高等数学教学课件第九章第二节二重积分的计算
大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
高等数学第九章课件.ppt
z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
《二重积分计算》课件
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(1)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。
高等数学第二节二重积分的计算优秀PPT
f
(x,
y) dx
d
y
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
常记d为 (y) X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
2
dy f(x,y)dx. c Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
D 高等数学第二节二重积分的计算
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
c y d
1( y) x 2( y)
例 1. 计算 xydxdy 其D 中 是由 y 直 1,x 线 2
0 R 2x2dy
D
R
80R(R2x2)dx
16 3
R3
x
R y
x2y2R2
25x
例4. 交换积分 : I次 03dx序 5x23 f(x, y)dy
0x3
解.
D5x2 9
y
25x 3
画图
0 y5
D
3y2 25
x
9y 5
9
y
25x or x 3y2 3 A(3,5) 25
D
f
(x,
y)d
x
d
y
b
a d
x 2 ( x) 1( x)
f
x,
yd y
(2)
( 1 ) 式 x ,后 先 y 积 对 ,对 ( 2 ) 式 分 y ,后 先 x 积 对 . 对
由 (1)化(为 2)或(由 2)化(为 1)称为交换积 . 分次
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(2)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、广义二重积分
一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)
D α
D
o
D
α
β
f
1=+y x 1
22=+y x θ
c o n 1
+
x
1
D 2
D S S
2
D R
R
2
y
d x
+ x2+
y
D D ，
D
1
(2x 2
y≥4
D
D
1
)
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
∞
),(y
1 a 2
z
z
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.
谢谢大家！。
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
《二重积分的计算》课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
二重积分计算法PPT
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
高等数学-二重积分的计算PPT课件
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.
高数PPT课件第二节 二重积分的计算法
2
3)
27
二重积分的计算法
例 计算 I | x2 y2 4 | d D : x2 y2 16
D
分析 因被积函数 x2 y2 4
y
的 x2 y2 4 在积分域内变号. 故 D1 : x2 y2 4
D2
D1
o 24 x
D2 : 4 x2 y2 16
I (4 x2 y2 )d ( x2 y2 4)d
其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
y y 2(x) D
X－型
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
3
二重积分的计算法
用二重积分的几何意义说明其计算法
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
是区间 [1( x0 ),为2底( x,0 )]
z
z f (x, y)
曲线 z f ( x0 , y) 为曲边
的曲边梯形.
y
A( x0 )
2( x0 ) 1( x0 )
f
(
x0
,
y)dy
x [a,b] 有:
y 2(x)
A( x0 )
D
y 1 ( x)
O
a
x0 b x
A( x) 2( x) f ( x, y)dy 1 ( x)
其中函数1( y)、2( y)在区间 [c,d]上连续.
y
d
y
d
Y－型
D x 2( y)
x 1( y) D x 2( y)
x 1( y)
应用数学第九章第九章第二节 二重积分的计算和应用19页PPT
解 如图9-7所示
y
D
xydxdy ＝
2
1
x 1
xydy dx ＝
2 1
1 2
xy 2
x 1
d
x
yx
＝
1 2
1 4
x4
1 2
x2
2
1
＝
9 8
y 1
x
O
x2
图 9-7
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
练习4计算二重分 2x2 ydxdy，其
D
中 D由直线 yx 及抛物线 y x2 围成．
Va bS (x)d xa b 1 2 (( x x ))f(x,y)d d y,x
即
f (x, y)dxdy ＝
b a
2(x) 1(x)
f(x,y)dydx
D
这就是把二重积分化为先对 y后对 x 的二重积分的公式．
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
３.设区域
(12x3y2)dxdy21(12x3y2)dxdy
D
00
2
xx2 3y2x10dy
0
2
3 y2dy
0
8
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
练习2 计算二重积分 xsin ydxdy ，其中D是矩形闭区域： D
1 x2，0 y
2
解 如图9－6所示，将二重积分化为累次积分，先对 y 积
D
R
dx
R 2 x 2 R 2 x 2 dy
0
0
R ( R 2 x 2 )dx 0
2 R3 3
因此，所求立体的体积为
高等数学课件D92二重积分的计算
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
D:
0 0
yx
x
yx
D x
o x
Dsixnxdxdy
0
sixnxdx
x 0
d
y
0
sinxdx
cosx
0
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
2019/11/5
重积分
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例4. 交换下列积分顺序
例6. 计算 ex2y2 dxdy, 其中D:x2y2a2. D
解: 在极坐标系下D:00r2a,故
原式
er 2rdrd
2
d
a rer2 dr
D
0
0
2
1er 2
2
a 0
(1ea2)
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
特别, 对 D:00r2()
r1()
o
D f(rco ,rssi)n rdrd
r()
2
d
()f(rco ,srsin )rdr
0
0
D o
2019/11/5
重积分
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
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解：将D看作X–型区域, 则积分 y 2x
区域D可以表示为:
D
D1
D
，
2
D1 D2 B(2,1)
其中DD21：：2x2x1
y 2x,0
y 3 x,1
2x
x
x
1;
2.
