现代雷达系统分析与设计(陈伯孝)第8章
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(8.2.24)
(8.2.25)
(8.2.26)
40
对于p≥3，式(8.2.25)的递归是连续计算的，直到βn>10p。 该算法的准确度随p值的增大而提高。其计算过程见MATLAB 函数“marcumsq.m”。
图8.7给出了在不同虚警概率Pfa情况下，检测概率Pd与单 个脉冲SNR之间的关系曲线。在实际中通常根据给定的Pfa和Pd， 由此曲线得到单个脉冲SNR的门限。
为了提高判决的质量，减小噪声干扰随机性的影响，一般 需要对接收信号进行多次观测或多次取样。例如，对于N次独 立取样，输入信号为N维空间，接收样本矢量表示为
16
当输入为x(t)＝s(t)＋n(t)时，其N个取样点的联合概率分布 密度函数为p(x1，x2，…，xN|H1)；而当输入为x(t)＝n(t)时，其 联合概率分布密度函数为p(x1，x2，…，xN|H0)。根据观察空间 D的划分，虚警概率和检测概率可分别表示为
4
图8.1 雷达信号检测模型
5
雷达的检测过程可以用门限检测来描述，即将接收机的接 收信号经信号处理后的输出信号(本书中称为检测前输入信号) 与某个门限电平进行比较。如果检测前输入信号的包络超过了 某一预置门限，就认为有目标(信号)。雷达信号检测属于二元 检测问题，即要么有目标，要么无目标。当接收机只有噪声输 入时，为H0假设；当输入包括信号加噪声时，为H1假设，即：
(8.1.8)
(8.1.9)
17
代入式(8.1.7)，得到总错误概率与联合概率分布密度函数 的关系为
(8.1.10)
18
观察空间的划分应保证总错误概率Pe最小，即后面的积分 值最大。因此，满足
(8.1.11) 的所有点均划在D1范围，判为有信号；而将其它的点，即 满足
的所有点划在D0范围，判为无信号。
(8.2.1) 其中，ω0＝2πf0是雷达的工作频率；r(t)是v(t)的包络；
的相位；下标I、Q对应的vI(t)和 vQ(t)分别称为同相分量和正交分量。
25
匹配滤波器的输出是复随机变量，其组成或者只有噪声， 或者是噪声加上目标回波信号(幅度为A的正弦波)。对应第一 种情况的同相和正交分量为
对应第二种情况的同相和正交分量为
• 最小错误概率准则； • 最大后验概率准则(要求后验概率P(H1|x)和P(H0|x)已 知)； • 极小极大化准则； • 奈曼－皮尔逊(Neyman-Pearson)准则。
14
在雷达信号检测中，因预先并不知道目标出现的概率，也 很难确定一次漏警所造成的损失，所以，通常采用的准则是在 一定的虚警概率下，使漏警概率最小或使正确检测概率达到最 大，这就是奈曼－皮尔逊准则。
8
表8.1 二元检测判决概率
9
假设H1出现的先验概率为P(H1)，H0出现的先验概率为 P(H0)，且P(H1)＝1－P(H0)。假设噪声n(t)服从零均值、方差为
的高斯分布，则观测信号x(t)的两种条件概率密度函数 为
(8.1.3a) (8.1.3b)
10
则虚警概率Pfa和漏警概率Pm分别为
当只有噪声(A＝0)时，f(j)简化为{0，2π}区间的均匀分布
的pdf。
32
8.2.2 虚警概率
虚警概率Pfa定义为当雷达接收信号中只有噪声时，信号的 包络r(t)超过门限电压VT的概率。根据式(8.2.11)的概率密度函 数，虚警概率的计算为
(8.2.15)
(8.2.16)
(8.2.17)
33
(8.2.6)
在这种情况下，
J＝r(t)
(8.2.7)
将式(8.2.4)和式(8.2.7)代入式(8.2.5)中，合并后得到
(8.2.8)
28
将式(8.2.8)对j积分得到包络r的pdf为
式中I0·为修正的第一类零阶贝塞尔函数，
wk.baidu.com
(8.2.9)
(8.2.10)
29
这里
式(8.2.9)是Rice概率密度函数。如果A＝
表征虚警的大小有时还用虚警次数nfa，它表示在平均虚警 时间内所有可能出现的虚警总数。Fehlner将虚警次数定义为
(8.2.20) Marcum将虚警次数定义为Pfa的倒数，即nfa＝1/Pfa。
37
8.2.3 检测概率
