2014年数学建模A题论文
2014年美国大学生数学建模竞赛A题论文综述
数学建模综述2014年美国大学生数学建模竞赛A题论文综述我们小组精读两篇14年美赛A题论文，选择了其中一篇来进行学习，总结。
1、问题分析The Keep-Right-Except-To-Pass Rule除非超车否则靠右行驶的交通规则问题：建立数学模型来分析这条规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。
这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规律）并加以分析。
在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修改即可适用，或者需要一些额外的需要。
最后，以上规则依赖于人的判断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果论文：基于元胞自动机和蒙特卡罗方法,我们建立一个模型来讨论“靠右行”规则的影响。
首先,我们打破汽车的运动过程和建立相应的子模型car-generation的流入模型,对于匀速行驶车辆，我们建立一个跟随模型,和超车模型。
然后我们设计规则来模拟车辆的运动模型。
我们进一步讨论我们的模型规则适应靠右的情况和,不受限制的情况, 和交通情况由智能控制系统的情况。
我们也设计一个道路的危险指数评价公式。
我们模拟双车道高速公路上交通(每个方向两个车道,一共四条车道),高速公路双向三车道（总共6车道)。
通过计算机和分析数据。
我们记录的平均速度,超车取代率、道路密度和危险指数和通过与不受规则限制的比较评估靠右行的性能。
我们利用不同的速度限制分析模型的敏感性和看到不同的限速的影响。
左手交通也进行了讨论。
根据我们的分析,我们提出一个新规则结合两个现有的规则(靠右的规则和无限制的规则)的智能系统来实现更好的的性能。
该论文在一开始并没有作过多分析，而是一针见血的提出了自己对于这个问题的做法。
由于题目给出的背景只有一条交通规则，而且是题目很明确的提出让我们建立模型分析。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(A)题目
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
A2014数学建模论文
I sp gE gx t go g x0 gxf aFH
c
g0
r,v a g T, T1
t0 vt1 ry my h1，h 2
三 模型建立
4
3.1 问题一的模型建立 根据嫦娥三号进入软着陆轨道过程中，当探测器运动到远月点时，月球与探测器之 间的引力为
GM Y m t mt vt2 (ry h1 ) 2 (ry h1 )
r1 v1 v1 g a
a T /M
Fthrust Fthrust v e g 0 M Mc
因反推发动机一旦点火中间不能关闭， 实际任务往往不可避免地存在最大和最小推 力幅值约束，可表示为
0 Fmin Fthrust Fmax
其中最小最大力矩 Fmin , Fmax 为和发动机工作特性相关的常值。 此外，探测器在到达目标着陆区域前需要确保不能撞击到火星地表或其它障碍物， 即至少探测器位于火星表面以上，即
2.2 符号说明
vt gy
gd
近月点的速度 月球表面的重力加速度 地球表面的重力加速度 月球引力常数
3
m u,v,w
着陆器质量 代表轨道坐标系中的速度分量 发动机的比推力 地球重力加速度常量 表示假设为常值的月球引力加速度 表示剩余时间 表示着陆瞬时点引力加速度 表示着陆目标点引力加速度 表示制动推力加速度在水平面上的分量 对应发动机质量排出系数 地球的重力加速度 表示探测器位置和速度矢量 发动机提供的加速度矢量 火星的重力加速度 相应的力矩矢量和力矩幅值 任务剩余时间，为当前时刻到末端状态时刻的时间差 远月点的速度 月球的半径 月球的质量 分别是远月点，近月点到月球的距离
其中，C= I sp g E , I sp 为发动机的比推力， g E 地球重力加速度常量。
2014年数学建模A题-省一等奖
关键词：软着陆、SQP算法、轨道优化、景象匹配
1
一
1.1 问题的背景
问题重述
中国是继美国、前苏联之后的第三个能使卫星登上月球实现软着陆的国家。因此， 嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。北京时间 12 月 10 日晚， 嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一 次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约 15 公里、远月点 高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。 嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落 月”地点的选择仍存在一定难度。但嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为 -2641m。在大约距离月球 15 公里时，反推发动机就要点火工作；到离月球 100 米时， 卫星将暂时处于悬停状态，此时它已不受地球上工程人员的控制，因卫星上携带的着陆 器具有很高智能，它会自动选择一块平整的地方降下去，并在离月球表面 4 米的时候关 闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。为了确保探测器能够成功在月球表 面实现软着陆，需要认真设计降落过程中探测器的发动机的控制方案，使“嫦娥 3 号” 能够顺利完成科研任务，得到最大化的应用。