2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT)
中考数学专题隐圆中最值问题
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
最新九年级中考数学专题复习： 最值问题-隐圆模型之瓜豆问题 课件
B
C
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等
M
腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A
O
半径的比值,得到MO,相加即得AO.
E
MN
AD
B
当堂训练---轨迹之线段篇
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,
D
，D是定点,E点满足EO=2,故E点
轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
当DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO
且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心
,2为半径的圆.
连接OM,与圆M交点即为F点,此 E
时OF最小.可构造三垂直全等求
线段长,再利用勾股定理求得OM,
减去MF即可得到OF的最小值. B
O
C
M F
接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解 C
FB
决问题.
当堂训练---轨迹之圆篇
3.如图,正方形ABCD中,AB=2 5,O是BC边的中点,点E是正方形内一
动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90º得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.5 2 - 2
【分析】E是主动点,F是从动点 A
连接DF.DF的最小值是_1___.
A
一个定点----垂线段最短
E
G
D
B
C
F
当堂训练---轨迹之线段篇
2.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始
中考专题复习利用隐形圆求圆的最值
将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C
长度的最小值是_______．
D
C
M A
AN
B
知识储备一:圆的概念
圆的定义：在一个平面内，线段OA
A
绕它固定的一个端点O旋转一周另
一个端点A所形成的图形叫做圆。r Nhomakorabea·
通过上述画圆的过程可以看出：到定点的距 离等于定长的点都在同一个圆上。
课前及课上要求
1、请同学们课前试着做一下类型一和类型二中 的例题和变式训练； 2、准备好双色笔，课上认真听讲，及时梳理、 改错。
1
初四数学 数学专题1：***************
利用隐形圆求最值问题
类型一：点圆最值
例1：（2019年通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝
1
60°，M是AD边上的一点，且AM＝ 3 AD，N是AB边上的一动点，
类型二：线圆最值
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， BC＝8，点F 在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点 P处，则点P 到边AB 距离的最小值是________．
7
变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大值为________．
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任 一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如 图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ 为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
2023年中考数学一轮复习专题利用隐形圆求圆的最值课件
8
方法总结：利用隐圆解决线圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--过圆心向定线段作垂直 找到圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
9
变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大，延长AO至C点，过点D作 DF⊥AC于点F，延长FD交⊙D于点P′， 连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大， 则只需AO边上的高最大，此时P′满足条 件，即P′F为最大的高，
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11
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上 任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒ 如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且 ∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（ 不与A、B重合）
是_______．
D
C
M A
AN
B
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
方法总结：利用隐圆解决点圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--连接圆心和定点找到 圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
6
变式训练1： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的 中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则 在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为___.
1
上的一点，且AM＝ AD，N是AB边上3 的一动点，将△AMN沿MN
所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值
2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT) (1)
找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角， 则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运
探 究 隐 圆
在 几 何 最 值 问 题 中 的 作 用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠AC能得到什么结论？ 问题二：求C点的运动路径长？ 问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
A
B
A
运动路径长：6π
Smax=9
∟
O
B
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
动路径长？并求CP的最小值？
A
O P’
P B D C E
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
C
C1
600 ∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 ,
问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
P
450
C1
I1 A
I2
O
B
A
1350
B
I2
C2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
中考数学第六章 圆 重难 微专项8 隐形圆在解题中的应用
模型 2 直角对直径
1.知识依据:90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).
2.模型说明:如图,在△ABC中,∠C=90°,若AB的长固定,则点C的运动轨
迹为以AB为直径的☉O(不含点A,B).
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
例题
例2
如图,四边形ABCD中,连接AC,BD,点O为AB的中点,若∠ADB=
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
专项训练
③当点P在P3处时,易知点E,P3关于AD所在的直线对称,则∠P2DP3=
∠EDP1=40°,所以∠EDP3=100°+40°=140°.综上,当△DEP是以∠EDP
为顶角的等腰三角形时,∠EDP的度数为40°,100°或140°.
