水力学专题 明渠非恒定流

z z z z zw zw udz vdz u w v w w u b v b w 0 z z x b y b y y x z z w x z zb
结合边界条件：
z w (hu ) (hv ) 0 t x y
三、水波的分类 明渠非恒定流是一种具有自由水面的波动 （一）按主要作用力分 重力波（gravitational wave） ：主要恢复力为重力――洪水波 表面张力波（capillary wave） ：风波成长初期的涟波 压力波（compression wave） ： （少见――水下爆破引起等） （二）按质点运动方式分 振动波：波运动时，其水质点沿封闭的轨迹运动――海洋波浪 运行波：波运动时，水质点不断行进――洪水波
u
z zw
u
v
w
z zw udz u w z x b x
dw
zb x

z zb
z zw vdz v w z y b y
v
z zw
zb y
z zb

zw
zb
w dz 0 z
w w w dx dy dz x y z
这里，我们只给出了两个方向的动量方程，z 方向的动量方程省去了。事实 上，由于垂向上的加速度和重力加速度相比可以忽略，垂向的速度 w 很小，所以
w 亦可以忽略。因此，垂向上的重力加速度和压力梯度平衡：
p g z
直接积分得： p g ( z w z )
一般地，河道中的水流均为紊流，所以要研究河流中的平均运动，就要用 雷诺时均方程，雷诺时均方程和 NS 方程相比，只是增加了紊动切应力项。 由于脉动流速在各方向上具有相同的数量级，所以雷诺应力在各方向上也 具有相同的数量级。但只是他们的梯度出现在方程中，而雷诺应力在垂向变化的 距离比纵向和横向上的小得多，故垂向上的梯度变化是最重要的。 鉴于此，描述自由表面流动的雷诺方程可简化为：
其中 u 、v 是沿水深方向的平均流速：
u 1 zw 1 zw udz , v vdz z h b h zb
（h＝zw－zb）
2、x 方向的动量方程的水深积分：z w 1 xz t x (u ) y (uv) z (uw) g x z dz 0
水
力
专
题
──明渠非恒定流
水力学专题
专题 1：非恒定流（不稳定流，也有称为水力过渡过程） 水流：恒定流：
0 ， －任一水流要素 t 非恒定流： 0 ，也就是水力要素随时间变化的水流 t
非恒定流：有压管道非恒定流（水击、调压室水面波动等） 管道中的明满交替流（下水道、水电站的尾水隧洞中） 明槽非恒定流
2V
S p V h ，此式说明 V 的最大值出现的时间介于 J 和 Z 之间； C 2h C 2S p t t t
因 Q＝AV，所以 V 和 Z 之间。
Q V A ，此式说明 Q 的最大值出现的时间介于 A V t t t
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第二节
明渠非恒定流的基本方程
一、自由表面流动的三维方程式 在水力学第二章，我们已经导出 N.S 方程： 连续方程： 动量方程：
u u u u 1 p u v w fx u t x y z x v v v v 1 p u v w fy v t x y z y w w w w 1 p u v w fz w t x y z z u v w 0 x y z
11
z w z zw zw zw w udz u 2 dz uvdz g dz zb x t zb x zb y zb
z z z z z z u w u 2 w uv w uw u b u 2 b uv b uw x y x y t z z w t z zb
u v w 0 x y z
z u (u 2 ) (uv) (uw) 1 xz g w 0 t x y z x z z v (uv) (v 2 ) (vw) 1 yz g w 0 t x y z y z
z p x w x x x
同理：
分布条件） 如此，上面的动量方程可变为：
z u (u 2 ) (uv) (uw) g w u t x y z x z v (uv) (v 2 ) (vw) g w v t x y z y
第一节 一、明槽非恒定流问题（open channel）
概述
1、洪水演进－－即洪水传播计算（用于洪水预报） 调洪演算 2、电站中的非恒定流 3、灌溉系统中的非恒定流 4、城市排水中的非恒定流 5、水资源系统中的非恒定流（污染、扩散问题） 6、溃坝水流 7、潮汐河口水流
8、浅水环流 9、水库中的滑坡涌浪 10、船闸引航道中的非恒定流
（注：本来时均值是带横杠的，为表达方便，以后均省略而用非时均符号 代替）
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其中：
xz u ' w'
u （后者为粘性项，在多数情况下可忽略） z v xz v ' w' z
边界条件： 河底的法向速度分量为零： 河底的方程为：z＝zb（x，y） 河底水质点 z 方向的速度应为
z w z z u w v w w 0 t x y z zw
假设风的影响忽略，及水表面的应力为 0，即：
xz 0 z z
w
yz 0 z z
w
二、沿垂线积分 我们先学习一个交换微分积分次序的数学公式：
10
x
f2 ( x)
f1 ( x )

( x, z )dz
二、研究方法 1、理论研究：包括对 S-V 方程的某些假定的质疑，在方程考虑动量修正等问题 在武水时， 我曾见到这方面的文章， 题目为 《论圣 维南方程组的不确切性》 、 《再论 s、v 方程的不确切性》 ，题目的作者是武水泥沙教研室的胡荣轩。 2、物理模型（physical model） 比尺模型（河工模型）比如长办在南津关基地搞了一个从三峡坝址到葛洲 坝的河工模型。 比拟模型（水电比拟） 3、数值模拟（numercial simulation） 近似方法：运动波模型（水文学中的 Muskingum 模型） 扩散波模型 完整的数值方法：直接差分法、特征线法、有限元法 4、原型观测
当
原则 2：
6
当某断面出现 max 时，
( )0 x t
sp
Z x
对 t 求偏导： 大值； 因 Sp
S p t

Z Z ( ) ( ) ，此说明水面比降比水位先达到最 t x x t
V2 ，所以 V 2 C 2 RS p C 2 hS p ，对 t 求偏导： 2 C R
1


xz z z w
xz
z zb
0
2
（三）按水波波参数分类 波高 wave height 波长 wave length L 水深 water depth h
微幅波： 长波：

h
1 （一般为线性波）

h
1 （非线性波）
深水波：仅水的表面一层被波的运动所干扰 浅水波：整个断面的水体都被波的运动所干扰 我们这里主要研究的是浅水波。
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落水时，上游断面先落，比降小，同一水 位对应的流量较小。
对于多沙河流－－由于涨冲落淤的影响－－有可能出现顺时针的绳套。
七、洪水期，对于某一断面有：
t J max tV max t Q max t Z max
原则 1：
0 时，说明水流要素 的最大值尚未出现； t 当 0 时，正好出现 max； t 当 0 时，说明最大值已出现。 t
我们建立如下的坐标系：
x－－表示沿流向的水平方向 y－－表示垂直于流向的水平方向 z－－表示铅直方向
显然，在这样的坐标系下： f x f y 0 ， f z g 任一水平线上的压强差：
z 1 p g w x x z 1 p g w （这里的推到隐含了静水压强 y y
第一部分
明槽非恒定流
（非恒定流：unsteady flow，明槽非恒定流：unsteady free surface flow）
明槽非恒定流：一元流（自变量为 x、t） 平面二元流（自变量为 x、y、t） 立面二元流（自变量为 x、z、t） 前两种流动假定铅直方向（z 向）上的压强按静水压强规律分布。
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六、洪水波的运动特性 洪水波就是洪水期同一时刻的水面线形成的波动。 （一）洪水波具有涨水快，落水慢的特性。
（二）洪水波由于沿水流方向各点波速不同，致使波前变陡、波后变缓。 由于阻力影响等，使得波高变小，所以波形逐步坦化。
（三）洪水期的水位～流量关系呈绳套 绳套的成因：1、水力因素－－附加比降的影响 2、河床变形因素－－涨冲落淤的影响 对定床（或较稳定的河道） ： 涨水时，上游断面先涨的比降大，同 一水位对应的流量大。
zb z v b ，而这个速度应该等于 w，即： x y dz dzb zb zb dx zb dy ＝ dt dt t x dt y dt
u
u
zb z v b w0 x y z zb
水质点不能穿过水面： 水面的方程为：z＝zw（t，x，y） 同一样的道理可得：
f2 ( x)
f ( x) f ( x) dz x, f 2 ( x) 2 x, f1 ( x) 1 x x x f1 ( x )

在大多数情况下，用三维的分析方法是不必要的。使用沿水深方向或者整 个断面积分就足够了。 1、将连续方程沿垂线积分
zw
zb
( x y z )dz 0
zw zw z w w z w w w dx dy dz zb y zb z x
两边积分： dw
zb
zb
沿垂线积分时，dx＝0，dy＝0
zw zb zw w dz dw w w zz b zb z zw z
连续方程变为：
五、运行波的分类： （一）按传播方向和水面涨落分为： 1、 顺行涨水波 （顺行正波）
2、 逆行落水波 （逆行负波）
3、逆行涨水波（逆行正波）
4、顺行落水波（顺行负波）
（二）按瞬时水面比降变化的缓急分为： 连续波――有渐变的水面变化。如洪水波。 非连续波――有突变的水面变化。如溃坝下游出现的涌波。非连续波又称 为断波。
四、长波的主要特征 1、L>>20h 为什么把 L/h 的最小值定为 20 作为长波的界限值呢？ 在长波的计算中，波速的公式一般都采用 C= gh 但对于重力波，有更精确的公式 C
gL 2h th 2 L
相对于精确公式，公式 C= gh 的误差为：
2 (h / L) 1 th( 2h ) L
1/ 2
当 L/h=20 时， 0.0162 1.62% 2% 因此，在长波计算中用 C= gh 计算波速是合理的。
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2、铅直加速度可忽略，质点轨迹的曲率很小。垂线上的压强按静压分布。 3、假定沿垂线流速分布是均匀的。 4、由于表征长波的方程式（见后）有非线性项，所以绝大多数只能用数值法求解。