检测概率Pd是在噪声加信号的情况下信号的包络r(t)超过 门限电压VT的概率，即目标被检测到的概率。根据式(8.2.9)的 概率密度函数，计算检测概率Pd为
(8.2.30)
44
其中，Φ(x)由式(8.2.14)给出。如图8.8所示，式(8.2.23)、 式(8.2.27)和式(8.2.30)这三种近似式计算的精度都很高，在Pfa ＝10－2且信噪比较小时，误差最大，但同样的Pd所要求的SNR 的差异仍小于0.5 dB，误差在可接受的范围内，所以，在大多 数情况下可以使用后两种近似方法计算Pd，以避免繁琐的数值 积分计算。
3
8.1 基本检测过程
检测系统的任务是对输入x(t)进行必要的处理，然后根据 一定的准则来判断输入是否有信号，如图8.1所示。输入到检 测系统的信号x(t)有两种可能：①信号加噪声，即x(t)＝s(t)＋ n(t)；②只有噪声，即x(t)＝n(t)。
由于输入噪声和干扰的随机性，信号检测问题要用数理统 计的方法来解决。
0(只有噪声)，式(8.2.9)变成Rayleigh概率密度函数，
(8.2.11)
当
很大时，式(8.2.9)变成均值为A、方差为
的Gaussian概率密度函数，
(8.2.12)
30
对式(8.2.8)中的r积分得到随机变量j的pdf
其中
(8.2.13)
(8.2.14)
31
为标准正态分布函数，在大多数数学手册中可以查表得到。
采用何种方式来处理信号和噪声(或包括干扰)的混合波形， 以便最有效地利用信号所载信息使检测性能最好，这是理论上 需要解决的问题。信号检测理论就是判断信号是否存在的方法 及其最佳处理方式。本章主要介绍基本检测过程、雷达信号的 最佳检测、脉冲积累的检测性能、二进制积累的检测性能、自 动检测等方面的知识，推导不同情况下的检测概率的计算公式。 由于二进制积累是在检测的基础上进行的，因此，将二进制积 累也放在本章介绍。自动检测主要介绍均值类CFAR方面的内 容。
第8章 雷达信号检测
➢ 8.1 基本检测过程 ➢ 8.2 雷达信号的最佳检测 ➢ 8.3 脉冲积累的检测性能 ➢ 8.4 二进制积累 ➢ 8.5 自动检测——恒虚警率处理 ➢ 8.6 计算检测性能的MATLAB程序
1
雷达的基本任务是发现目标并对目标进行定位。通常目 标的回波信号中总是混杂着噪声和干扰，而噪声和各种干扰信 号均具有随机特性，在这种条件下发现目标的问题属于信号检 测的范畴，而测定目标坐标则是参数估计问题。信号检测是参 数估计的前提，只有发现了目标才能对目标进行定位。因此， 信号检测是雷达最基本的任务。
信号的最佳检测系统(最佳接收系统)是由一个似然比计算 器和一个门限判决器组成，如图8.4所示。这里所说的最佳准 则是总错误概率最小，或者说在固定虚警概率条件下使检测概 率最大。可以证明，在不同的最佳准则下，上述检测系统都是 最佳的，差别仅在于门限的取值不同。
21
图8.4 雷达信号的检测系统
22
8.2 雷达信号的最佳检测
8.2.1 噪声环境下的信号检测
对雷达接收信号进行正交双路匹配滤波、平方律检波和判 决的简化框图如图8.5所示。假设雷达接收机的输入信号由目 标回波信号s(t)和均值为零、方差为σ 2n的加性高斯白噪声 n(t)组成，且噪声与信号不相关。
23
图8.5 平方律检波器和门限判决器的简化框图
24
匹配滤波器的输出信号可以表示为
其中， 称为标准门限，即噪声功率归一化门限电压。 式(8.2.16)反映了门限电压VT与虚警概率Pfa之间的关系。图8.6 给出了虚警概率与归一化检测门限的关系曲线。从图中可以明 显看出，Pfa对门限值的微小变化非常敏感。
34
图8.6 虚警概率与归一化检测门限的关系
35
虚警时间Tfa是指发生虚警的平均时间，它与虚警概率的关 系为
在数学上，奈曼－皮尔逊准则可表示为：在Pfa＝P(H1|H0) ＝α(常数)的条件下，使检测概率Pd＝P(H1|H1)达到最大，或使 漏警概率Pm＝P(H0|H1)＝1－Pd达到最小。这是一个有约束条件 的数值问题，其解的必要条件是应使式(8.1.7)的目标函数达到 极小。
(8.1.7)
15
式中：Λ0为拉格朗日乘子，是待定系数；Pe表示两种错误 概率的加权和，称为总错误概率。在约束条件下使Pm＝1－Pd 最小等效于使Pe最小，这样就将有约束的极值问题转化为无约 束的极值问题，便于求解。
