异面直线夹角问题
异面直线所成角的判定方法
异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。
在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。
我们需要了解两条异面直线的基本概念。
两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。
接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。
首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。
公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。
我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。
具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。
接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。
需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。
除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。
向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。
具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。
除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。
我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。
异面直线的夹角专题(教师版)
异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．方法一：抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是？解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF ＝222222111(2)(3)(5)2223B G GF B F B G GF +-+-=•••＝0，故∠B1G F ＝练习1.1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．1A 1B 1C 1D ABCDEFG练习1.2：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2cm ，AA 1=4cm ，求异面直线BD 1与AD 所成的角的余弦值？方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为多少？AB E M图1ACDMNG图2AA 1解：取AE 中点G , 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B EA＝∠BA E ＝， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．练习2.1：S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQBN BQ NQ BN练习2.2：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角的余弦值．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+.练习2.3：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，B MAN CS ACBNM ACBE 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。
异面直线夹角求法
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小，例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度，因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关，方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。
异面直线夹角公式
异面直线夹角公式在几何中，异面直线夹角（Tangent Line Angles）是指两条不同直线交汇时产生的夹角。
它们通常被简写为TLA。
任意一条直线上的点可以与另一条直线上的任一点产生一个夹角，在不同的实例中，夹角的大小是不同的。
在矩形，正方形，平行四边形和正多边形的情况下，将两条不同的直线称为异面直线，它们之间有两个不同的夹角：边夹角和夹角。
边夹角是指直线的两个端点之间的夹角，而夹角是指两条直线之间的夹角，它们之间有一个共同的端点。
对于任意一个夹角，都可以用一个类似于异面直线夹角（TLA）公式来描述它：三角函数中的总共有三个关键因素：角度（α），角度（β）和边长（c），它们满足下面的关系：α + = 90°c2 = a2 + b2 2abcosαα = cos-1 ( (a2 + b2 c2) / 2ab )这里，α和β就是两条不同直线之间的边夹角和夹角，而c就是这两条直线之间的边长。
给定两条异面直线所构成的夹角，可以用这三种证明方法来找出其大小：1、使用“影子法”。
即可以用一条给定的直线（不同直线所影响的边）来表示第二条直线在第一条直线上的位置，然后根据它们之间的距离来估算夹角的大小。
2、使用“直角勾股定理”。
根据两条直线的端点，使用直角勾股定理来求解夹角的大小。
3、使用“延长线定理”。
设置两条延长线，以便延长线和第二条直线之间的距离来估算夹角的大小。
这里定义的异面直线夹角公式亦可用于计算平行四边形和正多边形中的夹角大小。
若已知两条异面的边的长度，可以使用上述的公式来求出相应的夹角。
此外，还可以使用异面直线夹角公式来解决其他几何问题，比如：1、求直线的斜率2、求三角形的外接圆的半径3、求两个不同的点之间的距离4、求不同直线之间的夹角5、求反三角形的边长从上面的定义可以看出，异面直线夹角公式可以用于求解不同形状几何问题中的夹角大小，从而使解决几何问题变得更加容易。
它也是数学中最古老的关于三角运算的方法之一，在今天仍然被广泛使用，同时也增加了我们对三角学的理解和认识。
专题6 立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
1专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版）异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解 注意：取值范围：（0。
,90。
].1．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，直线PA 与直线BC 所成角大小为60°．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2arccos 4.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC ⊥面PBD ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，则//OE PC ，得到EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥，又∵BD AC ⊥，PD BD D ⋂=，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，∴AC ⊥面PBD ， ∵AC ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，ED ，则//OE PC ， ∴EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，∵60PAD ∠=︒，∴23PD =2ED =，2又4PC =，∴2OE =，2OD =，∴2222cos 24222EO OD ED EOD EO OD +-∠===⋅⋅⋅，∴直线PB 与直线AC 所成角大小为2arccos ．【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2．空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点.（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，求直线AB 与CD 所成角的大小；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小.【答案】（1）60︒；（2）2θ或1802θ︒-.【分析】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，且PMN 为等腰三角形；（1）根据条件，得到60PMN ∠=︒，求出MPN ∠，即可得出结果；（2）根据条件，得到MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，进而可求出结果.【详解】3取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，因为点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点，所以//PM AB ，//PN CD ，且12PM AB =，12PN CD =，则MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，又AB CD =，所以PM PN =，即PMN 为等腰三角形；（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，即60PMN ∠=︒，则18026060MPN ∠=︒-⨯︒=︒，所以直线AB 与CD 所成角的大小为60︒；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ， 则MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，若MPN θ∠=，则18018022MPNPMN θ︒-∠︒-∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-；若180MPN θ∠=︒-，则18022MPNPMN θ︒-∠∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为2θ.综上， 直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-或2θ.