第2章第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算 1．根式的概念根式的概念符号表示 备注 如果□01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□02正数，负数的n 次方根是一个□03负数 na零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□05相反数 ±na (a ＞0)负数没有偶次方根2．分数指数幂(1)a m n＝□ na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a－m n＝□071a m n＝□1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质底数 a >1 0<a <1图 象性 质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1； 当x <0时，恒有0<y <1 当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数1．(na )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数且n >1，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a >0，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9答案 B 解析[(－2)6]12－(－1)＝(26)12 －1＝7.2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥0)的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(2，＋∞)C ．(0,2]D ．(1,2]答案 D解析 ∵当x ≥0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈(0,1]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1∈(1,2]，即f (x )的值域为(1,2]．3．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)答案 D解析 ∵a 2－a ＋2>1，∴－x －1<2x ＋5， ∴x >－2，选D ．4．(2019·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 D解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又y ＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D ．5．(2020·蒙城月考)已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 y ＝a x ＋b 的图象如图．由图象可知，y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第一象限．6．若x ＋x －1＝3，则x 12＋x －12＝________；x 2＋x －2＝________.答案 5 7解析∵(x 12＋x －12)2＝x ＋x －1＋2＝5，且x12 ＋x －12>0，∴x 12＋x －12＝ 5.又(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，∴x 2＋x －2＝7.核心考向突破考向一 指数幂的运算例1 求值与化简：(1)823×100－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34 ； (2)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b5(a >0，b >0)；(3)3a 92a －3÷3a －73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12＋a－12 ＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝8625.(2)原式＝a －13 ·b －12 ·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13 －12 －16·b 12 ＋13－56＝1a .(3)原式＝(a 92a －23)13÷(a －73a 133)12＝(a 3) 13 ÷(a 2) 12＝a ÷a ＝1. (4)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．[即时训练] 1.化简：a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)．解 原式＝(a 3b 2a13 b 23 )12ab 2a－13 b 13＝a32 ＋16 －1＋13 ·b1＋13－2－13＝ab －1＝ab .2．计算0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－72＋⎝⎛⎭⎪⎫25912 －1＝103－49＋53－1＝－45. 3．化简：56a 13 ·b －2·(－3a －12 b －1)÷(4a 23 ·b －3)12 (a >0，b >0)． 解 原式＝－52a －16 b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16 b －3÷(a 13 b －23 )＝－54a －12 ·b －23＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.4．已知a －1a ＝3(a >0)，求a 2＋a ＋a －2＋a －1的值． 解 ∵a －1a ＝3，∴a 2＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋2·a ·1a ＝9＋2＝11， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2＝13， ∴a ＋1a ＝13，∴a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13. 考向二 指数函数的图象及其应用例2 (1)(2019·山西晋城模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0答案 D解析 由图象知f (x )是减函数，所以0<a <1，又由图象在y 轴上的截距小于1可知a －b <1，即－b >0，所以b <0.故选D ．(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 ①当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1.所以0<a <12.②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，0<a <12.(1)研究指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)根据函数图象的变换规律得到的结论①函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的图象可由指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度得到．②函数y ＝a x ＋b 的图象可由指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度得到．③函数y ＝a |x |的图象关于y 轴对称，当x ≥0时，其图象与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x <0时，其图象与x ≥0时的图象关于y 轴对称．[即时训练] 5.已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又y ＝|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B ．6．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [－1,1]解析 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．精准设计考向，多角度探究突破 考向三 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小例3 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3－23<3－4<32B ．32<⎝ ⎛⎭⎪⎫1313<33C ．2.60<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<22.6D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<2.60<22.6答案 D解析 因为y ＝3x是增函数，所以3－4<3－23<32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ＝3－13<32<33，故排除A ，B ；因为y ＝2x 是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6＝2－2.6<20＝2.60<22.6，故选D ．(2)已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案 B解析 在同一坐标系下画出y ＝2019x 与y ＝2020x 的图象，结合图象可知①②⑤可能成立，所以不可能成立的有2个，选B ．比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．