可对角化矩阵的应用

５ 求特殊矩阵的特征值
例 １ 设 Ａ 为 阶实对称矩阵，且 Ａ２＝２Ａ，
又 （Ａ）＝ ＜ ，
求（１）Ａ 的全部特征值；（２）行列式
的值。
解：（１）设 为 Ａ 的任一特征值， 为 Ａ 的
对应于特征值 的特征向量，所以 Ａ ＝ ，
有 Ａ２ ＝Ａ
＝ ２ ， 又因为 Ａ ２＝ ２ Ａ ， 所以
Ａ２ ＝２Ａ ＝２ ， 所以 ２＝２ ， 由此可得
学 术 论 坛
科技资讯 ２００７ ＮＯ．２４
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
多媒体与网络技术在教学中的实现及应用
史丽君 （合肥电子工程学院 ２３００３７）
摘 要：２１ 世纪是信息化和学习化的世纪，它对高校的人才培养提出了种种新的要求和挑战。我国的高等教育需要向着适应社会发展和
１ 多媒体网络教学的优势
多媒体技术的出现和在教学上的普及应 用，曾经引发了一场教育技术的革命。由于多 媒体汇集了文字、图形、动画、视频、声 音、特殊效果等， 包含了无限想象的空间， 它 不仅改变了我们学习和理解问题的方式，而且 还改变了我们传播信息的方式。然而传统的 多媒体技术是应用于单机的，而单机的信息量
４ 判断矩阵是否相似
例 １ 下述矩阵是否相似
Ａ １＝
， Ａ １＝
， Ａ １＝
解： 矩阵 Ａ １Ａ ２Ａ ３ 的特征值都是 １＝ ２ （ 二
重）， ２＝３，其中 Ａ１ 已是对角阵，所以只需判断
Ａ２， Ａ３ 是否可对角化， 先考查 Ａ ２，对于特征值
１＝２ 解齐次线性方程组（２Ｅ－Ａ２）Ｘ＝０ 得其基
础解系为α １＝（１，０，０）Ｔ，由于 １＝２ 是 Ａ２ 的二
矩阵，α是任一复数，令
，
则若 Ａ 相似于对角阵， 有
证明： 对任意
，有 Ｘ０＝（α
Ｅ － Ａ ） β和（ α Ｅ － Ａ ） Ｘ ０＝ ０
所以（α Ｅ－Ａ）２ β ＝０，又因为 Ａ 相似于对
角阵，由例 １ 可知（α Ｅ－Ａ）Ｘ０＝０ 与（α Ｅ－Ａ）２ β ＝０ 的解空间相同，所以 ０＝（α Ｅ－Ａ）２ β和
科技资讯 ２００７ ＮＯ．２４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ 可对角化矩阵的应用
学 术 论 坛
张正成 （河北秦皇岛 ９２７８５ 部队 河北秦皇岛 ０６６２００）
摘 要：本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，结合实例从七个方面详细列举了对角化矩阵的应用，反映出可对角化矩阵在某些
参考文献
［１］ 胡显佑主编．线性代数学习指导．天津：南 开大学出版社，１９９７．
［２］ 刘九兰，张乃一，曲问萍主编．线性代数考 研必读．天津：天津大学出版社，２０００，５．
［３］ 谢国瑞主编．线性代数及应用．北京：高等 教育出版社，１９９９．
［４］ 张学元主编．线性代数能力试题题解．武 汉：华中理工大学出版社，２０００．
０＝（α Ｅ－Ａ）β ＝Ｘ０，所以
７ 在线性变换中的应用
例 １ 设 Ｐ ［Ｘ］ （ ＞１）为数域 Ｐ 上次数
，若τ在某一组基
下的矩阵 Ｂ 为对角矩阵，由 Ａ ∽ Ｂ 知 Ａ 可对角 化，存在可逆矩阵 Ｔ 使得
， 由τ的特征值全为 零知 Ｂ＝０， 所以 Ａ ＝０，这不可能。所以微分
变换τ ［Ｘ］ 的任何一组基下的矩阵都不是 对角阵。
人才培养发展，随着网络教学的推广，将多媒体技术与网络教学相结合的重要性逐渐为人们所关注。本文介绍了多媒体网络教学的特点、