45
图8.8 检测概率Pd的三种近似方法
46
根据式(8.2.29)的计算，表8.2给出了在一定Pfa条件下达到 一定检测概率Pd所要求的单个脉冲的信噪比。例如，若Pd＝0.9 和Pfa＝10－6，则要求最小单个脉冲信噪比SNR＝13.2 dB。实 际中雷达是在每个波位的多个脉冲进行积累后再做检测，则相 当于积累后进行检测判决之前所要求达到的SNR。
(8.2.21) 如果假设雷达信号是幅度为A的正弦波形Acos(2πf0t)，那 么它的功率为A2/2。将单个脉冲的信噪比 代入式(8.2.21)得
38
(8.2.22)
(8.2.23)
39
Q称为Marcum Q函数。Marcum Q函数的积分非常复杂， Parl开发了一个简单的算法来计算这个积分。
(8.2.18) 其中，tint表示雷达的积累时间，或包络检波器的输出超过 门限电压的平均时间。因为雷达的工作带宽B是tint的逆，所以 将式(8.2.15)代入式(8.2.18)，可以将Tfa写为
(8.2.19)
36
使虚警时间最小意味着增加门限值，导致雷达的最大检测 距离会减小。因此，Tfa的选取依赖于雷达的工作模式。
信号检测就是对接收机输出的由信号、噪声和其它干扰组 成的混合信号经过信号处理以后，以规定的检测概率(通常比 较高)输出所希望得到的有用信号，而噪声和其它干扰则以低 概率产生随机虚警(通常以一定的虚警概率为条件)。
2
检测概率和虚警概率取决于噪声和其它干扰信号，以及伴随这 些信号的目标信号的幅度分布(概率密度函数)，因此，检测是 一个统计过程。
(8.2.2)
(8.2.3)
26
其中，噪声的同相和正交分量nI(t)和nQ(t)是不相关的零均
值低通高斯噪声，具有相同的方差
这两个随机变量nI和
nQ的联合概率密度函数(pdf)为
随机变量r(t)和j(t)的联合pdf为
(8.2.4)
(8.2.5)
27
其中，J为Jacobian(即导数矩阵的行列式)，
(8.1.1)
6
图8.2 观察空间的划分
7
对于二元检测来说，有两种正确的判决和两种错误的判决 如表8.1所示。这些判决的概率可以用条件概率表示为
(8.1.2a) (8.1.2b) (8.1.2c) (8.1.2d)
(8.1.2d)中P(H0|H1)表示在H1假设下做出无信号的判 决(即H0为真)的概率，其它条件概率类似。
19
(8.1.12)
式(8.1.11)和式(8.1.12)可改写为
(8.1.13) 定义有信号时的概率密度函数和只有噪声时的概率密度函 数之比为似然比Λ(x)，即
(8.1.14)
20
似然比Λ(x)是取决于输入x(t)的一个随机变量，它表征输 入x(t)是信号加噪声还是只有噪声的似然程度。当似然比足够 大时，有充分理由判断确有信号存在。式(8.1.10)中拉格朗日乘 子Λ0的值应根据约束条件Pfa＝α来确定。
(8.1.4a)
(8.1.4b) 假定判决门限为VT，根据式(8.1.3a)和(8.1.3b)的条件概率 密度函数可得：
(8.1.5)
(8.1.6)
11
检测概率和虚警概率可分别用图8.3(a)、(b)中的阴影部分 面积来表示。
12
图8.3 检测概率和虚警概率
13
判决门限VT的确定与采用的最佳准则有关。在信号检测中 常用的最佳准则有：
41
图8.7 检测概率与单个脉冲信噪比的关系曲线
42
为了避免式(8.2.22)中的数值积分，简化Pd的计算，North 提出了一个非常准确的近似计算公式
(8.2.27)
(8.2.28)
43
由式(8.2.27)可得出对于给定的Pfa和Pd所要求的单个脉冲 最小信噪比SNR，即
(8.2.29) 当Pfa较小、Pd相对较大，从而门限也较大时，DiFranco和 Rubin也给出了近似式
(8.2.25)
(8.2.26)
40
对于p≥3，式(8.2.25)的递归是连续计算的，直到βn>10p。 该算法的准确度随p值的增大而提高。其计算过程见MATLAB 函数“marcumsq.m”。
图8.7给出了在不同虚警概率Pfa情况下，检测概率Pd与单 个脉冲SNR之间的关系曲线。在实际中通常根据给定的Pfa和Pd， 由此曲线得到单个脉冲SNR的门限。