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
2
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
专项训练
点P1,P2,P3即为满足条件的点P.①当点P在点P1处时,易知点P1在y轴
上,∴P1(0,-4).②当点P在点P2或P3处时,可设点P的坐标为(1,b),连接
FP2,FP3,则 12 + ( + 2) 2 =2,解得b=-2± 3,∴P2(1,-2+ 3),P3(1,-2- 3).
P在P1处时,∠EDP1=180°-2∠AED=40°.②当点P在P2处时,连接AD,
由圆及等腰三角形的性质可知,点P1,P2关于AD所在的直线对称.因为
∠AP1D=∠AED+∠EDP1=70°+40°=110°,所以∠AP2D=110°.由
∠B=50°,AB=AC,可知∠BAC=80°,所以∠P1DP2=360°-∠BAC∠AP1D-∠AP2D=60°,所以∠EDP2=40°+60°=100°.
专题04 隐形圆-中考数学二次函数压轴题核心考点突破57页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
专题04 隐形圆-中考数学二次函数压轴 题核心考点突破
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
初中数学微课探究“隐圆”在几何解题中的作用公开课PPT课件
正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且A C =2.设
tanB O C =m ，则m 的取值范围是
B C
O
A
类型三：
定点折叠存隐圆
3.如图，在矩形A B C D 中，A B =4，A D =6，E 是A B 边的中点，F 是线段
B C 边上的动点，将△E B F 沿E F 所在直线折叠得到△E B 'F ，连结B 'D ，则
初中数学微课
用数学的眼光观察问题
观察可能导致发现。 观察将揭示某种规律模式或定律。
——波利亚
透过现象看本质，挖掘内涵巧解题
——探究“隐圆”在几何解题中的作用
提出概念
什么叫“隐圆”？
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另
一端点P所经过的封闭曲线叫做圆。
P
•
O
根据圆的定义，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，常常就会隐
B 'D 的最小值是
A
D
E
B'
ห้องสมุดไป่ตู้
BF
C
类型四1： 定长定角存隐圆
4.如图，X O Y =45°，一把直角三角尺A B C 的两个顶点A 、B 分别
在O X 、O Y 上移动，其中X Y =10，那么点O 到X Y 的距离的最大值
为
X
O
Y
类型四2： 定长定角存隐圆
4.2 如图，R t△A B C 中，A B B C ，A B =6,B C =4,P 是△A B C 内部
的一个动点，且，满足P A B =P B C ，则线段C P 长的最小值
为
A
B
P
C
类型五：
中考专题北师大版本九下专题隐形圆的最值问题
3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。
）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。
第二节隐圆的应用
第二节隐圆在范围、最值中的应用圆（或圆的方程）是高考数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆，圆与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．然而，在很多情况下，条件中没有给出圆的有关信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解。
一、典例赏析：例1.（1）如果圆4(y－a－3)(x－2a)22=+上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是________．（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：221x y +=，圆 M ：22()(4)1x a y a -+-+=．若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB＝60°，则 a 的取值范围为_________．例 2.（2014 年北京卷）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-= 和两点(,0),(,A m B m -， 若圆上存在点 P ，使得090APB ∠=，则m 的取值范围是________．例3.（1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2,3) ，点，点 P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．（2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22:()(2)1C x a y a -+-+=，点A(0，2)，若圆C 上存在点 M ，满足2210MA MO +=，则实数 a 的取值范围是________．例4. （1）（2008 年高考江苏卷）若2AB =，AC = ，则ABC ∆面积的最大值是________．（2） （2016 年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点 P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是________． 二、题组巩固1.（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =,P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围是________．2.（2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1:l kx －y ＋2＝0 与 直线 2:l x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距离的最大值为________．3.（2016 届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，，已知圆22:1O x y +=， O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．。
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若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角，则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？
∟
C
C1600Aຫໍສະໝຸດ B600C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
C1
I1
A
B
I2
C2
P
450
O
A
1350
B
I2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
探究隐圆 在几何最值 问题 中的 作用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=900 ,
问题一：根据以上信息，你能得到什么结论？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
A
O P’ E
P
B
D
C
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆、圆圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这 些隐圆，做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆 内的丰富的性质来解题，是我们这节课的主要用意。
比如：定义辅圆、外接辅圆、圆幂辅圆等
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？