高等数学教学课件第九章第二节二重积分的计算

2
y2
o 1
D
(1,-1) 4 x
y x2
xy d dy
D
1 y2
xyd x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
Байду номын сангаасdy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
法2. 将D看作X–型区域, 则
积分区域:D D1 D2， 其中D1：- x y x,0 x 1;
D2 : x 2 y x,1 x 4.
D
计算二重积分的一般步骤
1.画出积分区域D的图形 （一般先求围成区域D的曲线的交点）；
2.把积分区域D表示成X-型区域或Y-型区域 （选择积分次序）；
3.代公式(1)或(2)计算二重积分.
例1. 计算I x ydxdy,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域.
解 法1 将D看作X–型区域, 则 D :1 y x,1 x 2.
b
[
2(x) f (x, y)dy]dx .
D
a 1( x)
二重积分的计算公式
D：1(x) y 2(x),a x b
X-型区域
f (x, y)d
b
[
2 (x) f (x, y)dy] dx
a 1 ( x)
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1( x)
(1)
上面将二重积分的计算转化成 两次定积分的计算,通常称为化二重 积分为先对y、后对x的二次积分或 累次积分.
A(x) 2(x) f (x, y)dy. 1( x)
其中y是积分变量,在积分过程中x视为常数.
上述曲顶柱体可看成平行截面面积A(x)为已知的 立体,由定积分应用可知,所求曲顶柱体的体积为
V
b
A(x)dx
b
[
2(x) f (x, y)dy]dx
a
a 1( x)
故:
f (x, y)d
y
(
y2
1 8
y4)
|12
9 8
2 (2y 1 y3)d y
1
2
例2. 计算 I x yd ,其中D 是抛物线
及直线
D
所围成的闭区域.
y
解:法1 由 y2 x 得两曲线的交点：(4, 2),(1, 1). 2 y2 x
(4,2)
y x2
将D看作Y–型区域, 则
D : y2 x y 2, 1 y 2.
xexydx
1
dx
2 xexydy
01
1 e xy
0
|12
dx
D
1 (e 2 x
0
ex )dx
(1 2
e2x
ex)
|10
1 e2 e 1 .
2
2
( exdx exd(x) ex C)
若化为先对x后对y积分计算
xexydx
2
dy
1 xexydx,
1
0
为了计算
1
xe
D
x yd x yd x yd
D
D1
D2
y
2 y2 x
(4,2)
o 1
D1 D2
y(1,-1x)
4
2
x
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
法2较法1繁琐!
例3.计算 x ydxdy，其中D是以点O(0,0), A(1, 2), B2,1
D
为顶点的三角形区域.
y A(1,2) y 3 x
D
Oa
y 1(x)
x
b
对任意取定的x0∈[a,b], 垂直于x轴的平面x=x0,该平
面与曲顶柱体相交所得截面是以区间 [1(x0 ),2 (x0 )]
为底, z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形, 这一截面的面积为
A(x0)
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
( x0 ,
y)dy.
由x0的任意性,对区间[a,b]上任意点x，作垂直于x轴 的平面,该平面与曲顶柱体相交所得截面的面积为
解：将D看作X–型区域, 则积分 y 2x
区域D可以表示为:
D
D1
D
，
2
D1 D2 B(2,1)
其中DD21：：2x2x1
y 2x,0
y 3 x,1
2x
x
x
1;
2.
2
o
3 x
y1x x 2
x ydxdy
dx
0
1 x xydy
1
dx
1x
xy dy
D
11
(
0 1
125
2
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1( y)
(2)
x 1(y)
x 2(y)
D
c
o
x
8
注记(1) D:a x b,c y d.
f
(x,
y)dxdy
d
c
b
dya
f
(x,
y)dx
b
d
dx f (x, y)dy
a
c
D
注记(2)
D : a x b,c y d.
b
d
f1(x) f2( y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
当f(x,y)在区域D上可积时,其积分值与分割方法无 关,于是可选取平行于坐标轴的两组直线来分割D.
在直角坐标系下的面积元素: d dxd y.
y
i
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
yi xi
y
y 2(x)
D
Oa
y 1(x)
x
b
7
同理可得:
D：1( y) x 2( y),c y d
Y-型区域
此时可采用先对x,后对y的积分次序,将二重积分化为先
对x、后对y的二次积分或累次积分计算.
f (x, y)d
d
[
2 ( y)
f (x, y)dx] dy
D
c 1( y)
y d
d
D
o
x
2
计算曲顶柱体的体积：V f (x, y)dxdy.
D
f (x, y)在有界闭区域D上非负连续
设积分区域D是由两条直线x=a,x=b(a<b),两条连续
曲线 y 1(x), y 2(x) 所围成.
区域D可以表示成:
D :1(x) y 2(x),a x b.
y
y 2(x)
X-型区域
I
2
dx
x
x
yd
y
2 (1 xy2)| x d x
11
12
1
y 2 yx
1
2
2 1
(x3
x)
d
x
1 2
(1 4
x4
1 2
x2
)
|12
9 8
1
o
1 2x
法2 将D看作Y–型区域, 则 D : y x 2,1 y 2.
I
2
dy
1
y2xyd x
2
(
1
x2 y) |
2
dy
12
xy
2
)
|
2x 1x
2
x3 dx
dx
2(3
2 1
x3
(
1
2
xy 2
2
3x2
)|
3 x 1x
dx
92
x) dx
150 32
8 x4
|10
( 3 32
1
x4
8
x3
9 4
x2 )
2 |12
13 . 8
14
例4. 求 xexydxdy, 其中D：0 x 1,1 y 2.
D
解: 将D看作X–型区域,化为先对y后对x积分计算:
xydx,则需要分部积分法,计算要比上面方法繁琐!