在现有网络传输条件下实现多媒体网络教学的几种常见的技术解决方案，以及多媒体网络教学的发展方向，为网络多媒体教学摸索了一
些经验。
关键词：多媒体网络 教学 信息流 智能化
中图分类号： Ｇ ４ ３ ４
＝２ 或 ０，因为 Ａ 是实对称矩阵，所以 Ａ 必能
对角化
即 Ａ ∽ Ｂ＝
，且 （Ａ）＝
（Ｂ），故 ２ 的个数为 Ａ 的秩数， 即 Ａ 的特征值为 个 ２ 及（ － ）个 ０。
２５２ 科技资讯 Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ ＆ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７２－３７９１（２００７）０８（ｃ）－０２５３－０２
当前，计算机辅助教学（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｓｓｉｓｔｅｄ Ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，简称ＣＡＩ）早已在我国教育领域广 泛应用，成为教学过程中不可缺少的重要的教 学手段。纵观我国高等教育的现状，不难发现 ＣＡＩ 的发展趋势——多媒体化与网络化（指基 于国际互联网即 Ｉｎｔｅｒｎｅｔ 的教育应用迅速发 展） ， 并且二者将日益紧密地结合起来。将多 媒体技术与网络技术应用于教育，是当今教育 技术手段的两大世界性热点，将带来教育、教 学的重大变革。
（３）多媒体网络教学包含的媒体数量多，信 息量大，覆盖面广，能面向全体学生，使媒体资 料能得到充分共享，从而扩展了教学空间。一
（２）因为由（１）可得 Ａ ∽ Ｂ，即存在可逆矩
阵 Ｃ ， 使得 Ｃ －１Ａ Ｃ ＝ Ｂ ，
故有 Ａ ＝ Ｃ Ｂ Ｃ －１
＝
＝
＝
＝ Ｂ＝
小于 的多项式及零多项式的全体，则微分变
多媒体网络教学，推动了教育的现代化，促 进了教学改革。它强调学生在学习过程中的 主体地位，最大限度发展学生的个性，培养学习 者发现问题、解决问题的能力。
（１）多媒体网络教学突破了信息表现方式的
单调乏味， 它具有声画并茂、视听结合、动 静相宜、感染力强的特点，使往日呆板的教学 形式变得丰富多彩，增加了学习的趣味性，它利 用各种手段和方式来表现和强化教学内容，通 过感官上的刺激来激发学员的脑细胞，使大脑 在极度活跃和高度集中的状态下完成教学内容 的记忆，这样更加吸引学员的注意力，也能促使 记忆的内容更加深刻和持久。
问题的研究中所起的重要作用。
关键词：特征值 特征向量 相似 对角化 矩阵的秩 线性变换
中图分类号： Ｏ １ ５ １
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７２－３７９１（２００７）０８（ｃ）－０２５２－０２
可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理 论上和应用上都有着十分重要的意义，例如求 方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、 由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是 否相似、在向量空间、线性变换等方面都有 应用。下文笔者结合实际问题逐一进行了应 用举例。