[即时训练] 7.(2020·山东实验中学月考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1，则有( )A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0答案 A解析 因为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，所以由⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，得m >n >0，故选A ．8．已知0<a <1，x >y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a <y a B ．a x <a y C ．a x >a y D ．a x >y a答案 B解析 对于A ，∵x y >1，∴x a y a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 0＝1，∴x a >y a ，∴A 错误；∵0<a <1，∴f (x )＝a x 为减函数，又x >y >1，∴a x <a y ，∴B 正确，C 错误；对于D ，∵a x <a 0＝1，而y a >y 0＝1，∴a x <y a ，∴D 错误．故选B ． 角度2 解简单的指数不等式例4 (1)(2019·宜昌调研)设函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C ．(2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2)答案 D解析 ∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，∴－1<m <2，故选D ．解指数不等式的思路方法对于形如a x >a b 的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．[即时训练] 9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1，∴⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8，1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．故选B ．10．若x 满足不等式2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B解析 将2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3,1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.故选B ．角度3 与指数函数有关的复合函数问题例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________.答案 (－∞，1]解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为减函数，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1]．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57解析 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34； 当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域．(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的．(3)分层逐一求解函数的单调区间．(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．[即时训练] 11.已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________.答案 (－∞，－18]解析 设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]．12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝a x2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.课时作业1．计算1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323 ＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2答案 D解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313 ＋234 ×214 －⎝ ⎛⎭⎪⎫2313 ＝2.故选D ． 2．函数f (x )＝22x －1的值域是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－2)答案 B解析 设y ＝f (x )＝22x －1，令u ＝2x－1，则u >－1，y ＝2u ，则y <－2或y >0.故选B ．3．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B 解析(a 2)32 >0，a 3<0，故①错误；∵0<5a <1,0<0.7b <1，∴a <0，b >0，∴ab <0.故④错误．4．(2019·北京市通州区高三模拟)已知c <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．c >2cB ．c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c>⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c<⎝ ⎛⎭⎪⎫12c答案 D解析 ∵c <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12c >1,0<2c <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12c >2c ，故选D ．5．(2020·四川泸州期末)已知函数f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，则下列判断正确的是( )A ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是增函数B ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是增函数C ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是减函数D ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又y ＝e x 和y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 都是R 上的增函数，∴f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是R 上的增函数．故选A ．6．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由f (x )＝a x 与g (x )＝b x 是指数函数可知a >0，b >0.充分性：若“f (2)>g (2)”成立，即a 2>b 2，由于a ，b 都是正数，则a >b ，充分性成立；必要性：若a >b ，则f (2)＝a 2>b 2＝g (2)，必要性成立．综上所述，“f (2)>g (2)”是“a >b ”的充分必要条件．故选C ． 7．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝3|x |答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x 的值域是正实数集．8．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且满足f (x )－g (x )＝2x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<f (0)B ．f (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (3)D ．f (0)<f (2)<f (3)答案 D解析 ∵函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．由f (x )－g (x )＝2x ，得f (－x )－g (－x )＝2－x ，∴－f (x )－g (x )＝2－x ，即f (x )＋g (x )＝－2－x ，与f (x )－g (x )＝2x 联立，得f (x )＝2x －2－x 2，∴f (0)＝0，f (2)＝22－2－22＝158，f (3)＝23－2－32＝6316，∴f (0)<f (2)<f (3)，故选D ．9．(2019·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案 B解析由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B．10．(2019·福建厦门第一次质量检查)已知a>b>0，x＝a＋b e b，y＝b＋a e a，z ＝b＋a e b，则()A．x<z<y B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x答案 A解析∵x＝a＋b e b，y＝b＋a e a，z＝b＋a e b，∴y－z＝a(e a－e b)，又a>b>0，e>1，∴e a>e b，∴y>z，∵z－x＝(b－a)＋(a－b)e b＝(a－b)(e b－1)，又a>b>0，e b>1，∴z>x，综上x<z<y，故选A．