2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理

一、知识与技能

1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题

2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．

二、过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、教学重点与难点：

重点：正弦定理的探索及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【授课类型】：习题拔高课

四、教学过程

一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？

二、例题讲解

例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C

c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D

∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴

A a sin =

B b sin =C

c sin =2R

a b c

O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ 解：∵213

60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角，

0090,30==∴B C ∴222=+=c b a

例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆ 解2

3245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

1360sin 75sin 6sin sin ,756000

0+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000

0-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

五、巩固深化，反馈矫正

1试判断下列三角形解的情况：

已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（ ）解

A 一

B 两

C 无解

2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（ ）解

A 一

B 两

C 无解

3.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于

4.在ABC ∆中， B=1350，C=150，a=5则此三角形的最大边长为

5.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____

6.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数

六、小结

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；

（2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =C

c sin ，即可得正弦定理的变形形式：

1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；

2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

===； 3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如B A b a sin sin =

； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b

a A sin sin =。 一般地，已知角A 边a 和边

b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．

（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D

a=bsinA 有一解 a>bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解

七、板书设计 略

巩固深化参考答案：

1.B ；

2.A ；

3.1：3:2；

4.52；

5.2x 2＜＜2；

6.30°或150°。