点击2010年江苏高考数学卷第12题

２ ｘ ２ ｌ ３ ≤ｌ ｘ ８， ｌ ４ ≤ｌ ９． ｇ ｇ ｇ ｇ ｇ ≤ｌ ｇ ｙ ≤ｌ ｙ ， 即ｌ ３ ≤ｌ ｘ＋２ ｌ ｌ ２ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ≤３
２
题， 不仅 仅 要 能 解 出 正 确 答 案 ， 还需要解题的速 解法１用的是巧妙的配凑法 ， 要求学生有较高 度！ 的观察能力 ， 否 则 是 不 容 易 看 出 来 的． 自然有人 会问 ： 你是如何配凑出来的？ 有通法吗？ 分析２ 其实普通高中课程标准实验教科书 《 （ 数学５ 人民教育出版社２ · Ａ 版必修 》 ０ ０ ７年第３ （ 版） 下简称教科书 ）第 ９ １－９ ２页的阅读与思考 《 错在哪儿 》分析了下面一道题的错解 ： 已知 范围 ． 此题的正确解法除了 运 用 线 性 规 划 之 外 ， 还 可用待定系数法 ： （ 设４ 可求 ｘ ＋２ ｘ ＋ｙ） ｘ －ｙ）后 ， ＋ｌ ｙ ＝ ｋ（ （ ， 得４ 再运用不等式 ｘ＋２ ｘ＋ｙ） ｘ－ｙ） ＋（ ｙ ＝３ 的性质 求 解 就 可 得 出 ４ ｘ ＋２ ｙ 准确的取值范围 ［ ］ 据此 ， 根据待定系数法 ， 我们有解法 ２： ２， １ ０ ．
２ ２ 具体证法为 ： 由（ 可求得双曲线为ｘ －ｙ Ⅰ） ４ ４ ） 、 ） 知Ｆ 设 Ｐ（ 则ｋ ０ Ｆ２（ ２， ０ ． ｘ ＝ １， －２， ｙ １（ ０， ０） １
ｘ ｙ （ ） 的 ２ ＋ ２ ＝ １ ａ ＞ｂ ＞ ０ ａ ｂ
２， 离心率为槡 以该椭圆上的 ２ 右焦点 Ｆ 点和椭 圆 的 左 、 １、
所以 ｌ ｇ ｙ 都成立，
３
３
｛
， ， ｍ ＋２ ｎ ＝３ ｍ ＝－１ 解得 ， ２ ｍ －ｎ ＝－４ ｎ ＝２ ．
｛
｛
１ ≤ ｘ ＋ｙ ≤ ３
， 求４ ｘ ＋２ ｙ 的取值 －１ ≤ ｘ －ｙ ≤ １
ｘ 则ｌ ｌ ｘ－４ ｌ ｌ ｘ＋２ ｌ ＋ ｇ ４ ＝３ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ＝－ （ ｙ） ｙ （ ， ２ ２ ｌ ｘ－ｌ ｇ ｇ ｙ）
而 －３ｌ ２ ≤－ （ ｌ ｘ ＋２ｌ ３ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ）≤－ｌ
（）
ｌ
， 得ｘ ４ ＝ ｙ
３
｛
｛ ｛
是２ ７ ． 点评 实际上当初数学家引入对数的目的之 一就是为了把复杂的幂的运算转化为加减运算 ． 分析４ 解法３告诉我们， 两边取对数， 把幂的 关系与乘除的运算转化为加减运算． 线性规划实际 上就是加减运算， 因此， 我们可以在解法 ３ 的基础 通过换元转化为线性规划问题， 得到解法４ 上， ． 解法 ４ 设 ｌ 则问题转 ｘ ＝ Ｘ， ｌ ｇ ｇ ｙ ＝ Ｙ， 化为 ： 已知 ｌ ３ ≤ Ｘ ＋２ Ｙ ≤ ３ｌ ２， ｇ ｇ 求Ｚ ＝３ Ｘ－ ｌ ４≤２ Ｘ －Ｙ ≤ ２ｌ ３， ｇ ｇ
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对２ ０ １ ０ 年山东省一道高考题的探究