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠 降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段 等软着陆任务。 这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探， 同时也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t， 其安装在下部的主减速发动机能够 产生 1500N 到 7500N 的可调节推力。在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过 多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。 要保证准确地在月球预定区域内实现 软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准 备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其 软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆 过程的燃料消耗。 1.2 提出问题 根据上述的叙述以及基本要求，提出以下三个问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。
2014年深圳杯数学建模A题论文【终结版】
单独政策下人口预测的数学模型摘要本文根据2010年的全国人口普查数据对Leslie人口预测方程进行改进，对我国的人口增长建立了年龄递归模型。
并将对2014年的人口与结构的估计作为测算的初始数据，通过独生子女的比例、单独家庭数量、生育意愿计算单独政策的贡献值，并将其与人口预测值相加即可视为单独政策下的总人口。
然后依次递归，预测至2050年的人口数据。
将其与现有预测报告相比，再次证实单独政策将不会引起人口激增，另外发现了单独政策通过减少独生子女引发的回馈作用，指出了预测报告政策贡献值收敛过慢的缺点。
并针对北京市，重点考虑城镇化、综合迁移率、政府控制等因素建立模型。
对其未来各项人口数据进行了预测。
期间我们围绕递推模型，逐步深入的建立了五个模型。
模型一，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。
对2010年的各年龄死亡率进行拟合，发现其服从指数分布，对其进行修正。
假定2010年后的生育率不变，基于2010年全国人口普查数据对Leslie预测方程进行改进。
即用其生育率计算下一年的新生人口，其余年龄用死亡率逐步递推的方法估测得2014年人口数据。
为后续模型提供测算起点，并预测无单独政策下的全国人口数据。
由Matlb软件计算得到我国人口将于2021年到达峰值1.39亿。
模型二，引入短期预测更为精准的灰色预测模型，对2014年的人口总数进行了预测，并与模型以进行了对比。
证明了模型以的可行性，并对2014年的人口数据进行修正。
模型三，在模型一的基础上考虑单独政策的影响，从05年1%人口抽样调查得到的独生子女人口结构，并通过拟合和递推将其预测到2014年。
独生子女的婚姻情况可视为显性配子自由组合的过程，由此通过孟德尔遗传定律即可确定单独家庭比例，进而计算政策受益的潜在人群。
生育意愿的统计置信水平过低，故取高中低三个水平进行计算。
将得到单独政策的贡献值与原预测结合经过递推，即可预测政策下的人口变化，其中我们特别加入了单独政策的反馈处理。
数学建模获奖论文A题-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
2014全国大学生数学建模竞赛A题题目及参考答案_
2014全国大学生数学建模竞赛A题题目及参考答案_ 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目,请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”,A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土(0~10 厘米深度)进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务:(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息,有了这些信息，如何建立模型解决问题,DJHFSJKDHFKDSJKFHSJKDFHJKDSHFDJKSFHJKDSHFJKDSHFJK题目 A题城市表层土壤重金属污染分析摘要,本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题_共26页
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要
本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，通过提取题目中的信 息，利用拱点的概念、B 样条函数逼近的统计定位方法、非线性规划问题及哈 密尔顿函数为理论基础进行了完整的建模工作。首先，通过建立坐标系结合物 理学运动公式求解出了近月点与远月点的位置及相应的速度；在此基础上，利 用 B 样条函数逼近的方法确定了嫦娥三号的着陆轨；最后通过分解着陆过程并 利用非线性规划问题及哈密尔顿函数确定着陆阶段的最优控制策。
参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上
内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖
资格。）
日期： 2014 年 9 月 15 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开 展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
A
我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：
07033001
所属学校（请填写完整的全名）：吉林师范大学博达学院
针对问题二，采用 B 样条函数逼近的运动学统计定位方法确定了在着陆弧 段上任意时刻的位置方程，从而刻画出了嫦娥三号的着陆轨道，并用 matlab 对轨 迹进行了模拟。在 6 个阶段的最优控制策略上，先通过直角坐标系得出质心的运 动方程，再通过对 6 个阶段初始条件和终端状态的分解，利用非线性规划问题 求解哈密尔顿函数，得出性能指标（耗燃量）的最小值为：382.6531kg，从而确 定了最优控制策略。
2014数学建模a题
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
2014“华为杯”建模竞赛A题优秀论文
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(1)
式中， st s1 t , , s N t 为 N 维未知源信号矢量； xt x1 t , , xM t 为 M 维 观测数据矢量， A 为 M N 维混合矩阵。利用信号在时域和频域上的差别和统计特征， 分离源信号中各个独立成分。 2.5 对问题 5 的分析 利用问题 4 中的信号分离模型， 分离出与视觉刺激相关的脑电波成分和可能与呼吸 相关的脑电波信号成分。 然后通过相关性分析与刺激相关的脑电波与刺激曲线之间的相 关性。筛选出进行视觉刺激的两幅图片对应的时间坐标，提取出图片 1 对应的脑电波和 图片 2 对应的脑电波，然后进行方差分析，分析其是否具有显著性差异。
5 模型的建立
5.1 信号分离模型 5.1.1 模型介绍 近几年来， 盲信号分离已成为信号处理学界和神经网络学界共同感兴趣的研究热点 领域，并获得了迅速的发展。简而言之，盲信号分离就是根据观测到的混合数据向量确 定一变换，以恢复原始信号或信源。典型情况下， 观测数据向量是一组传感器的输出， 其中每个传感器接收到的是源信号的不同组合。 术语“盲”有两重含义 : （1）源信号不能被观测； （2）源信号如何混合是未知的。 显然， 当从信源到传感器之间的传输很难建立其数学模型，或者关于传输的先验 知识无法获得时，盲信号分离是一种很自然的选择。 5.1.2 FFT 算法 FFT，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的 奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理 论并没有新的 FFT 算法图即蝴蝶算法发现， 但是对于在计算机系统或者说数字系统中应 用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换， 必须将函数定 义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列 xn n 0 的离散傅里叶变换为：
2014全国大学生数学建模竞赛A题论文解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的实际问题，以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件解决了题目所要求解的问题。
针对问题（1），在合理的假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识和微元法，分析并求解出近月点和远月点的位置，即139.1097 。
再运用能量守恒定律和相关数据，计算出速度v（近月点的速度）1=1750.78/v（远月点的速度）=1669.77/m s，，最后利用曲线的切线m s,2方程，代入点（近月点与远月点）的坐标求值，计算出方向余弦即为相应的速度方向。
针对问题（2）关键词：模糊评判，聚类分析，流体交通量，排队论，多元非线性回归一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
2014年北美数学建模联赛A题一等奖论文
Key words: overtaking model
computer simulation
multi-lane cellular automata model Sensitivity Analysis
Coriolis Force
1
Team 29135 Contents
page 2 of 33
Summary………………………………………………………………….. ……………1 Introduction……………………………………………………………… …………….3 Restatement and Description of problem…………………………………………..3 Notations and Definitions……………………………………………………………. 4 Basic Assumptions……………………………………………………………………..5 Modeling ………………………………………………………………………………..5 Problem 1……………………………………………………………………………….5
A
For office use only F1 ________________ F2 ________________ F3 ________________ F4 ________________