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异面直线1B D 与MN 所成角的余弦值.425【分析】如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可【详解】解：如图，连接1B C ，因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =++=++⨯=，221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，所以1DC B C ⊥， 所以11125cos 545B C DB C DB ∠===，所以异面直线1B D 与MN 255【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1A A 、AB 的中点.（1）求证：1//MN D C ；（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）易知1//MN A B ，11//D C A B ，根据平行的传递性得出结论;（2）由（1）的平行知异面直线MN 与1B C 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在三角形中6求得此角即可．【详解】（1）连接1A D ，∵M 、N 分别为1A A 、AB 的中点，∴1//MN A B ,正方体中，11A D 与BC 平行且相等，∴11A BCD 是平行四边形，∴11//D C A B ，所以1//MN D C ，（2）由（1）知异面直线MN 与1BC 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在立方体中，1111B C CD D B ==11B CD ∴∆是等边三角形，∴11B CD ∠60=︒，∴异面直线MN 与1BC 所成成角是60°．【点睛】本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型.5．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=.（1）BC 和A C ''所成的角是多少度？（2）AA '和BC '所成的角是多少度？7 【答案】（1）45；（2）60【分析】（1）根据//BC B C ''可知所求角为A C B '''∠，由Rt A B C '''中的长度关系可求得结果；（2）根据//AA BB ''可知所求角为B BC ''∠，由Rt BB C ''△中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接A C ''，//BC B C ''，∴异面直线BC 和A C ''所成角即为直线B C ''和A C ''所成角，即A C B '''∠，在Rt A B C '''中，23A B AB ''==，23B C AD ''==，tan 1A C B '''∴∠=，45A C B '''∴∠=，即异面直线BC 和A C ''所成角为45；（2）连接BC '，//AA BB ''，∴异面直线AA '和BC '所成角即为直线BB '和BC '所成角，即B BC ''∠， 在Rt BB C ''△中，23B C AD ''==，2BB AA ''==，tan 3B BC ''∴∠=60B BC ''∴∠=，即异面直线AA '和BC '所成角为60.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体．（1）求直线DA 1与BC 所成角；8（2）求直线D 1A 与BA 1所成角；（3）求直线BD 1和AC 所成角．【答案】（1）4π（2）3π （3）2π【分析】（1）由//AD BC 得1DAD ∠是直线1DA 与BC 所成角，求出1DAD ∠即可得解； （2）由11//AD C B 得11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角,求出11C BA ∠即可得解； （3）证明AC ⊥平面1BDD 后即可得1AC BD ⊥，即可得解.【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，∵//AD BC ，∴1ADA ∠是直线1DA 与BC 所成角，∵1AD AA ＝，1AD AA ⊥，∴14ADA π∠=，∴直线1DA 与BC 所成角为4π．（2）∵11//AD C B ，∴11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角，∵1111BA AC BC ==，∴ 113C BA π∠=，∴直线1D A 与1BA 所成角为3π．（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，∵1DD BD D =，∴AC ⊥平面1BDD ，∵1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥，∴直线1BD 和AC 所成角为2π．9【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.7．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成角的大小.【答案】45°.【分析】取BD 的中点G ，连接,EG FG ，根据题意可得GFE ∠（或其补角）即为EF 与AB 所成角，由EG GF =，AB CD ⊥，可得EFG ∆为等腰直角三角形，进而可求解.【详解】如图所示，取BD 的中点G ，连接,EG FG .∵,E F 分别为,BC AD 的中点，且,//,//AB CD EG CD GF AB =∴，且11,22EG CD GF AB ==，即EG GF =， GFE （或其补角）即为EF 与AB 所成角.,,90AB CD EG GF EGF ︒⊥∴⊥∴∠=，EFG ∴∆为等腰直角三角形，45GFE ︒∴∠=，即EF 与AB 所成角的大小为45°.10【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解得的关键是找出与异面直线所成角相等的角，属于基础题. 8．正三棱锥S ABC -的侧棱长与底面边长都为a ,,E F 分别是,SC AB 的中点,求直线EF 和SA 所成的角.【答案】45°【分析】取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF ，于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角)，在EFG ∆中求解.【详解】解析 如图,取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF.在SAB ∆中,,F G 分别是AB ,SB 的中点,//FG SA ∴,且12FG SA =.于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角).11在SAB 中,SA SB a ==,12AF FB a ==, SF AB ∴⊥,且3SF a =.同理可得CF AB ⊥,且3CF =. 在SFC 中,32SF CF a ==,SE EC =, FE SC ∴⊥,且2222FE SF SE a =-=. 在SAB 中,FG 是中位线,122a FG SA ==. 在SBC 中,GE 是中位线,122a GE BC ∴==. 在EGF △中,22222a FG GE FE +==,EGF ∴是以FGE ∠为直角的等腰直角三角形,45EFG ︒∴∠=.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 9．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .12若AC DE ⊥,且3AC BC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小. 【答案】（2）60°. 【分析】由条件可知ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角，再求解. 【详解】解析 (2)因为PN 为ABE ∆的中位线, 所以//PN AB .又//BC DE ,所以ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角. 又AC DE ⊥,所以AC BC ⊥. 在Rt ACB △中,3tan 3AC BCABC BC ∠===所以60ABC ︒∠=. 所以异面直线DE 与PN 成的角为60°. 【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型. 10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA 与,AC AB 所成的角均为60°,90BAC ︒∠=,且1AB AC AA ==,求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.13【答案】33【分析】首先利用补体，将三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -，由条件可知11//AC BD ， 则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，根据三边关系求11cos A BD ∠. 【详解】解析 如图所示,把三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -,连接111,,BD A D AD ,由四棱柱的性质知11//BD AC ,则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角. 设AB a ,1AA 与AC ,AB 所成的角均为60°,且1AB AC AA ==,1A B a ∴=,1112cos303BD AC AA a︒==⋅=.14又90BAC ︒∠=,在矩形ABDC 中,2AD a =,112A D a ∴=,2221111A D A B BD ∴+=,1190BA D ︒∴∠=,在11Rt BA D 中,11113cos 33A B A BD BD a∠===. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 11．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB AD ==，2AA '=，求：（1）直线BC 和A C ''所成的角的大小； （2）直线AA '和BC '所成的角的大小. 【答案】（1）45°.（2）60°. 【分析】（1）确定B C A '''∠是异面直线A C ''与BC 所成的角，在Rt A B C '''中根据长度关系得到答案。
空间异面直线夹角公式
空间异面直线夹角公式是一个重要的数学概念，它可以用来计算两条不同平面上的直线之间的夹角。
这个公式最初是由法国数学家埃尔文·德·拉斐尔在1822年发明的，他将它命名为“拉斐尔夹角”。
该公式表明，如果在三维空间中有两条不同平面上的相交直线l1和l2，则它们之间的夹角α可以通过如下方法来表述：α=arccos[(u1•u2)/(|u1||u2|)]。
其中u1和u2是l1和l2的单位法向量。
该公式也可用于测量三维物体上不同面之间的夹角。
例如：当我们想要测量一个立方体上A、B、C、D四个面之间的夹角时（A、B、C属于一平面内部而D属于另一平面内部)；我们可以使用该公式来测量ABCD四者之间所形成的夹角大小。
此外，该公式也常常应用在几何学中寻找物体表面上不同区域之间所形成的几何形态时使用。
例如:我们想要测量一个球体表面上A,B,C,D四者所形成几何形态时;我们也能使用该公式来得出ABCD四者之前所形成几何彩态大小.
