小波分析考试题(附答案)

似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。

五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。（10分）

答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平

移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。

定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列

Z ∈j j }{V ：（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Z

j j Z

j ==∈∈ ；

（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，

Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。满足上述个条件

的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。 关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。

从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予

以考虑。分解的关系为 112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 。另外强调一点这 里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。 在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近)(2R L 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。

Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，

因此，只要确定J V 空间的初始序列Z ∈k k J,}{C ，就可以算出任意空间j V (j

这就是Mallat 重构算法：

六、（10分）基于MATLAB ，请自行选择一个一维信号，采用DB3小波函数，进行3尺度的分解与重构。要求 （1）附上源程序；

（2）绘出原始信号以及分解、重构的结果图。

答：（1）源程序 Load leleccum; S=leleccum(1:100); W=’db3’; Subplot(621);

Plot(s);

Title(‘原始程序‘)；

Dwtmode;

[cazpd,cdzpd]=dwt(s,w);

Lxtzpd=2*length(cazpd) Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx); Subplot(622);

plot(xzpd);

Title(‘zpd 模式重构图’);

Dwtmode（‘sym’）;

[casym,cdsym]=dwt(s,w);

Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx); Subplot(625);

plot(xsym);

Title(‘sym 模式重构图’);

Dwtmode（‘spd’）;

Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx); Subplot(626);plot(xspd);

（2）原始信号以及分解、重构的结果图