新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册优秀学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案
第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -
1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -
1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -
1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -
1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -
1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -
1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -
1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -
1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 -
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -
第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -
第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -
1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -
章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -
2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -
2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 -
2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -
2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -
2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -
2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -
2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -
2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -
2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -
2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -
2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -
2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -
2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -
2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 -
2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 -
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -
2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -
2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -
章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -
3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -
3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -
3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -
第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -
3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -
3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -
3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................. - 267 -
3.3抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -
3.3.1抛物线及其标准方程...................................................................................... - 281 -
3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................. - 291 -
章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -
第一章空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
1.1.1空间向量及其线性运算
学
习目标核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点)
2.掌握空间向量的线性运算．(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
图1图2
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，
也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.
2．几类常见的空间向量
名称
方向 模 记法 零向量
任意 0 0 单位向量
任意 1 相反向量
相反 相等 a 的相反向量：－a AB →的相反向量：BA → 相等向量 相同 相等 a ＝b
3.(1)向量的加法、减法
空间向量的
运算 加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b
减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 加法运算律 ①交换律：a ＋b ＝b ＋a
②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；
当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；
当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．
②运算律
a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .
b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
[提示] 没有关系．
4.共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .
(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意
一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .
5．共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .
(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝
xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.
思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，
则点P 与点A ，B ，C 是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)
即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．
( ) (2)相等向量一定是共线向量．
( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．
( ) (4)零向量没有方向．
( )
[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．
(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．
(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．
(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．
2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]
3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________. －53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.]
4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32
DE →－AD →化简的结果为________．
0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD
→＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]
空间向量的有关概念
①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；
③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；
④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .
其中正确命题的序号是________．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′
→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合
条件的向量)
(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与
b 的方向不一定相同或相反，故①错；
对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；
对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；
对于④，根据相等向量的定义知正确．
(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′
→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. [跟进训练]
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a ≠b ，则|a |≠|b |；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]
空间向量的线性运算 1111为向量AC 1→的有( )
①(AB →＋BC →)＋CC 1→；
②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；
③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；
④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．
①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；
②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.
[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体
中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.
(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．
(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；
对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；
对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；
对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.]
(2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)
＝PQ →－12PC →－12P A →，
∴y ＝z ＝－12.
②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，
∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，
∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，
∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟进训练] 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )
A ．32D
B → B ．3MG →
C ．3GM →
D ．2MG →
B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →
＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]
共线问题
【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1
＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.
(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分
别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．
[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．
(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的
充要条件求解．
(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6
，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形
ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.
又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得
CE →＝2MN →，
所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．
法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →
＝2(AN →－AM →)＝2MN →.
所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．
(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．
(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．
[跟进训练]
3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角
线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →
.
求证：E ，F ，B 三点共线．
[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， 所以A 1E →＝23AD →＝23b ，
A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(A
B →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝2
5a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －23
b －
c .
又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →
＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →
，所以E ，F ，B 三点共线.
向量共面问题
1．什么样的向量算是共面向量？
[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →
.
(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →
＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ＋y ＋z ＝1)．
(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →
.
3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．
[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .
因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧
x ＋y ＝3，
－x ＋y ＝2，
x －y ＝1，
而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，
即p ，m ，n 不共面．
【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →
＝13OA →＋13OB →＋13OC →.
(1)判断MA →，MB →，MC →
三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．
[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →
；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
中x ＋y ＋z 是否等于1.
[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →
， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →
)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →
共面．
(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →
共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．
1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →
＝6OP →－3OC →
”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．
[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →
)，
∴3CP →＝P A →＋2PB →，即P A →＝－2PB →－3PC →.
