第一单元 勾股定理单元检测卷(含答案)
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20B ．40C ．80D ．100 2．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．48 3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．1，2，3 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．5,7,32 4．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，已知3AC =，4BC =，则BD =（ ）A ．125B ．95C ．235D ．1655．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．24B ．52C ．61D ．76 6．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．7，8，9 C ．6，8，10 D 3457．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．15 8．已知Rt ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若90B ∠=︒，则（ ）．A ．222b a c =+B ．222c a b =+C ．222a b c =+D ．a b c +=9．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）A ．10cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 10．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝1；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，那么点P 表示的数是（ ）A ．2.2B 5C ．1+2D 612．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对二、填空题13．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cm AC =，24cm BC =，点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD 的长是______cm ．14．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．15．如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 的中点，8AB =，点P 为AB 上一动点，则PC PD +的最小值为__________．16．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．17．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．18．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为____．19．如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和A B C '''拼在一起，其中点A '与点A 重合，点C '落在边AB 上，连接B C '，若90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC ==，则B C '=________．20．如图，矩形ABCD 中，AB=8,AD=5，点E 为DC 边上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点D ’落在矩形ABCD 的对称轴上时，DE 的长为____________.三、解答题21．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：(1)10PQ ，其中P 、Q 都在格点上；(2)面积为13的正方形ABCD ，其中A 、B 、C 、D 都在格点上．22．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4m ，又往北走1.5m ，遇到障碍后又往西走2m ，再转向北走4.5m 处往东一拐，仅走0.5m 就到达了B ．问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？23．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，AD ＝16，求AB 的长．24．（1）如图1，О是等边ABC 内一点，连接OA OB OC 、、，且3,4,5,OA OB OC ===BAO BCD ≅△△，连接OD ．①OBD ∠= __度；（答案直接填写在横线上）②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）③求BDC ∠的度数．（2）如图2所示，О是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒△内一点，连接OA OB OC 、、，BAO BCD ≅△△，连接OD ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=．请给出证明．25．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．26．如图所示，在一棵树的1?0?米高的 B?处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20?米的 A?处．另一只猴子爬到树顶 D?处后顺绳子滑到 A?处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∴斜边长400，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．2．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴=112.2S ab ∴== 故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 3．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、∵22213)42+==，∴1，23能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；B 、∵22234255+==，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；D 、∵225)7)12+=，23218=()，1218≠， ∴5,7,32故选：D ．本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键． 4．D解析：D【分析】勾股定理求出AB ＝5，设BD=x ，AD=5-x ，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =， ∴2222AB AC BC 345=+=+=，设BD=x ，AD=5-x ，∵CD AB ⊥∴∠CDA=∠CDB=90°，2222AC AD BC BD -=-，22223(5)4x x --=-，解得，x=165， 故选：D ．【点睛】 本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是设未知数，根据勾股定理列方程．5．D解析：D【分析】由题意∠ACB 为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD 的长，进一步求得风车的外围周长．【详解】解：依题意∠ACB 为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD 2=BC 2+CD 2，∴BD 2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D ．本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．6．C解析：C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；D故选：C．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．7．C解析：C【分析】设AE=x，由折叠BE=ED=9-x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯= ABES AE AB，故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．8．A解析：A【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．【详解】由题意，画出图形如下：由勾股定理得：222b a c =+，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．9．C解析：C【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长， 22241026+=，则最长木棒长为26cm ，故选：C ．【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．10．B解析：B【分析】由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．【详解】∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴22226810AB BC +=＋，∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，∵BD 2＋BE 2＝DE 2，∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据题意可知AOB 为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，从而得出OP 长度，即可选择．【详解】∵AB OA ⊥∴AOB 为直角三角形．∴在Rt AOB 中，OB根据题意可知2=1OA AB =，， ∴OB又∵OB OP =，∴P故选：B ．【点睛】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB 的长是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．二、填空题13．15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析得cm 从而得到BE ；设cm 则cm 根据勾股定理列方程并求解即可得到答案【详解】∵∴cm ∵点在边上现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合∴cm 解析：15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析，得18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠=，从而得到BE ；设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案．【详解】∵18cm AC =，24cm BC =， ∴30AB ==cm ， ∵点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，∴18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠= ，∴12BE AB AE =-=cm ，∴设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ， ∴12BE ==cm ，∴212x x +22(24-)=∴15x = ，故答案为：15．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理、折叠问题、一元一次方程，从而完成求解．14．【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A解析：【分析】根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AC 8==，∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，∴FC ＝AC ﹣AF ＝2，∴CE ＝222282217EF FC +=+=，故答案为：217．【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．15．【分析】根据勾股定理得到BC 由中点的定义求出BD 作点C 关于AB 对称点C′则PC′=PC 连接DC′交AB 于P 连接BC′此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45解析：210【分析】根据勾股定理得到BC ，由中点的定义求出BD ，作点C 关于AB 对称点C′，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 8AB =，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AC=BC=2422AB =． ∵D 为BC 的中点，∴BD=22．作点C 关于AB 对称点C′，交AB 于点O ，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵点C关于AB对称点C′，∴∠C′BA=∠CBA=45°，==BC BC'∴∠'90CBC=，∴DC===，'故答案为：【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．16．【分析】由图可知AC的长根据勾股定理可以求得PAPC的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状从而可以得到∠CPA的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数【详解】设网格的长度为1则︒解析：90-α【分析】由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．【详解】设网格的长度为1，则==，AC=6222+=AP PC AC∴△PAC为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒︒故答案为：90-α【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE根据线段的和差关系可得CD的长设CE=x则DE=8-x利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案【详解】∵∠ACB＝90°BC＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．【详解】∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴，∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 18．8【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再根据勾股定理可得然后根据正方形的面积公式可得最后又利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图正方形ACD 的面积依次为4618在中四边形MNG解析：8【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得2226,18,4EF EG ON ===，再根据勾股定理可得212FG =，然后根据正方形的面积公式可得2212MN FG ==，最后又利用勾股定理可得2OM 的值，由此即可得出答案．【详解】 如图，正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18， 2226,18,4EF EG ON ∴===，在Rt EFG 中，22212FG EG EF =-=，四边形MNGF 是正方形，∴由正方形的面积公式得：2212MN FG ==，在Rt MON 中，2221248OM MN ON =-=-=，则正方形B 的面积为28OM =，故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．19．【分析】先运用勾股定理求出的长根据等腰直角三角形的性质证得∠=90°最后再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵和大小形状完全相同∴≌∵∴和为等腰直角三角形∴∴∴和为等腰直角三角形∴∠CAB=∠C`AB 解析：23 【分析】 先运用勾股定理求出AB '的长，根据等腰直角三角形的性质证得∠CAB '=90°，最后再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵ABC 和A B C '''大小、形状完全相同∴ABC ≌A B C '''∵90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC ==∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形 ∴'''2AC B C ==,∴()()22'''222222AB AC AC '=+=+= ∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形∴∠CAB=∠C`AB`=45°，即∠CAB '=90°∴()()()222'222223CB AC AB '=+=+=．故答案为23．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握大小、形状完全相同的三角形是全等三角形是解答本题的关键．20．或【详解】分析：过点D′作MN ⊥AB 于点NMN 交CD 于点M 由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系在直角△EMD′与△AND′中利用勾股定理可得出关于DM解析：52或533【详解】 分析：过点D′作MN ⊥AB 于点N ，MN 交CD 于点M ，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM 长度的一元二次方程，解方程即可得出结论． 