总而言之：空闲异面直线夹角具有很好应电力能力;它能帮助人们快速有效计算三庭物理对象中不各化化郭勇气员已前所生样子大尊;这样人士便能快速有效获得想要信息.。
异面直线的夹角范围
异面直线的夹角范围
《异面直线的夹角范围》
异面直线是指两条直线在同一平面上，互相垂直，不共线的两条直线。
它们之间的夹角范围是90°到180°。
90°是一个特殊的夹角，也叫垂直夹角。
当两条直线互相垂直时，它们之间的夹角就是90°。
180°是一个特殊的夹角，也叫水平夹角。
当两条直线平行时，它们之间的夹角就是180°。
在90°到180°之间，可以分为三种不同的夹角：小于90°的锐角，等于90°的直角，大于90°小于180°的钝角。
这三种夹角的角度都是以90°为基准的。
异面直线的夹角范围是90°到180°，其中90°是垂直夹角，180°是水平夹角，而在90°到180°之间的夹角可以分为三种：锐角、直角和钝角。
专题6 立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版）异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。
,90。
]. 1．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，直线PA 与直线BC 所成角大小为60°．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （2）求异面直线PC 与BD 所成角大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2arccos 4. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC ⊥面PBD ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，则//OE PC ，得到EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥，又∵BD AC ⊥，PD BD D ⋂=，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，∴AC ⊥面PBD ， ∵AC ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，ED ，则//OE PC ， ∴EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角， ∵60PAD ∠=︒，∴23PD =2ED =， 又4PC =，∴2OE =，2OD =∴2222cos 2222EO OD ED EOD EO OD +-∠===⋅⋅⋅， ∴直线PB 与直线AC 所成角大小为2arccos4．【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2．空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点.（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，求直线AB 与CD 所成角的大小； （2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小. 【答案】（1）60︒；（2）2θ或1802θ︒-. 【分析】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，且PMN 为等腰三角形；（1）根据条件，得到60PMN ∠=︒，求出MPN ∠，即可得出结果； （2）根据条件，得到MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，进而可求出结果. 【详解】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，因为点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点，所以//PM AB ，//PN CD ，且12PM AB =，12PN CD =，则MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，又AB CD =，所以PM PN =，即PMN 为等腰三角形；（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，即60PMN ∠=︒， 则18026060MPN ∠=︒-⨯︒=︒， 所以直线AB 与CD 所成角的大小为60︒； （2）若直线AB 与CD 所成角为θ， 则MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，若MPN θ∠=，则18018022MPN PMN θ︒-∠︒-∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-；若180MPN θ∠=︒-，则18022MPN PMN θ︒-∠∠==， 即直线AB 与MN 所成角的大小为2θ.综上， 直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-或2θ.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异面直线1B D 与MN 所成角的余弦值.25【分析】如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可 【详解】解：如图，连接1B C ，因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ， 所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =++=++⨯=，221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，所以1DC B C ⊥， 所以11125cos 545B C DB C DB ∠===， 所以异面直线1B D 与MN 25【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题 4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1A A 、AB 的中点.（1）求证：1//MN D C ；（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【分析】（1）易知1//MN A B ，11//D C A B ，根据平行的传递性得出结论;（2）由（1）的平行知异面直线MN 与1B C 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在三角形中求得此角即可．（1）连接1A D ，∵M 、N 分别为1A A 、AB 的中点，∴1//MN A B ,正方体中，11A D 与BC 平行且相等，∴11A BCD 是平行四边形，∴11//D C A B ，所以1//MN D C ，（2）由（1）知异面直线MN 与1BC 所成成角是11B CD ∠（或其补角）， 在立方体中，1111B C CD D B ==11B CD ∴∆是等边三角形，∴11B CD ∠60=︒，∴异面直线MN 与1BC 所成成角是60°． 【点睛】本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型.5．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=.（1）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （2）AA '和BC '所成的角是多少度？ 【答案】（1）45；（2）60（1）根据//BC B C ''可知所求角为A C B '''∠，由Rt A B C '''中的长度关系可求得结果； （2）根据//AA BB ''可知所求角为B BC ''∠，由Rt BB C ''△中的长度关系可求得结果. 【详解】（1）连接A C ''，//BC B C ''，∴异面直线BC 和A C ''所成角即为直线B C ''和A C ''所成角，即A C B '''∠，在Rt A B C '''中，23A B AB ''==，23B C AD ''==，tan 1A C B '''∴∠=，45A C B '''∴∠=，即异面直线BC 和A C ''所成角为45；（2）连接BC '，//AA BB ''，∴异面直线AA '和BC '所成角即为直线BB '和BC '所成角，即B BC ''∠，在Rt BB C ''△中，23B C AD ''==，2BB AA ''==，tan 3B BC ''∴∠=60B BC ''∴∠=，即异面直线AA '和BC '所成角为60.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体． （1）求直线DA 1与BC 所成角； （2）求直线D 1A 与BA 1所成角； （3）求直线BD 1和AC 所成角．【答案】（1）4π （2）3π （3）2π【分析】（1）由//AD BC 得1DAD ∠是直线1DA 与BC 所成角，求出1DAD ∠即可得解； （2）由11//AD C B 得11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角,求出11C BA ∠即可得解； （3）证明AC ⊥平面1BDD 后即可得1AC BD ⊥，即可得解. 