新北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质(第2课时)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |C|得到.
(c>0,向上平移;c<0向下平移.)
y=ax2+c (a≠0)
开口方向
a>0
向上 (0 ,C) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
2
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
（ 0， 0）
y轴
在x轴的上方(除顶点外) 向上
（0，0）
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
对称轴 位置
开口方向
增减性
最值
开口大小
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
a |a|越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a |a|越小,开口越大.
课前热身
1、函数y=8x2的图象的开口向上 ，对称轴是 y轴
在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大 ；
，
（0,0） 顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小，
2、函数y=-3x2的图象的开口 向下 ，对称轴是 y轴 ，
23
5.（2010· 济南）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴 的交点个数是（ B ）。 A.3 B.2 C.1 D.0
6.函数y=ax2+c开口向下，与y轴交于正半轴，关于a、c的 符号判断正确的是（ D ）。
A.a＞0，c＞0
C. a＜0，c＜0
B. a＞0，c＜0
D. a＜0，c＞0
16
3. 抛物线y=ax 2 ＋ c 与 y=３ x 2 的形状相同，且其顶点坐 标是（０,１），则其表达式为________________ y=３x2＋１
或y=－３x2＋１
4、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。 1 2
北师大版数学九年级下册
第二章 2.2
二次函数
二次函数的图像与性质（2） y=ax2+c(或y=ax2+k)
1
1.经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0) 图象作法和
性
质的过程. 2.能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0) 与y＝ax2的
图象的关系，理解a, k对二次函数图象的影响.
3.能正确说出函数y＝ax2＋k的图象的开口方向， 顶点坐标和对称轴.
而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律：
抛物线y=ax2 抛物线y=ax2
向上平移 2 |C|个单位抛物线 y=ax +c 向下平移 2 抛物线 y=ax |C|个单位
-c
10
一般地,抛物线y=ax2+c有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,c).
（ 0,0） 顶点是 __ ；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ；
4
例1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象. 解：列表：
x … -3
…
-2
-1
0
1
2
3
…
… …
y=x2
9 8
4
5
1
2
0
1
1
2
4
5
9
10
y=x2+1 … 10
18
6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
19
7、
函数y=ax2-a与y=
在同一直角坐标系中的图象可能是 （A ）
源自文库
a ( a 0) x
20
探究系数与图象间的关系
实验一 a与图象的关系
当a > 0 时 开口向上 a决定 图象的 形状 开口方向
y= 3 x -1
（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口 方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
y=2x2+1
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过 （1，2）的点的解析式。
y=5x2-3
17
5、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1、x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
1 2 1 2 1 2 y x , y x 2, y x 2 2 2 2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开 口方向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 y 1 x 2 k 有什么关系？
13
2 1 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y x 2 2
反馈检测题 1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 (1)y=5x2 (2)y=-3x2+2 (3)y=8x2+6 (4)y=-x2-4
当a < 0 时开口向下
开口大小 a 越大图象开口越小 a 越小图象开口越大
21
c与图象的关系
当c＝0时图象过原点
C 确定图 象与y轴 的交点
当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 当c < 0时图象与y轴负半轴相交
22
作业：
1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___ 下 移 1个单位. 2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到 2-2 的图象的函数解析式为 _______. y=-3x 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，(-m,n) _____ 在 （在，不在）y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方， 则K_______ ＞0.5
26
a<0
向下 (0 ,C) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平 移|c|个单位得到.
12
1.把抛物线y=3x2向上平移6个单位，会得到哪条 抛物线？向下平移7个单位呢？ 2.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的 图象:
y=x2-1 …
3
0
-1
0
3
8
…
5
y=x2
y
10
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2-1
O
5
-5
x
-2
6
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－ 1的开口方向、对称轴、顶 点各是什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
y=x2+1
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 ●
7.如图，四个二次函数的图象中，分别对 应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2； ④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是 （ A ） A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
24
8.二次函数y=ax2+c的图象经过点A（1，2），且 与y轴交 于B（0，-3），则该函数的解析式为 。
9.（2011· 吉林）如图，已知 一抛物线形大门，其地面宽 度AB=18m．一同学站在门 内，在离门脚B点1m远的D 处，垂直地面立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在 抛物线形门上C处．根据这 些条件，请你求出该大门的 高h．
25
10.（2010•兰州 ）如图，小明 的父亲在相距2米的两棵树间拴 了一根绳子，给他做了一个简易 的秋千，拴绳子的地方距地面高 都是2.5米，绳子自然下垂呈抛 物线状，身高1米的小明距较近 的那棵树0.5米时，头部刚好接 触到绳子，求绳子的最低点距地 面的距离。
y
y=x2+1
不同点： 顶点的位置不同， 抛物线的位置也不 同． 向上平移 2 抛物线y=x 1个单位 抛物线 y=x2+1 向下平移 2 抛物线y=x 1个单位 抛物线 y=x2－1
8
（3）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？ （4）它们的位置由什么决定的？
解;（3）把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物
y=x2－1 ． 物线的解析式是_____________
15
当堂检测题
1.抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴 （0,3）
是
y轴
，在__ 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右 侧，y随着x的增大而减小，当x= 函数y的值最 大
0
时，
，最大 值是 3 ,它是由抛物线y= 向上平移3个单位 −2x2怎样平移得到的_________________. 2.抛物线 y= x² -5 的顶点坐标是 _______ ，对称轴是 （ 0,-5） y轴 在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小；在对称 ____, 轴的右侧，y随着x的 增大而增大，当x=____ 0 时，函数y 小 值是 -5 . 小 ，最____ 的值最___
线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得 到 抛物线y=x2-1. （4）它们的位置是由+1、-1决定的. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？ 向下平移3.4个单位呢？ y=2x2+5
y=2x2 -3.4
9
抛物线y=ax2与y=ax2±c之间的关系是：
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，
抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴,顶点为(0,1).
抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴,顶点为(0,－1).
7
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同
10 9 y=x2 8 7 6 5 4 3 2－1 y=x 2 ● 1 o1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 ● x ●
向上，y轴，（0,0) 向下，y轴，（0,2) 向上，y轴，（0,6) 向下，y轴，（0,-4)
2.二次函数y=24x248图象的其顶点坐标为（ C ） (A)(0，2) (C) (0，48) (B) (1，24) (D) (2，48)
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3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