统计学第五章概率分布
统计学课件第5-7章概率分布、抽样分布及参数估计剖析.
概率分布、抽样分布及参数估计
Probability Distributions & Sampling Distributions
& Parameter Estimation
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
1
本部分主要研究的问题有：
● 遵循随机性原则 --- 体现在在每一层抽选中；
● 每一层内应包含足够多的个体；
● 在同等条件下，抽样误差要小于简单随机抽 样和系统抽样的抽样误差。
Wednesday, January 16, 2019 Statistical Research Office 12
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
7
●
常用的随机抽样组织方式
► 简单随机抽样（Simple random sampling)
►分层随机抽样（Stratified sampling)
►系统随机抽样（Systematic sampling)
►整群随机抽样 (Cluster sampling) 常用的随机抽样方法： ►重复抽样 (Sampling with replacement) ►不重复抽样（Sampling without replacement)
8
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
★ 简单随机抽样 -定义：从总体中，按照随机的原则，使得总体 中每个个体都有同等被选中的机会，而先后抽 出的n个个体作为一个容量为n的样本。
人大版_贾俊平_第五版_统计学_第5章_概率与概率分布
P ( ) = 1； P ( ) = 0
可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
5.2.2 概率的加法法则 法则一
• 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
• 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
样本空间
1. 基本事件 • 一个不可能再分的随机事件 • 例如：掷一枚骰子出现的点数 2. 样本空间 • 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 • 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} • 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
连续型随机变量 1. 随机变量 X 取无限个值 2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是 取数轴上某一区间内的任意点
试验 随机变量 可能的取值
X0 使用寿命(小时) 抽查一批电子元件 半年后工程完成的百分比 0 X 100 新建一座住宅楼 X0 测量一个产品的长度 测量误差(cm)
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
法则二 对任意两个随机事件 A 和 B ，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个事件 交的概率，即
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
事件的关系和运算（事件的包含） 若事件 A发生必然导致事件 B 发生，则称 事件 B 包含事件 A ，或事件 A 包含于事件 B ，记 作或 A B或 B A
概率分布经验
概率分布是描述随机事件发生的可能性大小的数学工具。
在现实生活中，许多事件的发生都是随机的，而概率分布就是用来描述这种随机性的数学模型。
本文将从经验的角度出发，探讨概率分布的相关知识。
首先，我们要明确什么是概率分布。
简单来说，概率分布描述了一个随机试验所有可能结果及其对应的概率。
例如，投掷一枚硬币有正面和反面两种可能的结果，每面出现的概率是0.5。
这就是一个简单的概率分布。
其次，概率分布有多种类型。
最常见的有离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布描述的是可数的事件，如抛硬币、抽奖等。
连续概率分布则描述的是连续的事件，如人的身高、体重等。
在实践中，我们常常使用经验概率分布来描述随机试验的结果。
经验概率分布是基于大量重复试验的结果来估计的。
例如，我们可以多次抛硬币，记录正面和反面的出现次数，然后根据这些数据估计硬币正面和反面的真实概率。
此外，概率分布还有着广泛的应用。
在统计学中，概率分布是描述数据分布特性的重要工具。
在决策分析中，概率分布可以帮助我们评估不同方案的风险和不确定性。
在经济学中，概率分布用于描述市场行为、供需关系等经济现象的不确定性。
总之，概率分布作为数学中的一个概念，在描述随机事件、分析不确定性等方面具有广泛的应用价值。
通过深入了解概率分布的相关知识，我们可以更好地理解和分析现实生活中的各种现象，为我们的决策提供有力的支持。
数据的概率分布
数据的概率分布概率分布是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量不同取值的可能性。
在数据分析和推断领域，概率分布被广泛应用于研究和解释数据的性质和规律。
本文将探讨数据的概率分布及其统计学应用。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量随机变量是一个数值函数，它的取值依赖于随机事件的结果。
可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量的取值为有限或可数个数，例如掷骰子的结果；而连续随机变量的取值可以是任意的，例如测量某人身高的结果。
2. 概率质量函数（PMF）对于离散随机变量，概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述了随机变量取每个可能值的概率。
通常用P(X=x)表示随机变量X等于x的概率。
概率质量函数满足以下两个条件：非负性（P(X=x) ≥ 0）和概率和为1（∑P(X=x) = 1）。
3. 概率密度函数（PDF）对于连续随机变量，概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述了随机变量取某个具体值的概率。
与概率质量函数类似，概率密度函数也要满足非负性和积分为1的条件。
二、常见的概率分布1. 二项分布二项分布是概率论中最常见的离散概率分布之一，用于描述重复n次独立实验中成功次数的概率分布。
其中，每次实验结果只有两种可能，通常称其中一种为“成功”，概率为p，另一种为“失败”，概率为q=1-p。
二项分布可以用于模拟硬币投掷、产品合格率等情况。
2. 正态分布正态分布是连续概率分布中应用最广泛的一种，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈现钟形曲线，均值μ和标准差σ是决定分布形态的两个参数。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用表明了其重要性，例如身高、体重、考试成绩等符合正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是一种用于描述事件在固定时间或空间内的发生次数的离散概率分布。
该分布假设事件发生的概率在任何固定时间段内都是相等且独立的。
泊松分布适用于预测单位时间或单位空间内事件发生的频率，例如电话呼叫数、交通事故数等。
统计学 第五章习题 正确答案
第五章 概论与概率分布重点知识1．样本、样本空间、随机事件的定义；2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；复习题一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。
2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。
3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。
4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=41,P(B)=32,P(AB)=61,则概率P(A+B)=＿＿．7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ⊃B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=103,P(B A )=61,P(A+B)=54,则概率P(A)=＿＿．10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表ccccPX 4322101-则常数c =＿＿．14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表４１４１21P321X则概率P ｛3<X ｝=＿＿．15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表6632P213-X１１则数学期望)(X E =＿＿．16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.17.设连续型随机变量的概率X 密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0210,1)(2x x k x ϕ 则常数k =＿＿．18.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2rx x x ϕ 则常数r =＿＿．19.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,00,2)(2x xex xϕ 则概率}11{<<-X P =＿＿．20.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,021,2)(2x x x ϕ 则数学期望)(X E =_____．21.设X 为随机变量，若数学期望1)12(=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．二、单项选择1.设A,B 为两个事件，若事件A ⊃B ，则下列结论中( )恒成立.(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).(a)111 (b)115 (c)361 (d)3654.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．(a)114 (b)74 (c)83 (d)535.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(A B ）=32,P(A B )=53,则概率P(B)=＿＿．(a)51 (b)52 (c)53 (d)546.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ⊃B,下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=17.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(B)=41,P(AB)=121，则( ).(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=53,P(A+B)=107,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).(a)161 （b)101 (c)41 (d)5210.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．(a)6321-P321X１１ (b)653-21P321X１(c)6321P321X １１ (d)65321P321X １12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表52511015110142101PX-则下列概率计算结果中（ ）正确．(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=<X P13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为)10(<<p p ，取1的概率为q ，则数学期望=)(2X E ( ).(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥+=其他,00,1)(2x x kx ϕ 则常数k =( ).(a)π1(b)π (c)π2(d)2π15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．(a)⎩⎨⎧≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021,2)(x x x g(c)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,sin )(ππx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x ϕ 则数学期望)(X E =( ).(a)21 (b)2 (c)83 (d)3818.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.(a)12 (b)16 (c)36 (d)4020.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.(a)1 (b)7 (c)5 (d)7四、名词解释1、 数学期望：2、 对立事件：3、 随机事件：4、 事件和：5、 事件积：6、 互斥事件：7、 互相独立事件：五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
数的概率分布
数的概率分布概率分布是概率论中重要的概念之一，用于描述一个随机变量取值的可能性。
在数学和统计学领域里，数的概率分布研究了在特定情况下数值出现的概率。
本文将介绍数的概率分布的基本含义、常见的概率分布类型以及其在实际应用中的重要性。
一、概率分布的基本定义概率分布是随机变量的可能取值及其对应概率的描述。
随机变量可以是离散型变量或连续型变量。
离散型变量的取值有限且可数，如掷骰子的点数；连续型变量的取值为无限个且不可数，如人的身高。
概率分布描述了随机变量每个取值的概率。
二、常见的概率分布类型1. 离散型概率分布离散型概率分布用于描述随机变量为离散型的情况。
以下是几种常见的离散型概率分布：（1）伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，常用于描述试验只有两个可能结果的情况，如硬币的正反面。
（2）二项分布二项分布是描述n次成功失败试验的离散型分布，例如n次掷硬币中正面朝上的次数。
（3）泊松分布泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布用于描述随机变量为连续型的情况。
以下是几种常见的连续型概率分布：（1）均匀分布均匀分布描述了在一个区间内随机取值时，每个取值的概率相等，如抛硬币的落点在一个平面上的坐标。
（2）正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。
它以钟形曲线为特征，广泛应用于自然和社会科学领域，如身高、体重等。
（3）指数分布指数分布用于描述事件发生的时间间隔或等待时间，如设备故障发生的时间间隔、用户等待的响应时间等。
三、概率分布在实际应用中的重要性概率分布在实际应用中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 预测和决策通过分析和建模某个事件或现象的概率分布，可以对未来可能的结果进行预测。
例如，在金融领域中，通过对股票收益率的概率分析，可以帮助投资者做出决策。
2. 风险评估概率分布可以用于评估风险。
在保险行业中，通过对保险索赔次数或大小的概率分析，可以估算保险公司的风险，并确定合理的保费。
统计学中的概率分布
统计学中的概率分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
它在各个领域都有广泛的应用，从市场调查到医学研究，从金融分析到环境科学。
而概率分布则是统计学中的重要概念之一，它描述了随机变量的取值可能性。
一、概率分布的基本概念概率分布是指随机变量的所有可能取值及其相应的概率。
随机变量是一个变量，其取值由随机事件决定。
例如，掷硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个二元随机变量。
在概率分布中，有两种基本类型：离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布用于描述离散随机变量，即取有限或可数个数值的随机变量。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布。
伯努利分布用于描述只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
二项分布则用于描述多次独立重复的伯努利试验的结果。
泊松分布则用于描述在给定时间或空间单位内发生的事件的次数。
连续概率分布则用于描述连续随机变量，即可以取任意实数值的随机变量。
最常见的连续概率分布是正态分布，也称为高斯分布。
正态分布在自然界和人类行为中广泛存在，例如身高、体重等。
除了正态分布，还有指数分布、均匀分布和伽马分布等。
二、概率分布的特征概率分布有一些重要的特征，包括期望值、方差和标准差。
期望值是随机变量的平均值，它描述了随机变量的中心位置。
方差衡量了随机变量取值的离散程度，而标准差是方差的平方根。
概率分布还有一个重要的特征是分位数。
分位数是指将概率分布分成几个部分的点。
最常见的分位数是中位数，它将概率分布分成两个相等的部分。
其他常见的分位数包括四分位数和百分位数。
三、概率分布的应用概率分布在统计学中有广泛的应用。
首先，它可以用于描述和分析数据。
通过将数据与适当的概率分布进行比较，可以确定数据是否符合某种分布模型。
这对于数据的进一步分析和解释至关重要。
其次，概率分布可以用于进行推断统计学。
通过样本数据，可以估计总体参数的值，并进行假设检验。
例如，可以使用正态分布来进行总体均值的推断。
概率论与数理统计第5章
p( x1 , x2 ,
, xn ) = p(x1 )p(x2 )
p(xn ) = ∏ p( xi )
i =1
n
14 September 2009
1.
若连续型总体 X 的密度函数为 p(x )， , X n )是取自总体 X 的样本， iid
(X 1 , X 2 ,
X1, X2, … , Xn
n 则 (X 1 , X 2 , , X n )的密度函数为 p( x1 , x2 , , xn ) = p(x1 )p(x2 ) p(xn ) = ∏ p( xi ) i =1
数理统计
学习基础：1、高等数学 2、概率论
前面的学习已知:随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了 随机现象的统计规律性,所以要研究一个随机现象首先要 知道它的概率分布. 概率论中:许多问题的概率分布通常是已知的或假设为已知的然后 在此基础上进行一切计算与推理. 实际中:一个随机现象的概率分布可能完全不知道 或知道分布类型却不知道其中的参数.例如正态分布
则 (X 1 , X 2 ,
, X n )的密度函数为
p( x1 , x2 ,
, xn ) = p(x1 )p(x2 )
n
p(xn )
⎧n −λ ∑ xi ⎪ Π λe −λxi = λ ne i=1 = ⎨ i =1 ⎪ 0 ⎩
xi > 0, i = 1, 2, 其它
,n
例如 设某批产品共有N 个,其中的次品 数为M, 其次品率为 p = M / N 若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品: 所取的产品是次品 ⎧ 1, X =⎨ ⎩ 0, 所取的产品不是次品 X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示 方法: P(x) = p (1− p) ,
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
心理统计学05-概率分布及集中常用概率分布特征
np, npq
正态分布
• 正态分布曲线函数 • 图像
f (x)
e 1
2
( x u)2
2 2
N(μ，0.25)
N(-2，1)
N(0，1)
N(2，1)
N(μ，1)
平均数不同，标准差相同 记作X～N(μ,σ2)
N(μ，2.25) 平均数相同，标准差不同
正态分布——应用
• 假定500个学生某科成绩分布接近于正态分布N（70,100）， 问：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于 65和80分之间有多少人？
概率等于1
概率介于（0,1）之间
概率等于0
概率：事件出现可能性大小的数字描述，在[0,1]之间取值
概率定义——后验（经验）概率
• 设随机事件A在相同的条件下进行的n次试验中发生了n次A ，
• •
则当件称nA趋在fnn /(A于该nA是)无条事穷件nnA件大下A时发在该生这数的n次值概试将率验稳。中定即发在：生一的个频常数数，上记，成这一常数称。为事
用概率差求介于65分与80分之间的人数 500x0.5328=266.4≈266人
正态分布——应用
• 某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75，σ ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班”重点 培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被 选到“尖子班”学习？
• 解 求25名学生比例：25/1000=0.025=2.5%
0.5180 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
概率定义——先验（古典）概率
• 满足以下两个条件
•
每次试验中所有可能出现的结果的个数是有限的；
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第5章 常用概率分布2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值：
z1 x1
( 1.96 )
1.96
z2
x2
( 1.96 )
1.96
0.025 1.96
查附表1：确定概率 结论：95％
0.025 -1.96
正态分布
例 已知X服从均数为 、标准差 为的正态分布， 1 .96 试估计：(1)X取值在区间 上的概率； (2)X 取值在区间 上的概率。 2.58
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
标准正态分布曲线下的面积
μ±1范围内的面积为68.27% μ±1.96范围内的面积为95%
μ±2.58范围内的面积占99%
图12 正态曲线下的面积分布示意
标准正态分布曲线下的面积的计算
求z值，用z值查表，得到所求区间面积占总面
积的比例。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下总面积为100％或1。
计算z值：
Z 130 123 .02 1.46 4.79
查附表1：确定概率
0.0721 0.0721 1.46
结论：7.21％
-1.46
统计学0512连续概率分布
b
所有事件的概率所形成的分布就是概率分布。 有的随机变量是离散的，所以就形成离散概率分布(discrete probability distribution) 有的随机变量是连续，所以就形成连续概率分布(continuous probability distribution) 通常在表明某个分布时，需要计算的指标是平均数μ 和方差σ 2。 如果变量是连续是，连续变量与离散变量最大的不同在于连续变量的任意两 个数值之间，存在着第三个值。若X为离散变量，则f(X=x)=P(X=x)。小写x表示某 个特定的数值，P代表概率。例如丢骰子出现6点就是f(X=6)恰等于P(X=6)，因 此，f(X)就可解释成X=x的“概率” 在连续变量里，f(X=x)并无概率的意义，也就是f(X=x)不等于P(X=x)，因为每 个点出现的概率等于0。此时，f(X=x)不再称概率，改称概率密度（probability density） 既然概率密度函数并无概率的意义，在实用上，会更常使用累积概率函数F（X），即：
F ( X x ) P ( X x ) f ( x （X=x），就是从x的最小值a积分至x的面积。 如果是连续变量，由于每个数值的概率为0，只有一段区间才有概率可言，因此：
xf
a
b
( x ) dx
2 ( x ) 2 f ( x ) dx
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
f ( x)dt
x
1 e dt 2
t2 2
标准正态分布表的使用
将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1
对于一般正态分布，即X~N( , )，有
b a P ( a X b)
标准化的例子
P(2.9 X 7.1)
一般正态分布
= 10
X 2.9 5 Z .21 10 X 7.1 5 Z .21 10
(2)
X 5 P 1.67 (1.67) 0.9525 3
大数定理与中心极限定理
大数定理
1 n 当样本容量n 充分大时，可以 lim p X i 1 用样本平均估计总体平均。 n n i 1
m lim p p 1 n n
正态分布的重要性
描述连续型随机变量的最重要的分布 经典统计推断的基础
f (x)
x
概率密度函数
f ( x) 1
2
e
1 2
2 x 2
, x
f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < ) = 总体均值
当试验次数n充分大时,可以 用频率代替概率。
大数定理的意义：个别现象受偶然因素影响，但 是，对总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因 素的影响相互抵消，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律，这就是大数定理的意 义。
中心极限定理
正态分布的再生定理
：相互独立的两个 正态随机变量相加之和仍服从正态分布。 中心极限定理：
例题
某车间有200台机床，它们独立工作着，
开工率各为0.6，开工时耗电各为 1kw， 问供电所至少要供给这个车间多少电， 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会 因供电不足而影响生产？
F ( x) P( X x) f (t )dt
x
( x )
根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
a b
分布函数与密度函数的图示
密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
概率与 概率分布
学习内容
正态分布 大数定律与中心极限定理
离散型随机变量的数学期望
在离散型随机变量 X 的一切可能取值的完 备组中，各可能取值 xi与其取相对应的概 率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为
E ( X ) xi p i
i 1 n
( X取有限个值） ( X取无穷个值）
标准正态分布
=1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
正态分布（实例）
【例】设X~N(0，1)，求以下概率：
(1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)；
(3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2)
解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=1-0.0668=0.9332 (2) P(X >2)=1- P(X 2)=1-0.9973=0.0228 (3) P(-1<X 3)= P(X 3)- P(X <-1)
和 对正态曲线的影响
f(x ) B A C
x
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
f( x )
P(a x b) f ( x)dx ?
a b
a
b
x
标准正态分布函数
任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z
X
~ N (0,1)
标准正态分布的概率密度函数 x2 1 2 f ( x) e x 2π 标准正态分布的分布函数
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
例题
某地区职工家庭的人均年收入平均为
12000元，标准差为2000元。若知该地 区家庭的人均年收入服从正态分布，现 采用重复抽样从总体中随机抽取25户进 行调查，问出现样本平均数等于或超过 12500元的可能性有多大？
(1) P(X 10) ； (2) P(2<X <10) X 5 10 5 解：(1) P( X 10) P 3 3
2 5 X 5 10 5 P (2 X 10) P 3 3 3 X 5 P 1 1.67 3 (1.67) (1) 0.7938
E ( X ) xi p i
i 1
离散型随机变量的方差
随机变量 X 的每一个取值与期望值的离差 平方和的数学期望，记为D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为
D( X ) E[ X E ( X )]2 若X是离散型随机变量，则 D( X ) xi E ( X ) pi
在平面直角坐标系中画出 f(x)的图形，则对于任何 实数 x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的 面积 b
概率是曲线下的面积
P(a X b) f ( x)dx
a
f(x)
a
b
x
分布函数
连续型随机变量的概率也可以用分布函数 F(x)来表示 分布函数定义为
2 i 1
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
均匀分布
正态分布
指数分布
其他分布
ห้องสมุดไป่ตู้
概率密度函数
设X为一连续型随机变量，x 为任意实数， X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
(1) f ( x ) 0 ( 2)
f ( x )dx 1
f(x)不是概率
概率密度函数
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9544
正态分布（实例）
【例】设X~N(5，32)，求以下概率
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
连续型随机变量的数学期望为
E ( X ) xf ( x)dx
2 D ( X ) x E ( X ) f ( x ) d x 方差为 2
性质：
EX 1 X 2 E X 1 E X 2 D(αX)=α2 D(X)
2 X ~ N , n
大样本的平均数近似服从正态分布。
中心极限定理（图示）
中心极限定理：从均值为，方差为 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的 抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
x n
一个任意分 布的总体
正态分布函数的性质
概率密度函数在x 轴的上方，即f (x)>0
正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数 和众数 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过 均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，同 时决定曲线的平缓程度，即宽度 曲线 f(x) 相对于均值 对称，尾端向两个方向无限 延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总面积等于1