【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体， ∵//AD BC ，∴1ADA ∠是直线1DA 与BC 所成角， ∵1AD AA ＝，1AD AA ⊥，∴14ADA π∠=，∴直线1DA 与BC 所成角为4π． （2）∵11//AD C B ，∴11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角， ∵1111BA AC BC ==，∴ 113C BA π∠=，∴直线1D A 与1BA 所成角为3π． （3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴1DD AC ⊥， ∵1DD BD D =，∴AC ⊥平面1BDD ，∵1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥， ∴直线1BD 和AC 所成角为2π．【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.7．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成角的大小.【答案】45°. 【分析】取BD 的中点G ，连接,EG FG ，根据题意可得GFE ∠（或其补角）即为EF 与AB 所成角，由EG GF =，AB CD ⊥，可得EFG ∆为等腰直角三角形，进而可求解. 【详解】如图所示，取BD 的中点G ，连接,EG FG .∵,E F 分别为,BC AD 的中点， 且,//,//AB CD EG CD GF AB =∴，且11,22EG CD GF AB ==，即EG GF =， GFE （或其补角）即为EF 与AB 所成角.,,90AB CD EG GF EGF ︒⊥∴⊥∴∠=，EFG ∴∆为等腰直角三角形，45GFE ︒∴∠=，即EF 与AB 所成角的大小为45°.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解得的关键是找出与异面直线所成角相等的角，属于基础题. 8．正三棱锥S ABC -的侧棱长与底面边长都为a ,,E F 分别是,SC AB 的中点,求直线EF 和SA 所成的角.【答案】45° 【分析】取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF ，于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角)，在EFG ∆中求解.【详解】解析 如图,取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF .在SAB ∆中,,F G 分别是AB ,SB 的中点,//FG SA ∴,且12FG SA =.于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角).在SAB 中,SA SB a ==,12AF FB a ==, SF AB ∴⊥,且3SF a =.同理可得CF AB ⊥,且3CF =. 在SFC 中,32SF CF a ==,SE EC =, FE SC ∴⊥,且2222FE SF SE a =-=. 在SAB 中,FG 是中位线,122a FG SA ==. 在SBC 中,GE 是中位线,122a GE BC ∴==. 在EGF △中,22222a FG GE FE +==,EGF ∴是以FGE ∠为直角的等腰直角三角形,45EFG ︒∴∠=.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 9．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .若AC DE ⊥,且3AC BC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小. 【答案】（2）60°. 【分析】由条件可知ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角，再求解. 【详解】解析 (2)因为PN 为ABE ∆的中位线, 所以//PN AB .又//BC DE ,所以ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角. 又AC DE ⊥,所以AC BC ⊥. 在Rt ACB △中,3tan 3AC BCABC BC ∠===所以60ABC ︒∠=. 所以异面直线DE 与PN 成的角为60°. 【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型. 10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA 与,AC AB 所成的角均为60°,90BAC ︒∠=,且1AB AC AA ==,求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.【答案】33【分析】首先利用补体，将三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -，由条件可知11//AC BD ， 则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，根据三边关系求11cos A BD ∠. 【详解】解析 如图所示,把三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -,连接111,,BD A D AD ,由四棱柱的性质知11//BD AC ,则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角. 设AB a ,1AA 与AC ,AB 所成的角均为60°,且1AB AC AA ==,1A B a ∴=,1112cos303BD AC AA a︒==⋅=.又90BAC ︒∠=,在矩形ABDC 中,2AD a =,112A D a ∴=,2221111A D A B BD ∴+=,1190BA D ︒∴∠=,在11Rt BA D 中,11113cos 33A B A BD BD a∠===. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 11．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB AD ==，2AA '=，求：（1）直线BC 和A C ''所成的角的大小； （2）直线AA '和BC '所成的角的大小. 【答案】（1）45°.（2）60°. 【分析】（1）确定B C A '''∠是异面直线A C ''与BC 所成的角，在Rt A B C '''中根据长度关系得到答案。
与异面直线相关的几类经典题型
与异面直线相关的几类经典题型【知识梳理】1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.2.异面直线的判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线；3.异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0，2 ].【典例分析】题型一异面直线的判断例题1(1)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：1①AM和CN是否是异面直线?说明理由.②DB和CC1是否是异面直线?说明理由.23跟踪练习1 如图：已知平面βα⋂＝l ，A ∈l ，D ∈l ，AC α⊂，DB ⊂β，求证：AC 和BD 是异面直线.题型二 异面直线所成的角例题2 如图1所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值.跟踪练习2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．4题型三构造长方体巧解异面直线问题例题3 三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条？跟踪练习3 设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β上的射影是两条平行直线，它们在平面γ上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面γ有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个【专项训练】1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面2.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°3.两条异面直线在一个平面上的投影是( )A．两条相交直线5B．两条平行直线C．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，别无其他情况D．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，此外还可能有其他情况．4.设a、b是异面直线，那么()A．必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、bB．必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、bC．过直线a存在唯一平面平行于直线bD．过直线a存在唯一平面垂直于直线b5.已知直线a，b是异面直线，直线c，d分别与a，b都相交，则直线c，d的位置关系( ) A．可能是平行直线B．一定是异面直线C．可能是相交直线D．平行、相交、异面直线都有可能6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为()A．30° B．45°6C．60° D．90°二、填空题7.