） 安徽省全椒县城东中学 顾代军 （ 邮编 ： ２ ３ ９ ５ ０ ０
主要 平面解析几何是高考重点考查的内容 ， 是用来考查学生运用数学知识进行推理和运算的 能力 ． 很 多 省 市 把 它 作 为 高 考 的 压 轴 题． 推理繁 琐、 计算量大 ， 要想拿到满分 ， 实属不易 ． 但有许多 试题看似很复杂 ， 其实存在着一定的规律 ． 掌握这 些规律 ， 就能给解题带来意想不到的效果 ． 这就要 靠我们平时注意探究和发掘 ． 下面就 ２ 年山东 ０ １ ０ 省理科数学第 ２ １ 题探究其具有的规律 ． 题 如 图， 已知椭圆
２ ３ ｘ ｋ （ｙ２） · 解法 ２ 设ｘ ４ ＝ ｘ ｙ ｙ
ｌ ４≤２ ｌ ｘ－ｌ ｌ ３ ． ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ≤２
ｘ 又因为ｌ 所以设 ３ｌ ｌ ｘ－４ ｌ ｘ－ ｇ ４ ＝３ ｇ ｇ ｇ ｙ． ｙ （ 对一切ｌ ４ ｌ ｌ ｘ＋２ ｌ ｎ ２ ｌ ｘ－ ｌ ｘ、 ＋ ｇ ｇ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ＝ ｍ（ ｙ） ｙ）
１· ｘ ２ ｙ ｘ ｙ
ｘ ７， ≤２ （ ） ≤２７，即２≤ｙ
３ 故ｘ 的最大值是 ２ ７． ４ ｙ 点评 解 题 是 需 要 灵 感 的 ， 作为高考填空
ｘ ２ 解法 ３ 由条件 ３ ≤ ｘ ４≤ ｙ ≤ ８， ≤ ９， ｙ 知 ｘ ＞ ０， 在不等式两边同时取对数 ， 得到 ｙ ＞ ０．
２
２
Ｆ２ 为顶 点 的 三 角 形 的 周 长
（ ） ， 为４ 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 ２＋１ 槡 点， 设 Ｐ 为该双曲线上异于顶点的 任 一 点． 直线 Ｐ Ｆ１ 和 Ｐ Ｆ２ 与椭圆的交点分别为 Ａ、 Ｂ 和Ｃ、 Ｄ． （ ） ； 求椭圆和双曲线的标准方程 Ⅰ 点评 这种解法虽然 也是两边取对数 ， 但最终解 决的 方 式 与 解 法 ３ 是 不 一 样的 ， 解法 ３ 取对数后用不 等式的性质解决问题 ， 此种 解法 取 对 数 后 通 过 换 元 转 化为 线性规划的常规问题 ，
２ ０ １ ０ 年第 ５ 期
中学数学教学
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点击 ２ ０ １ ０ 年江苏高考数学卷第 １ ２题
） 江苏省东台市第一中学 刘海东 （ 邮编 ： ２ ２ ４ ２ ０ ０
以能力立 意 为 指 导 ， 以考查能力和素质为 “ 导向 ”是 数 学 学 科 高 考 命 题 的 一 条 基 本 原 则 ， 则充分体现 ２ ０ １ ０ 年江苏 省 高 考 数 学 卷 第 １ ２ 题， 了这一命题的基本原则 ．
Ｆ１ 和 Ｐ Ｆ２ 的斜率分 别 为 ｋ （ Ⅱ ）设直线 Ｐ １、 ， ： ； ｋ ｋ ２ 证明 ｋ １· ２ ＝１ （ 使得｜Ａ Ｂ｜ Ｃ Ｄ｜＝ ＋ ｜ Ⅲ ）是否存在常数λ， 若存在 ． 求λ 的值 ； 若不 · Ｂ｜ Ｄ ｜ 恒成立？ ｜Ｃ λ｜Ａ 存在 ， 请说明理由 ． 注 第二个问涉及到了双曲线上三个点 、 其中 Ｆ 求证 Ｐ Ｆ１ Ｆ２ 、 Ｐ， Ｆ２ 关 于 原 点 对 称 ， Ｆ１ １、 和Ｐ Ｆ２ 的斜率积为定值 １．
