两辆铁路平板车的装货问题1.0

数学建模

论文题目：两辆铁路平板车的装货问题

小组成员：李航

纪俊吉

刘骏萍

两辆铁路平板车的装货问题

摘要：

本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。每个装箱策略都会产生不同的浪费。本文讨论的就是怎么样装箱，使浪费最小。本文首先建立一个整数规划模型，考虑问题所给的约束条件，使得包装箱装到两辆铁路平板车，并且使得浪费的空间最小。求解时运用LINGO软件和建立在线性规划求解的单纯基础上的分支界限法求的最优解。在求得本问题的最优目标后，进一步运用C语言，求得了本问题的所有最优解，一共有30种。并进一步分析，在实际装货过程中可能遇到的问题，比如在相同的空间利用率的情况下，装货的总重量问题，在30组解中进一步优化，求得最终的结果。

关键字：整数优化 LING最优解装货问题

一、问题重述：

有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上。包装箱的高和宽是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（g，以千克计）是不同的。下表给出来了每种包装箱的厚度，重量以及数量。每辆平板车有10.2m长的地方可以用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的

总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

厚度（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0

重量（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000

件数（件） 8 7 9 6 6 4 8

二、问题分析：

七种包装箱的重量和W= 89t，而两辆平板车只能载2*40=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：

两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大。

三、问题假设：

1、铁路平板车只能放一排包装箱；

2、包装箱不会因为挤压碰撞发生形变；

3、包装箱之间的空隙不计；

4、假设包装箱的厚度和重量是精确的；

5、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；

四、参数、符号说明：

i C 表示第i 种包装箱；（i=1,2,3..7） ij C 表示i C 在第j 辆平板车的件数； i

T 表示i C 的厚度；

i W 表示i C 的重量；

i N 表示i C 的件数；

j L 表示第j 辆铁路平板车的车长；(j=1,2) j Z 表示第j 辆铁路平板车的载重；

*

N 表示正整数。

其他局部符号在引用时将给出具体说明。

四、模型的建立与求解：

1、目标函数的确定：

目标平板车装箱问题目的是使平板车的空间（即题目中所给的长度）浪费最小。

即：

i

i ij j T C ∑∑==712

1

max

其中ij C 表示i C 在第j 辆平板车的件数，i T 表示i C 的厚度。 2、约束条件的确定： ①每辆平板车的长度限制：

对每辆平板车而言，它的长度限制为j L ,则每辆车上的箱子所占的总长度小于等于车的长度。

即：j

i

i ij L T C <=∑=7

1

)2,1(=j

②每辆平板车的载重限制：

对每辆平板车而言，它的载重限制为j Z ,则每辆车上的箱子的总重量小于等于车的载重。

即：

j i

i ij Z W

C <=∑=7

1

)2,1(=j

③C5，C6，C7类的包装箱总厚度（即他们占用的总空间）的限制： C5，C6，C7类的包装箱的总厚度小于302.7cm 。

即：7.302742

1

<=∑∑==i

i j ij

W C

④C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7包装箱数量的限制： 每种包装箱装车的数量不能大于自己的总件数i N 。

即：

i

j ij

N C

<=∑=2

1

)7...3,2,1(=i

⑤每种箱子在每类车上的件数为整数：

即:ij C ∈*

N

3、模型的建立：

由上述分析可以建立问题的模型如下：

i

i ij j T C ∑∑==712

1

min

j

i

i ij L T C <=∑=7

1 )2,1(=j

j i

i ij

Z W C <=∑=7

1

)2,1(=j

7.3027

42

1

<=∑∑==i

i j ij

W C

i

j ij

N C <=∑=2

1

)7...3,2,1(=i

ij C ∈*N

4、模型的求解：

算法步骤如下：

步骤【1】：将包装箱（box）和铁路平板车（car）分别表示为两个集合：①box里面有包装箱的厚度（t），重量（w），件数（n）等属性；②car里面有平板车的长度（l），载重（z）等属性。再把两个集合创建为一个新的数组，数组元素表示为第i个箱子在第j个平板车里的件数（c）；

步骤【2】：导入各属性所对应的数据；

步骤【3】：写出目标函数,用for循环、不等式以及取整表示约束条件，当数据C(i，j)满足约束条件且使得目标函数值最大时，即被输出；

步骤【4】：用LINGO软件求解。

求得最优的解为20.394米，即有0.6cm的空间剩余。总的空间利用率达到99.97%。其中一组最优解为C( 1, 1)=8，C( 1,2)=0，C( 2,

1)=2,C(2,2)=5，C(3,1)=3，C(3,2)=6，C(4,1)=2，C( 4,

2)=4，C(5,1)=3,C(5,2)=0，C(6,1)=1C(6,2)=2 ，C( 7, 1)=0，C(7,2,)=0。

求出所有的最优解，在求解的过程中，我们首先考虑用穷举法，穷举法虽然简单易用、操作简单，但是对于时间复杂度过大的情况则无法进行计算。本文所涉及的是将7 种货物装载到 2 辆平板车上去的问题，由此分析可知，应有 14 个变量即拥有 14 重的循环。以 C1 为例，该种货物在2 辆平板车的装载数量为0 ～8，则14 重循环的时间复杂度为( 9 ×8 ×10 ×7 ×7 × 5 ×6) 2 =1. 120 2e +012，