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，AB与CD的位置关系是________．8.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．9．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是各点所在棱的中点，则PQ和RS的位置关系是________；MN和RS的位置关系是________；它们所成的角是________；PQ和MN的位置关系是相交；它们所成的角是________11.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为________对．7三、解答题12．如图，已知不共面的直线a，b，c相交于点O，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上的点．求证：MN和PQ是异面直线．13.已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．8答案精析【典例分析】题型一例题1(1)【答案】②④【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．(2)【答案】解：①不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，A C．因为M，N分别是AB1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.②是异面直线.理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，910所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.跟踪练习1【答案】证明：假设AC 、BD 在同一平面γ内.∵A 、D 、C 既在γ内又在α内，且A 、D 、C 三点不共线. ∴α与γ重合.又A 、B 、D 既在γ内又在β内.同理，β与γ重合.∴α与β重合.但这与已知βα⋂＝l 相矛盾，所以假设不成立. 故AC 与BD 是异面直线.题型二例题2【答案】 解：取11C D 中点M ，连结OM ，易证1OM FD =∅， 所以∠MOE 是异面直线OE 和1FD 所成的角.连结OC ，ME2211122252213OM FD MC C E OE OC CE ().===+==+=+=在△OME 中，222OM ME OE =+，所以∠OEM ＝90°．11则3155OE cos MOE OM ∠=== 所以异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为515． 跟踪练习2【答案】 解：(1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角．由△AB 1C 中，由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由(1)知AC ∥A 1C 1.∴AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角．∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥B D ．又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，即所求角为90°.∴EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.题型三例题3【答案】 解：构造长方体''''D C B A ABCD -如图所示，取直线AB 为a ，DD ’为b ，C ’E 为c ，其中E 为BC 的中点，则a 、b 、c 两两异面，由于直线DE 与AB 相交，故DE 与三异面直线同时相交．过AB 作平面交DD ’、CC ’、EC ’分别于F 、G 、H ，当G 与C ’不重合时，12直线FH 必与AB 相交，即FH 与三异面直线同时相交，又过AB 作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同时相交的直线有无数条．跟踪练习3【答案】 D【解析】 构造长方体''''D C B A ABCD 如图所示，取B A '为a ，''C D 为b ，而''A ABB 为α，ABCD 为β，则ADD ’A ’为γ，故与''A ADD 平行的平面都满足题意，故平面γ有无数个，选D ．【专项训练】1.【答案】 D【解析】 分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面，一定不会平行.2.【答案】 C【解析】 MN 与AD 1平行，所以AD 1与AC 所成的角与所求角相等，三角形AD 1C 是等边三角形，故所求角为60°.3.【答案】 D【解析】 两条异面直线在一个平面上的投影是两条平行直线、两条相交直线，也可能是一个点与一条直线.4.【答案】C【解析】b与过直线a的平面没有公共点．5.【答案】D【解析】将a、b看成长方体中的两条棱，容易满足条件的直线平行、相交、异面.6.【答案】A【解析】取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.二、7.【答案】异面【解析】如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可判断AB与CD异面．8.【答案】24【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．139．【答案】相交【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．10.【答案】平行异面60° 60°【解析】MN平行于AC，RS平行于CD1，PQ平行于CD1，所以所求角都等于1ACD＝60°11.【答案】24【解析】如图，在连接正方体各顶点的所有直线中，只有相邻面上的面对角线才能构成“理想异面直线对”，并且只有2对，则所有的“理想异面直线对”的对数为4×2×2(上下面与四个相邻侧面的对数)＋4×2(四个侧面的对数)＝24(对)．故填24.三、12．【答案】证明：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈α，M、P∈a，∴a⊂α∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α同理c⊂α，∴a，b，c共面于α，与a、b、c不共面矛盾．1415 ∴MN 、PQ 是异面直线．13.【答案】 解：如图所示，连接AC 、BD ， 设其交点为O ，连接EO ，依题意，EO// 12SD ，∴∠AEO 或其补角为AE ，SD 所成的角， 设AB ＝SA ＝2a ，在正△SAB 中，AE ＝AB 2－BE 2＝3a ， ∵AE ＝CE ，且O 为AC 中点∴EO ⊥A C ．在Rt △AEO 中，∠AOE ＝90°，∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝a 3a ＝33.∴AE 与SD 所成角的余弦值为33.。
两异面直线所成的角的范围
两异面直线所成的角的范围
两异面直线所成的角的范围，一般来说是介于0度到180度之间。
而如果两条直线平行，也就是说它们是同面的，那么它们之间所成的
夹角就是0度。
而当两条直线垂直的时候，也就是它们是垂直的异面
直线，所以它们之间所成的夹角就是90度。
因此，两条异面直线之间
所成的夹角一般都是在0度到180度之间。
另外，在数学上，所谓的“异面直线”其实指的是起点不同，方
向相同的两条直线，因此这两条直线是有可能重合的，即它们所成角
度可能大于180度，甚至是360度，但是它们依然是异面直线。
再比如，如果两条异面直线为AB和CD，它们之间所成的夹角可以
通过以下几种方法来进行求解：
1、求出AB和CD的各自斜率，然后用两个向量的数量积求出其夹角；
2、把AB和CD分别看作两个向量，并且求出它们的向量积；
3、先求出AB和CD的向量积，再将其转化为弧度，最后将弧度转
化为角度；
4、使用三角函数进行求解。
因此，总结而言，两异面直线之间所成的角度一般都是介于0度
到180度之间，但也有可能大于180度，甚至是360度，而如果两条
异面直线重合，那么它们之间所成的夹角就是360度，而且它们也是
异面直线，只是它们的起点相同，方向也相同而已。
立体几何篇(异面直线夹角)
立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。
异面直线夹角与线面角的求法
（B）不相交的直线
（C）相交直线或平行直线
（D）既不相交又不平行直线
（）
2．设 a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果 a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，
则 a, c 是异面直线；② 如果 a, b 相交，b, c 也相交，则 如图，五面体 ABCDE 中，四边形 ABDE 是菱形， ABC 是边长为 2 的正三角形， DBA 60 ， CD 3 ． （1）证明： DC AB ； （2）若点 C 在平面 ABDE 内的射影 H ，求 CH 与平面 BCD 所成的角的正弦值．
12、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
【跟踪训练 2】如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， DAB DBF 60，且 FA FC . （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AF 与平面 BCF 所成角的正弦值.