ｒ ｓ 题 的 通 法！ 用 这 种 方 法 还 可 求 出 ｘ ｙ ＝
２ ｌ ２ ｋ ｘ （ （ ）的取值范围 （ 必须对ｋ、 ｘ ｋ、 ｌ∈ Ｚ ｌ是 ｙ） ｙ 正数 、 零、 负数进行分类讨论） 这里就不再讨论！ ．
（）
｛
这是线性规划的基本题 ， 作出可行 ４ Ｙ 的最大值 ． ３ １ 经过点 ） ， ： 域（ 如图 １ 易知直线ｌ Ｙ ＝ Ｘ － Ｚ， ４ ４ ） 时， 此 Ａ（ ｌ ３， ０ Ｚ ＝３ Ｘ －４ Ｙ 取得最大值是ｌ ２ ７， ｇ ｇ ３ ｘ ＝ ３， ｘ 时， 故 ４ 的最大值是 ２ ７． ｙ ＝ １， ｙ
（
）
（ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ０－ ０ ７－ ０ ７
４ ６ 解法１ 因为 所以 ２≤ ８ １，
中学数学教学
２ ｘ １ １ １ １ ６≤ ≤ ２≤ ， ８ ｘ ３ ｙ ｙ ２ ２ ３
２ ０ １ ０ 年第 ５ 期
（）
４
２
≤
两边取对数 ， 目的是把幂 与 乘 除 的 运 算 转 化 为 加 减运算 ， 实 现 问 题 的 转 化， 最终通过不等式的性 质解决问题 ．
分析 ３ 实际上很多 学 生 看 到 本 题 ， 首先想 到： 这题 是 不 是 考 查 线 性 规 划 ， 再一思考发现又 不像嘛！ 区别就在于线性 规 划 是 线 性 关 系 即 加 减 运算 ， 而 本 题 是 幂 的 关 系 与 乘 除 运 算． 所以想到
｛
２ ０ １ ０ 年第 ５ 期
中学数学教学
ｋ ２ ｌ ２ ｋ ｌBaidu Nhomakorabea＋ － 所以 ｘ ｙ ，
２ ２
｛
ｋ＋２ ｌ＝ ３
３ ｋ ＝－１ ｘ ， ， 即 ４ ＝ ｙ ２ ｋ－ｌ ＝－４ ｌ ＝２
｛
（ｙ ），接下来的过程同解法 １．
ｘ
２ ｘ ｙ 点评 这种解法实际上是对 第 一 种 解 法 的
３ ２ ２ ｘ 采用待定系数法确定ｘ 表达成 ｘ 推广 ， ｙ 、 的幂 ４ ｙ ｙ 的乘积形式 ， 所以待定系数法是彻底解决此类问
解 对于 Ａ， 不符合 ； ｘ ＋ｙ ＝ １， １ ７ ６ 对于 Ｄ， 不符合 ； － ＋ ＝ ＞ １， ５ ５ ５ 对于 Ｂ， 故 Ｐ 在Ａ ｘ ＋ｙ ＝ ０ ＜ １， Ｂ 左下方 ，
但当 ｘ ＝－ ２ 时 ， 若 Ｐ 在直线Ａ 则ｙ ＝ ５ ， Ｂ 上， ３ ３ → Ａ →， → ｔ → Ｍ Ｂ Ｍ Ｂ 若 Ｐ 在ＯＭ 上 ， 则因Ｏ 故 Ｏ Ａ ＝ ＝ ∥
则ｘ 的最大值是 ． ≤ ９， ４ ｙ 檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹 １ → ３ → ； Ｐ → Ａ＋ Ｏ Ｂ ② Ｏ ＝ Ｏ ３ ４ １ → １ → ； Ｐ → Ａ＋ Ｏ Ｂ ③Ｏ ＝ Ｏ ３ ２ Ｐ → Ａ → Ｏ → ④Ｏ ＝－Ｏ ＋ Ｂ； １ → → Ｐ → Ａ ＋Ｏ Ｂ． ⑤Ｏ ＝－ Ｏ ２ 解 对于 ① 有 ｘ ＋ｙ ＝ １＋２ ＝ ３ ＞ １， 对 １ ３ １ ３ 所以根据 ② 有 ｘ ＋ｙ ＝ ＋ ＋ ＝ １， ＞ ３ ４ ４ ４ 推论 １、 推论 ２ 以及平 面 向 量 的 基 本 定 理 知 ①② 符合 ， 其余不符合 ． 