详解：过点D′作MN ⊥AB 于点N ，MN 交CD 于点M ，如图1、所示．设DE=a ，则D′E=a ．∵矩形ABCD 有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM=CM 时， AN=DM=12CD=12AB=4，AD=AD′=5， 由勾股定理可知：，∴MD′=MN -ND′=AD -ND′=2，EM=DM-DE=4-a ，∵ED′2=EM 2+MD′2，即a 2=（4-a ）2+4，解得：a=52； ②当MD′=ND′时， MD′=ND′=12MN=12AD=52， 由勾股定理可知：，∴-a ，∵ED′2=EM 2+MD′2，即a 2＝−a )2+(52)2，解得：．综上知：DE=52或3．故答案为52．． 点睛：本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM 长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．三、解答题21．(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）由勾股定理可知当直角边为1和3，由此可得线段PQ ；（2）由勾股定理可知当直角边为2和3可得到面积为13的正方形ABCD ．【详解】(1)(2)如图所示：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．22．132【解析】试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．试题过点B 作BC ⊥AD 于C ，所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =+=+=m, 答：机器人从点A 到点B 之间的距离是132m ． 考点：勾股定理．23．25【分析】在直角△ACD 中利用勾股定理得出CD 的长，再利用在直角△BCD 中利用勾股定理求得BD ，再根据线段的和差关系求得AB 的长．【详解】解：（1）∵CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵在直角△ACD 中，AC=20，AD=16，∴=12；∵在直角△BCD 中，BC=15，CD=12，∴，∴AB=AD+BD=25．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．正确求出CD 的长是解题的关键．24．（1）①60︒；②4；③150︒；（2）2222OA OB OC +=，证明见解析．【分析】（1）①由BAO BCD ≅△△得到,BO BD ABO CBD =∠=∠，继而证明ABC OBD ∠=∠即可解题；②由BAO BCD ≅△△得到BO BD =，结合①结论60OBD ∠=︒，可证明OBD 是等边三角形，即可解题；③根据BAO BCD ≅△△得到=AO CD ，在ODC △中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明ODC △为直角三角形，继而得到90ODC ∠=，再结合OBD 是等边三角形即可解得60OBD ∠=︒据此解题即可；（2）由,BAO BCD ≅可得90,,OBD ABC BO BD CD AO ∠=∠=︒==，可证明OBD 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得OD =，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．【详解】解:（1）①BAO BCD ≅,BO BD ABO CBD ∴=∠=∠ABO OBC CBD OBC ∴∠+∠=∠+∠即ABC OBD ∠=∠60ABC OBD ∴∠=∠=︒故答案为：60︒；②BAO BCD ≅BO BD ∴=，由①得60OBD ∠=︒OBD ∴△是等边三角形，4OD OB BD ∴===故答案为：4；③BAO BCD ≅AO CD ∴=4,3,5OD DC OC ===222OD DC OC ∴+=ODC ∴为直角三角形90ODC ∴∠= OBD △为等边三角形60BDO ∴∠=︒90+60=150BDC ODC BDO ∴∠=∠+∠=︒︒；（2）当2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．理由如下:,BAO BCD ≅90,,OBD ABC BO BD CD AO ∴∠=∠=︒==，OBD ∴△为等腰直角三角形，2OD OB ∴=，当222CD OD OC +=时，OCD 为直角三角形，90ODC ∠=︒2222OA OB OC ∴+=，当OA OB OC 、、满足2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．26．这棵树的高为15?米【分析】设树高为x 米，则可用x 分别表示出CD ，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得x 的值．【详解】解：设树高为x 米，由题意得，BC 10=米，CD x =米，()BD 10x =-米，AC 20=米，在Rt ADC 中， AD ==∵两只猴子所经过的距离相等，BC CA BD DA +=+，即102010x +=-15x =，即树高15米．答：这棵树的高为15米．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出CD ，利用勾股定理得到方程是解题的关键．。
北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题（含答案）
八年级数学上册第1章勾股定理单元检测试题班级：__________姓名：__________一、单选题（共10题；共30分）1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1，D. 5，12，22.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14,C. 7D. 7或253.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯最大升长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A. 12mB. 13mC. 14mD. 15m5.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A. 60B. 30C. 24D. 126.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B.C.D.8.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（）A. 12B. 14C. 16D. 189.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C.D.10.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：6二、填空题（共8题；共24分）11.如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=________．13.一直角三角形的一条斜边和一直角边的长度分别是4和3，则它的另一直角边长是________.14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．15.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________ ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________17.要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为________ ．18.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有________米．三、解答题（共66分）19.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，AB=10，A C=6．求AD 的长度．20.求如图的Rt△ABC的面积．21.如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?22.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？23.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.24.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？25.已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。
八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)
试卷第1页，共8页 八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为（ ）A ．45B ．85C ．165D ．2452．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中5AE =，13BE =，则2EF 的值是（ ）试卷第2页，共8页A ．128B ．64C ．32D ．1444．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽24cm AB =，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm6．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．87．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间试卷第3页，共8页 的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++8．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：①m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；①1，2，3是一组广义勾股数；①13是广义斜边数；①两个广义斜边数的和是广义斜边数；①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；①两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．如图， Rt AED △中，90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====，则ED 的值为（ ）A 33B 34C 35D 37110．如图，在①ABC 中，AB ＝2，①ABC ＝60°，①ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ①l ，BF ①l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）试卷第4页，共8页AB ．C ．D ．11．在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为①O 直径，作AD 交①O 于点E ，则BE 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；①若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；①若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；①若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，OE ①AB 于E ，若①O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．试卷第5页，共8页14．一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米15．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．16．已知2(4)5y x x -+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．17．一个数的平方根是4a 和25a +，则=a _________，这个正数是_________．18．已知a 、b 、c 是一个三角形的三边长，如果满足2(3)450a b c ---=，则这个三角形的形状是_______．试卷第6页，共8页19732x y --，则2x ﹣18y 2＝_____．20．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm 无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A 处，然后遥控甲虫从A 处出发沿外壁面正方形ABCD 爬行，爬到边CD 上后再在边CD 上爬行3cm ，最后在沿内壁面正方形ABCD 上爬行，最终到达内壁BC 的中点M ，甲虫所走的最短路程是 ______cm三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？试卷第7页，共8页22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于种种原因，由C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得CB ＝3千米，CH ＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC 的长．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作： ①测得BD 的长为15米（注：BD CE ）；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH BC⊥，垂足为H，求BH的长度．25．（12，其中4x=．（2）已知x=y=，求22x xy y-+值．试卷第8页，共8页参考答案1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．D9．A10．A11．B12．C13．1614．815．7.5；16．203217．-3118．直角三角形19．2220．1621．(1)风筝的高度CE为21.6米；(2)他应该往回收线8米．22．（1）是；（2）2.5米．23．3米24．(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25．（1）62,122x（2）11答案第1页，共1页。
勾股定理-单元测试题(含答案)
勾股定理单元测试题一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，1：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：213、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：74、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：55、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A、、、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题1、若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 。
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。
（填“合格”或“不合格” ）3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
D CBA4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的 面积的和为 。
5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落 在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
第一单元勾股定理单元检测卷(含答案)(K12教育文档)