【课堂巩固】
一：选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是
（A）不平行的直线
（C） 3
5
（D） 4
5
6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与 ED 平行； ②CN 与 BE 是异面直线；
③CN 与 BM 成 60 角； ④DM 与 BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
（A）① ② ③
（B）② ④
（C）③ ④
（D）② ③ ④
S
7、在三棱锥 S—ABC 中， SAB SAC ACB 90 ， AC 2， BC 13 ， SB 29 ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。
BC 3， CD 4 ， PD 2.
两异面直线所成的角 题目解法大全
两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题）异面直线所成角的求法例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF；法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托；法三、利用空间向量知识来求解.解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG∆中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61.解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则= (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。
例2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角。
专题十：异面直线夹角问题-2021高考数学冲刺(含详细解析)
专题十：异面直线夹角问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版一、单选题1.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】【解答】连接A1C1、BC1，如图：由正方体的性质可得A1C1//AC，则∠BA1C1或其补角即为异面直线AC和A1B所成的角，由BA1=A1C1=C1B可得∠BA1C1=60∘，所以异面直线AC和A1B所成的角的大小为60∘.故答案为：C.【分析】根据题意作出辅助线由正方体的性质即可找出异面直线所成的角，由正方体的几何关系在三角形中计算出角的大小即可。
2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD1与C1D所成的角为（）A. π6B. π4C. π3D. π2 【答案】 C【解析】【解答】由 AD 1∥BC 1 ，可得 ∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，易得△ BDC 1 为等边三角形，所以 ∠BC 1D =60∘ ， 故答案为：C 。
【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，再利用线线平行结合异面直线所成的角求法，从而得出∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，再利用等边三角形的定义，从而求出异面直线 AD 1 与 C 1D 所成的角。
3.如图，在三棱锥S －ABC 中，SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，SA ＝2 √3 ，则异面直线SB 与AC 所成角的余弦值是（ ）A. 18B. −18C. 14D. −14 【答案】 A【解析】【解答】分别取 BC 、 AB 、 AS 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EF 、 EG 、 FG 、 EA 、 ES ，如图：由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得EA=ES=√32BC=2√3，所以EG⊥SA，EG=√SE2−(12SA)2=√12−3=3，由中位线的性质可得FG//SB且FG=12SB=2，FE//AC且FE=12AC=2，所以∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，在△GFE中，cos∠GFE=GF2+EF2−GE22GF⋅EF =4+4−92×2×2=−18，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为18.故答案为：A.【分析】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，由题意结合平面几何的知识可得EG=3、FG=EF=2、∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.4.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=BC=2，CC1=2√2，则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【解答】由题意知，A1B1//AB，所以直线AC1与AB所成的角∠BAC1即为异面直线AC1与A1B1所成的角，又BC1=√BC2+CC12=√22+(2√2)2=2√3，AC1=√AC2+CC12=4，AB=2，则在△ABC1中，由余弦定理得cos∠BAC1=AB2+AC12−BC122×AB×AC1=12又∠BAC1∈(0，π)，所以∠BAC1=60°，所以C正确，故答案为：C.【分析】由异面直线所成角的概念易知∠BAC1为所求角，再由余弦定理求解即可.5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为（）A. √32B. 34 C. 14 D. 13【答案】 C【解析】【解答】解：因为 AB =AC ， ∠BAC =60° ，所以三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设 AB =2 ，则 B(√3,0,0) ， A(0,−1,0) ， A 1(0,−1,2) ， C 1(0,1,2) ，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2) ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2) ， |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ， 所以异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值为 cosθ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×2√2=14，故答案为：C.【分析】利用直三棱柱的结构特征结合已知条件，从而利用等边三角形的定义判断出三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值 。
空间中的夹角问题
空间中的夹角问题一、空间中夹角的基本概念1. 异面直线所成角- 定义：过空间任一点引两条异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。
- 范围：(0,(π)/(2)]。
- 题目示例：- 例1：在正方体ABCD - A_1B_1C_1D_1中，求异面直线A_1B与AD_1所成角的大小。
- 解析：- 连接BC_1，因为AD_1∥ BC_1，所以∠ A_1BC_1就是异面直线A_1B 与AD_1所成的角（或其补角）。
- 设正方体棱长为a，在△ A_1BC_1中，A_1B = BC_1=A_1C_1=√(2)a，所以△ A_1BC_1是等边三角形，∠A_1BC_1=(π)/(3)，即异面直线A_1B与AD_1所成角为(π)/(3)。
2. 直线与平面所成角- 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；当直线与平面垂直时，所成角为(π)/(2)；当直线在平面内或直线与平面平行时，所成角为0。
- 范围：[0,(π)/(2)]。
- 题目示例：- 例2：在三棱锥P - ABC中，PA⊥底面ABC，AB = AC = 2，PA = 4，求直线PB与底面ABC所成角的正弦值。
- 解析：- 因为PA⊥底面ABC，所以∠ PBA就是直线PB与底面ABC所成的角。
- 在Rt△ PAB中，AB = 2，PA = 4，根据正弦函数定义sin∠PBA=(PA)/(PB)。
- 由勾股定理PB=√(PA^2)+AB^{2}=√(4^2) + 2^{2}=√(20)=2√(5)。
- 所以sin∠PBA=(4)/(2√(5))=(2√(5))/(5)。
3. 二面角- 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；在棱上任取一点，分别在两个面内作棱的垂线，则这两条垂线所成的角叫做二面角的平面角。
- 范围：[0,π]。
高考数学-异面直线夹角专题
异面直线夹角【考点例题解析】一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．BM AN CSABCD A 1B 1C 1D 1EF4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。
6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
B '(图1－28)A 'ABC 'D 'CD FE2.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
异面直线的夹角-线面角(含答案)
异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。
考点02 异面直线的夹角(人教A版2019)(含答案解析)
考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．162．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为 A ．720 B．20 CD5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．4-D ．47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 B ．6CD8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ． BC ．6-D9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．15CD ．5-11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．6 B ．23CD ．1212．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13C ．12D 13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为A ．12BC ．10D ．1014．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34C ．14D ．1315．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．217．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为A ． BC ．D 18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．3021．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A BCD23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为 A ．13 B ．22C ．324D ．1224．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，2AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是A 3B 6C 6D ．2225．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．427 B 15 C 3D 6二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD '''' C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为________．