为了提高判决的质量，减小噪声干扰随机性的影响，一般 需要对接收信号进行多次观测或多次取样。例如，对于N次独 立取样，输入信号为N维空间，接收样本矢量表示为
16
当输入为x(t)＝s(t)＋n(t)时，其N个取样点的联合概率分布 密度函数为p(x1，x2，…，xN|H1)；而当输入为x(t)＝n(t)时，其 联合概率分布密度函数为p(x1，x2，…，xN|H0)。根据观察空间 D的划分，虚警概率和检测概率可分别表示为
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图8.1 雷达信号检测模型
5
雷达的检测过程可以用门限检测来描述，即将接收机的接 收信号经信号处理后的输出信号(本书中称为检测前输入信号) 与某个门限电平进行比较。如果检测前输入信号的包络超过了 某一预置门限，就认为有目标(信号)。雷达信号检测属于二元 检测问题，即要么有目标，要么无目标。当接收机只有噪声输 入时，为H0假设；当输入包括信号加噪声时，为H1假设，即：
(8.1.8)
(8.1.9)
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代入式(8.1.7)，得到总错误概率与联合概率分布密度函数 的关系为
(8.1.10)
18
观察空间的划分应保证总错误概率Pe最小，即后面的积分 值最大。因此，满足
(8.1.11) 的所有点均划在D1范围，判为有信号；而将其它的点，即 满足
的所有点划在D0范围，判为无信号。
(8.2.1) 其中，ω0＝2πf0是雷达的工作频率；r(t)是v(t)的包络；
的相位；下标I、Q对应的vI(t)和 vQ(t)分别称为同相分量和正交分量。
25
匹配滤波器的输出是复随机变量，其组成或者只有噪声， 或者是噪声加上目标回波信号(幅度为A的正弦波)。对应第一 种情况的同相和正交分量为
对应第二种情况的同相和正交分量为
• 最小错误概率准则； • 最大后验概率准则(要求后验概率P(H1|x)和P(H0|x)已 知)； • 极小极大化准则； • 奈曼－皮尔逊(Neyman-Pearson)准则。
14
在雷达信号检测中，因预先并不知道目标出现的概率，也 很难确定一次漏警所造成的损失，所以，通常采用的准则是在 一定的虚警概率下，使漏警概率最小或使正确检测概率达到最 大，这就是奈曼－皮尔逊准则。
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表8.1 二元检测判决概率
9
假设H1出现的先验概率为P(H1)，H0出现的先验概率为 P(H0)，且P(H1)＝1－P(H0)。假设噪声n(t)服从零均值、方差为
的高斯分布，则观测信号x(t)的两种条件概率密度函数 为
(8.1.3a) (8.1.3b)
10
则虚警概率Pfa和漏警概率Pm分别为
当只有噪声(A＝0)时，f(j)简化为{0，2π}区间的均匀分布
的pdf。
32
8.2.2 虚警概率
虚警概率Pfa定义为当雷达接收信号中只有噪声时，信号的 包络r(t)超过门限电压VT的概率。根据式(8.2.11)的概率密度函 数，虚警概率的计算为
(8.2.15)
(8.2.16)
(8.2.17)
33
(8.2.6)
在这种情况下，
J＝r(t)
(8.2.7)
将式(8.2.4)和式(8.2.7)代入式(8.2.5)中，合并后得到
(8.2.8)
28
将式(8.2.8)对j积分得到包络r的pdf为
式中I0·为修正的第一类零阶贝塞尔函数，
wk.baidu.com
(8.2.9)
(8.2.10)
29
这里
式(8.2.9)是Rice概率密度函数。如果A＝
表征虚警的大小有时还用虚警次数nfa，它表示在平均虚警 时间内所有可能出现的虚警总数。Fehlner将虚警次数定义为
(8.2.20) Marcum将虚警次数定义为Pfa的倒数，即nfa＝1/Pfa。
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8.2.3 检测概率
检测概率Pd是在噪声加信号的情况下信号的包络r(t)超过 门限电压VT的概率，即目标被检测到的概率。根据式(8.2.9)的 概率密度函数，计算检测概率Pd为