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第一单元 勾股定理单元检测卷一、选择题（每小题3分,共30分)1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是( ） A ．32cmB ．42cmC ．52cmD ．62cm2．如图，正方形ABCD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为（ ) A ．2B ．3C ．4D ．53．三角形的三边长a ，b ，c 满足()222a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．55．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A +∠B =∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3 C ．222a c b =-D ．a ∶b ∶c =3∶4∶66．若直角三角形的三边长为6，8,m ,则2m 的值为( ）CBAA ．10B ．100C ． 28D ．100或287．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ） A ．365B ．125C ．9D ．68．如图，在Rt△ABC 中，∠B =90°，以AC 为直径的圆恰好过点B ．若AB =8，BC =6，则阴影部分的面积是（ )A ．100π24-B ．100π48-C ．25π24-D ．25π48-9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②',…，依此类推,若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1610．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC =90°,AB =3，AC =4,点D ，E ，F ,G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为（ ）③'④'④③②'②①B 169254cm2cm5cm PQA．90 B．100 C．110 D．121二、填空题（每小题4分，共20分)11．如图,字母B所代表的正方形的面积为．（11题图) （14题图）（15题图）12．等腰△ABC的腰长AB为10 cm,底边BC为16 cm，则底边上的高为．13．一艘轮船以16 km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30 km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距_______ km．14．如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为____________．15．如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．三、解答题(共50分)16．(本小题满分12分，每题6分）DCBABCD EA（1）如图所示，90B OAF ∠=∠=︒，BO =3 cm ，AB =4 cm ，AF =12 cm,求图中半圆的面积．（2）如图，在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,在△ABE 中，DE 是AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，求BC 的长．17．(本小题满分8分）如图所示的一块草坪，已知AD =12m ，CD =9m,∠ADC =90°,AB =39 m ，BC =36 m ，求这块草坪的面积．18．（本小题满分8分）C'EDCB AB如图，一艘货轮在B 处向正东方向航行，船速为25 n mile/h,此时,一艘快艇在B 的正南方向120 n mile 的A 处，以65 n mile/h 的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间?19．（本小题满分10分)如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于点E ． （1）试判断△BDE 的形状,并说明理由； （2)若4AB =，8AD =，求△BDE 的面积．20．（本小题满分12分）如图,△ABC 是直角三角形，∠BAC =90°，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的EFCD BA ADFE点，且DE ⊥DF ．(1)如图1,试说明222BE CF EF +=；（2)如图2，若AB =AC ,BE =12，CF =5，求△DEF 的面积．图1 图2《勾股定理》单元检测题参考答案一、选择题(每小题3分，共30分）1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C二、填空题(每小题4分,共20分）11．144 12．6 cm 13．17 14．12≤a ≤13 15．13 三、解答题（共50分)16．（本小题满分12分,每题6分） （1)169π8cm 2．（2）BC =6． 17．（本小题满分8分）连接AC ,由勾股定理得AC =15m ，再由勾股定理逆定理得∠ACB =90°，所以草坪面积11153691221622S =⨯⨯-⨯⨯=（m 2）． 18．(本小题满分8分）设快艇所需时间为x h,根据题意得()()2222512065x x +=，解得2x =． 19．（本小题满分10分)(1）△BDE 是等腰三角形．因为∠EBD =∠CBD =∠EDB ，所以BE =DE ．(2）设BE =DE =x ，则AE =8x -，在Rt △ABE 中,由勾股定理得()22248x x +-=，解得5x =．因此，154102BDE S ∆=⨯⨯=．20．（本小题满分12分）EA F（1)延长ED 至G ，使DG =DE ，连接CG ，FG ．易证△CDG ≌△BDE ，有CG =BE ,∠DCG =∠B ．进而∠FCG =90°，222CG CF FG +=．又因DF 垂直平分ED ,则FG=EF ，所以222BE CF EF +=．(2）由(1）的结论得222125169EF =+=．当AB=AC 时，连接AD,易证△ADE ≌△CDF ，有DE=DF ．设DE=DF=a ,在Rt △DEF 中,由勾股定理得22169a a +=，即21692a =． 因此，211169224DEF S DE DF a ∆=⋅==．。
八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)
第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。
第一章 勾股定理单元测试题(含答案)
第一章 勾股定理单元测试题一、认真填一填 —— 要相信自己．1．如图1,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．S S S 321图1 图22．如果梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 的消防梯可达建筑物的高度为 3．在△ABC 中，∠C =900， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若c =10，a ﹕b =3﹕4，则a =____，b =_____． （2）若a =b ，c 2=m ，则a 2=______. （3）若c =61，a =60，则b =______.4．将直角三角形的各边扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．5．在Rt △ABC 中，AC =8，在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，则BC 长为_______．6．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： .（填“能”、或“不能”）7．如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，则CD 的长为.E DA9．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b = ，c =10．如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿平方厘米．二、细心选一选 —— 要认真考虑．11. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对12. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．222b c a =- B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 13．下面说法正确的是（ ） A ．在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，a =3，b =4，那么c =5 C ．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长14．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍15．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12 16. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c17．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 3318．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D三、精心做一做 —— 要注意审题（共47分）19．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做多长？20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出2AB =2、2CD =5、2EF =13这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.21．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？观测点23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？24．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”参考答案1．169 ;2．12米；3．（1）．6，8； （2）．2m； （3）．11； 4. 直角；5. 6；6．能；7. 49；8. CD =3cm ． 提示：由题可知CD =DE ，AC =AE ，设CD =x cm ，在Rt △BDE 中，有42+ x 2= 8－x ．2，解得x =3． 9. 85，86；10．30；11．B ； 12．D ； 13. D ； 14．B ； 15．C ； 16.D ； 17．D ； 18．C ； 19. 解：设吸管长x cm ，由勾股定理得：（x －4.6）2=122+（2.5×2）2，解得x =17.6，即吸管要做17.6cm 长． 20.画图略，结合勾股定理说明．21．分析 为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解. 解 如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.22．在Rt △ABC 中：BC 2＝225030 ＝1600，∴BC ＝40,小汽车速度＝40÷2＝20米/秒＝72千米/时>70千米/时. ∴这辆小汽车超速了23．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，图1B走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 24．分析 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解 如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102， 解这个方程，得x ＝14.5（尺） 所以这个秋千的绳索长度为14.5尺.图2F OD ECB A。
北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列说法中，正确的是（）A. 在任意三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和B. 在直角三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和C. 在直角三角形中，最长边的平方小于另外两边平方和D. 在直角三角形中，最长边的平方大于另外两边平方和答案：B2. 已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，那么它的斜边长是（）A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 16cm答案：A3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB 的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 下列三角形中，能构成直角三角形的是（）A. 3, 4, 5B. 5, 6, 7C. 8, 9, 10D. 10, 11, 12答案：A5. 一个三角形的三边长分别是3cm、4cm和5cm，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：B6. 下列关于勾股定理的说法，错误的是（）A. 勾股定理的适用范围是直角三角形B. 勾股定理可以用来求直角三角形的斜边长C. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形D. 勾股定理只适用于直角三角形的直角边答案：D7. 如果一个三角形的两边长分别为5cm和12cm，那么第三边的长度可能是（）A. 13cmB. 14cmC. 15cmD. 16cm答案：A8. 在直角三角形中，如果最长边的长是10cm，那么另外两边长的可能取值是（）A. 6cm和8cmB. 5cm和12cmC. 3cm和4cmD. 2cm和3cm答案：B9. 已知直角三角形的斜边长为10cm，其中一条直角边长为6cm，那么另一条直角边长为（）A. 4cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm答案：B10. 下列图形中，不能用勾股定理求解的是（）A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 直角三角形答案：C二、填空题（每题4分，共40分）11. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=__________。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)
八（上）第一章 勾股定理单元检测班级_______ 姓名_______ 分数________一、填空题（每题3分，共24分）1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ）A.338B.24C.26D.303．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.427 D.3164．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 335．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）A.15∶12∶8B. 15∶20∶12C. 12∶15∶20D.20∶15∶126．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）A.258π B. 254π C. 2516πD.25π 7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm图1D 18cm图2B8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．15．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；图3 列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…………列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a ），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B .若DB ＝53，则 DA 的长度为＿＿＿．三、解答题（共58分）17．如图6，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，BC ＝10cm ，AB ＝8cm ，求：(1)FC 的长；(2)EF 的长．18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB ＝25km ，CA ＝15km ，DB ＝10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?19．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A 处看见小岛C 在船北偏东 60°.40分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东30°，已知小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？图5EF BCAD图4（a ） （b ） （c ） （d ）图6图7E DCBA20．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．21．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：图8①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．参考答案一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D.提示：由三角形面积公式，可得12·AB ·CD ＝12·BC ·AC .设BC ＝3k ，AC ＝4k ，AB ＝5k ，则5k ·CD ＝2k ·4k .所以CD ＝135k .所以AC ∶BC ∶CD ＝4k ∶3k ∶125k ＝20∶15∶12；6．A.提示：在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AB 2＝42+32＝25，所以AB ＝5.所以半圆的面积S ＝12π252⎛⎫ ⎪⎝⎭＝258π；7．B 8．B.二、9．108 10．13 11．12 12．由勾股定理，可以得到AB 2+BC 2＝AC 2，因为AB＝30，BC ＝20×2＝40，所以302+202＝AC 2，所以AC ＝50，即AC 间的距离为50海里；13．314．13cm ，30cm 2或522 15．84、85 16、52. 三、17．(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AF 2＝AB 2+BF 2，也就是 102＝82+BF 2.所以BF ＝6，FC ＝4(cm) (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，可以得到EF 2＝FC 2+(8－EF )2.也就是EF 2＝42+(8－EF )2.所以EF ＝5(cm)18．10米；19．设小岛C 与AB 的垂直距离为a ，则易求得a 2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；20．能组成一个三角形，且是一个以PQ 为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ 绕点C 顺时针旋转90°，则CB 与CA 重合，Q 点变换到Q ′点，此时，AQ ′＝BQ ，△APQ ′是直角三角形，即AP 2＋AQ ′2＝PQ ′2，另一方面，可证得△CPQ ′≌△CPQ （SAS ），于是，PQ ′＝PQ ，则AP 2＋BQ 2＝PQ 2.21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x )2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝BC 2，即16+x 2+16+(10－x )2＝100，所以x 2－10x +16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4.