(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案

第13章自测题1答案

一、选择题（每小题4分）

1、

答：(A).

2、

答：(B).

3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值

(A)与C有关(B)等于0

(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π

答( ) 答：（B）

4、曲线积分的值

(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关

(C)与起点、终点无关(D)等于零

答( ) 答：（B）

二、填空题（每小题4分）

1、

L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转

动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。

答：

2、

设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.

答： 0

3、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.

答：1

4、设是某二元函数的全微分，则m=______.

答：2

三、解答题（每小题6分）

1、

求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).

2、

设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).

3、

求质点M (x ,y )受作用力

沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)

沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y

从2=x 到1=x

⎰

⋅=L

s

F w d ϖϖ

⎰-++=

AB

y

x y x x y d )2(d )3

(

⎰

-=1

2

d )115(x

x

223-

=

4、

质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线

对于原点处的单位质点的引力 .

5、

设质线L 的方程为

L 上任意点(x ,y )处的线密度为

求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).

解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2π

θ

θθd 2

sin

2d 'd 22a r r s =+=

θ

θ

θμπ

⎰

⎰

⎰

-=+=

=

20

22d 2

sin

)cos 1(2d 1d a

s

y x a

s M L

L

a 332

=

⎰

⎰

⎰-=-⋅⋅=

=

ππθθ

θθ

θ

θθμξ2022022d 2sin )

2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M M

s

x L

a 78

-

=

由于L 关于OX 轴对称，

2

21y x a

+=

μ关于y 是偶函数，故0=η

∴ 质心：

)0 , 78

(a -

6、

计算 ，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2

π 所围成的区域。(a >0)

7、 计算

其中

是从O (0，0)沿y =sin x 到

A (π,0).

8、

设2

22),(Cy Bxy Ax y x f ++=，且2)2,1(=-f ，试确定常数A ，B ，C 之值，使曲线积分

与积分路径L 无关。

四、 证明题 1、（6分）

设f (u )在1≤u ≤4上有连续的一阶导数，域D 由y =x , y =4x ,xy =1与xy =4所围成，L 是D 的逆时针方向的边界，求证：

对二重积分作变换：

2、（7分）

若f(u)为连续函数，L为单连通区域G：x>y>0内的任意简单曲线，则曲线积分

的值与路径无关。

3、（7分）

设n为闭曲线C的朝外的法向量，D为C所围成的闭区域，函数u(x,y)具有二阶连续偏导数。试证明

证明：