y x 得x 0=2,所以AB 中点的横坐标为2.故选B. 14.平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .解析:设点A 在点B 左侧,抛物线C 2的焦点为F,则F(0,2p).联立得22,x py b y x a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩和22,,x py by x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩分别解得A(-2bpa ,222b p a ),B(2bpa ,222b p a ).因为F 为△OAB 的垂心, 所以AF ⊥OB, 所以k AF ·k OB =-1, 即22222b p pa bp a--·ba=-1⇒4b 2=5a 2⇒4(c 2-a 2)=5a 2⇒22c a =94, 所以e=c a =32.答案:32。
【人教B版】双曲线的几何性质 教师版
【人教B 版】双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题．导语在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．一、双曲线的简单几何性质问题1类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的几何性质．2．对称性x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)关于x 轴、y 轴和原点都对称．x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心．3．顶点(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点.顶点是A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，只有两个．(2)如图，称线段A 1A 2为双曲线的实轴，它的长为2a ，a 称为半实轴长；称线段B 1B 2为双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 称为双曲线的半虚轴长．(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)．4．渐近线双曲线在第一象限内部分的方程为y ＝ba x 2－a 2，它与y ＝b a x 的位置关系：在y ＝ba x 的下方．它与y ＝bax 的位置的变化趋势：慢慢靠近．(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．5．离心率(1)定义：e＝ca.(2)e的范围：e>1.(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到ba＝c2－a2a＝c2－a2a2＝e2－1，说明e越趋近于1，则ba的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．知识梳理(2)等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．(4)焦点到渐近线的距离为b.(5)画双曲线时，先画两条渐近线．例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．延伸探究若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．跟踪训练1双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C ．1D.2二、由简单几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(3)过点(2,1)的等轴双曲线．跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a ,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．三、双曲线的离心率例3已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是()A.2B.53C.52D.5跟踪训练3已知F 1，F 2右焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.3＋1B.2＋1C ．23D ．221．知识清单：(1)双曲线的几何性质．(2)等轴双曲线．(3)双曲线的离心率．2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．1.(多选)已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则()A ．实轴长为82B ．虚轴长为4C ．焦距为6D ．离心率为3242．双曲线x 29－y 216＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A ．6B ．8C ．9D ．103．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是()A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝44.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C ，D 的双曲线的离心率是________．课时对点练1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.432．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为()A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)若双曲线C 的一个焦点F (5,0)，P 是双曲线上一点，且渐近线方程为y ＝±43x ，则下列结论正确的是()A．C的方程为x29－y216＝1 B．C的离心率为54C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为26．(多选)已知曲线C：x2m2＋y2m－2＝1，下列说法不正确的是()A．m<2时该曲线为双曲线B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上D．若该曲线的离心率为7，则m＝12或m＝－2 37．双曲线x2－y23＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．(1)求双曲线的离心率；(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．10．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率．11．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x2 20－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x2 80－y220＝1 D.x220－y280＝112.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2 C.3 D.213．已知P为双曲线y24－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA |·|PB |的值为()A ．4B ．5C.45D ．与点P 的位置有关14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，P 为双曲线上任意一点，则点P 到右焦点F 2的距离与直线x＝a 2c的距离之比为________．15．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．参考答案问题1提示1.范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得x 2a 2＝1＋y 2b 2≥1，于是，双曲线上点的坐标(x ，y )都适合不等式x 2a 2≥1，y ∈R ，所以x ≥a 或x ≤－a ；y ∈R .例1解将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±23x .