第一章勾股定理单元检测题班级_____ 姓名_____ 分数_____一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，821 2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶2∶4，则△ABC 为直角三角形4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a (a ＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( )A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组5．三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ） A ． 6 B ． 36 C ． 64 D ． 86．一块木板如图2所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( )A ．60B ．30C ．24D ．127．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ） A ．6cm B ．8．5cm C ．1330cm D ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝40，CB ＝9，M 、N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题（每小题3分，共30分）A DBC图211．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿．12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝．13．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．14．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．15．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿．16．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．17．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．18．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．19．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．三、解答题（每小题8分，共40分）21．某车间的人字形屋架为等腰△ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m．求中柱CD （D为底AB的中点）．22．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．23．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．图3OB′图4BAA′24．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?25．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．参考答案：A卷：一、1．B2．B3．D4．B5．B6．C7．D8．B9．C10．C二、11．1312．4813．1814．1215．3、4、516．817．518．1319．2400 20．20三、21．5米22．设门高为x尺，则竹杆长为(x+1)尺，依题意由勾股定理，得x2+42＝(x+1)2，解得x＝7．5，所以门高为7．5尺，则竹杆长为8．5尺．23．设旗杆在离底部x m位置断裂，则根据题意，得(x+1)2－x2＝64，解得x＝6，即旗杆在离底部6m位置断裂．cb a cba ED CBACABcb a24．在Rt △ABO 中，梯子AB 2＝AO 2+BO 2＝22+72＝53．在Rt △A ′B ′O 中，梯子A ′B ′2＝53＝A ′O 2+B ′O 2＝32+B ′O 2，所以，B ′O＞2×3＝6．所以BB ′＝OB －OB ′＜1．25．因为a 2＝n 4－2n 2+1，b 2＝4n ，c 2＝n 4+2n 2+1，a 2+b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用 基础知识梳理模块一：勾股定理及证明 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明： （1）弦图证明DC BAGF E H内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数） （5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数） 模块二：勾股定理逆定理及应用 1．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．2．勾股定理的常见题型． 模块三：例题精讲（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．cbaNMHFE DCBAABCEFHMNP（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，2ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=． （2）49cm 2．（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）． A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】（1）B ；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12； （3）B ；容易知道①错误②正确，对于③，由2224224()2m n m m n n -=-+，222(2)4mn m n =，2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+． 所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B ．ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图3-1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC △不是直角三角形，如图3-2，90C ∠<︒；如图3-3，90C ∠<︒．请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图1a b c a b c cb a A BCA B C C B Aa bca bcA ABC C Ba bcABC B图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想：222a b c +>．证明：过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，222AD b x =-， 22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-， 即22220a b c ax +-=>，故222a b c +>． 图3猜想：222a b c +<．证明：过B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于D ． 设CD 为x ，则有222BD a x =-．根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=，∵0b >，0x >，∴20bx >，∴222a b c +<．（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________．（3）若|1|0a b --=，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________．在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________．【解析】32或42．DabcACBDa bcABC【提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．ABC DDCB A图6-1 图6-2（2）96．四边形ABDC 的面积为96． 连接BC ，根据勾股定理可得10BC =，因为222BC AB AC +=，所以ABC △为直角三角形，故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△．（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y >C ．x y <D ．不确定【解析】（1）0.5；（2）C ；（3）选B ，设AC BC a==米，化简得222()0a x y x y -=+>，x y >．EAB CD（1）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于________．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若455AD =，25BC =，请求出ABC △的周长．【解析】（1）12； （2）222(25)45255AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⨯⎪⎩，解得6AB BC +=，625ABC C =+△．（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．（2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．EDC'C BA图9-1 图9-2 图9-3【解析】（1）由题意得，10cm AF AD ==．在ABF △中，应用勾股定理得，6cm BF =． 所以1064FC BC BF cm =-=-=．在CEF △中，应用勾股定理，设cm EC x =， 得222(8)4x x -=+．解得3x =，即3cm EC =． （2）设ED x =，因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠， 则EB ED x ==，16AE AD ED x =-=-， 在Rt E AB △中，由勾股定理可得：222(16)8x x +=-，∴10x =，即10DE =．（3）设AE x =，因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠， 则9BE DE B x F ===-，根据勾股定理得：222AB AE BE +=，即222239(9)x x x +=+=-，解得：4x =；∴4AE =，∴5DE BF ==，∴4CF DM ==，∴1EM =，根据勾股定理得：EF ==；若0x >，0y >且12x y +=【解析】如下图，不妨设12AB =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，2AC =，3BD =，y 2+9x 2+432y xPDC B AD CA P为线段AB 上的动点，AP x =，于是PB y =，PC，PD 问题转化为求点C ，D 之间距离的最小值．当P ，C ，D 三点不共线时，有PC PDCD +>；当P ，C ，D 共线时，PC PD CD +=． 于是点C ，D 13．【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．模块四：课后作业设计1、如图1-1，分别以直角三角形A 、B、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．） （1）如图1-2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、S 表示，请你确定S 、S 、S 之间的关系并加以证明．B C S 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BCS 1S 3S 2图3图1-1图1-2图1-3【解析】（1）设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+，123S S S =+；（2）123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S ，AB D C∴22223133()44S S a b c S +=+==． 【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+（设斜边所做图形面积为1S ）．2、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，222a n n =+，21b n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数），试说明ABC △为直角三角形．【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+，222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+．所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++，所以ABC △为直角三角形．3、如图，四边形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，24cm CD =，26cm DA =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是（ ）cm 2．A ．336B ．144C ．102D ．无法确定【解析】答案：B ．连接AC ，运用勾股定理逆定理．4、如图，一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A 距离墙根4米，若竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了多少米？【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点，底端向外滑行到1B 点．由题意得AA 1=1m ，113m AC AC AA =-=， 在11Rt ACB △中：2211114m B C A B AC -， 在Rt ABC △中：223m BC AB AC =-=， 111BB B C BC m =-=，即竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了1米．5、（1）（在ABC △中15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC S =△_______．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若3AD =，23BC =ABC △的周长为________．【解析】（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）ABC（2）423+．（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）．6、（1）如图6-1，已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC △的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE △，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________．（2）如图6-2，矩形ABCD 中，5cm AB =，3cm BC =，如图所示折叠矩形纸片ABCD ，使D 点落在边AB 上一点E 处，折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上，则当折痕端点F 恰好与C 点重合时，AE 的长为________cm ．GFED CB A图6-1 图6-2（3）若0x >，0y >且15x y +=2264144x y ++________．【解析】（1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC △中，斜边长1AB BC ==，22112AC+＝＝； 第2个等腰直角三角形，ACD △中，斜边长2222(2)AD AC CD =+==； 第3个等腰直角三角形，ADE △中，斜边长22322(2)AE AD DE =+=； 依此类推，……第n 个等腰直角三角形中，斜边长为(2)n ． （2）F 点与C 点重合时（如图），∵在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =， ∴5CD AB ==，90B ∠=︒，由折叠的性质可得：5CE CD ==， ∴224CE BE BC -=， ∴1AE AB BE =-=．（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 章末培优卷一、选择题：（共30分）1、一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm ，高为32cm ，则桶内所能容下的木棒最长为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm2、已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为A. 4B. 16C.D. 4或3、如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的平方为（ ）A 2524 B. 8 C. 25196 D.5 4、如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m ，树的顶端离树根6m ，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A．18mB ．10mC ．14mD ．24m5、如图，在4×4方格中作以AB 为一边的Rt △ABC ，要求点C 也在格点上，这样的Rt △ABC 能作出（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个二、填空题（共24分）11、ABC ∆的三边长c b a ,,满足：03018)602(2=-+-+-+c b b a ，则ABC ∆是 三角形；12、如图，在平行四边形A BCD 中，C A ⊥A B ，若A B=3，BC=5，则平行四边形A BCD 的面积为 。
