《高等代数》+基本概念共50页文档
高等代数白皮书
高等代数白皮书1. 前言高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是向量空间、线性变换和矩阵等代数结构。
作为数学的基础学科，高等代数在各个领域都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学、计算机科学等领域发挥着重要的作用。
本文将全面、详细、完整地探讨高等代数的基本概念、理论和应用，并给出一些实例进行说明。
2. 高等代数基本概念2.1 向量空间向量空间是高等代数中的核心概念之一。
它是由一些元素组成的集合，这些元素可以进行加法和数乘运算，并满足一些特定的性质，比如闭性、结合律和分配律等。
向量空间具有很多重要的性质和定理，如向量空间的基、维数、秩等。
2.2 线性变换线性变换是高等代数中另一个核心概念，它描述了向量空间之间的关系。
线性变换是一种保持加法和数乘运算的映射，它保持向量空间的结构不变。
线性变换具有很多重要的性质和定理，如线性变换的表示、特征值和特征向量等。
2.3 矩阵矩阵是高等代数中常用的工具，它能够用于表示线性变换和解线性方程组。
矩阵具有很多重要的性质和定理，如矩阵的行列式、逆矩阵和特征值分解等。
矩阵在各个领域中都有广泛的应用，如图像处理、数据分析和系统控制等。
2.4 线性方程组线性方程组是高等代数中研究的重点之一。
它是由一些线性方程组成的方程组，其中未知数的系数是常数。
线性方程组的求解是高等代数中的一项重要任务，它涉及到矩阵运算和高斯消元法等技巧。
3. 高等代数理论3.1 线性无关和生成子空间线性无关和生成子空间是高等代数中重要的概念。
线性无关指的是一组向量中不存在非平凡线性关系，生成子空间指的是一组向量所有线性组合构成的空间。
线性无关和生成子空间在向量空间的研究中发挥着重要的作用。
3.2 线性映射和线性变换线性映射是高等代数中研究的重点之一。
它是一种保持加法和数乘运算的映射，可以看作是一种特殊的线性变换。
线性映射在向量空间之间建立了一种关系，它具有很多重要的性质和定理。
3.3 特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数中重要的概念。
高等代数概述
高等代数概述初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上将研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《算书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
高等代数的主要内容
高等代数的主要内容：初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
高等代数知识点总结
高等代数知识点高等代数是数学的一个分支学科，它研究代数结构与代数运算的一般理论。
在学习高等代数的过程中，我们会接触到一些重要的概念和知识点。
本文将对一些常见的高等代数知识点进行。
1. 线性代数线性代数是高等代数的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
1.1 向量空间向量空间是线性代数中最基本的概念之一，它是一个满足一定条件的集合。
向量空间具有以下特性：•闭合性：向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然属于该向量空间。
•加法结合律：向量的加法满足结合律。
•加法交换律：向量的加法满足交换律。
•零向量存在性：向量空间中存在一个零向量，它和任意向量的加法得到的结果是原向量本身。
•加法逆元存在性：向量空间中的任意向量都有一个加法逆元。
1.2 线性变换线性变换是指保持向量空间中的线性运算不变的变换。
线性变换具有以下性质：•保持零向量不变：线性变换将零向量映射为零向量。
•保持向量加法：线性变换将向量加法映射为映射后的向量的加法。
•保持标量乘法：线性变换将标量乘法映射为映射后的向量的标量乘法。
1.3 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合。
求解线性方程组的关键是确定进行何种变换操作，使得方程组的解能够被简化。
常见的线性方程组解法包括高斯消元法、矩阵消元法等。
2. 群论群论是代数学中研究群的一个分支学科，它研究群的性质和结构。
2.1 群的定义群是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群具有以下性质：•闭合性：群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
•结合律：群中的运算满足结合律。
•存在单位元：群中存在一个元素，使得该元素与群中的任意元素进行运算得到的结果等于该元素本身。
•存在逆元：群中的任意元素都存在一个逆元，使得该元素与其逆元进行运算得到的结果等于单位元。
2.2 群的性质群具有一些重要的性质，例如：•闭包性：群的闭包性指的是群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
•唯一性：群的单位元和每个元素的逆元都是唯一的。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于我们理解和运用高等代数都具有重要的意义。
本文将对高等代数中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们需要了解高等代数中的一些基本概念。
代数结构是高等代数中的一个重要概念，它包括群、环、域等。
群是一个集合，配上一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
环是一个集合，配上两个二元运算，满足加法封闭性、乘法封闭性、分配律和单位元的性质。
域是一个集合，配上两个二元运算，满足加法和乘法构成交换群的性质。
了解这些代数结构的定义和性质对于我们理解高等代数中的各种代数系统具有重要的意义。
其次，我们需要掌握高等代数中的线性代数知识。
线性代数是高等代数中的一个重要分支，它涉及到向量空间、线性变换、特征值和特征向量等概念。
向量空间是线性代数中的一个重要概念，它包括了一组满足一些性质的向量，例如加法封闭性、数乘封闭性和满足向量空间公理的性质。
线性变换是一个向量空间到自身的映射，它保持了向量空间的线性结构。
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵对角化、矩阵相似等问题中起着重要的作用。
另外，我们还需要了解高等代数中的一些重要定理和结论。
比如，矩阵的特征值和特征向量定理、矩阵的对角化定理、矩阵的相似对角化定理等。
这些定理和结论对于我们理解矩阵的性质和运用矩阵进行计算都具有重要的意义。
