2018届上海市高三数学一模金山卷(含答案)

金山区2017学年第一学期质量监控

高三数学试卷

(满分：150分，完卷时间：120分钟)

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．若全集U =R ，集合A ={x |x ≤0或x ≥2}，则U A = ． 2．不等式01<-x

x 的解为 ． 3．方程组⎩⎨⎧=+=-5

32123y x y x 的增广矩阵是 ．

4．若复数z =2–i （i 为虚数单位），则z z z +⋅= ．

5．已知F 1、F 2是椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|⨯|PF 2|的最大值是_______．

6．已知x ，y 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =2x +y 的最大值为 ．

7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件

B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )= （结果用最简分数表示）．

8．已知点A (2，3)、点B (–2，3)，直线l 过点P (–1，0)，若直线l 与线段AB 相交，

则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．

9. 数列{a n }的通项公式是a n =2n –1(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式是b n =3n (n ∈N *

)，令集合

A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，

B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *．将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前28项的和S 28= ．

10．向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|a –i |+|a –2j |=5，则|2|i a +的取值范围为 ．

11．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为

101a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ． 12．关于函数()1x

f x x =-，给出以下四个命题：(1)当x >0时，y=f (x )单调递减且没有

最值；(2)方程f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f (x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x )是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则( )．

(A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件

(B) “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件

(C) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件

(D) “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件

14．将如图所示的一个Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的

主视图是下面四个图形中的( )．

第14题图

(A) (B) (C)

(D) C B A

15．二项式(3i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第8项是( )．

(A) –135x 7 (B)135x 7 (C)3603i x 7 (D)–3603i x 7

16．给出下列四个命题：(1)函数y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为y =cos x (x ∈R )；(2)函数

12-+=m m x y (m ∈N )为奇函数；(3)参数方程⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=222

1211t t y t t x (t ∈R )所表示的曲线是圆；(4)函数f (x )=sin 2x –21)32

(+x ，当x >2017时，f (x )>2

1恒成立．其中真命题的个数为( )． (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1、CD 的中点．

(1) 求三棱锥F –AA 1E 的体积；

(2) 求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三

角函数值表示）．

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知函数f (x )=3sin2x+cos2x –1 (x ∈R )．

(1) 写出函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；

(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，2

3=

⋅BC BA ，且a+c =4，求b 的值．

B 1 B E

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

设P (x , y )为函数f (x )=a x x -2(x ∈D ，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP |为点O 与点P 两点间的距离．

(1) 若a =3，D =[3，4]，求|OP |的最大值与最小值；

(2) 若D =[1，2]，是否存在实数a ，使得|OP |的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对

值||B A y y -=a (a >0)，则△ADB 的面积 S △ADB =p

a 163

．试运用上述定理求解以下各题： (1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D ，求S △ADB ；

(2) 已知AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ：y 2=2px (p >0)分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，求S △AMD 和S △BND ；

(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p >0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．

(1) 已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n –1．求数列{a n }的通项公式；

(2) 在(1)的结论下，试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；

(3) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)，求证：{a n }为“等比源数列”．