(好题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．1432．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．1003．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ） A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m 4．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 5．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．24B ．52C ．61D ．766．如图，分别以Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．6B ．12C ．16D ．187．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．16C ．50D ．418．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．413B ．810C ．41312+D ．81012+ 9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．20 10．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．5，7，9 C ．6，8，10 D ．10，11，12 11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm 12．下列几组数中，是勾股数的是( )A ．1，2，3B ．0.3，0.4，0.5C ．15，8，17D ．35，45，1 二、填空题13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．14．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．15．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．16．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．17．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，27AB =，10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．18．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________19．如图，圆柱形容器中，高为1m ，底面周长为4m ，在容器内壁离容器底部0.4m 处的点B 处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m 与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m （容器厚度忽略不计）．20．如图，它是四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边为b ，那么+a b 的值为__________．三、解答题21．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．22．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=32+，BC=32-，求（1）Rt △ABC 的面积；（2）斜边AB 的长． 23．△ABC 三边长分别为，AB ＝5BC 10，AC 34（1）请在方格内画出△ABC ，使它的顶点都在格点上；（2）求△ABC 的面积；（3）求最短边上的高．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长．25．问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你求出ABC的面积；思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法．若ABC5a、a ），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出2a、17a（0相应的ABC，并求出它的面积．26．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由折叠可得△AEF ≌△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt △CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【详解】解：∵将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，∴△AEF ≌△DEF ，∴AE=DE ，∵点 D 为边 BC 的中点， ∴CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ， 在Rt △CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【点睛】 本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．2．A解析：A【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∴斜边长=400=20，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．3．A解析：A【分析】设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC 中，AC ＝1.5m ．AB ﹣BC ＝0.5m ．设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ．根据勾股定理得出：∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴1.52+x 2＝（x +0.5）2，解得：x ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键． 4．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴= 112.2S ab ∴== 故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．D解析：D【分析】由题意∠ACB 为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD 的长，进一步求得风车的外围周长．【详解】解：依题意∠ACB 为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD 2=BC 2+CD 2，∴BD 2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D ．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．6．D解析：D【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【详解】解：在Rt △AHC 中，AC 2=AH 2+HC 2，AH=HC ，∴AC 2=2AH 2，∴2， 同理：22， 在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，AB=6，S 阴影=S △AHC +S △BFC +S △AEB =12HC •AH+12CF•BF+12AE•BE ， 即22211112224222++=(AC 2+BC 2+AB 2) 14=(AB 2+AB 2) 12=AB 2 2162=⨯ 18=．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．7．C解析：C【分析】由勾股定理解得2AB 、22CD BD +，再根据正方形边长相等的性质得到222225CD BD BC AB +===，据此解题即可．【详解】解：由勾股定理得，222131225AB =-=222BC CD BD =+222225CD BD BC AB ∴+===∴阴影部分的面积是222252550CD BD BC ++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．D解析：D【分析】将CB 延长至点D ，使CB BD =，利用勾股定理求出AD 的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB 延长至点D ，使CB BD =，∵2AC =，26CD BC ==， ∴22436210AD AC CD +=+=2103AD BD +=，一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：()4210381012⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．9．D解析：D【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10．C解析：C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．11．C解析：C【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm ⨯故选：C ．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．12．C解析：C【分析】根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A. 1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意，B. 0.3，0.4，0.5中都不是正整数，不是勾股数，不符合题意，C. 152+82=172，且15，8，17都是正整数，是勾股数，符合题意，D.35，45，1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意， 故选C ．【点睛】 本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足222+=a b c ，且a ，b ，c 是正整数，则a ，b ，c 叫做勾股数”是解题的关键．二、填空题13．101【分析】取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC 设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸则解析：101【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC ，设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．14．13【分析】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点解析：13【分析】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．【详解】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，∵AB＝12，BC′＝5，在Rt△ABC′，AC′2251213+=∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm．故答案是：13【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．15．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6∴2222=6+8=10AB BC AC+∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．16．3【分析】作DG⊥AC于GEH⊥AC于H则∠DGM＝∠MHE＝90°DG∥BC由勾股定理得出BC＝6证出DG是△ABC的中位线得出DG＝BC＝3AG＝CG＝AC＝4证明△MDG≌△EMH（ASA）得解析：3【分析】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝12BC＝3，AG＝CG＝12AC＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案． 【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示：则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC6=，∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，∴∠GDM ＝∠EMH ，在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ），∴MG ＝EH ，∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3，∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ，∴∆DGF~∆EHF ， ∴21DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．17．+24【分析】连结BD 可求出BD=6再根据勾股定理逆定理得出△BDC 是直角三角形两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD ∵∴∵∴BD=6∵BD2=36CD2=64BC2=100BD2+CD2=BC 解析：214+24 【分析】 连结BD ，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC 是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD ，∵90BAD ∠=︒，∴22BD AD AB =+， ∵22AD =，27AB =， ∴BD=6，∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，S △ABD =122272142⨯⨯=， S △BDC =168242⨯⨯=， 四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =214+24故答案为：214+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．19．【分析】将容器侧面展开建立A关于EC的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A关于EC的对称点A′连接A′B交EC于F则A′B即为最短距离∵高为1m底面周234【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D=42=2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，∴在直角△A′DB中，2222234A'D BD2 1.2+=+=，234．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．20．5【分析】根据题意结合图形求出ab与a2+b2的值原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=134×ab=13-1=12即2ab=12则（a+b）2=a2解析：5【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×12ab=13-1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，则a+b=5故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题21．224cm．【分析】连接AC ，勾股定理计算AC=222234AD CD +=+，应用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．【详解】解：连接AC∵AD DC ⊥∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得AC=222234AD CD +=+ =5， 在△ABC 中，∴22222251213AC BC AB +=+==，△ABC 是直角三角形，∴=-ABC ACD ABCD S SS 四边形 =51234-22⨯⨯ =242m （）．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．22．（1）12；（210 【分析】 （1）根据三角形面积公式可求Rt △ABC 的面积；（2）根据勾股定理可求斜边AB 的长．【详解】（1）Rt △ABC 的面积=12AC×BC=12×3232）=12； （2）斜边AB 的长22(32)(32)++-10．答：斜边AB 10【点睛】此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了三角形面积公式．23．（1）见解析；（2）7；（3）7105． 【分析】 （1）根据AB ＝22252024==+， BC ＝221031=+，，AC ＝223435=+，利用勾股定理不难在网格上画出△ABC ；（2）如图，根据S △ABC =ADB BEC AFC ADEF S S S S ---⊿⊿⊿矩形不难得到答案； （3）对各边作出比较，可以找出最短边，然后根据三角形面积公式可求得最短边上的高．【详解】解：（1）如图所示：△ABC 即为所求；（2）如图，S △ABC ＝5×4﹣122⨯×4﹣12⨯1×3﹣12⨯3×5＝7，∴△ABC 的面积是7；（3）∵10＜534∴BC 是最短边，作AH ⊥BC ，交CB 延长线于点H ，∵S △ABC ＝12BC •AH ， ∴AH ＝2ABC S BC ＝10710． 答：最短边上的高为105． 【点睛】本题考查三角形面积的综合问题，熟练掌握三角形面积的各种求解方法是解题关键． 24．（1）31°；（2）3．【分析】（1）在Rt △ABC 中，利用互余得到∠BAC ＝62°，再根据折叠的性质得∠CAE ＝12∠CAB ＝31°，然后根据互余可计算出∠AEC ＝59°；（2）Rt △ABC 中，利用勾股定理即可得到BC 的长；设DE ＝x ，则EB ＝BC ﹣CE ＝8﹣x ，依据勾股定理可得，Rt △BDE 中DE 2+BD 2＝BE 2，再解方程即可得到DE 的长．解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠B ＝28°，∴∠BAC ＝90°﹣28°＝62°，∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴∠CAE ＝12∠CAB ＝12×62°＝31°； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝22AB AC -＝22106-＝8，∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴AD ＝AC ＝6，CE ＝DE ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，设DE ＝x ，则EB ＝BC ﹣CE ＝8﹣x ，∵Rt △BDE 中，DE 2+BD 2＝BE 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3．即DE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．25．（1） 3.5ABC S =△；（2）作图见解析；23ABC S a =△．【分析】（1）利用网格图及割补法求解图形面积；（2）结合勾股定理作图，然后利用割补法求图形面积【详解】解：（1）11133123132 3.5222ABC S ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△ （2）22512AB a a ==+；2222211BC a a ==+；221714AC a a ==+． 所做ABC 如图所示21112422243222ABC S a a a a a a a a a ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△．本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．26．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ， ∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米， 由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法．。