2014 Mathematical Contest in Modeling (MCM/ICM) Summary Sheet (Attach a copy of this page to your solution paper.)
Problem 2……………………………………………………………………………..14
Introduction………………………………………………………………………….14 New Driving Rule……………………………………………………………………15 Modeling to Prove the Reasonability………………………………………………..15 Computer Simulation and Numerical Analysis………………………………………17 Evaluation of New Rule………………………………………………………………19
2014年第十一届五一数学建模联赛A优秀论文
2014年第十一届五一数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：所属学校（请填写完整的全名）参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期：年月日获奖证书邮寄地址：邮政编码2014年第十一届五一数学建模联赛编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：评阅记录裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：2014年第十一届五一数学建模联赛题 目 对黑匣子落水点的分析和预测摘 要本文通过对飞机以及黑匣子受力情况进行分析，构建正交分解模型，得出飞机的坠落轨迹和黑匣子的落水点，及黑匣子在水中的移动情况。
问题一要求在考虑空气气流影响的前提下，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
本文对飞机失去动力后的全过程建立动力学方程：22d r m mg f dt=-+r r r 然后对动力学方程进行正交分解，在水平和竖直方向上分别进行分析，根据伯努利方程求得升力的计算公式，得出飞机在刚刚失去动力时，升力大于重力，所以飞机会先上升一段距离，随着水平速度的减小，升力也逐渐减小，然后飞机再下降，通过模拟计算可以得出当飞机坠落至失事点下10000m 时，飞机坠入海面，其飞行速度为515.994m s ，飞机向东北方向飞行了28697m 。
2014全国数学建模A题一等奖论文
v2 = 526.94m / s 。即远月点的速度为 526.94 m / s .方向为水平方向。
图 3 着陆准备轨道环绕模拟
由于近月点和远月点分别是椭圆轨道的长半轴的两个端点， 且两点的连线经过月心 (图 3)，因此由对称性可知远月点的位置为(19.51E，32.31S)，高度为 100000 米。
360 = 30.301千米 / 度 2πR P 为纬度改变 1o 水平距离的改变量。 p=
根据能量守恒定律可知：
1 2 1 2 mv1 + mg ′h近 = mv 2 + mg ′h远 2 2 其中： v1 为近月点的速度； v2 为远月点的速度。
⑵模型的求解 在本题中由于我们无法确定任意时刻减速动力以及速度的大小及方向， 因此我们通 过假设简化模型，从而对问题进行求解。由于发动机推力主要是用于减少飞行器的横向 速度，同时克服由月球引力引起的径向速度，我们假设了嫦娥三号可以通过自身调节机 制使得自己在运动过程中竖直方向受恒力作用，方向向下，水平方向也受恒力作用，方 向与水平速度方向相反，初速度为 1700m/s。 因此我们可以将抛物线下降的过程分解成竖直方向匀加速，水平方向匀减速的运 动。（如图 1）由附件 2 可知，嫦娥三号在 3000m 时已经基本位于目标上方，所以我们 认为在 3000 米处水平速度近似为 0，57 m / s 为其竖直方向速度。
§3 模型的假设
1．由给出的附件月球的形状扁率为1/963.7256，数量级较小，假设月球为一个球体。 2．由于从近月点100km左右的高度降落到地球表面的时间比较对短，假设嫦娥三号不受 非球项、日月引力摄动等影响因素的影响。 3．假设月球引力场为平行定常引力场，嫦娥三号着陆轨道不受月球自转的影响。 4．假设月球表面海拔为零的球面势能为0。 5．假设嫦娥三号水平移动的距离近似为着陆划过月球表面弧度长度。 6．假设月球的重力加速度恒定，为 1 / 6 g 。
2014年全国数学建模大赛A题
