2019-2020学年湖北省荆州中学高一月考数学试题及答案

2019-2020学年湖北省荆州中学高一月考数学试题及答案一、单选题1．集合U ={1，2，3，4，5，6}，S ={1，4，5}，T ={2，3，4}，则S ∩（∁U T ）等于（ ） A ．{1，4，5，6} B ．{1，5} C ．{4}D ．{1，2，3，4，5}【答案】B【解析】由集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，由补集的运算有{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，再结合交集的运算即可得解.【详解】解：因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =， 所以{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =， 所以{}()1,5U S C T ⋂=, 故选B. 【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题. 2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．至多一个【答案】D【解析】试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量x 都有唯一的函数值对应，直线x a =与函数()y f x =的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D.【考点】1.函数的概念；2.函数图像. 3．已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f +-的值等于（ ）A ．2-B ．4C ．2D ．4-【答案】B 【解析】【详解】2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,448()2333f ∴=⨯=，44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，4484()()43333f f ∴+-=+=，故选B.【考点】分段函数.4．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（）A ．3,1x y ==-B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-【答案】D【解析】解对应方程组，即得结果 【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.5．函数1()3f x x =+的定义域为（） A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 【答案】C【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【详解】解：由030x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得x ≤0且x ≠﹣3．∴函数f （x ）13x =+的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查计算能力，是基础题．6．已知()f x 的定义域为[1,5]-，则(25)f x +的定义域为（ ） A ．[1,5]- B ．[3,15] C ．[3,0]- D ．[0,3]【答案】C【解析】根据()f x 的定义域为[1-，5]即可得出：要使得(25)f x +有意义，则需满足1255x -+，解出x 的范围即可．【详解】()f x 的定义域为[1-，5]，∴要使(25)f x +有意义，则1255x -+，解得30x -，(25)f x ∴+的定义域为[3-，0]．故选：C ． 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意形如[()]f g x 复合函数的求解原则. 7．已知()224f x x x -=-，那么()f x = ( ) A ．284x x -- B ．24x x -- C ．28x x + D ．24x -【答案】D 【解析】因为()224f x x x -=-=()224x --,则()24f x x =-,故选D.点睛: 本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.已知函数类型时,比如一次函数,二次函数,反比例函数以及指数函数或者对数函数时,往往使用待定系数法设出函数的表达式,再利用已知条件带入求出参数的值.8．如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ） A ．增函数且最小值为6- B ．增函数且最大值为6- C ．减函数且最小值为6- D ．减函数且最大值为6-【答案】D【解析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =，且()6f x ≥，又由()f x 为奇函数， 则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f -=-，则有()6f x ≤-， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 9．已知函数2()1xf x a x =≥-在区间[3，5]上恒成立，则实数a的最大值是 A ．3 B ．13C ．25D ．52【答案】D【解析】根据题意需求出()f x 的最小值，利用分离常数的方法分析函数的单调性，即可求解. 【详解】因为22(1)22()2111x x f x x x x -+===+---，所以函数()f x 在[]3,5上单调递减，函数()f x 的最小值为5(5)2f =，所以52a ≤, a 的最大值是52.故选：D. 【点睛】本题主要考查根据函数恒成立求参数，利用函数的单调性求最值，考查逻辑推理和运算求解能力，属于中档题.10．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】2541()2222x x f x x x x-+==+-≥--，所以选C.11．已知定义域为R 的函数()y f x =在()0,4上是减函数, 又()4y f x =+是偶函数,则( )A ．()()()257f f f <<B ．()()()527f f f <<C ．()()()725f f f <<D ．()()()752f f f <<【答案】B【解析】根据条件将自变量转化到()0,4上，再根据单调性判断大小 【详解】因为()4y f x =+是偶函数,所以()()44f x f x +=-+ 因此()()5(3),7(1)f f f f ==，因为()y f x =在()0,4上是减函数,所以()()()321,f f f <<()()()527f f f <<，选B【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题.12．已知奇函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[1,0(0,1]-⋃，则不等式()()1f x f x -->-的解集（ ）A ．1|02x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．{|11x x -≤≤且0}x ≠C ．1|12x x ⎧-≤<-⎨⎩或01}x < D ．{|10x x -≤<或112x <}【答案】C【解析】由奇函数的定义可得，不等式即1(2)f x >-，结合图象求出它的解集． 【详解】由题意可得，不等式()()1f x f x -->-，即()()1()1f x f x f x >--=--，即2()1f x >-，即1(2)f x >-，结合图象可得112x -<-或01x <. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的定义，利用函数图象解不等式，求得不等式即1(2)f x >-，是解题的关键，属于基础题．二、填空题13．若不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是_______.【答案】-4<k ≤0【解析】对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可. 【详解】当0k =时，原不等式变为10-<，显然对一切实数x 都成立； 当0k ≠时，要想不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则满足：k 0<且2()40k k ∆=-+<，解得40k -<<，综上所述：实数k 的取值范围是40k -<≤. 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想.14． 设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________. 【答案】1- 【解析】【详解】因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数， (11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意. 故答案为1-. 15．函数y =______.【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合复合函数的单调性法则即可确定所给函数的单调递增区间. 【详解】函数有意义，则：260x x -++≥，解得：23x -≤≤，令()26u x x x =-++，则()u x 在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 函数y =由复合函数同增异减的法则可得，函数的单调递增区间为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．甲乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不能超过120km/h.