最后，我们需要掌握高等代数中的一些重要技巧和方法。
比如，矩阵的运算技巧、线性方程组的解法、矩阵的特征值和特征向量的计算方法等。
这些技巧和方法对于我们解决实际问题和进行高等代数的计算都具有重要的意义。
总之，高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，包括代数结构、线性代数、重要定理和结论，以及一些重要的技巧和方法。
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。
第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。
Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。
601高等代数
601高等代数什么是高等代数？高等代数是数学中的一个分支，主要研究各种代数结构及其性质。
它是代数学的基础，也是许多其他数学领域的重要工具。
高等代数的核心概念包括向量空间、线性变换、矩阵理论、行列式、特征值和特征向量等。
高等代数的基本概念和性质向量空间向量空间是高等代数中最基本的概念之一。
它是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则。
向量空间的定义要求满足八条性质，包括封闭性、结合律、分配律等。
向量空间的例子包括实数空间、复数空间和多项式空间等。
线性变换线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换可以用矩阵来表示，通过矩阵乘法将一个向量映射到另一个向量。
线性变换具有一些重要的性质，如保持零向量、保持向量加法和数乘运算等。
矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它是一个按照矩形排列的数组。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法运算，它们满足一些基本的性质，如结合律和分配律。
矩阵可以用来表示线性变换，通过矩阵乘法将一个向量映射到另一个向量。
行列式行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断矩阵的一些性质。
行列式可以通过递归定义来求解，它具有一些重要的性质，如交换行列式的两行或两列会改变行列式的符号、行列式的值等于对应矩阵的特征值的乘积等。
特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于一个线性变换，特征值表示该变换在某个方向上的缩放倍数，特征向量表示在该方向上的不变向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来求得，它们在许多应用中具有重要的作用，如物理中的振动问题和数据分析中的主成分分析等。
高等代数的应用高等代数在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。
物理学在物理学中，高等代数可以用来描述和求解物理系统的动力学问题。
例如，通过将物理系统建模为向量空间，并使用线性变换和矩阵来描述系统的演化，可以得到系统的运动方程和稳定性条件。
特征值和特征向量在物理学中也有广泛的应用，例如在量子力学中描述粒子的能级和波函数等。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数_精品文档
乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
多 项
对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
式
高 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 等 数环和数域。
代
一、数环
数
定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对 a,b S ，总有 a b, a b, a b S
右边 g xh x 中r次项的系数是： bjck jk r
高 等 代
右边
f
xg xhx 的t次项的系数是：
ai bjck
ai b j ck
数
i r t
j k r
i jkt
左、右两边同次项的系数相等，
乘法满足结合律。
三、多项式的次数定理
1
定理2.1.1：设 f x 0, g x 0
等
证：若f=0或g=0，则必有fg=0。
代 反之，若 数
f x 0, g x 0
f xgx f xgx 0
f x g x 0 ，矛盾。
乘法消去律成立。
1
推论2：若 f x g x f xhx 且 f x 0
多 则gx hx
项
证： f x g x h x 0
式
由于 f x 0 故 g x hx 0
乘法交换律：f x g x g x f x
乘法结合律： f x g x h x f x g xhx
1 乘法对加法的分配律：
f x g x hx f x g x f xhx 多 项 式
高 下面证明多项式乘法满足结合律。
等 代
n
m
l
证：设 f x ai xi , g x bj x3, h x ck xk
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
(完整word版)高等代数知识结构.doc
高等代数知识结构一、高等代数知识结构图行列式的计算工具线性方程组中心课题线性典范型线性代数高等代数研究范围线性空间行列式行列式的性质矩阵的秩矩阵矩阵的运算与逆矩阵的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组线性方程组解的结构极大线性无关组向量相关性线性相关和线性无关化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）二次型对角化线性流形正定性，合同单线性函数线性函数对称双线性函数J矩阵若尔当典范性II-C 定理矩阵的可对角化线性空间的性质与同构，子空间的判定线性空间坐标变换与基变换线性变换特征值与特征向量可对角化及不变子空间欧式空间的性质欧式空间正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间的性质酉空间复数域上的正交变换最大公因式定理整除理论互素与同于因式分解唯一性因式分解理论重因式多项式理论复数域多项式根的理论实数域求法有理数域判定（爱绅斯坦因）多元多项式 /根的判别式对称多项式韦达定理二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组1. 行列式：a11 a12a1n1 行列式的计算设有n2个数，排成 n 行 n 列的数表a21a22a2n ，即 n 阶行an1an 2ann列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积a1j1a2 j2anj n⑴的代数和，这里j1 j2j n是1，2，，n的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 j1 j 2j n是偶排列时,⑴带正号；当j1j2j n是奇排列时,⑴带负号．即aa11a12a1n21a22 a2 n1 j 1j2 j na 1j 1a2 j 2anj n ，这里=表示j 1 j 2j nj 1 j 2 j nan1an 2ann对所有 n 级排列求和 .a. 行列式的性质：性质 1. 行列互换，行列式不变。