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化摘 要 嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和玉兔号月球车。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
2014年东北三省数学建模联赛参赛论文
二、 问题的重述
2.1 背景 从 20 世纪 70 年代后期以来，我国实施计划生育，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一 个孩子。该政策的实施，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的 改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995 年以来） 、高校报名人数（2009 年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通 道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列 影响。 党的十八届三中全会提出了开放单独二孩政策， 出台前后各方面人士针对开放 “单 独二孩”的效应提出大量的研究和评论。 2.2 研究评论报告 1.2.1 张哲《“单独二孩”政策实施的影响及对策研究》（见附件一）认为计划生育政 策虽然是国家贯彻落实的基本国策，但是随着社会背景的不断发展与变化，也应当适时 做出调整。单独二胎政策的实施: 第一，提高人口增长率，实现社会和谐发展，有效改变现阶段人口增长过缓的现状，改 善男女比例不协调的严峻现实； 第二，调节人口结构，促进可持续发展，有助于扭转抚养比攀升的趋势，减轻青壮年人 口的赡养负担，提高社会的消费总量； 第三，缓解失去唯一孩子而造成身心痛苦的问题，提高居民幸福指数； 第四，改善人口结构，为少年儿童创造良好的生长环境。 其建议： 一、各地政府尽早出台相应政策，推动“单独二孩”依法实施。 二、加强对流动人口的监督与管理，在全国范围内建立公开透明的户籍制度。 三、完善健全社会保障福利体系，提供良好的教育、医疗和服务条件。 1.2.2 刘静 《基于人口学理论的中国放开生育二胎政策研究》 （见附件二） 中针对 “是
6
(dN/dt)=r[N(t)]*N(t) N(0)=N0 ② 式中，r[N(t)]是未知数， 将净增长率看成人口数 N 的线性函数， 设 r(N)=e+cN 设 r(0)=0 对其中一个数值 k 有 r(k)=0,即有 r(N)=e+cN r(0)=0 r(k)=0 解得 r(N)=r(1-N/k) 代入式②中，有 dN/dt=r(1-N/k)*N(t) N(0)=N0 解为 N(t)=N(O)*k*exp(r*t)/(k+N(0)*(exp(r*t)-1)) =k/(1+(k/N(0)-1)*exp-(r*t)) t>=0 （1） r <0 ,t→+∞ ,则 N(t)→0; （2） r>0,对 N(0)的任意正值，当 t→+∞时，均有 N(t)→k （3） r=0,N(T)=N 因此根据全国人口数据得 t→+∞时，a=0，则人口变化规律 N(t)=k/((0.1716*k-1)*exp-(t-1953)*r) 得预测数据 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份 3.72 3.30 2.85 2.38 1.89 1.36 增长率 总人口数 13.774 13.8194 13.8588 13.8917 13.918 13.937 （亿人） 表① Matlab 获得拟合模型 （1） 全国人口增长变化：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛国一论文
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因月球不像地球或火星的表面覆盖有大气，可以采用降落伞的方式降落，月球表面是绝对真空，降落伞无法使用，故采用边降落边用发动机反推，以减缓降落速度。
为实现嫦娥三号的软登陆，就需要对软着陆的准备轨道、着陆轨道、起始高度、速度、时间点等做准确分析，保证嫦娥三号在高速飞行的情况下，能准确地在月球预定区域内实现软着陆。
嫦娥三号要降轨进入预定的月面着陆准备轨道，必须着陆轨道进行设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
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1 2
a jt 2
着陆时刻
5、问题分析与模型概述