北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷含答案
第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A.5B.7C.5或7D.5或63．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D．5个7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港 口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ． 40海里二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）11．一个三角形三边长度之比为1∶2∶3 ，则这个三角形的最大角为_______度．12．如图，等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为 ．13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为 m ．14．小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15米，则小红向东走了 米．15．一个三角形三边满足22()2a b c ab +-=,则这个三角形是 三角形．16．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 （填”合格”或”不合格”）．17．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．三、解答题（共46分）19．在RtΔABC中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB于D，求CD的长．21．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河23．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1． C ．2． C ．3． D ．4． C ．5． D ．6． A ．7． D ．8． C ．9． C ．10． D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11． 900 ． 12． 10 ． 13． 480 m ． 14． 12 米．15． 直角 ． 16． 合格 ． 17． 30 cm 2． 18． 25 ．三、解答题（共46分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC 2 = AB 2 -AC 2 =42，∴BC=4，∵CD ⊥AB ，∴21AB·CD=21AC·BC，∴5CD=12，∴CD=512． ．21．解：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD 2=AB 2﹣BD 2=5∵DC=1，∴AC 2=AD 2+DC 2=5+1=6．∴AC= 22．解：设矩形的长是a ，宽是b ，根据题意，得：， （2）+（1）×2，得（a+b ）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m ．23. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B交MN 于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17km24．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，。
勾股定理单元测试卷(含答案)
勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。
7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
8. 勾股定理在中国被称为__________。
9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。
14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。
答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。
12. 另一个直角边的长度为15。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。
将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。
八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试题(含答案)
第一章勾股定理一、选择题(每题3分，共30分)1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是()A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝62．如图1所示，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为()图1A．5 B．6C．7 D．83．下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图2，将长为8 cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至点D，则橡皮筋被拉长了()图2A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为()图3A ．16B ．32C ．8πD ．646．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足()a －b 2＋||b －2＋()c 2－82＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形7．如图4所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设m ＝AB 2＋CD 2，n ＝AD 2＋BC 2，则m ，n 的大小关系为( )图4A ．m ＜nB ．m ＝nC ．m ＞nD ．不确定8．如图5，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )图5A ．1B ．2C ．3D ．49．如图6，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑甲壳虫从点A 出发，白甲壳虫从点C 1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：C 1C →CB →BB 1→B 1C 1→C 1C →CB …，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )图6A ．2B ．3C ．4D ．510．如图7所示，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()图7A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(每题3分，共18分)11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________．12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线的长为68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．15．如图8所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则BC边的长为________．图816．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．图9三、解答题(共52分)17．(6分)如图10，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；(2)求△ABC的面积．图1018．(6分)如图11所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．图1119．(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4 m，又往北走1.5 m，遇到障碍后又往西走2 m，再转向北走4.5 m处往东一拐，仅走0.5 m就到达了B处，则点A，B之间的距离是多少？图1220．(6分)如图13所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3 m，另一杆高2 m，两杆相距5 m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼在此过程中保持不动)图1321．(6分)如图14，河边有A，B两个村庄，A村距河边10 m，B村距河边30 m，两村平行于河边方向的水平距离为30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；(2)若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？图1422.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．图1523．(8分)如图16，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)．图1624．(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图17，先裁下一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm 的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)求EC的长．图17答案1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D 11．60°12．答案不唯一，如20，99，101 13．合格 14．45 15．24 16．517．解：(1)AD ⊥BC .理由如下： 因为BD 2＋AD 2＝62＋82＝102＝AB 2， 所以△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°， 所以AD ⊥BC .(2)在Rt △ACD 中，因为CD 2＝AC 2－AD 2＝172－82＝152，所以CD ＝15， 所以S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋CD )·AD ＝12×21×8＝84.18．解：因为AD ＝50，AE ∶DE ＝9∶16，所以AE ＝18，DE ＝32. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2＝242＋182＝900. 在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE 2＝DE 2＋CD 2＝322＋242＝1600.在△BCE 中，因为BE 2＋CE 2＝900＋1600＝2500＝502＝BC 2，所以△BEC 是直角三角形．19．解：如图，过点B 作BC ⊥AD 于点C ，由图可知AC ＝4－2＋0.5＝2.5(m)，BC ＝4.5＋1.5＝6(m)．在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝2.52＋62＝42.25，所以AB ＝6.5(m)，即点A ，B 之间的距离是6.5 m.20．解：由题意可知AB ＝2 m ，CD ＝3 m ，BC ＝5 m ，AE ＝DE . 设BE ＝x m ，则EC ＝(5－x )m.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DE 2＝CD 2＋EC 2.所以AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即22＋x2＝32＋(5－x)2，解得x＝3，则5－x＝2.所以杆AB底部距小鱼3 m，杆CD底部距小鱼2 m.21．解：(1)如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．过点B作BF⊥AC于点F，由题意得：AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m，所以CD＝AC＝10 m，所以DF＝10＋30＝40(m)．在Rt△BDF中，BD2＝302＋402＝502，所以BD＝50(m)．即铺设管道的最短长度是50 m.(2)最低费用为50×500＝25000(元)．22．解：(1)如图所示，AQ→QG为最短路线．(2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以A′E＝120－40＝80(cm)．因为EG＝60 cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm.23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.(2)∠α＋∠β＝45°.理由：如图②，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为AB＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°.24．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)由折叠的性质，得AF＝AD＝20 cm，EF＝DE.设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x)cm.在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以BF＝12(cm)，所以FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得x＝6，所以EC的长为6 cm.。
第一章 勾股定理单元测试卷（含答案与解析）