2
o
3 x
y1x x 2
x ydxdy
dx
0
1 x xydy
1
dx
1x
xy dy
D
11
(
0 1
125
2
y
(
y2
1 8
y4)
|12
9 8
2 (2y 1 y3)d y
1
2
例2. 计算 I x yd ,其中D 是抛物线
及直线
D
所围成的闭区域.
y
解:法1 由 y2 x 得两曲线的交点：(4, 2),(1, 1). 2 y2 x
(4,2)
y x2
将D看作Y–型区域, 则
D : y2 x y 2, 1 y 2.
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1( y)
(2)
x 1(y)
x 2(y)
D
c
o
x
8
注记(1) D:a x b,c y d.
f
(x,
y)dxdy
d
c
b
dya
f
(x,
y)dx
b
d
dx f (x, y)dy
a
c
D
注记(2)
D : a x b,c y d.
b
d
f1(x) f2( y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
xy
2
)
|
2x 1x
2
x3 dx
dx
2(3
2 1
x3
(
1
2
xy 2
2
3x2
)|
3 x 1x
dx
92
x) dx
150 32
8 x4
|10
( 3 32
1
x4
8
x3
9 4
x2 )
2 |12
13 . 8
14
例4. 求 xexydxdy, 其中D：0 x 1,1 y 2.
D
解: 将D看作X–型区域,化为先对y后对x积分计算:
I
2
dx
x
x
yd
y
2 (1 xy2)| x d x
11
12
1
y 2 yx
1
2
2 1
(x3
x)
d
x
1 2
(1 4
x4
1 2
x2
)
|12
9 8
1
o
1 2x
法2 将D看作Y–型区域, 则 D : y x 2,1 y 2.
I
2
dy
1
y2xyd x
2
(
1
x2 y) |
2
dy
12
b
[
2(x) f (x, y)dy]dx .
D
a 1( x)
二重积分的计算公式
D：1(x) y 2(x),a x b
X-型区域
f (x, y)d
b
[
2 (x) f (x, y)dy] dx
a 1 ( x)
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1( x)
(1)
上面将二重积分的计算转化成 两次定积分的计算,通常称为化二重 积分为先对y、后对x的二次积分或 累次积分.
D
o
x
2
计算曲顶柱体的体积：V f (x, y)dxdy.
D
f (x, y)在有界闭区域D上非负连续
设积分区域D是由两条直线x=a,x=b(a<b),两条连续
曲线 y 1(x), y 2(x) 所围成.
区域D可以表示成:
D :1(x) y 2(x),a x b.
y
y 2(x)
X-型区域
D
Oa
y 1(x)
x
b
对任意取定的x0∈[a,b], 垂直于x轴的平面x=x0,该平
面与曲顶柱体相交所得截面是以区间 [1(x0 ),2 (x0 )]
为底, z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形, 这一截面的面积为
A(x0)
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
( x0 ,
y)dy.
由x0的任意性,对区间[a,b]上任意点x，作垂直于x轴 的平面,该平面与曲顶柱体相交所得截面的面积为
xexydx
1
dx
2 xexydy
01
1 e xy
0
|12
dx
D
1 (e 2 x
0
ex )dx
(1 2
e2x
ex)
|10
1 e2 e 1 .
2
2
( exdx exd(x) ex C)
若化为先对x后对y积分计算
xexydx
2
dy
1 xexydx,
1
0
为了计算
1
xe
D
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
当f(x,y)在区域D上可积时,其积分值与分割方法无 关,于是可选取平行于坐标轴的两组直线来分割D.
在直角坐标系下的面积元素: d dxd y.
y
i
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
yi xi
y
y 2(x)
D
Oa
y 1(x)
x
b
7
同理可得:
D：1( y) x 2( y),c y d
Y-型区域
此时可采用先对x,后对y的积分次序,将二重积分化为先
对x、后对y的二次积分或累次积分计算.
f (x, y)d
d
[
2 ( y)
f (x, y)dx] dy
D
c 1( y)
y d
d
A(x) 2(x) f (x, y)dy. 1( x)
其中y是积分变量,在积分过程中x视为常数.
上述曲顶柱体可看成平行截面面积A(x)为已知的 立体,由定积分应用可知,所求曲顶柱体的体积为
V
b
A(x)dx
b
[
2(x) f (x, y)dy]dx
a
a 1( x)
故:
f (x, y)d
2
y2
o 1
D
(1,-1) 4 x
y x2
xy d dyDBiblioteka 1 y2xyd x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
法2. 将D看作X–型区域, 则
积分区域:D D1 D2， 其中D1：- x y x,0 x 1;
D2 : x 2 y x,1 x 4.
D
计算二重积分的一般步骤
1.画出积分区域D的图形 （一般先求围成区域D的曲线的交点）；
2.把积分区域D表示成X-型区域或Y-型区域 （选择积分次序）；
3.代公式(1)或(2)计算二重积分.
例1. 计算I x ydxdy,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域.
解 法1 将D看作X–型区域, 则 D :1 y x,1 x 2.
x yd x yd x yd
D
D1
D2
y
2 y2 x
(4,2)
o 1
D1 D2
y(1,-1x)
4
2
x
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
法2较法1繁琐!
例3.计算 x ydxdy，其中D是以点O(0,0), A(1, 2), B2,1
D
为顶点的三角形区域.
y A(1,2) y 3 x