问题一是确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。我们假设的嫦娥三号从近月点到 3000m 处做抛物线运动，此时已基本位于着陆点 上方。竖直方向做匀加速运动到 57m / s ，水平方向做匀减速运动，此时水平速度为 0。
首先我们通过万有引力公式求出远月点的速度，从远月点到近月点嫦娥三号通过霍 曼转移进入着陆准备轨道因此我们可以通过霍曼转移公式求出近月点的速度，在近月点 建立抛物线运动模型求出抛物线终点的与近月点之间的在轨道上的水平距离 X j ，我们
5
图 3 月心坐标系
6.1.2 模型一：抛物线模型的建立
图 4 抛物线模型示意图 在模型准备阶段我们已经计算出抛物线的初始速度为1.67km / s 且速度方向水平，我 们假设嫦娥三号在近月点减速进入低轨道所用的推力和月球对嫦娥三号的引力合成为 抛物线运动提供动力。 对于抛物线模型我们认为抛物线加速度恒定切初速度只在水平方向上。 根据牛顿力学定律我们可以得到：
2、问题重述
实现嫦娥三号软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏 联成功实施了 13 次无人月球表面软着陆。在高速飞行的情况下，要保证嫦娥三号准确 地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。着陆轨道为 从近月点至着陆点，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
本文研究的目的是建立数学模型，分析出嫦娥三号软着陆过程中的实际数据： （1）嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置，及相应速度的大小与方向。 （2）嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
3
做出月心坐标系，近月点与月薪连线交月面上一点 h ，则 X j 即为该点到着陆点的直线距 离。建立地理测绘模型，通过着陆点 z 的经纬度坐标 (19.51W ,44.21N ) 和点 z 到点 H 的距 离 X j 即可求出点的经纬度坐标 (H x , H y ) 。
在问题二中我们忽略地球和太阳的引力，忽略月球自转，月球引力非球项对嫦娥三 号的影响在此基础上建立对嫦娥三号软着陆的前三个阶段模型，以广义乘子优化法对模 型进行求解得出三个阶段最优轨道，对于精避障和粗避障阶段的优化我们均从节省燃料 出发以中心循环搜索法选取最近的可降落区域进行降落，对于缓速下降阶段，我们认为 此时嫦娥三号是垂直下落的。轨道也是竖直向下。
1925 年，德国工程师奥尔特·霍曼博士推导出在两条倾角相同、高度相异的圆形轨 道间转移卫星的最小能量方法，称之为霍曼转移[3]。
图 1 霍曼转移轨道图
4
如图 1 所示是将太空船从轨道 1 送往较高轨道 3 的霍曼转移轨道。太空船在原先的 轨道 1 上瞬间加速后，进入霍曼转移轨道 2.太空船由此椭圆轨道的近拱点开始，抵达远 拱点后在瞬间加速进入另一园轨道 3 此即为目标轨道。
的速度沿轨道切线方向。 问题二要求我们确定嫦娥三号的着陆轨道，和在 6 个阶段的最优控制策略，对于前
两个阶段我们利用广义乘子法对轨道进行优化，用拟牛顿法对结果进行方向搜寻，最终 利用 matlab 软件做出嫦娥三号制动推力方向角变化曲线、嫦娥三号高度变化曲线、嫦娥 三号角速度变化曲线、嫦娥三号径向加速度变化曲线，曲线的变化清楚的反映了每一时 刻着陆器的运动状态，和轨道的变化。并且我们最终利用拟牛顿算法求出了用燃料最小 值为1.36077t 的找出最节省燃料的方案。在快速调整阶段我们仍然采用质心方程组，利 用 matlab 自带的 ode 函数绘制出微分方程组各个变量的曲线，从中反映嫦娥三号的运动 轨迹。在粗避障和精避障阶段我们采用就近选取落点法，以节省燃料为目的，选取最优 的降落区域。
图 2 嫦娥三号的霍曼转移图 反过来，霍曼转移轨道亦可将太空船送入较低轨道，不过是两次减速。 根据霍曼转移理论我们可以计算出近月点速度 v j
E = 1 mv2 − GMm = − GMm
2
r
2a
（2）
v2 = μ(2 − 1) ra
（3）
式中为 v 物体的速度， μ = GM 为标准重力参数， r 为物体至中央物体中心的距离， a 为轨道的半长轴。
着陆点经度坐标 着陆点纬度坐标
H 的经度坐标 H 的纬度坐标 远月点与月心连线交予月球面的点
C 经度坐标 C 纬度坐标 近月点速度 远月点速度 月球的半径
着陆器距月心矢径 着陆器在 r 方向上的速度 着陆器环绕月球表面的航程角
航程角的角速度 着陆器的质量 月球引力常数 主发动机推力 制动发动机比冲 推力方向角