例９ （ ２ ０ ０ ６年湖南 卷 文 ）如 右 图， Ｏ Ｍ ∥ 点 Ｐ 在由射线ＯＭ 、 Ａ Ｂ， 线段 Ｏ Ｂ 及Ａ Ｂ 的延长 线围成的阴影区域内 Ｐ → （ ，且 Ｏ 不含 边 界） ＝ → → ｘ Ｏ Ａ ＋ｙＯ Ｂ ，则实数对 （ ｘ， ） ｙ）可以是 （ － ， ３ ３） （４ ，４ ） Ｂ．（ １ ３ １ ７ Ｃ． － ， － ， ５ ５） （ ４ ４ ） Ｄ．（ Ａ． １ ３ ２ ２ ２ 则 Ｂ → Ｏ → Ａ → ｔ Ｂ →， ｔ （ ｔ Ｏ ｔ Ｏ ｔ＝ － Ａ） ＝－ ＋ Ｏ － ＝－ ， ３ ２， ２ 从而ｙ ＝ｔ＝ ２ ， 故当 ｘ ＝－ ２ 时 ， ＜ｙ ＜ ３ ３ ３ ３ ５， 故 Ｂ 不符合 ； ３ １ ３ １ 对 于 Ｃ， 故Ｐ 在 ｘ＋ｙ ＝－ ＋ ＝ ＜１， ４ ４ ２ 直线 Ａ 当 ｘ ＝－ １ 时 ， 若 Ｐ 在Ａ Ｂ 左下方 ， Ｂ 上， ４ Ｍ → 故Ｏ Ｍ → Ａ → ｔ 则ｙ ＝ ５， 若 Ｐ 在Ｏ 则Ｏ Ｍ 上， ＝ ∥ Ｂ， ４ １ 故 １ 故 → → Ｂ →， ｔ Ａ Ｂ ＝－ ｔ Ｏ Ａ＋ ｔ Ｏ ｔ＝ ， － ＝－ ， ｙ＝ ４ ４ １ 故当 １ １ ５ 而１ ３ ｔ＝ ． ｘ ＝－ 时 ， ＜ｙ ＜ ， ＜ ４ ４ ４ ４ ４ ４ ５ 故 符合 Ｃ ． ＜ ， ４ 变式 ５ （ ２ ０ ０ ６ 年湖 南卷 理 ）如 右 图 ， Ｏ Ｍ ∥ 点 Ｐ 在由射线ＯＭ 、 Ａ Ｂ， 线段 Ｏ Ｂ 及Ａ Ｂ 的延长线 围成 的 阴 影 区 域 内 （ 不 → 运动 ， 且Ｏ 含边界 ） Ｐ ＝ｘ Ａ → Ｂ →， 则 ｘ 的取值范围是 ； Ｏ ＋ｙＯ 当 ｘ ＝－ １ 时 ， ｙ 的取值范围是 ． ２ ３ （ ） ， １， 答案 ： ０ ． － ∞， ２ ２ 评注 此高考题利 用 三 点 共 线 平 面 向 量 式 及其推论解决 ， 显得比较简便 ．
① （ ） ２ｌ ４ ≤ ２ ２ｌ ｘ －ｌ ３ ② ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ≤ ４ｌ ， 所以 ① ＋ ② 得ｌ ２≤３ ｌ ｘ－４ ｌ ２ ７即 ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ≤ｌ ２≤
３ ， ｌ ｘ＋２ ｌ ３ ｇ ｇ ｇ ｙ ＝ｌ ｘ ， 当且仅当 ７ ４ ≤２ ， ｙ ２ ｌ ｘ－ｌ ｌ ３ ｇ ｇ ｇ ｙ ＝２ ３ ， ｌ ｘ ＝ｌ ３ ｘ ＝３ ｇ ｇ 解之 时， 故ｘ 的最大值 即 ４ ， ｙ ｌ ＝１ ｇ ｙ ＝０ ｙ
２ ｘ ２ 原 题 设实数ｘ、 ４≤ ｙ 满足３≤ｘ ｙ ≤８， ｙ ３
分析 １ 直接解不等 式 ， 再求最大值非常困 难， 我们细细观察 ， 发现 ：
２ ｘ ｘ３ ２ ｘ ｙ 的倒数与 的平方的乘积正好等于 ４ ， ｙ ｙ 利 用不等式的性质 ： 则ａ ａ ＞ｂ＞０且ｃ＞ｄ ＞０， ｃ
可得解法 １： ｄ． ＞ｂ