性质 2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。
性质 3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
《高等代数》+基本概念
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 两个集的并与交的概念可以推广到任意 个集合上去， 个集合上去 , n 是给定的集合. , n 设 A , A2 ,L A 是给定的集合 由 A , A2 ,L A 的一切元 1 1 , n 的并； 素所成的集合叫做 A , A2 ,L A 的并；由 A , A2 ,L A , n 1 1 的一切公共元素所成的集合叫做的 A , A2 ,L A 交. , n 1 A , A ,L A 的并和交分别记为： , n 的并和交分别记为： 1 2 A U A ULU A 和 A I A2 ILI An . 我们有 1 1 2 n
运算性质: 运算性质 交换律 : AUB = BU A ; AIB = BI A 结合律 : (AI B) IC = AI(BIC) ; (AU B) UC = AU(BUC) 分配律 : AI(BUC) = ( AIB) U( AIC)
AU(BIC) = ( AUB) I( AUC)
我们选取一个来证明. 我们选取一个来证明 例1 证明 AI(BUC) = ( AIB) U( AIC) 反之， ∈A A BUC) (AIC) ，那么 x∈AI B ， 证明 设 反之，若xx ∈(I(I B) U，那么 x∈A x∈BUC 或 于是 且 且至少属于B与 中的之一 ，所以不论哪一 中的之一. 者 x ∈AIC. 但 B ⊆ 与C ， ⊆ BUC若 x∈B ，那么因 且至少属于 BUC C x∈A x∈AIx 同样， 种情形都有 所以，(BUC) B；所以 ，若 x∈C ， 为 x∈A ，所以， ∈AI ， 同样 ( . 不论哪一种情形都有 x 则 x ∈AICAIB) U( AIC) ⊆ AI(BUC)∈(AI B) U(AIC) . 这就证明了上述等式. 这就证明了上述等式IB) U( AIC) 所以 AI(BUC) ⊆( A
高等代数最重要的基本概念汇总审批稿
高等代数最重要的基本概念汇总YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】第一章 基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b ∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()()()()()()()()000max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂ ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
高等代数简介及详细资料
高等代数简介及详细资料初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
高等代数发展内容在高等代数中，一次方程组（也称为“线性方程组”）发展成为线性代数理论；而二次以上的一元方程（也称为“多项式方程”）发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变数论和张量代数等内容的一门高等代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门高等代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。
初等代数线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
线上性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个*** ，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度，散度，镟度就更有说服力。
同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然‘dy/dx’在数学上不过是一个符号，表示包括‘Δy/Δx’的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想像物理上发生的事情）。
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高等代数
高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
在高等代数中，代数结构是集合及其上的运算，比如群、环、域等。
高等代数的主要研究对象是这些代数结构的性质和变换关系，以及它们在其他领域的应用。
在高等代数中，最基本的代数结构是群。
群是一种由一些元素和一个二元运算组成的代数系统，该运算满足四个基本公理：封闭性、结合律、恒等元素和逆元素。
群在数学中广泛应用，特别是在几何学、代数学和数论中。
另一个重要的代数结构是环。
环是一个集合，它上面有两个二元运算：加法和乘法，同时满足一些公理，比如结合律、分配律、幺元素和乘法逆元素。
环可以看作是代数学中的一个数学领域，它与线性代数、代数几何等学科密切相关。
域是环的一种特殊形式。
域是一个具有两个二元运算的代数系统，它满足加法和乘法运算都是可逆的。
域是高等代数学的核心概念，因为许多其它的代数结构都是在域的基础上建立起来的。
在高等代数中，另外一个重要的概念是线性变换。
线性变换是一个由一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持了向量空间内向量的线性组合。
线性变换是代数学的一个重要领域，它们在物理学、工程学和计算机科学等领域中都具有广泛应用。
高等代数的应用包括许多领域，例如密码学、编码理论、图像处理、计算机图形学和学习理论等。
在这些应用中，高等代数提供了数学模型和算法，以解决实际问题。
总的来说，高等代数是一门非常重要的数学学科。
它为理解数学中的许多概念和应用提供了基础，同时也为数学发展提供了新的方向和方法。