已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元,则全程运输成本与速度的函数关系是y =______,当汽车的行驶速度为______km/h 时,全程运输成本最小. 【答案】18000018y v v=+(0120)v <≤ 100【解析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v ，结合汽车每小时运输成本为29360250v +元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得100v =时，y 取最小值.【详解】甲乙两地相距500km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v， 又由汽车每小时运输成本为29360250v +元， 则全程运输成本与速度的函数关系是()25009180000360180120250y v v v v v ⎛⎫=⋅+=+<≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式得180000183600v v +≥=，当且仅当18000018v v+，即100v =时，取最小值, 故答案为()180000180120y v v v =+<≤，100.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三、解答题17．设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >. （1）若3a =，求A B ；（2）若AB =R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x <-或}0x >；（2）()0,2.【解析】（1）先求出集合A ，再求A ∪B ；（2）根据AB =R得到31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解不等式组即得解.【详解】（1）若3a =，则{}06A x x =<<， 故{|1A B x x ⋃=<-或}0x >. （2）若A B =R ，则31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解得02a <<. ∴实数a 的取值范围为()0,2.【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.18．设函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，2()331f x x x =-+-，求()f x 在R 上的解析式.【答案】22331,0()0,0331,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩【解析】设0x <，则0x ->，再利用奇函数的定义得到()f x 的解析式，再将函数写成分段函数的形式. 【详解】设0x <，则0x ->，22()3()3()1331f x x x x x ∴-=--+--=---()f x 是奇函数，2()()331f x f x x x ∴=--=++，又()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，22331,0,()0,0,331,0.x x x f x x x x x ⎧++<⎪∴==⎨⎪-+->⎩【点睛】本题考查分段函数的奇偶性及解析式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额折扣率 不超过500元的部分5 ℅ 超过500元的部分 10 ℅某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元.（1）写出y 关于x 的解析式. (2) 若y=30，求此人购物实际所付金额． 【答案】（1）（2）x="1350 "【解析】解：（1）由题可知：………6分（2）∵y=30＞25 ∴x ＞1300∴ 10℅(x -1300)+25="30 " 解得，x="1350 " ………12分20．已知函数2()2(1)f x x a x a =+-+.（1）当1a =-时，求()f x 在[3,3]-上的值域； （2）求()f x 在区间[3,3]-上的最小值. 【答案】（1）[5,20]-；（2）2min73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【解析】（1）当1a =-时，判断函数在区间[3,3]-的单调性，从而求得最值；（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，讨论对称轴与区间的位置关系，分别求得最小值，最后将函数的最小值写成分段函数的形式. 【详解】（1）当1a =-时，2()41f x x x =--，()f x ∴的对称轴为2x =，()f x ∴在[3,2]-上单调递减，在(2,3]上单调递增， min ()(2)5f x f ∴==-，又(3)20f -=，(3)4f =-，()f x ∴在[3,3]-上的值域为[5,20]-.（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，①当13a -≤-，即4a ≥时，()f x 在[3,3]-上单调递增，min ()(3)155f x f a ∴=-=-；②当313a -<-<，即24a -<<时，∴()f x 在[3,1]a --上单调递减，在(1,3]a -上单调递增，2min ()(1)31f x f a a a ∴=-=-+-③当13-≥a ，即2a ≤-时，()f x 在[3,3]-上单调递减，min ()(3)73f x f a ∴==+综上所述，2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对区间与对称轴位置关系的讨论.21．规定[]t 为不超过t 的最大整数，例如[12.6]12=，[ 3.5]4-=-.对任意实数x ，令1()[4]f x x =，()4[4]g x x x =-，进一步令21()(())f x f g x =.（1）分别求1716f ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2716f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求x 的取值范围，使它同时满足1()1f x =，2()3f x =.【答案】（1）34，3；（2）71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）直接利用题目信息的要求求出函数的值； （2）利用已知，1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，又21()(41)[164]3f x f x x =-=-=，根据规定[]t 为不超过t 的最大整数，可得不等式组，解出即为x 的取值范围. 【详解】 （1）∵当716x =时，744x =， 1771164f ⎛⎫⎡⎤∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，777316444g ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦211773[3]316164f f g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，21()(41)[164]3f x f x x ∴=-=-=.142,31644,x x <⎧∴⎨-<⎩解得71162x <. 故满足题意的x 的取值范围为71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题为创新题，考查函数与方程的综合运用，解题的关键在于对题目中新定义、新概念的理解和应用，例如本题中若[]x a =，则必有+1a x a ≤<成立，属于较难题. 22．已知()21ax bf x x +=+是定义在()-1,1上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 ()()220f t f t -+<. 【答案】（1）()21xf x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；（3）12,23⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()00f b ==，又由1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得a 的值，代入函数的解析式即可得答案； （2）设1211xx -<<<，由作差法分析()1f x 与()2f x 的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将()()220f t f t -+<转化为22122111t tt t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解可得t 的取值范围，即可得答案． 【详解】（1）∵()f x 是()1,1-上的奇函数， ∴()00f b ==， ∴()21axf x x =+， 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+； （2）()f x 在()1,1-上单调递增， 证明：任意取()12,1,1x x ∈-，且12xx <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，∵1211xx -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()1,1-上单调递增； （3）∵()()220f t f t -+<， ∴()()22f t f t -<-，易知()f x 是()1,1-上的奇函数， ∴()()f t f t -=-， ∴()()22f t f t -<-，又由（2）知()f x 是()1,1-上的增函数，∴22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩， 解得1223t <<， ∴不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．。