(8.2.30)
44
其中，Φ(x)由式(8.2.14)给出。如图8.8所示，式(8.2.23)、 式(8.2.27)和式(8.2.30)这三种近似式计算的精度都很高，在Pfa ＝10－2且信噪比较小时，误差最大，但同样的Pd所要求的SNR 的差异仍小于0.5 dB，误差在可接受的范围内，所以，在大多 数情况下可以使用后两种近似方法计算Pd，以避免繁琐的数值 积分计算。
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8.1 基本检测过程
检测系统的任务是对输入x(t)进行必要的处理，然后根据 一定的准则来判断输入是否有信号，如图8.1所示。输入到检 测系统的信号x(t)有两种可能：①信号加噪声，即x(t)＝s(t)＋ n(t)；②只有噪声，即x(t)＝n(t)。
由于输入噪声和干扰的随机性，信号检测问题要用数理统 计的方法来解决。
0(只有噪声)，式(8.2.9)变成Rayleigh概率密度函数，
(8.2.11)
当
很大时，式(8.2.9)变成均值为A、方差为
的Gaussian概率密度函数，
(8.2.12)
30
对式(8.2.8)中的r积分得到随机变量j的pdf
其中
(8.2.13)
(8.2.14)
31
为标准正态分布函数，在大多数数学手册中可以查表得到。
采用何种方式来处理信号和噪声(或包括干扰)的混合波形， 以便最有效地利用信号所载信息使检测性能最好，这是理论上 需要解决的问题。信号检测理论就是判断信号是否存在的方法 及其最佳处理方式。本章主要介绍基本检测过程、雷达信号的 最佳检测、脉冲积累的检测性能、二进制积累的检测性能、自 动检测等方面的知识，推导不同情况下的检测概率的计算公式。 由于二进制积累是在检测的基础上进行的，因此，将二进制积 累也放在本章介绍。自动检测主要介绍均值类CFAR方面的内 容。
第8章 雷达信号检测
➢ 8.1 基本检测过程 ➢ 8.2 雷达信号的最佳检测 ➢ 8.3 脉冲积累的检测性能 ➢ 8.4 二进制积累 ➢ 8.5 自动检测——恒虚警率处理 ➢ 8.6 计算检测性能的MATLAB程序
1
雷达的基本任务是发现目标并对目标进行定位。通常目 标的回波信号中总是混杂着噪声和干扰，而噪声和各种干扰信 号均具有随机特性，在这种条件下发现目标的问题属于信号检 测的范畴，而测定目标坐标则是参数估计问题。信号检测是参 数估计的前提，只有发现了目标才能对目标进行定位。因此， 信号检测是雷达最基本的任务。
信号的最佳检测系统(最佳接收系统)是由一个似然比计算 器和一个门限判决器组成，如图8.4所示。这里所说的最佳准 则是总错误概率最小，或者说在固定虚警概率条件下使检测概 率最大。可以证明，在不同的最佳准则下，上述检测系统都是 最佳的，差别仅在于门限的取值不同。
21
图8.4 雷达信号的检测系统
22
8.2 雷达信号的最佳检测
8.2.1 噪声环境下的信号检测
对雷达接收信号进行正交双路匹配滤波、平方律检波和判 决的简化框图如图8.5所示。假设雷达接收机的输入信号由目 标回波信号s(t)和均值为零、方差为σ 2n的加性高斯白噪声 n(t)组成，且噪声与信号不相关。
23
图8.5 平方律检波器和门限判决器的简化框图
24
匹配滤波器的输出信号可以表示为
其中， 称为标准门限，即噪声功率归一化门限电压。 式(8.2.16)反映了门限电压VT与虚警概率Pfa之间的关系。图8.6 给出了虚警概率与归一化检测门限的关系曲线。从图中可以明 显看出，Pfa对门限值的微小变化非常敏感。
34
图8.6 虚警概率与归一化检测门限的关系
35
虚警时间Tfa是指发生虚警的平均时间，它与虚警概率的关 系为
在数学上，奈曼－皮尔逊准则可表示为：在Pfa＝P(H1|H0) ＝α(常数)的条件下，使检测概率Pd＝P(H1|H1)达到最大，或使 漏警概率Pm＝P(H0|H1)＝1－Pd达到最小。这是一个有约束条件 的数值问题，其解的必要条件是应使式(8.1.7)的目标函数达到 极小。
(8.1.7)
15