【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ） A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m 2．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5、6、7B ．6、8、10C ．1.5、2、2.5D ．3、2、7 3．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 4．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C ．2252cm 2D ．225cm 5．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．9，40，41C ．2，3，4D ．1，2，3 6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D ．122CD BC AB =+ 7．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）A ．10cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 8．若ABC 的三边为下列四组数据，则能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．1、2、2 B ．2、3、4 C ．6、7、8 D ．6、8、10 9．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(2,5)，则,A C 两点间的距离是（ ）A ．26B ．33C ．29D ．5 10．已知Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，则Rt ABC 的斜边上的高是（ ） A ．4.8cm B ．2.4cmC ．48cmD ．10cm 11．如图，有一长方体容器，3,2,'4AB BC AA ===，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离是（ ）A ．29B ．41C ．7D ．53 12．下列各组数是勾股数的是（ ）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12 二、填空题13．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AC ＝2， DC ＝1，BD ＝3， 则AB 的长为_____．14．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．16．在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等______．17．如图，一架长2.5m的梯子斜靠在垂直的墙AO上，这时AO为2m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子的底端B向外移动_________m.18．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____．19．已知等边三角形的边长为2，则其面积等于__________.20．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离______cm．三、解答题21．（背景）在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．（研究）点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是，数量关系是；（2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；（3）（应用）如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝22，AC＝4，求DE的长．22．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．23．八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD CE⊥）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米.（1）求风筝的高度CE.⊥，垂足为H，求BH、DH.（2）过点D作DH BC24．如图，在四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=AD=322，CD=4，BC=5．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．25．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD交于点O，OE⊥AD于点E．（1）△AOB与△DOC全等吗?请说明理由；（2）若OA=3，AD=4，求△AOD的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x 2＝（x +0.5）2，解得：x ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键． 2．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理计算判断即可．【详解】∵2256253661+=+=≠2749=，∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，∴选项A 错误；∵22866436100+=+==210100=，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，∴选项B 正确；∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=，∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，∴选项C 正确； ∵223)2347+=+==27)7=， ∴327能作为直角三角形的三边长，∴选项D 正确；故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键． 3．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴= 112.2S ab ∴== 故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 4．B解析：B【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.【详解】如图，根据题意，得BC=20，CD=BD=102=EM ，∴EG=GM=52，∴EF=FG=5，∴212522EFG S EF ==， 故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.5．B解析：B【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．6．B解析：B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM ⊥BC ，DN ⊥CA∴∠DNC ＝∠DMC ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCN ＝∠DCM ＝45°．∴∠DCN ＝∠CDN ＝45°．∴CN=DN ．则△CDN 是等腰直角三角形．同理可证：△CDM 也是等腰直角三角形，∴=．，∴DM=DN= CM=CN ，∠MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∴BD=AD ，AB=2BE ．∴Rt △BDM ≌△ADN ，∴∠BDM=∠AND ．∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM ＝∠MDN ．∴∠ADB=90°．∴=．即．∵在Rt △AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∴AD ＞DN．∴2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∠ADB=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴DE=12AB ． 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴AC=12AB ． ∴DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt △BDM ≌△ADN ，∴BM=AN ．∴CN=AC+AN=AC+BM=CM ．∴BC=BM+CM=AC+2BM ．∵， ∴．∵AC=12AB ， ∴12AB+BC ．故此选项说法正确． 故选：B ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长，26=，则最长木棒长为26cm ，故选：C ．【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．8．D解析：D【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：2221+2=52≠，ABC ∴不是直角三角形，故A 不符合题意；22223134,+=≠ABC ∴不是直角三角形，故B 不符合题意；22267858,+=≠ABC ∴不是直角三角形，故C 不符合题意；2226810010,+==ABC ∴是直角三角形，故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据矩形的性质可得OB ＝AC ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】在矩形OABC 中，OB ＝AC ，∵B （2，5）， ∴OB ==29AC OB ==故选：C ． 【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．10．A解析：A【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可．【详解】∵Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，∴斜边=2268=10+cm ，∴斜边上的高=68=4.810⨯cm ， 故选A【点睛】本题主要考查求直角三角形斜边上的高，掌握勾股定理以及“面积法”是解题的关键． 11．B解析：B【分析】画出展开图，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，当从正面和右侧面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，，在Rt 'CAA 中，5AC AB BC =+=，'4AA =，∴22''41CA AC AA =+如图，当从上面和右侧面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，，在Rt ''A BD 中，''''7A B A B BB =+=，''2A D =， ∴22''53CA A B BC =+=；如图，当从后面和上面爬行时，从点C 爬到点'A 的最短爬行距离为'CA 的长度，，在Rt ''A B C 中，''''6B C B C CC =+=，''3A B =， ∴22''''35CA B C A B =+=∵413553故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据ACDC 解直角△ACD 可以求得AD 根据求得的AD 和BD 解直角△ABD 可以计算AB 【详解】∵AD ⊥BC 于D ∴△ACD △ABD 为直角三角形∴AC2＝AD2＋DC2∴AD ＝=＝∵△ABD 为直角 解析：23 【分析】 根据AC ，DC 解直角△ACD ，可以求得AD ，根据求得的AD 和BD 解直角△ABD ，可以计算AB ．【详解】∵AD ⊥BC 于D ，∴△ACD 、△ABD 为直角三角形，∴AC 2＝AD 2＋DC 2，∴AD ＝22AC CD -=2221-＝3，∵△ABD 为直角三角形，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AB ＝22BD AD +=223(3)+＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．14．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A 的面积为1由勾股定理得正方形B 的面积+正方形C 的面积=1∴ 解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A 的面积为1，由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．15．49【分析】根据正方形的面积公式连续运用勾股定理发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积【详解】解：如图∵所有的三角形都是直角三角形所有的四边形都是正方形∴正方形A的面积=a2正方形B的面积=解析：49【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【详解】解：如图，∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2．故答案为：49．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答本题的关键．16．10或6【解析】试题解析：10或6【解析】试题根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，22AC AD -=2，此时BC =BD +CD =8+2=10；如图2所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，CD 22AC AD -=2，此时BC =BD -CD =8-2=6，则BC 的长为6或10． 17．5【分析】由题意先根据勾股定理求出OB 的长再根据梯子的长度不变求出OD 的长根据BD=OD-OB 即可得出结论【详解】解：∵Rt △OAB 中AB=25mAO=2m ∴；同理Rt △OCD 中∵CD=25mOC=解析：5【分析】由题意先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD=OD-OB 即可得出结论．【详解】解：∵Rt △OAB 中，AB=2.5m ，AO=2m ， ∴2222252 1.5OB AB AO m --＝．＝；同理，Rt △OCD 中，∵CD=2.5m ，OC=2-0.5=1.5m ， ∴222225152OD CD OC m --＝．．＝，∴BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m ）．答：梯子底端B 向外移了0.5米．故答案为：0.5．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．18．【分析】由勾股定理求出AB 再由勾股定理求出DE 即可得出CD 的长【详解】解：连接ABAD 如图所示：∵AD ＝AB ＝∴DE ＝∴CD ＝故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理由勾股定理求出ABDE是解题的关键解析：37-【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【详解】解：连接AB，AD，如图所示：∵AD＝AB＝22+=，2222∴DE＝()22-=，2217-．∴CD＝37-．故答案为：37【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．19．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点即BD=CD在直角三角形ABD中已知ABBD根据勾股定理即可求得AD的长即可求三角形ABC的面积即可解题【详解】等边三角形三线合一即D为BC的中解析：3【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【详解】等边三角形三线合一，即D为BC的中点，∴BD=DC=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD==3，∴△ABC的面积为BC•AD=333．20．15【分析】在侧面展开图中过C 作CQ ⊥EF 于Q 作A 关于EH 的对称点A′连接A′C 交EH 于P 连接AP 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出A′QCQ 根据勾股定理求出A′C 即可【详解】解：沿过A 的圆解析：15【分析】在侧面展开图中，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q ，CQ ，根据勾股定理求出A′C 即可．【详解】解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ， 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E ，A′P=AP ，∴AP+PC=A′P+PC=A′C ，∵CQ=12×18cm=9cm ，A′Q=12cm -3cm+3cm=12cm ， 在Rt △A′QC 中，由勾股定理得：2222A'Q CQ 129+=+=15(cm)，故答案为：15．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．三、解答题21．（1）DM ⊥EM ，DM ＝EM ；（2）DM ⊥EM ，DM ＝EM ；见解析；（3）DE 26【分析】（1）由“SAS”可证△ECM ≌△FBM ，可得BF ＝CE ，∠FBM ＝∠ECM ，通过证明△DEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论；（2）由“SAS”可证△EMC ≌△FMB ，△DAE ≌△DBF ，可得BF ＝CE ，FM ＝ME ，DF ＝DE ，∠BDF ＝∠ADE ，通过证明△DEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理分别求出DN ，NE 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长EM 到点F ，使得MF ＝ME ，∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ，又∵∠BMF ＝∠CME ，∴△ECM ≌△FBM （SAS ），∴BF ＝CE ，∠FBM ＝∠ECM ，∵∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∴DF ∥EC ，∴∠DBC ＋∠ECM ＝180°，∴∠DBC ＋∠FBM ＝180°，∴点D ，点B ，点F 共线，∵AE ＝CE ，∴BF ＝AE ，∵AD ＝DB ，∴DF ＝DE ，∴△DEF 是等腰直角三角形，又∵EM ＝FM ，∴DM ⊥EM ，DM ＝EM ；（2）如图2，延长EM 到F ，使FM ＝EM ，连接BF ，DF ，∵点 M 为 BC 的中点，∴BM ＝CM ，在△EMC 和△FMB 中，MC BM EMC FMB EM FM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMC ≌△FMB （SAS ），∴BF ＝CE ，FM ＝ME ，∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∴DA ＝DB ，EA ＝EC ，∠ABD ＝∠BAD ＝∠ACE ＝∠CAE ＝45°，∴FB ＝EA ．