13．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________．四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________． 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．5．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC ==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．五、解答题1．如图，在三棱锥D -ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且2BC =，3AB =，4=AD ．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．2．如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积．考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 BCD ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理） 【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---， 由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720B ．20C．20D．20【试题来源】第八单元 立体几何 （A 卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=， 则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=， 由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=， 所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,12AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,120AD EC ADEC ''<>=-<>==， 因此，异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为20．故选C ．5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFG π∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14 C．4-D．4【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题 【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 BC ．3D ．3【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥， 所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-， 设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos||||PE BD PE BD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为6．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．18-BC ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ， 则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试 【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-， 设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒． 所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理） 【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =， 因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===． 所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文） 【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===． 所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1ABAC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ， 所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考 【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ， 所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,9A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考 【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系： 令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ， 所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =， 所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试 【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13 B．3 CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中 【答案】B【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理） 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形， 所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A．7 BCD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,53FD OE OE OE FDFD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD ，故选B ． 二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，为定值，即体积不变 ，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA QS AA AQ ∆=⨯⨯=⨯===，因为[]002x ∈，，所以15AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，11D E =+=，11122PD EE SD ∴⨯⨯== 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =， 所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ESD E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·10AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确； 取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，2MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误； 四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为244⨯⨯=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上， (1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos AM AC MAC AM AC '∠'=='设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)； 所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABCA BC -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1ACD ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,7A D ACA D AC A D AC ⋅===，所以异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14，B 不正确，C 正确； 因为(1AB =，(11,AC=，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB xn AC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-，因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为17，故答案为17． 2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A E BF A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用） 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC⊥， 过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，， 又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 102PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描 【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ 由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+，解得21m DH⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】 【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A EC F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-，所以1cos ,55AE CF AE CFAE CF⋅===⋅，故答案为15．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．。
空间角的运算问题求异面直线夹角
B
5t 2 10t 9
x
C
当且仅当 t
1 5 20 9 9 t 9
2
10
9 t 1 2 3 ，即 时，cos CQ, DP 的最大值为 10. 5 2 5 10
y cos x 在 0, 上是减函数，此时两直线所成角取的最小值. 2
2.向量法:直接向量运算，或坐标运算.
数学思想:转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识 解答. 注意点:异面直线夹角是锐角或直角，所以要注意所求的角可能是其补角.
21. 空间角的运算问题 求异面直线夹角
1. 异面直线夹角 已知两条异面直线 a , b ， 经过空间任一点 O 作直线 a ∥ a , b ∥ b ， 把 a 与 b 所成的锐 角(或直角)叫做异面直线 a , b 所成的角(夹角).
范围：
90 0 ， .
2.异面直线所成角的求法 （1） 几何法：平移法（平移一条直线或两条直线）或补形法，找到异面直线所成的角， 再解三角形； （2） 向量法（运用数量积求出余弦值）.
求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值
思路分析： F , G 分别是 AB, BC 三等分点，所以只需连接 AC ，就可以把 FG 平移到 AC ，
P
使其与 AP 相交,再解三角形即可 .