毕竟有限，必须向网络化的方向发展。随着以 电脑网络技术为标志的信息时代的到来，多媒 体技术与网络技术的结合，一种全新的多媒体 网络教学模式正在形成和迅速发展。
建立在网络基础上的多媒体系统，即多媒 体网络系统，把多媒体技术与网络技术紧密结 合起来，大大提高了单机多媒体系统的功能，它 不仅具有各种媒体信息处理和人机交互功能， 更重要的是利用网络联机达到了设备共享、 人力共享、信息共享， 顺应了 ２ １ 世纪信息时 代对知识快速更新的要求，跨越了对知识的单 纯传递，着眼于解决问题的能力的培养，而且为 人们提供了终身教育的机会和条件，满足了信 息时代对高智能人材的需要。
科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２５３
（３）在从工人员中，每年约有 ２０％ 改为从 农，１０％ 改为经商；
（４）在从商人员中，每年约有 １０％ 改为从 农， １ ０ ％ 改为从工。
现欲预测一、二年后从事各业人员的人 数， 以及经过多年之后， 从事各业人员总数之 发展趋势。
解：若用 ３ 维向量 Ｘ 表示第 年后从事这三
种职业的人员总数， 则已知 Ｘ ０＝ 而欲求
重特征值，却只对应于一个特征向量，故 Ａ２ 不
可对角化或者说 Ａ ２ 与 Ａ １ 不相似。
再考查 Ａ３，对于特征值 １＝２，解齐次线性
方程组（２Ｅ－Ａ３）Ｘ＝０ 得基础解系
；对于特征值 ２＝３ 解齐次线性方
程组（３Ｅ－Ａ３）Ｘ＝０，得基础解系
由
于 Ａ３ 有三个线性无关的特征向量，所以 Ａ３ 可
对角化， 即 Ａ ３ 与 Ａ １ 相似。
的特征向量， 因为 Ａ ２ ＝ Ａ ， 则 Ｘ ＝ Ａ Ｘ ＝
Ａ２Ｘ＝ ２Ｘ，从而有（ ２－ ）Ｘ＝０，因为 Ｘ ≠ ０
所以 （ －１）＝０，即 ＝１ 或 ０，又因为 Ａ 是
实对称矩阵，所以 Ａ 相似于对角矩阵，Ａ 的秩为
， 故存在可逆矩阵 Ｐ ， 使得 Ｐ －１Ａ Ｐ ＝
＝
Ｂ ， 其中 Ｅ 是 阶单位矩阵， 从而
则 Ａ＝ＰＢＰ －１ 例 １ 设 ３ 阶实对称矩阵 Ａ 的特征值为 １＝－１， ２＝ ３＝１，对应于 １ 的特征向量为 Ｐ１＝（０，１，１）Ｔ，求矩阵 Ａ。 解：因为 Ａ 是实对称矩阵，所以 Ａ 可以对 角化，即 Ａ 有三个线性无关的特征向量，设对 应于 ２＝ ３＝１ 的特征向量为 Ｐ＝（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３）Ｔ，
换
［Ｘ］ 的任何一组基下的矩阵都不是对
角阵。 证明：取 Ｐ ［Ｘ］ 的一组基 １，ｘ，
，则τ在这组基下的矩阵为
［５］ 徐仲主编．线性代数典型题分析解集．西北 工业大学出版社，１９９８，６．
［６］ 樊辉，钱吉林主编．代数学辞典．武汉：华中 师范大学出版社，１９９４，１２．
６ 在向量空间中的应用
例 ２ 设 Ｖ 是 维列向量空间，Ａ 是 阶复
Ａ 属于特征值 １＝ １ 的特征向量， Ｘ ＊＝
＝ ， ＋ ＋ ＝３ ＝３０， ＝１０，照次规律转
移， 多年之后， 从事这三种职业的人数将趋于 相等， 均为 １ ０ 万人。
２ 利用特征值求行列式的值
例 １ 设 阶实对称矩阵 Ａ 满足 Ａ２＝Ａ，且
Ａ 的秩为 ， 试求行列式
的值。
解： 设 ＡＸ ＝ Ｘ， Ｘ ≠ ０，是对应于特征值
例１ 作为计算矩阵高次幂的一个实例，考 察如下问题：
设某城市共有 ３ ０ 万人从事农、工、商 工作， 假定这个总人数在若干年内保持不变， 而社会调查表明：