∴∠DAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＋∠BAC ＝90°＋∠BAC ，又∠FBM ＝∠ECM ，∴∠DBF ＝360°﹣∠ABD ﹣∠ABC ﹣∠FBM ＝360°﹣∠ABD ﹣∠ABC ﹣（∠ACB ＋∠ACE ）＝90°＋∠BAC ，∴∠DAE ＝∠DBF ，在△DAE 和△DBF 中，DA DB DAE DBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DBF （SAS ），∴DF ＝DE ，∠BDF ＝∠ADE ，∵∠ADE ＋∠BDE ＝90°，∴∠BDF ＋∠BDE ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，又∵EM ＝FM ，∴DM ⊥EM ，DM ＝EM ；（3）如图3，取BC 中点M ，连EM ，BE ，设AB 与ED 交于点N ，∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，AB ＝2，AC ＝4，∴AB 2AD ，AC 2AE ，∴AB ＝2，AE ＝CE ＝2，在（2）的结论可得，BM ＝CM ，EM ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝AE ＝2，∴DE 为AB 的垂直平分线，∴DN ＝12AB 2， ∴NE 22BE BN -82-6，∴DE 26．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22．36【分析】连接AC ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理计算得到AC 的长度，继而由勾股定理的逆定理求出∠ACD 为90°，计算得到四边形的面积即可．【详解】连接AC ，在Rt △ABC 中，有AC 2=AB 2+BC 2=4²+3²=25，又AC>0，∴AC=5∵AC 2+CD²=52+12²=169=13²=AD²∴∠ACD=90°，S 四边形ABCD = 12 AB×BC+ 12 AC×CD=36. 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC 和△CAD 的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．23．（1）21.6（米）；（2）DH=12（米），BH=9（米）.【分析】（1）利用勾股定理求出CD ，进一步即可求出CE 的高度；（2）如图，利用“等面积法”求出DH 长度，然后再利用勾股定理即可求出BH 的长度.【详解】（1）在Rt CDB ∆中，由勾股定理，得：2222251520CD CB BD =-=-=（米）. ∴20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米）；（2）如图所示：由题意得：1122BD DC BC DH ⨯=⨯，∴15201225DH ⨯==（米）， ∴在Rt BHD ∆中，9BH ==（米） 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键.24．（1）3；（2）135° ．【分析】（1）首先在Rt △BAD 中，利用勾股定理求出BD 的长；（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ADB=45°，再根据勾股定理逆定理在△BCD 中，证明△BCD 是直角三角形，即可求出答案．【详解】解：(1)∵AB ⊥AD ，∴∠BAD=90°．在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得222BD AB AD =+ ，∴ 3BD == ． (2)∵22224325CD BD +=+=，22525BC ==，∴222CD BD BC +=．∴△BCD 是直角三角形， ∠BDC=90°．又∵AB=AD ，∴∠ADB=∠ABD ．∴∠ADB=1902⨯︒=45°． ∴∠ADC=∠ADB +∠BDC =45°+90°=135° ．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠ADB=45°，再求出∠BDC=90°．25．（1）（35，12，37）；（2）n 2﹣1，2n ，n 2+1【分析】（1）根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案；（2）根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案．【详解】（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，即（n 2﹣1）2+（2n ）2＝（n 2+1）2，所以第5个勾股数组为（35，12，37）．（2）勾股数为n 2﹣1，2n ，n 2+1．【点睛】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键．26．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=12AD=2，由勾股定理得到OE ==【详解】（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B CAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；（2）因为△AOB ≌△DOC ，所以AO ＝DO ，因为OE ⊥AD 于点E ．所以AE 12=AD ＝2， 所以OE ==所以S △AOD 142=⨯=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
勾股单元测试题及答案
勾股单元测试题及答案一、选择题1. 勾股定理描述的是直角三角形中哪两个边的关系？A. 两条直角边B. 斜边和一条直角边C. 斜边和两条直角边D. 三条边2. 如果直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 以下哪个选项不是勾股数？A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 7, 24, 25D. 8, 15, 17二、填空题4. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，根据勾股定理，斜边的长度是________。
5. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，其中c是斜边，那么勾股定理可以用公式表示为________。
6. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
7. 已知直角三角形的两条直角边长分别为x和y，且x^2 + y^2 = 49，如果x=3，求y的值。
四、解答题8. 某建筑物的高为20米，从地面到建筑物顶端的直线距离为26米，求从地面到建筑物底部的水平距离。
9. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长度，并说明这个三角形是否为勾股数。
答案一、选择题1. C2. A3. D二、填空题4. 105. a^2 + b^2 = c^2三、计算题6. 另一条直角边的长度为8。
7. y = √(49 - 3^2) = √(49 - 9) = √40 = 2√108. 水平距离为24米。
9. 另一条直角边的长度为12，这个三角形是勾股数，因为5^2 + 12^2 = 13^2。
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 (含解析)
第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（ ）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。
北师大版八年级上册《第一章勾股定理》单元测试(含答案)
八年级数学勾股定理单元测试（时间： 100 分钟总分： 120 分）班级学号姓名得分一、相信你必定能选对！（每题 4 分，共 32 分）1. 三角形的三边长分别为6, 8, 10，它的最短边上的高为 ( )A . 6 B. C. D. 82. 下边几组数 : ① 7, 8, 9；② 12, 9, 15；③ m2 + n2, m2– n2, 2 mn（ m， n 均为正整数 , m n）；④ a 2, a 2 1, a2 2 .此中能构成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a、 b、 c，由以下条件不可以判断它是直角三角形的是（）A ．a: b: c=8∶16∶ 17B ． a2- b2 =c2C．a2=(b+c)(b-c)b) 2 c 2 D ． a: b: c =13∶ 5∶ 124. 三角形的三边长为(a 2ab ,则这个三角形是( )A . 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 .5．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（）A ．5 B．25 C．7 D．5或76．已知 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt △ABC 的面积是（）A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm2D. 60cm27．直角三角形中向来角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121 B．120 C． 90 D．不可以确立8.下学此后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 米 / 分，小红用15 分钟到家，小颖20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A ．600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不可以确立二、你能填得又快又对吗？（每题 4 分，共 32 分）9. 在△ ABC 中，∠ C=90°， AB ＝ 5，则AB2 + AC2 +BC2 =_______ ．10. 如图，是 2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标，由 4 个全等的直角三角形拼合而成 . 假如图中大、小正方形的面积分别为52 和 4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．60A0 B21 C 06140第 10 题图第 13 题图第14题图第15题图11．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_______．12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．13．如图，一根树在离地面9 米处断裂，树的顶部落在离底部12 米处．树折断以前有 ______米.14．如下图，是一个外轮廓为矩形的机器部件平面表示图，依据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．15．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为7 米．现将梯子的底端 A 向外挪动到 A ’，使梯子的底端 A ’到墙根O 的距离等于 3 米，同时梯子的顶端 B 降落至 B ’，那么 BB ’的值：①等于1米；②大于1 米 5；③小于 1 米. 此中正确结论的序号是．16. 小刚准备丈量河水的深度, 他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底 , 竹竿超出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边, 竿顶和岸边的水面恰好相齐, 河水的深度为.三、仔细解答，必定要仔细哟！（共 72 分）17．（ 5 分）右图是由16 个边长为 1 的小正方形拼成的，随意连结这些小正方形的若干个极点，可获得一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．18．（ 6 分）已知 a、b、c 是三角形的三边长，a＝ 2n2＋ 2n，b＝ 2n＋ 1， c＝ 2n2＋ 2n＋1（n 为大于 1 的自然数） , 试说明△ ABC 为直角三角形 .19．（ 6 分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高 1 米，当他把竿斜着时，两头恰好顶着城门的对角，问竿长多少米？20. （ 6 分）如下图 , 某人到岛上去探宝，从 A 处登岸后先往东走4km ，又往北走 1.5km ，遇到阻碍后又往西走 2km ，再折回向北走到 4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏。
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第一单元 勾股定理单元检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，正方形AB CD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．三角形的三边长，，满足，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ） A ．3 B ．6
C ．8
D ．5
5．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为，，，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A +∠B =∠C
B ．∠A ∶∠B ∶∠
C =1∶2∶3
C ．
D ．∶∶=3∶4∶6
6．若直角三角形的三边长为6，8，m ，则的值为（ ） A ．10
B ．100
C ． 28
D ．100或28
7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ）
2
cm 2
cm 2
cm 2
cm a b c ()2
2
2a b c ab +=+a b c 2
2
2
a c
b =-a b
c 2
m
B
169
25
C
B
A
5cm
A ．
B ．
C ．9
D ．6
8．如图，在Rt△ABC 中，∠B =90°，以AC 为直径的圆恰好过点
B ．若AB =8，B
C =6，则阴影部分的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）
A ．90
B ．100
C ．110
D ．121
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．如图，字母B 所代表的正方形的面积为 ．
36
5
12
5
100π24-100π48-25π24-25π48-③'
④'
④
③
②'
②
①
B
C
D
E
A
（11题图） （14题图） （15题图）
12．等腰△ABC 的腰长AB 为10 cm ，底边BC 为16 cm ，则底边上的高为 ． 13．一艘轮船以16 km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30 km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距_______ km ．
14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为____________．
15．如图，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm ． 三、解答题（共50分）
16．（本小题满分12分，每题6分）
（1）如图所示，，BO =3 cm ，AB =4 cm ，AF =12 cm ，求图中半圆的面积．
（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，在△ABE 中，DE 是AB 边上的高，DE =12，
S △ABE =60，求BC 的长．
90B OAF ∠=∠=︒
D
C
B
A
C'
E
D
A
17．（本小题满分8分）
如图所示的一块草坪，已知AD =12m ，CD =9m ，∠ADC =90°，AB =39 m ，BC =36 m ，求这块草坪的面积．
18．（本小题满分8分）
如图，一艘货轮在B 处向正东方向航行，船速为25 n mile/h ，此时，一艘快艇在B 的正南方向120 n mile 的A 处，以65 n mile/h 的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？
19．（本小题满分10分）
如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在处，交AD 于点E ． （1）试判断△BDE 的形状，并说明理由； （2）若，，求△BDE 的面积．
'C 'BC 4AB =8AD =
E
F
C
D B
A
A
B
D
C
F
E
20．（本小题满分12分）
如图，△ABC 是直角三角形，∠BAC =90°，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且DE ⊥DF ．
（1）如图1，试说明；
（2）如图2，若AB =AC ，BE =12，CF =5，求△DEF 的面积．
图1 图2
2
2
2
BE CF EF +=
《勾股定理》单元检测题参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．144 12．6 cm 13．17 14．12≤≤13 15．13 三、解答题（共50分）
16．（本小题满分12分，每题6分）
（1）
cm 2．
（2）BC =6． 17．（本小题满分8分）
连接AC ，由勾股定理得AC =15m ，再由勾股定理逆定理得∠ACB =90°，所以草坪面积
（m 2）．
18．（本小题满分8分）
设快艇所需时间为h ，根据题意得，解得．
19．（本小题满分10分）
a 169π8
11
153691221622
S =⨯⨯-⨯⨯=x ()()2
2
2
2512065x x +=2x =
（1）△BDE 是等腰三角形．因为∠EBD =∠CBD =∠EDB ，所以BE =DE ．
（2）设BE =DE =，则AE =，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，解
得．因此，． 20．（本小题满分12分）
（1）延长ED 至G ，使DG =DE ，连接CG ，FG ．易证△CDG ≌△BDE ，有CG =BE ，∠DCG =∠B ．进而∠FCG =90°，
．又因DF 垂直平分ED ，则FG=EF ，
所以．
（2）由（1）的结论得．
当AB=AC 时，连接AD ，易证△ADE ≌△CDF ，有DE=DF ．设DE=DF=a ，在Rt △DEF 中，由
勾股定理得，即． 因此，．
x 8x -()2
2
2
48x x +-=5x =1
54102
BDE S ∆=
⨯⨯=222CG CF FG +=222
BE CF EF +=222
125169EF =+=2
2
169a a +=2
169
2
a =
211169224
DEF S DE DF a ∆=
⋅==G
E
A
F
D
C
B。