根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．
2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →
”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．
[解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →
(x ，y ∈R )，则 OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，
∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →， ∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →
＝0，
由题意知OA →，OB →，OC →
均为非零向量，所以x ，y 满足：
⎩⎨⎧
1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，
显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．
3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ [解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋1
2OC . ∵16＋13＋1
2＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →
，而4－1－1＝2≠1. ∴点P 与点A 、B 、C 不共面．
解决向量共面的策略
(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →
称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →
＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →
”来证明A ，B ，C 三点共线．
4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →
＝xMA →＋yMB →
，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．
6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．
1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0
C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →
，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB
→
－nAA 1→
，则m ，n 的值分别为( )
A ．12，－1
2 B ．－12，－12 C ．－12，12
D ．12，12
A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12A
B →＋12AA 1→
，所以m ＝12，n ＝－1
2，故答案为A.]
3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋9
2b －76c .] 4．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．
④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]
5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.
∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.
1.1.2 空间向量的数量积运算
学
习 目 标
核
心 素 养
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3.掌握投影向量的概念．(重点)
4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.
2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.
3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．
如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)
类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？
1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向
量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π
2时，两向量垂直，记作a ⊥b .
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |. (3)数量积的运算律
(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.
(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量
在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b
|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a
|a |.
(2)向量a 在平面β上的投影向量
向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这
时，向量a
，A ′B ′→
的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．
[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a ，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )
[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A ．38
B ．14
C ．34
D ．1
8
B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，B
C 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→
＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，
又|AB 1→|＝|BC 1→
|＝ 2.
∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2
＝1
4.故选B.]
3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.
所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]
4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．
17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2
＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )
＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫
0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，
所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]
空间向量数量积的运算
【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC
＝60°，则AB →·CD →
等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－2 3
D ．2 3
(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．
(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →
＝0－2×2×cos 60°＝－2.]
(2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →＋13OA →.
∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)
＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →
2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.
[跟进训练]
1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：
(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.
[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.
(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12
(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.
(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→
)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.
利用数量积证明空间垂
直关系
＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .
[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .
[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，
又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →
＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝1
4(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →
，即OG ⊥BC .
用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .
[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →
＝0.
由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →
＝0.
又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .
夹角问题
夹角〈a ，b 〉为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．
[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．
(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →
的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；
令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →
＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－
14， 又向量BC →和CA →
是首尾相连，
∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，
即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．]
(2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →
〉
－|OA →|·|AB →|·
cos 〈OA →，AB →
〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.
∴cos 〈OA →，BC →
〉＝OA →·BC →
|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的
夹角的余弦值为3－22
5.
利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．
(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．
[跟进训练]
3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →
夹角的大小．
[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →
＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)
＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→
＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →
|＝2，
∴cos 〈BC 1→，AC →
〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.
∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →
〉＝π3. 即BC 1→与AC →
夹角的大小为π3.
距离问题
1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？
[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.
3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．
[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，
∴|AD →
|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．
[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →
|2 注意对〈BA →，CD →
〉的讨论，再求出B ，D 间距离．
[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →
＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．
∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →
〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.
求两点间的距离或线段长的方法
(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.
(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
[跟进训练]
4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．
[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →
＝0.
∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.
1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．
2．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
3．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．
4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |
，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．
1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →
＝( )
A ．34
B ．14
C ．12
D ．3
2
B [由题意可得FG →＝12A
C →，∴FG →·AB →＝1
2×1×1×cos 60°＝14.]
2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b
|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]
3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]
4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．
229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2
＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →
|＝229.]
5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．
(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；
(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →
＝r .
由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →
)－12AB → ＝1
2(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)
＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝1
2(q ＋r －p )，
∴|MN →|2＝(MN →
)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]
＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22.
∴|MN →
|＝22a ， ∴MN 的长度为2
2a .
(3)设向量AN →与MC →
的夹角为θ，
∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →
＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛
⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫q 2－1
2q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2－12a 2·
cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →
|＝32a ，
∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →
|·cos θ
＝32a
·32a ·cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23.
∴向量AN →与MC →
的夹角的余弦值为23. 从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为2
3.
1.2 空间向量基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量的正交分解．(难点)
3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)
1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.
2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .
(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →
(x ＋y ＋z ＝1)．
今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．
1．空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .。