高等代数--第八章 多项式

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证明 显然 Q( 2) 包含0和1并且对于
加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。
(ab2)c(d 2)
(a c2bd)(adb)c2Q( 2)
设 ab 20于是 ab 2 也不为
零，而
cd 2 (cd 2)(ab 2) ab 2 (ab 2)(ab 2)
ac2bd adbc a2 2b2 a2 2b2
中 g(x)0 ，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，
使
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
（１）
成立，其中(r(x))(g(x))或者r(x)=0,并且这
样的q(x),r(x)是唯一的。
证明 用归纳法来叙述
如果f(x)=0,取q(x)=r(x)=0即可。
以下设 f (x)0。令f(x),g(x)的次数分别
2 的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。
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重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定 义，1+1=2，2+1=3，…，n+1=n+1,…全 属于P ，再由 P 对减法的封闭性，on=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P 对除法的封闭性即得上述结论。
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右边，g(x)h(x)中r次项的系数为
b jck
jk r
因此右边t次项的系数为 左边=右边。
ai( bjck) aibjck
irt jkr
ijkt
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5、乘法对加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X)
6、乘法消去律：f(x)g(x)=f(x)h(x),且
ai
称为i 次项的系数
多项式用 f (x),g(x) 或 f , g 来表示。 注：x 代表未知量或符号（如矩阵）。
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定义3 如果在多项式f(x)与g(x)中，除去 系数为零的项外，同次项的系数全相等， 那么f(x)与g(x)就称为相等，记为
f(x)=g(x)。
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0
返回
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§2 一元多项式
一元多项式的定义 基本运算及其规律
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基本定义
给定数域 P，x是一个符号。
定义2 设n是一个非负整数。形式表达式
anxnan1xn1 a0
（1）
其中 a0,a1, ,an 全属于数域 P，
称为系数在数域P 中的一元多项式，或者
简称为数域P上的一元多项式。
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a i x i 称为 i 次项,
对于加减法：
(f g ) m ( a f)x ,(g )()
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乘积
f (x)g(x)anbmxnm(anbm1an1bm)xnm1 (a1b0 a0b1)xa0b0
m n
( a ib j)xs s 0i j s
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对于乘法：如果 f(x)0,g(x)0 那么 f(x)g(x)0 ，且
anxn(an 0) 称为（1）的首项；
a n ：首项系数；
n为（1）的次数，记为 (f (x)) 。
零多项式不定义次数。
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n
m
运算： f(x) aixi,g(x) bjxj
i0
j0
加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令
b nb n 1 ，b m 10
n
f(x)g(x) (ai bi)xi i0
f (x) 0 ,那么 g(x)=h(X)
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
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§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。
带余除法 整除 整除的性质
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带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
(f(x )g (x ) ) (f(x ) ) (g (x ))
数域P上的两个多项式经过加、减、 乘运算后，所得的结果仍是数域P上的 多项式
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运算规律：
1、加法交换律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
2、加法结合律： (f+g)+h=f+(g+h)
3、乘法交换律： f(x)g(x)=g(x)f(x)
2Q(
2)
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由上两式可以得出 Q( 2) 乘、除法也 是封闭的。
例2 所有可以表成形式
a0 a1ann b0 b1bmm
的数组成一数域，其中n,m为任意非负整 数，
a i,b j(i 0 ,1 , ,n ;j 0 ,1 , ,m )是整数。
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例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解定理 §6 重因式 §7 多项式函数 §8 复系数与实系数多项式的因式分解 §9 有理系数多项式
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§1 数 域
多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。
（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P
就称为一个数域。
有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)、R（real number)、 C(complex number)。
例1 所有具有形式 ab 2 的数
（a,b是任意有理数），构成一个数域。 通
常用 Q( 2) 来表示这个数域。
数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。
数的运算：加、减、乘、除。这些运算
性质称为代数性质。有理数、实数、复数对
这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也
具有这样的性质，引入：
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定义一 设 P 是由一些复数组成的集合， 其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数
（这两个数也可以相同）的和、差、积、商
为n,m。对f(x)的次数n作第二数学归纳法
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当n<m时，显然取q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式 成立。
当n≥m时，假设当f(x)的次数小于n时， q(x),r(X)的存在已证。现看次数为n的情形。
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4、乘法结合律 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x))
事实上：
n
m
l
f aixi,g bjxj,h ckxk
i0
j0
k0
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左边，f(x)g(x)中s次项 的系数为
aib j
i js
因此左边t次项的系数为
( aibj)ck aibjck
skt ijs
ijkt