第13讲等腰三角形与等边三角形-尖子班

武汉爱智康初数产研组
初二（上）暑期衔接课程（尖子班）
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【题 8】如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，在底边 BC 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE，在∠ABD 的内部作∠ABF=2∠EDC，交 AD 于点 F． （1）求证：△ABF 是等腰三角形； （2）如图 2，BF 的延长交 AC 于点 G．若∠DAC=∠CBG，延长 AC 至点 M，使 GM=AB，连 接 BM，点 N 是 BG 的中点，连接 AN，试判断线段 AN、BM 之间的数量关系，并证明你的结 论．
（2）已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B ＝90°．求 CD 的长______．
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【例 3】如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，AE=3，D 为 EC 中点． （1）求∠CAE 的度数； （2）求 BD 的长．
件的 A 点有几个，试写出他们的坐标．
☞等腰三角形与面积法 【例 5】（1）如图，P 为等腰三角形 ABC 的底边 AB 上的任意一点，PE AC 于点 E ，PF BC 于点 F ， AD BC 点 D ，求证： PE PF AD ．
C
D F
E
AP
B
（2）如图，点 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BA 的延长线上的一点， PE CA 的延长线于点 E ， PF BC 于点 F ， AD BC 于点 D ． PE 、 PF 、 AD 之间存在着怎样的数量关系?
角到△A'B 'C ' 的位置， B 在 A'B ' 上， CA' 交 AB 于 D ，则 BDC
．
（2）如图，在 △ABC 中， AB AC ，AD AE ，BAD 60 ，则 EDC 的度数为
．
（3）如图，在△ABC 中， AB AC ，MN NB ，ABM NBC ，则 MBC
则 △ABC 是等边三角形
（4）在直角三角形中， 30 所对的直角边等于斜边的一半． （5）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．
CD 1 AD 2
PE PF PH AD
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常见图形：
一、等边三角形性质
【例 1】（1）如下右图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为
【题 5】如图，已知 D 为等边△ABC 内一点， DA DC ，P 点在△ABC 外，且 CP CA ， CD 平分 PCB ，求 P
【题 6】如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 EBD 62 ，则 AEB 的度数是
【题 7】等边三角形 ABC 中，AD 是高，AD=3，∠ABC 的平分线交 AD 于点 O，E 是 AC 边 上的运动点，连结 OE 且以 OE 为边长的等边△OEF，当 F 点落在 BC 边上时，请你证明△CEF 是等边三角形．
C
F D
P
EA
B
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二、等腰三角形判定 【例 6】（1）两个全等的含 30、60 角的三角板 ADE 、ABC ，如图所示 E 、A 、C 三点在一条直
线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME 、MC ，是判断△EMC 的形状，并说明理由．
【巩固】 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF， BD=CE． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数．
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【题 1】如图，在△ABC 中， AB AC ，BD BC ，AD DE EB ，则 A 的度数为
．
【题 2】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，求证：BC=3AD． 【题 3】如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求 AB 的长．
【题 4】如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为 AD 延长线上
的一点，且 CE＝CA． ⑴求证：DE 平分∠BDC； ⑵若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD．
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．
（4）如图，四边形 ABCD 中，△EDC 是由△ABC 绕顶点 C 旋转 40 所得，顶点 A 恰好转到 AB
上一点 E 的位置，则 1 2
．
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☞求周长
【例 3】（1）等腰三角形一腰为 3cm,底为 4cm,则它的周长是
；
（2）等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是
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定义
等边三角形的定义：三条边都相等的 三角形叫做等边三角形．
示例剖析
如图△ABC 中， AB AC BC，则△ABC 是等边三 角形.
等边三角形的性质： 三边都相等，三个内角都相等，并且 每一个角都等于 60 ．
如图， △ABC 是等边三角形，则 AB AC BC，A B C 60°
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形的性质： （1）等边对等角，等角对等边 （2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合（三线合一）
等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上． 等腰三角形的判定： （1）从边入手，证明两边相等 （2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等 构造等腰三角形常用的方法： (1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形； （2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形； （3）“垂直平分线”构造等腰三角形； （4）“三角形中 2 倍关系”构造等腰三角形．
【例 7】如图，在等腰三角形 ABC 中， ACB 90 ，D 为 BC 的中点， DE AB 垂足为 E ，过 点 B 作 BF ∥ AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF 交 AD 于 G ． （1）求证： AD CF ； （2）连接 AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．
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；
（3）等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是
。
（4）已知等腰三角形的周长为 24cm ，一腰长是底边长的 2 倍，则腰长是(
)
A． 4.8cm
B． 9.6cm
C． 2.4cm
D．1.2cm
☞等腰三角形的存在性与分类讨论
【例 4】已知，如图， P 2 ，2 ，在坐标轴上取一点 A ，使得△POA 是等腰三角形，则符合条
（4）如图，点 D 是等边 △ABC 边 AB 上的一点， AB 3AD ，DE BC 于点 E ，AE 、CD 相交 于点 F ． ①求证：△ACD ≌△BAE ②过点 C 作 CG AE ，垂足为点 G ，探究 CF 与 FG 之间的数量关系，并证明．
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【巩固】如图，△AOB 和△ACD 是等边三角形，其中 AB⊥x 轴于 E 点，点 E 坐标为(3，0)，点 C(5，0).