延伸探究解把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋nm，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤跟踪训练1答案B解析双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，所以x ±y ＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝|±1±0|2＝22.例2解(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.＝43，－12b 2＝1，2＝94，2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(3)设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,1)，则λ＝3，∴所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2解(1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.例3答案C解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得其一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，又由圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0，可得圆心为C (0,5)，半径r ＝2，则圆心到渐近线的距离为d ＝|－5a |b 2＋ －a 2＝5ac，则5a c ＝2，可得e ＝c a ＝52.反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3答案B解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .因为△PF 1F 2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF 2F 1＝90°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，所以(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.因为e >1，所以e ＝2＋1.1.答案ABD解析双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，c ＝6，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4，焦距为12，离心率为324.2．答案B解析由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.3．答案A解析令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.4.答案2＋1解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C ，D 的双曲线，可得C (c ,2c )，代入双曲线方程得c 2a 2－4c 2b 2＝1，即c 2a 2－4c 2c 2－a2＝1.可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋22，所以e ＝2＋1.课时对点练1．答案C解析由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝ca＝32.2．答案D解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.3．答案B解析∵e＝3，∴ca＝3，即a2＋b2a2＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为x2a2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y＝±2x. 4．答案C解析由双曲线的几何性质可得，双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±3ax，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±32x，故a＝2.5答案AD解析双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±43x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以ba＝43，因为c＝5，所以b＝4，a＝3C的方程为x29－y216＝1，A正确；离心率为e＝53，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝4×542＋32＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．6．答案AB解析由题意知，若曲线C －2<0，2>0，即m<2且m≠0，故A不正确；若该曲线为等轴双曲线，方程可化为x2m2－y22－m＝1，则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；∵m2>0，故C正确；D中，e＝7，∴m2＋2－mm2＝7，即6m2＋m－2＝0，解得m ＝12或m ＝－23，故D 正确．7．答案3解析双曲线x 2－y 23＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y ＝3x ，因此焦点到渐近线的距离d ＝233＋1＝ 3.8．答案y 236－x 212＝1解析椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23＝233，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 236－x 212＝1.9．解(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y ＝kx ，则5k k 2＋1＝4，解得k ＝43.若双曲线焦点在x 轴上，则b a ＝43，e ＝53；若双曲线焦点在y 轴上，则a b ＝43，e ＝54，故所求双曲线的离心率为e ＝53或e ＝54.(2)由题意设F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由PF 1⊥PF 2得PF 1—→·PF 2—→＝0.所以(3＋c )(3－c )＋16＝0，解得c ＝5，由(1)知b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，所以a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.10．解直线l 的方程为x a ＋y b 1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4.又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.11．答案A 解析由题意，点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝12，即a ＝2b .又2c ＝10，∴c ＝5.由a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝20，b 2＝5.故所求双曲线方程为x 220－y 25＝1.12.答案B 解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m，由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2.13．答案C 解析设点P (x 0，y 0)，则有y 204－x 20＝1，所以y 20－4x 20＝4.易知双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为2x ±y ＝0，所以|PA |·|PB |＝|2x 0＋y 0|5·|2x 0－y 0|5＝|4x 20－y 20|5＝45.14．答案2解析离心率e ＝2，则c a＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，∴b ＝3a ，∴右焦点F 2(2a ,0)，直线x ＝a 2c ＝a 22a ＝a 2，设点P (x 0，y 0)，∴x 20a 2－y 20b 2＝1，即x 20a 2－y 203a2＝1，∴点P 到F 2的距离与点P 到直线x ＝a 2的距离之比为 x 0－2a 2＋y 20|x 0－a 2＝ x 0－2a 2＋ 3x 20－3a 2 |x 0－a 2|＝4x 20－4ax 0＋a 2|x 0－a2|＝|2x 0－a ||x 0－a 2|＝2.15．答案3－12解析椭圆、双曲线都关于x 轴、y 轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况．记双曲线N 的一条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点为P ，椭圆左焦点为Q ，右焦点为F ，连接PQ ，由题意知，△OPF 为正三角形，边长设为2，则高为3，所以椭圆半焦距为2,2a ＝|PQ |＋|PF |＝23＋2，a ＝3＋1，离心率为23＋1＝3－1.双曲线N 的一条渐近线斜率为n m＝tan 60°＝3，e 2＝m 2＋n 2m 2＝1＋n 2m 2＝4，所以离心率为2.16．解(1)由题意，知ba＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为x22－y22＝1.(2)由题意，设A(m，n)，则k OA＝33，从而n＝33 m，又m2＋n2＝c2，所以m＝32c，n＝c2，所以将点A代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1得，3c2 4a2－c24b2＝1，所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，所以3b4－2a2b2－a4＝0，所以－－1＝0，所以b2a2＝1，从而e2＝1＋b2a2＝2，又e>1，所以e＝ 2.。
双曲线及抛物线(讲义)
双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．12{|||||||2}P M MF MFa =-=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =±． ①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得222221x y a c a-=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得22221(00)x y a b a b-=>>，． 双曲线的标准方程：22221(0 0)x y a b a b，-=>>．2.双曲线的几何性质R R对称轴二、抛物线1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2px =-．设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{|||}P M MF d==．因为||||2pMF d x ==+，所以||2px =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．2. 抛物线的几何性质1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点在x轴上，经过点(，3；（3）焦点为(06)-，，(06)，，且经过点(25)-，．2.双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，与2222(0)x ya bλλ-=≠有相同的（）A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对3.已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在直线6x=-上，则双曲线的方程为（）A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=4.若双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，，则其渐近线方程为（）A．2y x=±B．y=C．12y x=±D．y x=5. 已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点． 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上， 则△PQF 的周长为__________．6. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14x C y =：与双曲线2C 的公共焦点， 点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） ABC ．32D．28. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？9.点()M x y，到定点(5 0)F，的距离和它到定直线l：165x=的距离之比是常数54，求点M的轨迹方程．10.已知双曲线2212yx-=，过点(11)P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．11. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x 轴对称，并且经过点(5 4)M -，； （2）准线方程是4x =； （3）焦点是(0 8)F -，；（4）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6．12. 如图，M 是抛物线212y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角∠xFM =60°，则||FM =__________．13. 如图，已知直线1 4360l x y --=：和直线2 1l x =：，抛物线 24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A．5B ．2C ．115D ．314. 如图，斜率为1的直线l 经过抛物线为24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．15. 如图，过抛物线28y x =-的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，若||6AF =，求BF 的长．16. 如图，已知直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD⊥AB 交AB 于点D ，若点D 的坐标为(2 1)，，求p 的值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】知识点睛一、x轴、y轴原点2a2b2cb y x a=±a y x b=±(1)+∞， 22a b +二、x 轴y 轴2px =-2p x =2p y =-2p y =精讲精练1．（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -=2．C 3．B 4．B 5．44 6．97．D8．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为实轴长的双曲线9．点M 的轨迹方程是221169x y -=10．不存在满足条件的直线l11．（1）2165y x =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±12．1213．B14．815．||3BF =16．54p =。
最新-2018高三数学 8-2第二讲双曲线教师讲义手册课件全国版 文 新人教A版 精品
答案：该学生回答不正确，应为|PF2|＝17 解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|＝2a， ∴|PF2|＝17.
(2008·长沙一中月考七)已知双曲线
在
左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中
点，O为坐标原点，则|ON|等于
()
A．4 C．1
B．2 D.
答案：A
可设
双曲线方程为
(2)若λ＞0，则a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.
由题设2c＝
∴λ＝1，所求双曲线方程为
若λ＜0，则a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ.
由2c＝
∴λ＝－1，
所求双曲线方程为
故所求双曲线方程为
法二：(1)由双曲线渐近线的方程
可设双曲线方程为
∵双曲线过点P(
●回归教材
解析：若方程
表示双曲线，则(2－
m)(m－3)＜0⇔(m－2)(m－3)＞0⇒m＜2或m＞3.故选B.
答案：B
2．(2009·天津，4)设双曲线
的
虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ( )
解析：由题意得b＝1，c＝ 线的渐近线方程为y＝ 即y＝
答案：C
，∴a＝ ，∴双曲 故选C.