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于广义乘子算法的软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。嫦娥三号在高速 飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控 制策略的设计。软着陆过程有 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量 减少软着陆过程的燃料消耗。
4、符号说明
2
符号 Xj Yj aj bj v
H j
z zx zy HX Hy C
Cx Cy vj vz
Rm
r ν θ ω m μ
F I sp ϕ
tf
说明 近月点到 3000m 处的水平位移 近月点到 3000m 处的竖直位移
抛物线运动的竖直加速度 抛物线运动的水平加速度
竖直方向上的末速度
近月点与月心连线交月球面上的点 近月点 着陆点
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2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014 年 09 月 15日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成 正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力公式： F = GMm / r 2 ,推论公式 GMm /(r + h)2 = mv2 /(r + h) （1）
式 M 中为星体质量， r 为星体的半径， m 为环绕星体运动的质点的质量，v 为质点 运动的速度，G 为万有引力常数， h 为质点轨道的高度。我们通过此公式代入数据可以 得出远月点的速度 vz =1.63 km / s ；
中国发射的月球探测器“嫦娥三号”成功在月球上实现软着陆。在成功向月球表面 发射探测器方面，中国成为继美国和前苏联之后的第三个国家。中国借助可与载人宇宙 飞行媲美的大型计划的成功，巩固了作为宇宙大国的地位，但将技术转为军事用途的担 忧也将加强[2]。中国着眼于月球表面开发的国际竞争的全面启动，彰显了技术实力和民 族自豪感。
问题三，对设计的轨道进行误差分析和敏感性分析，我们建立初始状态误差模型和 传感器误差模型，对问题二求得的结果进行了误差分析和敏感性分析，初始状态误差模 型从初始状态的误差入手，通过分析初始状态对整个模型求解影响反映出模型能够接受 的初始值的范围通过比较可以得出初始值对模型影响的状况。我们从图 14 中可以明显 看出嫦娥三号在第二阶段的速度与竖直方向的夹角ϕ 导航对模型四有显著影响，模型四 对ϕ 非常敏感。传感器测量的量主要为嫦娥三号相对于着陆场坐标系的位置，速度和加 速度，通过分析这些量可以得到嫦娥三号轨道是在预测轨道上。误差分析和敏感性分析 从一定程度上辨别验证了优化模型的可靠度，反映了模型与实际中的误差。
关键词：抛物线、地理测绘、广义乘子、选取落点、误差分析、敏感性分析。
1
1、问题背景
继嫦娥一号、嫦娥二号奔月成功之后， 2013 年12 月14 日晚九时二十分，载有玉兔 车的嫦娥三号成功实现“登月”计划，为中国人的航天梦想增添了浓墨重彩的一笔，成 为中国航天事业的又一个里程碑。至此，中国已经成为世界上第三个实现地外天体软着 陆的国家。
3、模型假设
假设一：嫦娥三号从近月点到 3000m 处做抛物线运动。 假设二：在 3000 米高处时，已经位于着陆点上方。水平速度为 0。 假设三：月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737.013km 、1737.646km 和1735.843km ，月球的形状扁率为 1/963.7256，由于月球平均半径，赤道平均半径和 极区平均半径相差不大。我们认为这是一个正圆球。 假设四：我们认为月球在近月点减速开始降落时加速度恒定直至抛物线运动结束。 假设五：为了节省燃料我们认为嫦娥三号的运行轨道是从自西向东的。 假设六：我们认为太阳引力地球引力对陈哥三号的运行无影响。 假设七：忽略月球自转，月球引力非球项对嫦娥三号的影响。 假设八：粗避障阶段和精避障阶段嫦娥三号在选取降落区时水平方向竖直方向上 均无任何位移。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们初始状态模型和传感器误差模型对问题二求得的结果进行 误差分析和敏感性，从一定程度上证实了问题二两个模型的合理性，也从一定方面找出 了问题二模型的不足，