D
E G
C
A
F
B
解： 如下图所示，连接 AC ,
P
AF 2 FB, CG 2GB,
AF CG 2, FB GB
cos
a b ab
例 1. 如 图 ， 三 角 形 P D C所 在 的 平 面 与 长 方 形 A B C D 所在的平面垂直，
异面直线夹角习题及
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=12,BC=3,AA1=4，N在A1B1上，且B1N=1/3A1B1，求BD1与C1N所成角的余弦值。
你能够在AB上找一点N1，使AN1=1/3AB,而后连结CN1，这样的话，C1N平行与CN1,而后再连结AD1，在AD1上找一点E，使AE=2ED1,连结EN1，这样协助线就做完了，而后计算CN1=5,BD1=13,那么依据三角形相像的性质，EN1=26/3，接下来求EC的长度，连结BC1,在BC1上找一点F，使FC1=1/2BF,连结CF,在面BCC1B1面上求出CF的长度，而后EF垂直于CF，这样在直角三角形中，求出CE，再依据余弦定理，在三角形CEN1中，求出角CN1E就是要求的角了。
看起来很麻烦，但是只需你看懂了，在依据我说的，画出图来，这道题仍是很简单的，用高中的知识很简单就解决了。
要有耐心啊~~~~在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M，N分别是对角线AC，BD的中点，MN=5，求异面直线AB与CD所成角的大小。
做MH//CD交AD于H，连结HN角MHN是所成角或其补角MH=NH＝3，MN＝5cos角MHN=(MH^2+NH^2-MN^2)/2*MH*NH=(9+9-25)/2*3*3=-7/18所成角为arccos7/18（）1、设P=｛两异面直线所成的角｝，M=｛直线与平面所成的角｝，N=｛二面的平面角｝，则有A、PìMìN B、P=MìN C、PéMéND、PìM=N（）2、正四周体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角A、45°B、60°C、90°D、30°（）3、正方体ABCD—A￠B￠C￠D￠中，与BD成60°角的面对角线的条数为A、0B、2C、4D、8（）4、把一个正方形的纸折成一个底面为正方形的长方体，正方形的对角线就成为在长方体四侧面的一条折线，则这条折线相对的两段所成角是A、45°B、60°C、90°D、120°5、a、b为异，面直线，二面角a—a—b为q，a^a，b^b，则a、b的夹角为_______6、正方体ABCD—A￠B￠C￠D￠中，E、F分别是BC、A￠D￠之中点，则ADE所成的角是_______17、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD之中点，且PR=3，AC=4，BD=2EQR(,5)，则AC和BD 所成的角是_________8、A、CD阳两条异面直线，A=CD=3，E、F分别是线段AD、BC上的点，且AE：ED=BF：FC=1：2，EF=EQR(,7)，则AB与CD所成角为________9、正四周体S—ABC中，D、E是SA、BC 之中点，求AE与BD所成角的余弦10、DABC的DC=90°，PA^面ABC，M、N分别是边AC、PB的中点，求证“MN^AC2。
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D A B
2)空间两条直线的位置关系:
问 a, b 一定是异面直线吗 ?
相交 平行
b a l
Байду номын сангаас
异面
练习:
（1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ 且 a 不平行于 b ；② a 平面 ， b 平面 且 a ∩ b =Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在 平面，能使a 且b 成立
则直线AB和l 是异面直线.
l
A
B
证明:(反证法) 假设直线AB和l 不是异面直线, 则直线AB和l 共面, 设这个平面为 , A AB, AB A 这与已知点A在平面 外矛盾. 所以直线AB和l 是异面直线. 3)异面直线的判定方法: 连结平面内一点与平面外一点 的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
1.异面直线 2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角(或夹角).
b a
b’ a’
O
b
O
a
a'
(0,
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 线互相垂直.
上述结论中，正确的是
（
）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④ （2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面 直线有 （ ）
（A ）2 对 （B ） 3 对
（C ）6 对
（D）12对
（ 3 ）两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交，则直 线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （ D ）可能是异面直线，也可 能是相交直线
(0,
求异面直线所成角的方法: 1)找(作)角; 2)求角.
（1）平移法（常用方法） 定角一般方法有： （2）补形法
2
]
5.课外作业
课本P15 T4 T7 补充作业（下一页）
如图，已知不共面的直线 a,b,c相交于点 o，M,P是直线a上的两点，N,Q分别是b,c 上的一点 求证：MN和PQ是异面直线
D'
D' A' D A B B' C C'
C' B' F E
A'
D A B
C
4)长方体ABCD-A' B'C' D'中, AB=BC=4, AA' =6, E、F分别 为BB' 、CC'的中点, 求AE、BF所成角的余弦值.
9 cos 25
4.小结
(1)异面直线
异直线的判定: 异面直线的判定方法. (2)异面直线所成角
求角的一般步骤: 1)找(作)角; 2)求角(解三角形).
3.练习:
1)若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位置关 系是( A ) 异面直线不具有传递性. A. 相交、平行或异面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线a和b是两条异面直线, 点A、C在直线a上, 点B、D 在直线b上, 那么直线AB和CD一定是( C ) A. 平行直线 B. 相交直线
（4 ）一条直线和两条异面直线中的一条平行 , 则它和 另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
1.异面直线
1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2)空间两条直线的位置关系: 相交、平行、异面.
若 AB B, A , l , B l .
1.异面直线 2.异面直线所成的角 (0,
2
]
例 如图, (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直? (2)求直线BA' 分别和CC' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数. D' 解:(1)与直线AA' 垂直的直线有: C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 A' B' ' A' C' D' 、 D O (2)由BB ' ∥CC', 可知 B'BA'等于异面 ' ' ' ' D C 直线BA 与CC 的夹角, 所以BA 与CC °. 的夹角为 45 A B BA'与DC' 的夹角为90°. BA' 与DC' 的夹角为60°.
1.异面直线
1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2)空间两条直线的位置关系: 相交、平行、异面.
3)异面直线的判定方法: 连结平面内一点与平面外一点 的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
A
b
D' C' A' B'
l
B
a
l
D A B C
哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ 与直线BA' 成异面直线的有直线： B'C'、A D、 C' D'、CD、 C'C、D' D.
C. 异面直线 D. 以上都可能
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
3)如图, 在长方体ABCD-A' B'C' D'中, 已知 AB 3 , AA 求 1 异面直线BA'与CC'所成角的度数. 60°
M O N P
a
Q b
c
异面直线及其夹角
1.异面直线
平面内的两条直线的位置关系有几种? 相交和平行 在空间还有既不相交也不平行的情况. 这样的两条直线可不可能共面? 一定不共面. 1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
D' C'
直线AA'与BC是异面直线.
b a
A'
B'
若 a , b ,
C