式中：Λ0为拉格朗日乘子，是待定系数；Pe表示两种错误 概率的加权和，称为总错误概率。在约束条件下使Pm＝1－Pd 最小等效于使Pe最小，这样就将有约束的极值问题转化为无约 束的极值问题，便于求解。
45
图8.8 检测概率Pd的三种近似方法
46
根据式(8.2.29)的计算，表8.2给出了在一定Pfa条件下达到 一定检测概率Pd所要求的单个脉冲的信噪比。例如，若Pd＝0.9 和Pfa＝10－6，则要求最小单个脉冲信噪比SNR＝13.2 dB。实 际中雷达是在每个波位的多个脉冲进行积累后再做检测，则相 当于积累后进行检测判决之前所要求达到的SNR。
(8.2.21) 如果假设雷达信号是幅度为A的正弦波形Acos(2πf0t)，那 么它的功率为A2/2。将单个脉冲的信噪比 代入式(8.2.21)得
38
(8.2.22)
(8.2.23)
39
Q称为Marcum Q函数。Marcum Q函数的积分非常复杂， Parl开发了一个简单的算法来计算这个积分。
(8.2.18) 其中，tint表示雷达的积累时间，或包络检波器的输出超过 门限电压的平均时间。因为雷达的工作带宽B是tint的逆，所以 将式(8.2.15)代入式(8.2.18)，可以将Tfa写为
(8.2.19)
36
使虚警时间最小意味着增加门限值，导致雷达的最大检测 距离会减小。因此，Tfa的选取依赖于雷达的工作模式。
信号检测就是对接收机输出的由信号、噪声和其它干扰组 成的混合信号经过信号处理以后，以规定的检测概率(通常比 较高)输出所希望得到的有用信号，而噪声和其它干扰则以低 概率产生随机虚警(通常以一定的虚警概率为条件)。
2
检测概率和虚警概率取决于噪声和其它干扰信号，以及伴随这 些信号的目标信号的幅度分布(概率密度函数)，因此，检测是 一个统计过程。
(8.2.2)
(8.2.3)
26
其中，噪声的同相和正交分量nI(t)和nQ(t)是不相关的零均
值低通高斯噪声，具有相同的方差
这两个随机变量nI和
nQ的联合概率密度函数(pdf)为
随机变量r(t)和j(t)的联合pdf为
(8.2.4)
(8.2.5)
27
其中，J为Jacobian(即导数矩阵的行列式)，
(8.1.1)
6
图8.2 观察空间的划分
7
对于二元检测来说，有两种正确的判决和两种错误的判决 如表8.1所示。这些判决的概率可以用条件概率表示为
(8.1.2a) (8.1.2b) (8.1.2c) (8.1.2d)
(8.1.2d)中P(H0|H1)表示在H1假设下做出无信号的判 决(即H0为真)的概率，其它条件概率类似。
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(8.1.12)
式(8.1.11)和式(8.1.12)可改写为
(8.1.13) 定义有信号时的概率密度函数和只有噪声时的概率密度函 数之比为似然比Λ(x)，即
(8.1.14)
20
似然比Λ(x)是取决于输入x(t)的一个随机变量，它表征输 入x(t)是信号加噪声还是只有噪声的似然程度。当似然比足够 大时，有充分理由判断确有信号存在。式(8.1.10)中拉格朗日乘 子Λ0的值应根据约束条件Pfa＝α来确定。
(8.1.4a)
(8.1.4b) 假定判决门限为VT，根据式(8.1.3a)和(8.1.3b)的条件概率 密度函数可得：
(8.1.5)
(8.1.6)
11
检测概率和虚警概率可分别用图8.3(a)、(b)中的阴影部分 面积来表示。
12
图8.3 检测概率和虚警概率
13
判决门限VT的确定与采用的最佳准则有关。在信号检测中 常用的最佳准则有：
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图8.7 检测概率与单个脉冲信噪比的关系曲线
42
为了避免式(8.2.22)中的数值积分，简化Pd的计算，North 提出了一个非常准确的近似计算公式
(8.2.27)
(8.2.28)
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由式(8.2.27)可得出对于给定的Pfa和Pd所要求的单个脉冲 最小信噪比SNR，即
(8.2.29) 当Pfa较小、Pd相对较大，从而门限也较大时，DiFranco和 Rubin也给出了近似式