11．(2020·安徽皖江名校开学考)若e a＋πb≥e－b＋π－a，e为自然对数的底数，则有()A．a＋b≤0 B．a－b≥0C．a－b≤0 D．a＋b≥0答案 D解析令f(x)＝e x－π－x，则f(x)在R上单调递增，又e a＋πb≥e－b＋π－a，所以e a－π－a≥e－b－πb，即f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0，故选D．12．(2019·齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学第一次联考)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 令t ＝2x，则y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34，对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(0,1]，此时y ∈[1，3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(1,2]∪[4,16]，此时y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1∪[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(0,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D ．13．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1的值域为________.答案 (0,4]解析 设t ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，则t ≥－2.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是关于t 的减函数，所以y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.又y >0，所以0<y ≤4.14．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a－1)，则a 的值为________.答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，a ＝12，符合题意．当a >1时，代入不成立． 15．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)满足f (1)>1，若函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是________.答案 (2,5]解析 ∵f (1)>1，∴a －1>1，即a >2.∵函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，∴g (0)＝a 1－1－4≤0，∴a ≤5，∴a 的取值范围是(2,5]．16．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________.答案 [6，＋∞)解析 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，且函数y ＝2t在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减．又函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.17．(2019·安徽皖东名校联盟高三第二次联考)已知关于x 的函数f (x )＝2x ＋(a －a 2 )·4x ，其中a ∈R .(1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围；(2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x －2·4x ≥0，即2x ≥22x ＋1，x ≥2x ＋1，x ≤－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]． (2)f (x )>－1在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a －a 2>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．因为函数⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上为单调递增函数，最大值为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－34.因此a －a 2>－34，解得－12<a <32. 故实数a 的整数值是0,1.18．函数y ＝F (x )的图象如图所示，该图象由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x b “拼接”而成．(1)求F (x )的解析式； (2)比较a b 与b a 的大小；(3)若(m ＋4)－b <(3－2m )－b ，求m 的取值范围．解(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 14＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝116，b ＝12，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫116x，x ≤14，x 12 ，x >14.(2)因为a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11612 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12116 ，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122<⎝ ⎛⎭⎪⎫12116，即a b <b a .(3)由(m ＋4)－12<(3－2m ) －12，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4>0，3－2m >0，m ＋4>3－2m ，解得－13<m <32，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，32.19．(2019·南宁模拟)已知f (x )＝2x －a2x ＋1(a ∈R )的图象关于坐标原点对称．(1)求a 的值；(2)若存在x ∈[0,1]，使不等式f (x )＋2x －b2x ＋1<0成立，求实数b 的取值范围．解 (1)由题意知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝1.(2)设h (x )＝2x －12x ＋1＋2x －b 2x ＋1＝(2x )2＋2x ＋1－1－b 2x ＋1， 由题设知存在x ∈[0,1]使h (x )<0成立，即存在x ∈[0,1]使不等式(2x )2＋2x ＋1－1－b <0成立，即存在x ∈[0,1]使b >(2x )2＋2x ＋1－1成立，令t ＝2x ，则存在t ∈[1,2]使b >t 2＋2t －1成立，只需b >(t 2＋2t －1)min .令g (t )＝t 2＋2t －1，g (t )图象的对称轴为直线t ＝－1，则g (t )在[1,2]上单调递增，所以当t ∈[1,2]时，g (t )min ＝g (1)＝2，所以b >2.所以实数b 的取值范围为(2，＋∞)．20．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝14x ＋a 2x ＋1.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设y ＝f (x )＝14x ＋a 2x ＋1.当a ＝－1时，y ＝f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1(x <0)， 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0， 则t >1，y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34， ∴y >1，即函数f (x )在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，∴不存在常数M >0，使得|f (x )|≤M 成立．∴函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意，知|f (x )|≤3对x ∈[0，＋∞)恒成立，即－3≤f (x )≤3对x ∈[0，＋∞)恒成立，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥0，则t ∈(0,1]． ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤a ≤2t －t 对t ∈(0,1]恒成立， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t max ≤a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －t min . 设h (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，p (t )＝2t －t ，t ∈(0,1]， ∵h (t )在(0,1]上递增，p (t )在(0,1]上递减，∴h (t )在(0,1]上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在(0,1]上的最小值为p (1)＝1. ∴实数a 的取值范围为[－5,1]．。