3．(教材改编题)已知双曲线 2，则该双曲线两准线间的距离为
的离心率e＝ ()
于是双曲线方程为
故两准线间的距离为 答案：C
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，
则双曲线的方程为
()
解析：∵c＝4，e＝ ＝2，b2＝c2－a2，
∴a＝2，b2＝12.又∵双曲线焦点在x轴上，
∴双曲线方程为
14，其方程为
双曲线的简单几何性质教学讲义
双曲线的简单几何性质教学讲义自主预习探新知情景引入凉水塔的纵切而是双曲线•双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线, 因此，我们有必要探究英有怎样的特性.新知导学2.双曲线几何性质的进一步理解(1)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点•⑵双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆.(3)两个特殊的双曲线①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.②共轨双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轨双曲线，即牙一$=l(a>0, b>0)与讦一务= l(a>0, b>0)互为共轨双曲线.(4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上.(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：①当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2=B+，，所以以心b. c为三边长可构成宜角三角形，如图，其中RtAOJ 252称为双曲线的特征三角形.②当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似结论. (6) 双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近. 预习自测1.双曲线务一晋=1的顶点坐标是(A ) A. (±5,0) B. (±5,0)或(0, ±3) C. (±4,0)D. (±4,0)或(0, ±3)［解析］•••双曲线的顶点在x 轴上，又a 二5 , 选A .2 . (2019浙江卷，2)渐近线方程为牡尸0的双曲线的离心率是(C ) A.乎 B. 1 C.返D. 2［解析］由题意可得号二1,「. e 二 寸1十务二pl 十P 二匹故选C. 3 . (2020山东潍坊高二期末)双曲线方程为节一护=1,则渐近线方程为(A )B ・ y=±2xD ・ y=Y［解析］••双曲线方程为于-护二1 ,则渐近线方程为手-护二o ,即.V 二,故选A 4 •已知双曲线卡一£=l(a>0)的右焦点为(3.0),则该双曲线的离心率等于(B )C. 3 D ・ 4c 3［解析］由题意得+ 5 = 9 f :.a 2= 4 , :.a = 2J ・离心率e 二：二于5. (2020北京卷，12)已知双曲线C ： ~-y=l,则C的右焦点的坐标为( 3.0) : C 的焦 点到其渐近线的距离是」］_•［解析］双曲线C ：卜壬二1中，。
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一、双曲线知识点总结:1. 双曲线的定义（1）第一定义：当时,P的轨迹为双曲线;当时,P的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F与定直线l(定点 F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1>e)的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质与双曲线12222=-b y a x共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x共轭的双曲线为22221y x b a -=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率为2=e.；1.注意定义中“陷阱问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点 P到21,F F距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy 23±=，则离心率为二、双曲线经典题型:1.定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b y a x上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得 5680±=x，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680 处.2. 设P 为双曲线11222=-y x上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由①又 ,22||||21==-a PF PF②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF故选B 。
3.如图2所示，F为双曲线1169:22=-y x C的左焦点，双曲线C上的点iP与()3,2,17=-i P i关于y轴对称，则FP F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ）A ．9B ．16C ．18D ．27[解析]=-F P F P 61=-F P F P 52 643=-F P F P，选C4. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A ）a -（B ） b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为x，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||5. 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.2.求双曲线的标准方程1已知双曲线C 与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x－22b y=1.由题意易求c=2 5.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y=1.解法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x－82y＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x，当 0>λ时，化为1422=-λλy x，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03=±y x的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为 λ=-223y x，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x4.已知点 (3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点 B，过M、 N与圆C 相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<-B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x（x > 0） D ．221(1)10y x x -=>[解析] 2=-=-BN BM PN PM，P点的轨迹是以 M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B3.与渐近线有关的问题1若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C. 5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2= ，5122222=+==a b a c e,所以5=e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A.23y x=±B.49y x=±C.32y x=±D.94y x=±[解析]选C3.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ． 1241222=-y xB ．1241222=-x yC ． 1122422=-x yD ．1122422=-y x[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4.过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.4.几何1.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C.D．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.∴.选B.5.求弦1.双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【解析】设弦的两端分别为.则有：.∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.。