数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
3． 若()0lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣
⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣
⎦ C ． ()()
01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D
6．当n →∞时，
1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12
B ．1
C ．2
D ．-2 解：2
211sin lim lim 1,21
1n n k k
n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分）
8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝
⎭ 解：原式()()()
112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10
．n =
解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭
解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x
x →→== 故 原式=1
12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x
→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x
→→+⋅= 20420,lim 02
n x n x n x
→<>2,4,n n ∴>< 故3n =
三、计算题（每小题8分，共64分）
14．求0x → 解：原式有理化
16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x
→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形
注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x
→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x
-→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x
-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
解： (1) 拆项，111...1223(1)
n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
解： 原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
四、证明题（共18分）
21．当x →∞时且
()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞
==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞
→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()
lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕
22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

（1）()3
tan sin 02
x x x x -→等价于 （2）()3
tan 03
x x x x -→等价于 （3）3
sin 6
x x x -等价于()0x → （4）()3
arcsin 06
x x x x -→等价于 证：()30tan sin 1lim 2
x x x x →- 当0x →时，3
tan sin 2x x x
- 当0x →时，2tan 3x x x
- 当0x →时，31sin :6
x x x - 当0x →时，31arcsin 6x x x -等价于
五、综合题（每小题10分，共20分）
23
．求(lim 3x x →∞ 解： 原式
229921x x x x -++有理化 24． 已知()22281lim 225
x x mx x n x n →-+=-++，求常数,m n 的值。

解：（1）∵原极限存在且
（2）()22268lim 22x x x x n x n
→-+-++ 102n ∴-=- 12n = 答6,12m n ==
选做题
求()1
101lim x x x x e →⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：原式()11
011lim 1x x x x e e ∞→⎡⎤+-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
令()()1
1ln 11x x x y x e
+=+= 原式()()()()
20201ln 10ln 1lim lim 123x x x x x x x x x x e e →→-++-+++==。