石油大学工程数学试题A卷2010-2011

中国石油大学（北京）2010--2011学年第一学期

研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：工程数学

课程编号：063001

注：计算题取小数点后四位

一、 填空题(每小题4分，共20分)

1、已知近似值x 有4位有效数字，则x 的相对误差限为_______________。

2、 序列{}n=0n y ∞

满足递推关系：11,(1,2,...)n n y ay n -=-=，若0y 有误差, 则此计算 过程稳定的条件是____________. 3、形如

1

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

的插值型求积公式，其代数精度至多可达______次。

4、已知矩阵1221A -⎡⎤

=⎢

⎥

-⎣⎦

，则A 的谱半径为 _________. 5、已知向量(2,1,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(2,0,0)T Lx

=，则L =_________. 二、（15分）用QR 分解方法求解Ax=b ，其中

2 -1 7100

3 10, 70

4

5 1A b ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

三、（15分）设方程组1231231

232213225

x x x x x x x x x +-=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

（1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式，并取零初值迭代3步； （2）两种迭代格式是否收敛？

四、（15分）对函数(),[1,1]x f x e x =∈-

（1）用节点0121,0,1x x x =-==构造二次Lagrange 插值多项式； （2）用极小化插值构造二次插值多项式，并比较它们的误差； （3）分别用以上两个插值多项式计算(0.25)f 的值，比较计算结果。

五、（15分）对()[,]f x C a b ∀∈，试用Legendre 二次多项式221()(31)2

P x x =-的零点构造一两点

Gauss Legendre -求积公式

1122()()()b

a

f x dx A f x A f x ≈+⎰

试确定求积系数12,A A 和求积节点12,x x

，并用此求积公式计算积分0

⎰

。

六、（10分）已知插值节点为=i x i ，相应的1-n 次Lagrange 插值基函数是()i l x 12=(,,,)i n ，

试证明:（1）对x ∀,有

1

1==∑()n

i i l x

（2）11

1(0)

(0)0

(1,2,,1)(1)!()

n

k

i i n k l i k n n k n =-⎧=⎪==-⎨⎪-=⎩∑ 七、（10分）液体粘度与温度有很大关系，其函数关系可表为：

2

012000ln T

T c c c T T μμ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

其中，μ为粘度，T 为热力学温度，0μ和0T 分别为μ和T 的参考值，i c 为常数，以下表中水的温度、粘度数据求出其在00o T C =的i c 值。数据中第一行为温度（以摄氏度为单位，计算时要转化为热力学温度，取0273.15K =），第二行为粘度（单位410/()kg m s -⋅）。