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一、等腰三角形性质
☞求角度
【例 1】（1）已知 ABC 中， AB AC ． A 36 ，则 C ______． （4）等腰三角形一个角为 70°,它的另外两个角为___________________； 【例 2】（1）如图，△ABC 中，ACB 90 ，A 20 ，将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 a
DCB EBC 1 A ，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形并证明你的结论. 2
【例 9】如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，D 为斜边 AC 延长线上一点，过 D 点作 BC 的垂线交其延长线于点 E，在 AB 的延长线上取一点 F，使得 BF=CE，连接 EF． （1）若 AB=2，BF=3，求 AD 的长度； （2）G 为 AC 中点，连接 GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE．
【例 4】如图，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为 E，BE∥AC， AC=6．（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）求 BE 的长．
【例 5】如图，在等边△ABC 中， AE CD ，BG AD ，求证： BP 2FG ．
【巩固】如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60°方向走了 500 米到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500 米到达目的地 C 点． （1）判断△ABC 的形状； （2）求 A、C 两点之间的距离． （3）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向．
（2）如图，已知 ABC 为等边三角形， AE BF CD ，△DEF 是否也是等边三角形，若是请 证明；若不是请说明理由．
（3）如图，已知 ABC 、DEF 都为等边三角形，D 、E 、F 分别在边 BC 、CA 、AB 上，．除 已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．
(1)如图①，求 BD 的长； (2)如图②，设 BD 交 x 轴于 F 点，求证：∠OFA=∠DFA; (3)如图③，若点 P 为 OB 上一个动点（不与 0、B 重合），PM⊥OA 于 M，PN⊥AB 于 N.当 P 在
OB 上运动时，下列两个结论：①PM+PN 的值不变；②PM-PN 的值不变．其中只有一个是正 确的，请找出这个结论，并求出其值.
图①
图②
图③
二、等边三角形判定 【例 1】（1）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形．
求证：△DEC 是等边三角形．
（2）如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、CBN 是等边三角形， D 是 AN 中点， E 是 BM 中点，求证： CDE 是等边三角形．
三、含 30 度直角三角形
【例 1】如上图右，等边 △ABC ，点 D 在 AC 上，延长 BC 到 E ，使 CE CD ．若 BD DE ，
给出下结论：①
BD
平分
ABC
；②
AD
1 2
AB
；③
CE
1 2
BC
；④
A
2E
，其中正确的命
题有
【例 2】（1）如图，已知ΔABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE 垂直平分 AC 交 BC 于 D，垂 足为 E，若 DE＝2cm，则 BC＝_____cm.
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【例 2】在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E． （1）如图 1，连接 CE，求证：△BCE 是等边三角形； （2）如图 2，点 M 为 CE 上一点，连结 BM，作等边△BMN，连接 EN，求证：EN∥BC； （3）如图 3，点 P 为线段 AD 上一点，连结 BP，作∠BPQ=60°，PQ 交 DE 延长线于 Q，探究 线段 PD，DQ 与 AD 之间的数量关系，并证明．
等边三角形的判定： ⑴三条边都相等的三角形是等边三角 形． ⑵三个角都相等的三角形是等边三角 形． ⑶有一个角是 60 的等腰三角形是等 边三角形．
若 AB AC BC ，则 △ABC 是等边三角形 若 A B C ，则 △ABC 是等边三角形 若 AB AC ，A 60°（或 B 60 ，或 C 60 ），
BC 延长线上一点，当 PA＝CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）
A. 1
B. 1
C. 2
D.不能确定
3
2
3
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【例 2】（1）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形． 求证：① AN BM ； ② CF 平分 AFB ．
【例 8】我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（ 1 ） 如 图 ， 在 △ABC 中 ， 点 D 、E 分 别 在 AB 、AC 上 ， 设 CD 、BE 相 交 于 O ， 若
A
60
，DCB
EBC
1 A 2
，请你写出图中一个与
A
相等的角，并猜想图中哪个四边形
Hale Waihona Puke Baidu
是等对边四边形；
（ 2 ） 在 △ABC 中 ， 如 果 A 是 不 等 于 60 的 锐 角 ， 点 D 、E 分 别 在 AB 、AC 上 ， 且